2021年高考理科数学预测猜题卷 全国卷版 （含参考答案）

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一、选择题
1.答案：A
解析：因为，，所以.故选A.
2.答案：C
解析：由题意得，其在复平面内对应的点为，位于第三象限.故选C.
3.答案：B
解析：设正方形的边长为2，则其内切圆半径，外接圆半径，由几何概型的概率计算公式知，所求概率.故选B.
4.答案：B
解析：，当时，.又在上是减函数，在上是增函数，所以使成立的的取值范围是.故选B.
5.答案：B
解析：设数列的公比为，若，则，与题中条件矛盾，故.，.，，，.故选B.
6.答案：C
解析：法一：如图，连接，则F是的中点，因为E为的中点，所以.连接，则Q是的中点，又P为的中点，所以，于是或其补角是异面直线与所成的角.易知是正三角形，所以，所以异面直线与所成角的大小是，故选C.
法二：以D为原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则，，，，则，.设异面直线与所成的角为，则，所以，故选C.
7.答案：D
解析：将函数的图象向左平移个单位后，可得函数的图象，再根据得到的图象关于轴对称，可得，，即，，令，可得正数的最小值是，故选D.
8.答案：B
解析：模拟执行程序框图，，此时条件不成立，得到，；此时条件不成立，得到，；此时条件不成立，得到，；此时条件不成立，得到，；此时条件不成立，得到，；此时条件成立，输出.结合选项可知判断框中可填“”，故选B.
9.答案：D
解析：法一：由题知，则
.故选D.
法二：如图，以为原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立直角坐标系，则，，，，，，，，.故选D.
10.答案：C
解析：，焦点，准线，过焦点且斜率为的直线，将其与联立消去y，解得或(舍去)，故，，.故选C.
11.答案：A
解析：由已知可得，则，设球心为，到平面的距离为，球的半径为，则由，得，解得，所以，.故选A.
12.答案：B
解析：，令，得或，，.
当或时，，当时，.
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
的极大值为，极小值为.
有三个零点，，解得.故选B.
二、填空题
13.答案：
解析：，所以曲线在点处的切线的斜率为3，所以切线方程为.
14.答案：11
解析：的展开式的通项公式为，令，得，所以含的项是展开式的第11项.
15.答案：
解析：因为，所以，即，得到，所以.又，所以是以2为首项，3为公比的等比数列，所以，故.
16.答案：
解析：设，.由得，抛物线的准线方程为.由抛物线定义得. ，结合，得.将代入得，即，则，，，双曲线的渐近线方程为.
三、解答题
17.解析：(1)中，，
由正弦定理知，，…………………………2分
，
，…………………………4分
，
，
，.…………………………7分
(2)由(1)及得，
，…………………………10分
当且仅当时取等号，故的最小值为.…………………………12分
18.解析：(1)由已知得.
取的中点，连接.
由为的中点知，.…………………………2分
又，故，四边形为平行四边形，于是.
因为平面，平面，
所以平面.…………………………5分
(2)取的中点，连接.由得，
从而，且.
以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
由题意知，，，，，
，，.…………………………8分
设为平面的法向量，则，
即，可取.…………………………10分
于是，
则直线与平面所成角的正弦值为.…………………………12分
19.解析：(1)该社区内的成人每天晚上的平均学习时长为，…………………………2分
而调查总时长为，故.…………………………4分
(2)①根据题意，.
故，
.…………………………7分
②.
当时，，，…………………………9分
.
故.…………………………10分
，
即该社区每天晚上处于最佳学习氛围的时长约为.…………………………12分
20.解析：(1)因为长轴长是短轴长的倍，所以.
因为右焦点的坐标为，所以.…………………………2分
结合，得，.
所以椭圆的标准方程为.…………………………4分
(2)设，.
由得.
则，.…………………………6分
因为线段中点的横坐标为，
所以.
解得，即，代入一元二次方程得，符合题意，
所以直线的方程为.…………………………9分
因为.
点到直线的距离.
所以的面积.…………………………12分
21.解析：(1)当时，，
所以.…………………………2分
令，得或，令，得，
所以的单调递增区间为和，单调递减区间为.……………………4分
(2)因为函数，
所以.…………………………6分
要使函数在上单调递增，
则时，，
即，，即，.
令，，
则，…………………………8分
所以当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以是的极小值点，也是最小值点. …………………………10分
又，
所以在上的最大值为.
所以的取值范围为.…………………………12分
22.解析（1）由消去参数θ，
得曲线C的普通方程为，
即，…………………………2分
根据，，，
得曲线C的极坐标方程，为.…………………………4分
因为直线l的极坐标方程是，
所以直线l的直角坐标方程为.…………………………5分
（2）因为直线与直线l垂直，
所以直线的一个极坐标方程为，…………………………7分
将其代入曲线C的极坐标方程，得，
即，解得，
因为，所以.…………………………10分
23.解析（1）当时，.
因为，所以.…………………………1分
当时，，得；
当时，，得；
当时，，得.
综上，不等式的解集为.…………………………4分
（2）因为函数的图象上至少存在一点落在x轴上方，
所以关于x的不等式有解，
即关于x的不等式有解，
即.…………………………6分
设，
则
所以，…………………………8分
所以，
所以，解得，
故实数a的取值范围是.…………………………10分