高中数学必修第一册《函数》章末综合检测

这是一份高中数学必修第一册《函数》章末综合检测，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

(时间：60分钟 满分：100分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．函数f(x)＝eq \f(1,x－1)＋eq \r(x)的定义域为( )
A．[0，＋∞) B．(1，＋∞)
C．[0,1)∪(1，＋∞) D．[0,1)
解析：选C 要使函数有意义，有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥0，,x－1≠0，))得x≥0且x≠1.所以所求函数的定义域是[0,1)∪(1，＋∞)．
2．下列函数是偶函数的为( )
A．f(x)＝|x－3| B．f(x)＝x2＋x
C．f(x)＝x2－x D．f(x)＝eq \f(x3,x)
解析：选D A、B、C选项中的定义域均为R，但f(－x)≠f(x)，所以都不是偶函数，只有选项D中f(－x)＝f(x)且定义域{x|x≠0}关于原点对称．
3．设A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，下列图形表示集合A到集合B的函数的图像的是( )
解析：选D A和B中y的取值范围不是[1,2]，不合题意，故A和B都不成立；C中x的取值范围不是[0,2]，y的取值范围不是[1,2]，不合题意，故C不成立；D中，0≤x≤2,1≤y≤2，且对于定义域中的每一个x值，都有唯一的y值与之对应，符合题意．
4．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x2，x≤1，,x2＋x－2，x>1，))则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,f2)))的值为( )
A．－1 B.eq \f(3,4)
C.eq \f(15,16) D．4
解析：选C 因为f(2)＝22＋2－2＝4，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,f2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))2＝eq \f(15,16).
5．若函数f(x)在R上单调递增，且f(m)A．m>n B．mC．m≥n D．m≤n
解析：选B 因为f(x)在R上单调递增，且f(m)6．设函数f(x)＝2x－1(x<0)，则f(x)( )
A．有最大值 B．有最小值
C．是增函数 D．是减函数
解析：选C 画出函数f(x)＝2x－1(x<0)的图像，如图中实线部分所示．由图像可知，函数f(x)＝2x－1(x<0)是增函数，无最大值及最小值．
7．已知函数feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))＝x2＋eq \f(1,x2)＋3，则f(3)＝( )
A．8 B．9
C．10 D．11
解析：选C ∵feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))＝x2＋eq \f(1,x2)＋3＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))2＋1，
∴f(x)＝x2＋1(x≤－2或x≥2)，∴f(3)＝32＋1＝10.故选C.
8．函数f(x)定义在区间[－2,3]上，则函数y＝f(x)的图像与直线x＝a的交点个数有( )
A．1个 B．2个
C．无数个 D．至多一个
解析：选D 当a∈[－2,3]时，由函数定义知，y＝f(x)的图像与直线x＝a只有一个交点；当a∉[－2,3]时，y＝f(x)的图像与直线x＝a没有交点．所以直线x＝a与函数y＝f(x)的图像最多只有一个交点．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
9．若函数y＝eq \f(k,x)(k>0)在[2,4]上的最小值为5，则k的值为__________．
解析：因为k>0，所以函数y＝eq \f(k,x)在[2,4]上是减函数．所以当x＝4时，ymin＝eq \f(k,4).由题意知eq \f(k,4)＝5，解得k＝20.
答案：20
10．函数y＝(m－1)xm2－m为幂函数，则该函数为______．(填序号)
①奇函数；②偶函数；③增函数；④减函数．
解析：由y＝(m－1)xm2－m为幂函数，得m－1＝1，即m＝2，则该函数为y＝x2，故该函数为偶函数，在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．
答案：②
11．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x－1，x≤0，,\r(x)，x>0，))若f(x0)>1，则x0的取值范围是________．
解析：当x0≤0时，由－x0－1>1，得x0<－2，所以x0<－2；当x0>0时，由eq \r(x0)>1，得x0>1.所以x0的取值范围为(－∞，－2)∪(1，＋∞)．
答案：(－∞，－2)∪(1，＋∞)
12．已知函数f(x)是奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x2＋mx，若f(2)＝－3，则m的值为________．
解析：因为f(x)是奇函数，所以f(－2)＝－f(2)＝3，所以(－2)2－2m＝3，解得m＝eq \f(1,2).
