初中数学必考经典12个几何模型【合集精编】教案

这是一份初中数学必考经典12个几何模型【合集精编】教案，共231页。教案主要包含了问题探究，深入探究，拓展应用，发现问题，拓展探究，解决问题，探索发现，类比延伸等内容，欢迎下载使用。

中考数学几何模型1：截长补短模型
有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或"差”及其比例关系. 这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解. 所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已知线段相等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系. 所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等. 然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系. 有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解.

例题1 如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，若E在AD上．
求证：（1）BE⊥CE；（2）BC=AB+CD．

【解析】证明：如图所示：
（1）∵BE、CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线，∴∠1=∠2，∠3=∠4，
又∵AB∥CD，∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴∠2+∠3=90°，∴∠BEC=90°，∴BE⊥CE．
（2）在BC上取点F，使BF=BA，连接EF．
在△ABE和△FBE中，，∴△ABE≌△FBE（SAS），∴∠A=∠5．
∵AB∥CD，∴∠A+∠D=180°，∴∠5+∠D=180，
∵∠5+∠6=180°，∴∠6=∠D，
在△CDE和△CFE中，，∴△CDE≌△CFE（AAS），∴CF=CD．
∵BC=BF+CF，∴BC=AB+CD，

变式1 已知△ABC的内角平分线AD交BC于D，∠B=2∠C. 求证：AB+BD=AC.
答案：略

例题2 已知△ABC中，∠A=60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD、CE交于点O，试判断BE，CD，BC的数量关系，并说明理由．

【解析】在BC上取点G使得CG=CD，
∵∠BOC=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣60°）=120°，∴∠BOE=∠COD=60°，
∵在△COD和△COG中，，∴△COD≌△COG（SAS），∴∠COG=∠COD=60°，
∴∠BOG=120°﹣60°=60°=∠BOE，
在△BOE和△BOG中，，∴△BOE≌△BOG（ASA），∴BE=BG，∴BE+CD=BG+CG=BC．

变式2 已知：△ABC中，AB=AC，D为△ABC外一点，且∠ABD=60°，∠ADB=90°﹣∠BDC．试判断线段CD、BD与AB之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．

【解析】AB=BD+CD，
理由是：延长CD到E，使DE=BD，连接AE，
∵∠ADB=90°﹣∠BDC，
∴∠ADE=180°﹣（90°﹣）﹣∠BDC=90°﹣，∴∠ADB=∠ADE，
在△ABD和△AED中，∴△ABD≌△AED（SAS），∴∠E=∠ABD=60°，AB=AE，
∵AB=AC，∴AE=AC，∴△ACE是等边三角形，∴AB=CE=CD+DE=BD+CD．
例题3 如图，在五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求证：DA平分∠CDE

【解析】连接AC，延长DE到F，使EF=BC，连接AF，∵BC+DE=CD，EF+DE=DF，∴CD=FD，
∵∠ABC+∠AED=180°，∠AEF+∠AED=180°，∴∠ABC=∠AEF，
在△ABC和△AEF中，，∴△ABC≌△AEF（SAS），∴AC=AF，
在△ACD和△AFD中，，∴△ACD≌△AFD（SSS）∴∠ADC=∠ADF，即AD平分∠CDE

变式3 如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，M是AB延长线上一点，N是CA延长线上一点，且∠MDN=60°．试探究BM、MN、CN之间的数量关系，并给出证明．

