2021届北京市高考压轴卷 数学试卷

这是一份2021届北京市高考压轴卷 数学试卷，共11页。

第一部分（选择题 共40分）
一、选择题10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．设复数满足，则等于（ ）
A．B．C．D．
3．在的展开式中，常数项为（ ）
A．B．C．D．
4．已知两条直线m，n和平面，且，则“”是“”的（ ）
A．充分必要条件B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件
5．在平面直角坐标系中，直线的方程为，以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的半径为（ ）
A．B．C．D．
6．在中，，点P是的中点，则（ ）
A．B．4C．D．6
7．已知函数则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
8．将函数（）的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，且，下列说法错误的是（ ）
A．为偶函数
B．
C．当时，在上有3个零点
D．若在上单调递减，则的最大值为9
9．数列是等差数列，是各项均为正数的等比数列，公比，且，则（ ）
A．B．
C．D．与大小不确定
10．形状､节奏､声音或轨迹，这些现象都可以分解成自复制的结构.即相同的形式会按比例逐渐缩小，并无限重复下去，也就是说，在前一个形式中重复出现被缩小的相同形式，依此类推，如图所示，将图1的正三角形的各边都三等分，以每条边中间一段为边再向外做一个正三角形，去掉中间一段得到图2，称为“一次分形”；用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得到图3，称为“二次分形”；依次进行“n次分形”，得到一个周长不小于初始三角形周长100倍的分形图，则n最小值是（ ）(取)
A．15B．16C．17D．18
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．函数的定义域是_________．
12．已知双曲线的一条渐近线过点，则双曲线的离心率为______．
13．从2008年京津城际铁路通车运营开始，高铁在过去儿年里快速发展，并在国民经济和日常生活中扮演着日益重要的角色．下图是2009年至2016年高铁运营总里程数的折线图（图中的数据均是每年12月31日的统计结果）．
根据上述信息，下列结论中正确的是
①2015年这一年，高铁运营里程数超过0.5万公里；
②2013年到2016高铁运营里程平均增长率大于2010到2013高铁运营里程平均增长率；
③从2010年至2016年，新增高铁运营里程数最多的一年是2014年；
④从2010年至2016年，新增高铁运营里程数逐年递增；
其中所有正确结论的序号是____．
14．已知双曲线，则C的渐近线方程是__________；过C的左焦点且与x轴垂直的直线交其渐近线于M，N两点，O为坐标原点，则的面积是_________．
15．已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长为________，它的体积为________.
三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．（本小题13分）
如图，在正方体中，E为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
17．（本小题13分）
在锐角中，角的对边分別为，且．
（1）求角的大小；
（2）再从下面条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的面积．
条件①；条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
18．（本小题14分）
2022年第24届冬季奥林匹克运动会，简称“北京张家口冬奥会”，将在2022年02月04日～2022年02月20日在北京市和张家口市联合举行，这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京将承办所有冰上项目，延庆和张家口将承办所有的雪上项目．下表是截取了2月5日和2月6日两天的赛程表：
说明：“*”代表当日有不是决赛的比赛；数字代表当日有相应数量的决赛．
（1）①若在这两天每天随机观看一个比赛项目，求恰好看到冰壶和冰球的概率；
②若在这两天每天随机观看一场决赛，求两场决赛恰好在同一赛区的概率；
（2）若在2月6日（星期日）的所有决赛中观看三场，记为赛区的个数，求的分布列及期望．
19．（本小题15分）
已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，求证：函数存在极小值；
（3）若对任意的实数，恒成立，求实数a的取值范围．
20．（本小题15分）
已知椭圆过点，且，若直线与椭圆C交于M，N两点，过点M作x轴的垂线分别与直线交于点A，B，其中O为原点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若，求k的值.