答案：eq \f(1,2)
三、解答题(本大题共4小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
13．(8分)求函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,x)，0解：函数f(x)的图像如图，
由图像可知f(x)的最小值为f(1)＝1，无最大值．
14．(10分)判断函数f(x)＝eq \f(ax,x2－1)(a≠0)在区间(－1,1)上的单调性．
解：设∀x1，x2∈(－1,1)，且x1∵xeq \\al(2,1)－1<0，xeq \\al(2,2)－1<0，x1x2＋1>0，x2－x1>0，
∴eq \f(x1x2＋1x2－x1,x\\al(2,1)－1x\\al(2,2)－1)>0.
∴当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，函数y＝f(x)在(－1,1)上是减函数；当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，函数y＝f(x)在(－1,1)上是增函数．
15．(10分)已知函数y＝f(x)的图像关于原点对称，且当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3.
(1)试求f(x)在R上的解析式；
(2)画出函数的图像，根据图像写出它的单调区间．
解：(1)因为函数f(x)的图像关于原点对称，
所以f(x)为奇函数，则f(0)＝0.
设x<0，则－x>0，
因为当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3.
所以当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x＋3)＝－x2－2x－3.
于是有f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2x＋3，x>0，,0，x＝0，,－x2－2x－3，x<0.))
(2)先画出函数在y轴右侧的图像，再根据对称性画出y轴左侧的图像，如图．
由图像可知函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－1]，[1，＋∞)，单调递减区间是(－1,0)，(0,1)．
16.(12分)如图所示，在边长为4的正方形ABCD上有一点P，沿着折线BCDA由B点(起点)向A点(终点)移动．设P点移动的路程为x，△ABP的面积为y＝f(x)．
(1)求△ABP的面积与P移动的路程的函数关系式；
(2)作出函数的图像，并根据图像求f(x)的值域．
解：(1)函数的定义域为(0,12)，
当0当4当8所以函数解析式为
f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x，x∈0，4]，,8，x∈4，8]，,24－2x，x∈8，12.))
(2)作出函数图像如图所示．从图像可以看出f(x)的值域为(0,8]．
B卷——高考应试能力标准练
(时间：90分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若f(x)＝eq \f(2x,x2＋2)，则f(1)的值为( )
A.eq \f(1,3) B．－eq \f(1,3)
C.eq \f(2,3) D．－eq \f(2,3)
解析：选C 由f(x)＝eq \f(2x,x2＋2)，得f(1)＝eq \f(2×1,12＋2)＝eq \f(2,3).
2．函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋7，x∈[－1，1，,2x＋6，x∈[1，2]，))则f(x)的最大、最小值分别为( )
A．10,6 B．10,8
C．8,6 D．以上都不对
解析：选A 当－1≤x<1时，6≤x＋7<8，当1≤x≤2时，8≤2x＋6≤10.
∴f(x)min＝f(－1)＝6，f(x)max＝f(2)＝10.故选A.
3．已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的表达式是( )
A．f(x)＝x2＋6x B．f(x)＝x2＋8x＋7
C．f(x)＝x2＋2x－3 D．f(x)＝x2＋6x－10
解析：选A f(x－1)＝x2＋4x－5⇒f(x)＝(x＋1)2＋4(x＋1)－5＝x2＋6x.
4．已知幂函数f(x)＝xn，n∈{－2，－1,1,3}的图像关于y轴对称，则下列选项正确的是( )
A．f(－2)>f(1) B．f(－2)C．f(2)＝f(1) D．f(－2)>f(－1)
解析：选B 由幂函数f(x)＝xn的图像关于y轴对称，可知f(x)＝xn为偶函数，所以n＝－2，即f(x)＝x－2，则有f(－2)＝f(2)＝eq \f(1,4)，f(－1)＝f(1)＝1，所以f(－2)5．若函数f(x)＝ax2＋(a－2b)x＋a－1是定义在(－a,0)∪(0,2a－2)上的偶函数，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2＋b2,5)))＝( )
A．1 B．3
C.eq \f(5,2) D.eq \f(7,2)
解析：选B 因为偶函数的定义域关于原点对称，则－a＋2a－2＝0，解得a＝2.又偶函数不含奇次项，所以a－2b＝0，即b＝1，所以f(x)＝2x2＋1，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2＋b2,5)))＝f(1)＝3.