【解析】CN=MN+BM（微信公众号：数学三剑客）
证明：在CN上截取点E，使CE=BM，连接DE，∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB=∠ABC=60°，
又△BDC为等腰三角形，且∠BDC=120°，∴BD=DC，∠DBC=∠BCD=30°，
∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠BCD=∠ECD=90°，
在△MBD和△ECD中，，∴△MBD≌△ECD（SAS），∴MD=DE，∠MDB=∠EDC，
又∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，
∴∠EDN=∠BDC﹣（∠BDN+∠EDC）=∠BDC﹣（∠BDN+∠MDB）=∠BDC﹣∠MDN=120°﹣60°=60°，
∴∠MDN=∠EDN，
在△MND与△END中，，∴△MND≌△END（SAS），∴MN=NE，∴CN=NE+CE=MN+BM
例题4 在四边形ABDE中，C是BD边的中点．
（1）如图（1），若AC平分∠BAE，∠ACE=90°，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为
AE=AB+DE　；（直接写出答案）
（2）如图（2），AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE=120°，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明；
（3）如图（3），BD=8，AB=2，DE=8，若ACE=135°，则线段AE长度的最大值是　10+4．　（直接写出答案）．

【解析】（1）AE=AB+DE；
（2）猜想：AE=AB+DE+BD．

证明：在AE上取点F，使AF=AB，连结CF，在AE上取点G，使EG=ED，连结CG．
∵C是BD边的中点，∴CB=CD=BD．
∵AC平分∠BAE，∴∠BAC=∠FAC．
在△ACB和△ACF中，，∴△ACB≌△ACF（SAS），∴CF=CB，∴∠BCA=∠FCA．
同理可证：CD=CG，∴∠DCE=∠GCE．
∵CB=CD，∴CG=CF
∵∠ACE=120°，
∴∠BCA+∠DCE=180°﹣120°=60°．
∴∠FCA+∠GCE=60°．∴∠FCG=60°．
∴△FGC是等边三角形．∴FG=FC=BD．
∵AE=AF+EG+FG．∴AE=AB+DE+BD．
（3）作B关于AC的对称点F，D关于EC的对称点G，连接AF，FC，CG，EG，FG．

∵C是BD边的中点，∴CB=CD=BD．
∵△ACB≌△ACF（SAS），
∴CF=CB，∴∠BCA=∠FCA．
同理可证：CD=CG，∴∠DCE=∠GCE
∵CB=CD，∴CG=CF
∵∠ACE=135°，
∴∠BCA+∠DCE=180°﹣135°=45°．
∴∠FCA+∠GCE=45°．
∴∠FCG=90°．
∴△FGC是等腰直角三角形．∴FC=BD．
∵BD=8，∴FC=4，∴FG=4．
∵AE=AB+4+DE．
∵AB=2，DE=8，∴AE≤AF+FG+EG=10+4．
∴当A、F、G、E共线时AE的值最大2，最大值为10+4．
故答案为：10+4．
例题5 在△ABC中，∠BAC=90°．
（1）如图1，直线l是BC的垂直平分线，请在图1中画出点A关于直线l的对称点A′，连接A′C，A′B，A′C与AB交于点E；
（2）将图1中的直线A′B沿着EC方向平移，与直线EC交于点D，与直线BC交于点F，过点F作直线AB的垂线，垂足为点H．
①如图2，若点D在线段EC上，请猜想线段FH，DF，AC之间的数量关系，并证明；
②若点D在线段EC的延长线上，直接写出线段FH，DF，AC之间的数量关系．

【解析】（1）如图1
（2）①DF+FH=CA，
证明：如图2，过点F作FG⊥CA于点G，
∵FH⊥BA于H，∠A=90°，FG⊥CA，
∴∠A=∠FGA=∠FHA=90°，
∴四边形HFGA为矩形．
∴FH=AG，FG∥AB，
∴∠GFC=∠EBC，
∵直线l是BC的垂直平分线，
∴BE=EC，
∴∠EBC=∠ECB，
由（1）和平移可知，
∠ECB=∠EBC=∠GFC，
∠FDC=∠A=90°，
∴∠FDC=∠FGC=90°．