21．（本小题15分）
若无穷数列满足：，对于，都有（其中为常数），则称具有性质“”．
（1）若具有性质“”，且，，求；
（2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为的等比数列，，，，判断是否具有性质“”，并说明理由；
（3）设既具有性质“”，又具有性质“”，其中，，求证：具有性质“”．
2022年北京冬奥会赛程表（第七版，发布自2020年11月）
2022年
2月
北京赛区
延庆赛区
张家口赛区
开闭幕式
冰壶
冰球
速度
滑冰
短道
速滑
花
样
滑
冰
高
山
滑
雪
有舵雪橇
钢架雪车
无舵雪橇
跳台滑雪
北欧两项
越野滑雪
单板滑雪
冬季两项
自由式
滑雪
当
日
决
赛
数
5（六）
*
*
1
1
*
1
1
*
1
1
6
6（日）
*
*
1
*
1
1
1
1
1
1
7
2021北京市高考压轴卷 数学试卷答案
1.【 答案】B
2．【 答案】B
3．【 答案】A
4．【 答案】C
5．【 答案】B
6．【 答案】C
7．【 答案】A
8．【 答案】D
9．【 答案】C
10．【 答案】C
11．【 答案】
12．【 答案】
13．【 答案】②③
14．【 答案】
15．【 答案】 4
16．【 答案】（1）证明见解析；（2）．
17．【 答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析．
【 解析】
解（1）因为，由正弦定理．
因为，所以．
因为，所以．
（2）条件①：；
因为，由（1）得，
所以根据余弦定理得，
化简整理为，解得．
所以△的面积．
条件②：
由（1）知，，
根据正弦定理得，
所以．
因为，
所以，
所以△的面积．
18．【 答案】（1）①；②；（2）分布列见解析；期望为．
【 解析】
解：（1）①记“在这两天每天随机观看一个项目，恰好看到冰壶和冰球”为事件．
由表可知，在这两天每天随机观看一个项目，共有种不同情况，
其中恰好看到冰壶和冰球，共有种不同情况，
所以．
②记“在这两天每天随机观看一场决赛，两场决赛恰好在同一赛区”为事件．
由表可知，在这两天每天随机观看一场决赛共有种不同情况，
其中两场决赛恰好在北京赛区共有种不同情况，在张家口赛区共有种不同情况，
所以．
（2）随机变量的所有可能取值为．
根据题意，，
，
．
随机变量的分布列是：
数学期望．
19．【 答案】（1）；（2）证明见解析；（3）．
【 解析】
解：（1）当时，，
所以．
所以．
曲线在点处的切线方程为．
（2）由，得．
令，则．
当时，，当时，，
所以在区间上是减函数，在区间上是增函数．
所以的最小值为．
当时，，．
又在单调递增，
故存在，使得，在区间上，在区间上．
所以，在区间上，在区间上，
所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
故函数存在极小值．
（3）对任意的实数，恒成立，等价于的最小值大于或等于．
①当时，，由（2）得，所以．
所以在上单调递增，
所以的最小值为．
由，得，满足题意．
②当时，由（2）知，在上单调递减，
所以在上，不满足题意．
综上所述，实数a的取值范围是．
20．【 答案】（1）（2）1
【 解析】
（1）椭圆过点，且
，
椭圆C的方程为
（2）如图，
设，
，， ，
，
由得 ，
，
，
，
为的中点，
，
即，
，
，
，
解得.
21．【 答案】（1）；（2）不具有性质“”；答案见解析；（3）证明见解析．
【 解析】
解：（1）因为具有性质“”，所以，．
由，得，由，得，
因为，所以，即；
（2）不具有性质“”．．．
由等比数列的公比为，由，得，故
设等差数列的公差为，由，，
得，由，所以，故．．．
所以．若具有性质“”，则，．
因为，，所以，故不具有性质“”
（3）因为具有性质“”，所以，．①
因为具有性质“”，所以，．②
因为，，所以由①得；由②，得，
所以，即．．．
由①②，得，，
所以，，．．
所以具有性质“”.