6．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2x，x<0，,x2－2x，x≥0，))若f(－a)＋f(a)≤0，则实数a的取值范围是( )
A．[－1,1] B．[－2,0]
C．[0,2] D．[－2,2]
解析： 选D 依题意，可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,－a2＋2－a＋a2－2a≤0))
或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0，,－a2－2－a＋a2＋2a≤0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝0，,202－2×0≤0，))
解得－2≤a≤2.
7．若f(x)和g(x)都是奇函数，且F(x)＝f(x)＋g(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值8，则在(－∞，0)上，F(x)有( )
A．最小值－8 B．最大值－8
C．最小值－6 D．最小值－4
解析：选D ∵f(x)和g(x)都是奇函数，∴f(x)＋g(x)也是奇函数．又F(x)＝f(x)＋g(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值8，∴f(x)＋g(x)在(0，＋∞)上有最大值6，∴f(x)＋g(x)在(－∞，0)上有最小值－6，∴F(x)在(－∞，0)上有最小值－4.
8.已知函数f(x)是(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，且当x<0时，函数的图像如图所示，则不等式xf(x)<0的解集是( )
A．(－2，－1)∪(1,2)
B．(－2，－1)∪(0,1)∪(2，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(－1,0)∪(1,2)
D．(－∞，－2)∪(－1,0)∪(0,1)∪(2，＋∞)
解析：选D 当x>0时，f(x)<0由图像关于原点对称，
∴x∈(0,1)∪(2，＋∞)；当x<0时，f(x)>0，
∴x∈(－∞，－2)∪(－1,0)．∴选D.
9．已知函数f(x)＝－x5－3x3－5x＋3，若f(a)＋f(a－2)>6，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1) B．(－∞，3)
C．(1，＋∞) D．(3，＋∞)
解析： 选A 设g(x)＝f(x)－3，则g(x)为奇函数，且在R上单调递减，又f(a)＋f(a－2)>6可化为f(a)－3>－f(a－2)＋3＝－ [f(a－2)－3]＝f(2－a)－3，即g(a)>g(2－a)，∴a<2－a，∴a<1.
10.如图所示，点P从点A处出发，按逆时针方向沿边长为a的正三角形ABC运动一周，O为△ABC的中心，设点P走过的路程为x，△OAP的面积为f(x)(当A，O，P三点共线时，记面积为0)，则函数f(x)的大致图像为( )
解析：选A 由三角形的面积公式知，当0≤x≤a时，f(x)＝eq \f(1,2)·x·eq \f(1,3)·eq \f(\r(3),2)a＝eq \f(\r(3),12)ax，故在[0，a]上的图像为线段，故排除B；当a二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
11．已知定义在R上的偶函数f(x)满足：当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－x，x≥2，,x2＋1，0≤x＜2，))则f(f(－2))＝________.
解析：因为f(－2)＝f(2)＝0，所以f(f(－2))＝f(0)＝1.
答案：1
12．若在[1，＋∞)上函数y＝(a－1)x2＋1与y＝eq \f(a,x)都单调递减，则a的取值范围是______．
解析：由于两函数在[1，＋∞)上递减应满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－1<0，,a>0，))所以0答案：(0,1)
13．若函数y＝f(x)的定义域是[－2,2]，则函数y＝f(x＋1)＋f(x－1)的定义域为________．
解析：因为函数f(x)的定义域为[－2,2]，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2≤x＋1≤2，,－2≤x－1≤2，))解得－1≤x≤1，函数y＝f(x＋1)＋f(x－1)的定义域为[－1,1]．
答案：[－1,1]
14．已知函数f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8.设H1(x)＝max{f(x)，g(x)}，H2(x)＝min{f(x)，g(x)}(max{p，q}表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值)．记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则A－B＝________.