∵在△FGC和△CDF中∴△FGC≌△CDF，∴CG=FD，∴DF+FH=GC+AG，即DF+FH=AC；
②解：FH﹣DF=AC，
理由是：过F作FH⊥BA于H，过点C作CG⊥FH于G，
∵FH⊥BA于H，∠BAC=90°，CG⊥FH，
∴∠CAH=∠CGH=∠FHA=90°，
∴四边形ACGH为矩形．
∴AC=GH，CG∥AB，
∴∠GCF=∠EBC，
∵直线l是BC的垂直平分线，∴BE=EC，∴∠EBC=∠ECB=∠FCD，∴∠GCF=∠FCD，
由（1）和平移可知，∠FDC=∠A=90°，∴∠FDC=∠FGC=90°．
∵在△FGC和△CDF中∴△FGC≌△CDF，∴FG=FD，
∵FH﹣FG=GH，∴FH﹣DF=AC．

例题6 如图1，在△ABC中，∠ACB=2∠B，∠BAC的平分线AO交BC于点D，点H为AO上一动点，过点H作直线l⊥AO于H，分别交直线AB、AC、BC、于点N、E、M．
（1）当直线l经过点C时（如图2），求证：BN=CD；
（2）当M是BC中点时，写出CE和CD之间的等量关系，并加以证明；
（3）请直接写出BN、CE、CD之间的等量关系．

【解析】（1）证明：连接ND，如图2所示：
∵AO平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵直线l⊥AO于H，
∴∠AHN=∠AHE=90°，
∴∠ANH=∠AEH，
∴AN=AC，
∴NH=CH，
∴AH是线段NC的中垂线，
∴DN=DC，
∴∠DNH=∠DCH，
∴∠AND=∠ACB，
∵∠AND=∠B+∠BDN，∠ACB=2∠B，∴∠B=∠BDN，∴BN=DN，∴BN=DC；
（2）解：当M是BC中点时，CE和CD之间的等量关系为CD=2CE，理由如下：
过点C作CN'⊥AO交AB于N'，过点C作CG∥AB交直线l于点G，如图3所示：
由（1）得：BN'=CD，AN'=AC，AN=AE，
∴∠ANE=∠AEN，NN'=CE，
∴∠ANE=∠CGE，∠B=∠BCG，
∴∠CGE=∠AEN，
∴CG=CE，
∵M是BC中点，
∴BM=CM，
在△BNM和△CGM中，，∴△BNM≌△CGM（ASA），∴BN=CG，∴BN=CE，
∴CD=BN'=NN'+BN=2CE；
（3）解：BN、CE、CD之间的等量关系：
当点M在线段BC上时，CD=BN+CE；理由如下：
过点C作CN'⊥AO交AB于N'，如图3所示：
由（2）得：NN'=CE，CD=BN'=BN+CE；
当点M在BC的延长线上时，CD=BN﹣CE；理由如下：
过点C作CN'⊥AO交AB于N'，如图4所示：
同（2）得：NN'=CE，CD=BN'=BN﹣CE；
当点M在CB的延长线上时，CD=CE﹣BN；理由如下：
过点C作CN'⊥AO交AB于N'，如图5所示：
同（2）得：NN'=CE，CD=BN'=CE﹣BN．
【练习1】 如图，在△ABC中，∠BAC=60°，AD是∠BAC的平分线，且AC=AB+BD，求∠ABC的度数．

【解析】如图，在AC上截取AE=AB，
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，
在△ABD和△AED中，，∴△ABD≌△AED（SAS），∴BD=DE，∠B=∠AED，
∵AC=AE+CE，AC=AB+BD，∴CE=BD，∴CE=DE，
∴∠C=∠CDE，即∠B=2∠C，
在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C=180°，∴60°+2∠C+∠C=180°，解得∠C=40°，
∴∠ABC=2×40°=80°．

【练习2】 如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F，试探究线段AB与AF，CF之间的数量关系，并证明你的结论.





【练习3】 如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角∠NDM，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．试探究BM、MN、CN之间的数量关系，并加以证明．

【解析】探究结论：BM+CN=NM．
证明：延长AC至E，使CE=BM，连接DE，
∵△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，△ABC是等边三角形，
∴∠BCD=30°，
∴∠ABD=∠ACD=90°，
即∠ABD=∠DCE=90°，
∴在△DCE和△DBM中，∴Rt△DCE≌Rt△DBM（SAS），∴∠BDM=∠CDE，
又∵∠BDC=120°，∠MDN=60°，
∴∠BDM+∠NDC=∠BDC﹣∠MDN=60°，
∴∠CDE+∠NDC=60°，即∠NDE=60°，
∴∠MDN=∠NDE=60°
∴DM=DE（上面已经全等）
在△DMN和△DEN中，∴△DMN≌△DEN（SAS），∴BM+CN=NM．
【练习4】 如图，▱ABCD中，E是BC边的中点，连接AE，F为CD边上一点，且满足∠DFA=2∠BAE．
（1）若∠D=105°，∠DAF=35°．求∠FAE的度数；
（2）求证：AF=CD+CF．

【解析】（1）解：∵∠D=105°，∠DAF=35°，
∴∠DFA=180°﹣∠D﹣∠DAF=40°（三角形内角和定理）．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD（平行四边形对边平行且相等）．
∴∠DFA=∠FAB=40°（两直线平行，内错角相等）；
∵∠DFA=2∠BAE（已知），
∴∠FAB=2∠BAE（等量代换）．即∠FAE+∠BAE=2∠BAE．∴∠FAE=∠BAE；
∴2∠FAE=40°，
∴∠FAE=20°；
（2）证明：在AF上截取AG=AB，连接EG，CG．
∵∠FAE=∠BAE，AE=AE，
∴△AEG≌△AEB．
∴EG=BE，∠B=∠AGE；
又∵E为BC中点，∴CE=BE．
∴EG=EC，∴∠EGC=∠ECG；
∵AB∥CD，∴∠B+∠BCD=180°．
又∵∠AGE+∠EGF=180°，∠AGE=∠B，
∴∠BCF=∠EGF；
又∵∠EGC=∠ECG，
∴∠FGC=∠FCG，∴FG=FC；
又∵AG=AB，AB=CD，
∴AF=AG+GF=AB+FC=CD+FC．
【练习5】 如图所示，在正方形ABCD的边CB的延长线上取点F，连结AF，在AF上取点G，使得AG=AD，连结DG，过点A作AE⊥AF，交DG于点E．
（1）若正方形ABCD的边长为4，且AB=2FB，求FG的长；
（2）求证：AE+BF=AF．

【解析】（1）∵四边形ABCD是正方形，且边长为4，∴∠ABF=90°，AB=AD=4，
∵在Rt△ABF中，AB=2FB，∴FB=×4=2，
∴AF==2，
∵AG=AD=4，∴FG=AF﹣AG=2﹣4；
（2）证明：在BC上截取BM=AE，连接AM，
∵AG=AD，AB=AD，∴AG=AB，
∵AE⊥AF，∴∠EAG=∠ABM=90°，
在△AGE和△BAM中，，∴△AGE≌△BAM（SAS），∴∠AMB=∠AEG，∠BAM=∠AGD，
∵AG=AD，∴∠AGD=∠ADG，∴∠BAM=∠ADG，
∵∠BAD=90°，
∴∠FAB+∠BAE=∠BAE+∠EAD=90°，
∴∠FAB=∠EAD，
∴∠AEG=∠EAD+∠ADG=∠FAB+∠BAM=∠FAM，
∴∠FAM=∠AMB，
∴AF=FM=BF+BM=BF+AE．
【练习6】 如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=120°，连接AC，BD交于点E．
（1）若BC=CD=2，M为线段AC上一点，且AM：CM=1：2，连接BM，求点C到BM的距离．
（2）证明：BC+CD=AC．

【解析】（1）∵AB=AD，∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD=∠ADB=60°．
∵BC=CD，
∴△ABC≌△ADC，
∴∠BAC=∠DAC=30°，∠ACB=∠ACD=60°．
∴∠AEB=∠BEC=90°，∠ABC=90°，
∴CE=BC=1，BE=，AC=2BC=4．
∵AM：CM=1：2，∴AM=，CM=，
∴EM=，在Rt△BEM中由勾股定理得BM==．