解析：f(x)的图像的顶点坐标为(a＋2，－4a－4)，g(x)的图像的顶点坐标为(a－2，－4a＋12)，并且f(x)与g(x)的图像的顶点都在对方的图像上，如图所示，所以A－B＝－4a－4－(－4a＋12)＝－16.
答案：－16
三、解答题(本大题共5小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(8分)记函数f(x)＝eq \r(3－x)＋eq \r(x－1)的定义域为集合M，函数g(x)＝x2－2x＋3值域为集合N，求：
(1)M，N；
(2)M∩N，M∪N.
解：(1)因为函数f(x)＝eq \r(3－x)＋eq \r(x－1)的定义域为集合M，
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－x≥0，,x－1≥0，))故1≤x≤3，集合M＝[1,3]．
因为函数g(x)＝x2－2x＋3值域为集合N，
则g(x)＝x2－2x＋3≥2，集合N＝[2，＋∞)，
所以M＝[1,3]，N＝[2，＋∞)．
(2)M∩N＝[1,3]∩[2，＋∞)＝[2,3]，
M∪N＝[1,3]∪[2，＋∞)＝[1，＋∞)．
16．(10分)已知f(x)，g(x)在(a，b)上是增函数，且a证明：设a∵g(x)在(a，b)上是增函数，
∴g(x1)又∵f(x)在(a，b)上是增函数，
∴f(g(x1))∴f(g(x))在(a，b)上是增函数．
17．(10分)某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足如下函数：R(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(400x－\f(1,2)x20≤x≤400，,80 000x>400，))其中x是仪器的产量．
(1)将利润f(x)表示为产量x的函数．(利润＝总收益－总成本)
(2)当产量x为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？
解：(1)由题意知f(x)＝R(x)－100x－20 000＝
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)x2＋300x－20 0000≤x≤400，,－100x＋60 000x>400.))
(2)当0≤x≤400时，f(x)＝－eq \f(1,2)(x－300)2＋25 000，
即当x＝300时，f(x)有最大值25 000，
当x>400时，f(x)<20 000.
综上可知，当产量为300台时，公司获得最大利润25 000元．
18．(10分)已知函数y＝f(x)(x≠0)对于任意的x，y∈R且x，y≠0都满足f(xy)＝f(x)＋f(y)．
(1)求f(1)，f(－1)的值；
(2)判断函数y＝f(x)(x≠0)的奇偶性．
解：(1)因为对于任意的x，y∈R且x，y≠0都满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，
所以令x＝y＝1，得f(1)＝f(1)＋f(1)，
所以f(1)＝0，令x＝y＝－1，
得f(1)＝f(－1)＋f(－1)，所以f(－1)＝0.
(2)由题意可知，函数y＝f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，
令y＝－1，得f(xy)＝f(－x)＝f(x)＋f(－1)，
因为f(－1)＝0，所以f(－x)＝f(x)，
所以y＝f(x)(x≠0)为偶函数．
19．(12分)已知函数f(x)＝|x－a|－eq \f(9,x)＋a，x∈[1,6]，a∈R.
(1)若a＝1，试判断并用定义证明f(x)的单调性；
(2)若a＝8，求f(x)的值域．
解：(1)当a＝1时，f(x)＝x－eq \f(9,x).
任取x1，x2∈[1,6]，且x1则f(x2)－f(x1)＝x2－eq \f(9,x2)－x1＋eq \f(9,x1)＝(x2－x1)－eq \f(9x1－x2,x1x2)＝(x2－x1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(9,x1x2)))>0，
∴f(x2)>f(x1)
∴f(x)在[1,6]上单调递增．
(2)当a＝8时，f(x)＝|x－8|－eq \f(9,x)＋8＝8－x－eq \f(9,x)＋8＝16－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(9,x))) .
令t＝x＋eq \f(9,x)，
∵x∈[1,6]，∴t∈[6,10]，
∴f(x)＝16－t∈[6,10]，
∴f(x)的值域为[6,10]．