过点C作CF⊥BM于点F．∴．
∴，
∴CF=．
即点C到BM的距离．

（2）证明：延长BC到点F，使CF=CB，连接DF，
∵AB=AD，∠ABD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB=60°，AD=BD，
∴BC=CD，
∴CF=CD．
∵∠BCD=120°，
∴∠DCF=180°﹣∠BCD=60°，
∴△DCF是等边三角形，
∴∠CDF=∠ADB=60°，DC=DF，
∴∠ADC=∠BDF，
又∵AD=BD，
∴△ACD≌△BDF，
∴AC=BF=BC+CF，
即AC=BC+CD．
【练习7】 如图，在正方形ABCD中，点P是AB的中点，连接DP，过点B作BE⊥DP交DP的延长线于点E，连接AE，过点A作AF⊥AE交DP于点F，连接BF．
（1）若AE=2，求EF的长；
（2）求证：PF=EP+EB．

【解析】（1）∵四边形ABCD是正方形，且BE⊥DP，AF⊥AE，
∴AB=AD，∠BAD=∠EAF=∠BEF=90°，
∴∠1+∠FAB=∠2+∠FAB=90°，
∴∠1=∠2．
∵∠3+∠5=∠4+∠6，且∠5=∠6，
∴∠3=∠4．
在△AEB和△AFD中，∵，∴△AEB≌△AFD，∴AE=AF=2，
在Rt△EAF中，由勾股定理，得
EF==2．
（2）过点A作AM⊥EF于M，且∠EAF=90°，AE=AF，
∴△EAF为等腰直角三角形．
∴AM=MF=EM．∠AME=∠BEF=90°．
∵点P是AB的中点，
∴AP=BP．
在△AMP和△BEP中，∵，∴△AMP≌△BEP，∴BE=AM，EP=MP，
∴MF=BE，
∴PF=PM+FM=EP+BE．
中考数学几何模型2：共顶点模型
共顶点模型，亦称“手拉手模型”，是指两个顶角相等的等腰或者等边三角形的顶点重合，两个三角形的两条腰分别构成的两个三角形全等或者相似。寻找共顶点旋转模型的步骤如下：
（1）寻找公共的顶点
（2）列出两组相等的边或者对应成比例的边
（3）将两组相等的边分别分散到两个三角形中去，证明全等或相似即可。

两等边三角形 两等腰直角三角形 两任意等腰三角形
常见结论：
连接BD、AE交于点F，连接CF，则有以下结论：
（1）
（2）
（3）
（4）

例题7 以点A为顶点作等腰Rt△ABC，等腰Rt△ADE，其中∠BAC＝∠DAE＝90°，如图1所示放置，使
得一直角边重合，连接BD、CE．
（1）试判断BD、CE的数量关系，并说明理由；
（2）延长BD交CE于点F试求∠BFC的度数；
（3）把两个等腰直角三角形按如图2放置，（1）、（2）中的结论是否仍成立？请说明理由．

【解析】（1）CE＝BD，理由如下：
∵等腰Rt△ABC，等腰Rt△ADE，
∴AE＝AD，AC＝AB，
在△EAC与△DAB中，，∴△EAC≌△DAB（SAS），∴CE＝BD；
（2）∵△EAC≌△DAB，
∴∠ECA＝∠DBA，
∴∠ECA+∠CBF＝∠DBA+∠CBF＝45°，
∴∠ECA+∠CBF+∠DCB＝45°+45°＝90°，
∴∠BFC＝180°﹣90°＝90°；
（3）成立，
∵等腰Rt△ABC，等腰Rt△ADE，
∴AE＝AD，AC＝AB，
在△EAC与△DAB中，，∴△EAC≌△DAB（SAS），∴CE＝BD；
∵△EAC≌△DAB，
∴∠ECA＝∠DBA，
∴∠ECA+∠CBF＝∠DBA+∠CBF＝45°，
∴∠ECA+∠CBF+∠DCB＝45°+45°＝90°，
∴∠BFC＝180°﹣90°＝90°．
变式4 已知：如图，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°．
（1）求证：BD＝AE．
（2）若∠ABD＝∠DAE，AB＝8，AD＝6，求四边形ABED的面积．

【解析】（1）∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴AC＝BC，CD＝CE．
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠BCD＝∠ACE．
在△BCD和△ACE中，，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴BD＝AE；
（2）由（1）得：△BCD≌△ACE，∴∠CBD＝∠CAE，
∵∠CBP+∠BPC＝90°，∠BPC＝∠APD，
∴∠EAC+∠APD＝90°，∴∠AHB＝90°，∴∠BAH+∠ABD＝90°，
∵∠DAE＝∠ABD，∴∠BAH+∠DAE＝90°，即∠BAD＝90°，
∵AB＝8，AD＝6，∴BD＝AE＝10，∴S四边形ABED＝10×10÷2＝50．

例题8 如图，等边△ABC，等边△ADE，等边△DBF分别有公共顶点A，D，且△ADE，△DBF都在
△ADB内，求证：CD与EF互相平分.






变式5 已如图，等边三角形ABC，在AB上取点D，在AC上取点E，使得AD＝AE，作等边三角形PCD，
QAE和RAB，求证：P、Q、R是等边三角形的三个顶点．

【解析】连接BP，∵△ABC和△PCD都为等边三角形，
∴AC＝BC，DC＝PC，∠ACB＝∠DCP＝60°，
∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCP﹣∠DCB，即∠ACD＝∠BCP，∴△ACD≌△BCP（SAS），∴AD＝BP，
又∠RAB+∠BAC+∠QAE＝180°，∴R，A，Q三点共线，
又∠CBP＝∠CAD＝60°，∠RBA+∠ABC+∠CBP＝180°，∴R，B，P三点共线，
又AQ＝AE＝AD＝BP，∴RQ＝RA+AQ＝RB+BP＝RP，
又∠R＝60°，∴△PQR是等边三角形，则P、Q、R是等边三角形的三个顶点．


例题9 【问题探究】（1）如图①已知锐角△ABC，分别以AB、AC为腰，在△ABC的外部作等腰Rt△ABD
和Rt△ACE，连接CD、BE，试猜想CD、BE的大小关系　CD＝BE　；（不必证明）
【深入探究】（2）如图②△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，点D在边BC上（不与B、C重合），连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为　BC＝CE+CD　；（不必证明）
线段AD2，BD2，CD2之间满足的等量关系，并证明你的结论；
【拓展应用】（3）如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°．若BD＝9，CD＝3，求AD的长．



【解析】（1）∵△ABD和△ACE是等腰直角三角形，
∴AB＝AD，AE＝AC，且∠DAB＝∠EAC＝90°，
∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，即∠BAE＝∠DAC，
在△DAC和△BAE中，
∵，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴CD＝BE，
故答案为：CD＝BE．

（2）∵△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
∵，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴CE＝BD，∠ACE＝∠B＝45°，
又∵BC＝BD+CD，∠ACE＝45°，
∴BC＝CE+CD，∠DCE＝90°，
∴CD2+CE2＝DE2，
∵BD＝CE，DE＝AD，
∴CD2+BD2＝2AD2．
故答案为：BC＝CE+CD．
例题10 如图1，在△ABC中，BC＝4，以线段AB为边作△ABD，使得AD＝BD，连接DC，再以DC为边作△CDE，使得DC＝DE，∠CDE＝∠ADB＝α．
（1）如图2，当∠ABC＝45°且α＝90°时，用等式表示线段AD，DE之间的数量关系；
（2）将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，连接BF，AF．
①若α＝90°，依题意补全图3，求线段AF的长；
②请直接写出线段AF的长（用含α的式子表示）．

【解析】（1）AD+DE＝4，
理由是：如图1，∵∠ADB＝∠EDC＝∠α＝90°，AD＝BD，DC＝DE，
∴AD+DE＝BC＝4；
（2）①补全图形，如图2，
设DE与BC相交于点H，连接AE，交BC于点G，
∵∠ADB＝∠CDE＝90°，∴∠ADE＝∠BDC，
在△ADE与△BDC中，，∴△ADE≌△BDC，
∴AE＝BC，∠AED＝∠BCD．
∵DE与BC相交于点H，∴∠GHE＝∠DHC，
∴∠EGH＝∠EDC＝90°，
∵线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，
∴EF＝CB＝4，EF∥CB，
∴AE＝EF，
∵CB∥EF，
∴∠AEF＝∠EGH＝90°，
∵AE＝EF，∠AEF＝90°，
∴∠AFE＝45°，∴AF＝＝4；
1. 如图，在等边△ABC与等边△DCE中，B，C，E三点共线，BD交AC于点G，AE交DC于点H，连
接GH. 求证：GH∥BE.

2. 如图，在正方形ABCD内取一点E，连接AE，BE，在△ABE外分别以AE，BE为边作正方形AEMN和EBFG，连接NC，AF，求证：NC∥AF.



3. 如图，在等腰Rt△ABC与等腰Rt△DCE中，∠ABC=∠DCE=90°，连接AD，BE，求证：
AB2+DE2=AD2+BE2.


4. 如图，在△ABC中，AB=AC=10，∠BAC=45°，以BC为腰在△ABC外部作等腰Rt△BCD，∠BCD=90°，连接AD，求AD的长.


5. 【发现问题】如图1，已知△ABC，以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE．请你以
A为直角顶点、AC为腰，向△ABC外作等腰直角△ACD（不写作法，保留作图痕迹）．连接BD、CE．那
BD与CE的数量关系是　BD＝CE　．
【拓展探究】如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD，连接BD、CE，试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由．
【解决问题】如图3，有一个四边形场地ABCD，∠ADC＝60°，BC＝15，AB＝8，AD＝CD，求BD的最大值．

【解析】【发现问题】
解：延长CA到M，作∠MAC的平分线AN，
在AN上截取AD＝AC，连接CD，即可得到等腰直角△ACD；
连接BD、CE，如图1所示：
∵△ABE与△ACD都是等腰直角三角形，
∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，
∴∠BAD＝∠EAC，
在△BAD和△EAC中，，
∴△BAD≌△EAC（SAS），
∴BD＝CE，
故答案为：BD＝CE；
【拓展探究】
解：BD＝CE；理由如下：
∵四边形AEFB与四边形ACGD都是正方形，
∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，
∴∠BAD＝∠EAC，
在△BAD和△EAC中，，
∴△BAD≌△EAC（SAS），
∴BD＝CE；
【解决问题】
解：以AB为边向外作等边三角形ABE，连接CE，如图3所示：
则∠BAE＝60°，BE＝AB＝AE＝8，
∵AD＝CD，∠ADC＝60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠CAD＝60°，AC＝AD，
∴∠CAD+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，
即∠BAD＝∠EAC，
在△BAD和△EAC中，，
∴△BAD≌△EAC（SAS），
∴BD＝CE；
当C、B、E三点共线时，CE最大＝BC+BE＝15+8＝23，
∴BD的最大值为23．

6. 已知线段AB⊥直线l于点B，点D在直线l上，分别以AB、AD为边作等边三角形ABC和等边三角形ADE，直线CE交直线l于点F．
（1）当点F在线段BD上时，如图①，求证：DF＝CE﹣CF；
（2）当点F在线段BD的延长线上时，如图②；当点F在线段DB的延长线上时，如图③，请分别写出线段DF、CE、CF之间的数量关系，在图②、图③中选一个进行证明；
（3）在（1）、（2）的条件下，若BD＝2BF，EF＝6，则CF＝　2或6　．

【解析】（1）证明：如图①中，设AD交EF于O．
∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴CE＝BD，∴∠AEO＝∠FDO，
∵∠AOE＝∠FOD，
∴∠OFD＝∠OAE＝60°，
∵AB⊥BC，∴∠ABD＝90°，∵∠ABC＝60°，
∴∠CBF＝30°，
∵∠OFD＝∠CBF+∠BCF，
∴∠FBC＝∠FCB＝30°，
∴CF＝BF，
∴DF＝CE﹣CF
（2）如图图②中，结论：DF＝CF﹣CE．图③中，结论：DF＝CE+CF；
如图②中，∵△ABD≌△ACE，（微信公众号：数学三剑客）
∴BD＝EC，∠ADB＝∠AEC，
∵∠ADB+∠ADF＝180°，
∴∠AEF+∠ADF＝180°，
∴∠DAE+∠DFE＝180°，
∴∠DFE＝120°，
∴∠FBC＝∠FCB＝30°，
∴FB＝FC，
∴DF＝BF﹣BD＝CF﹣CE．
（3）①如图1中，∵BD＝2DF，设BF＝DF＝CF＝x，
∵EF＝6，BD＝EC，∴3x＝6，∴x＝2∴CF＝2．
②如图③中，设BF＝CF＝x，则BD＝2x，
∵BD＝EC，EF＝6，∴6+x＝2x，∴x＝6，∴CF＝6，
综上所述，CF＝2或6．
故答案为2或6．中考数学几何模型3：对角互补模型
共顶点模型，即四边形或构成的几何图形中，相对的角互补。主要：含90°的对角互补，含120°的对角互补，两种类型，种类不同，得出的个别结论会有所区别。解决此类题型常用到的辅助线画法主要有两种：旋转法和过顶点作两垂线.
类型一：含90°的对角互补模型
（1）如图，∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB，则有以下结论：
；
；

作法1 作法2

（2）如图，∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB，当∠DCE的一边与AO的延长线交于点D时，则有以下结论：
；
；

作法1 作法2

类型二：含120°的对角互补模型
（1）如图，∠AOB=2∠DCE=120°，OC平分∠AOB，则有以下结论：
；
；

作法1 作法2


（2）如图，∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB，当∠DCE的一边与AO的延长线交于点D时，则有以下结论：
；
；

作法1 作法2

例题1. 如图，正方形ABCD与正方形OMNP的边长均为10，点O是正方形ABCD的中心，正方形OMNP绕O点旋转，证明：无论正方形OMNP旋转到何种位置，这两个正方形重叠部分的面积总是一个定值，并求这个定值．

【解析】当OP∥AD或OP经过C点，
重叠部分的面积显然为正方形的面积的，即25，

当OP在如图位置时，过O分别作CD，BC的垂线垂足分别为E、F，
如图在Rt△OEG与Rt△OFH中，∠EOG＝∠HOF，OE＝OF＝5，
∴△OEG≌△OFH，
∴S四边形OHCG＝S四边形OECF＝25，即两个正方形重叠部分的面积为25．

变式、角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF＝90°，OE、DA延长线交于点M，
OF、AB的延长线交于点N，连接MN．
（1）求证：OM＝ON．
（2）若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．

【解析】（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OB，∠DAO＝45°，∠OBA＝45°，
∴∠OAM＝∠OBN＝135°，
∵∠EOF＝90°，∠AOB＝90°，
∴∠AOM＝∠BON，
∴△OAM≌△OBN（ASA），
∴OM＝ON；

例题2. 四边形ABCD被对角线BD分为等腰直角△ABD和直角△CBD，其中∠A和∠C都是直角，另一条
对角线AC的长度为2，求四边形ABCD的面积．
【解析】将△ABC绕点A旋转90°，使B与D重合，C到C′点，
则有∠CDC′＝∠ADC+∠ADC′＝∠ADC+∠ABC＝180°，
所以C、D、C′在同一直线上，则ACDC′是三角形，
又因为AC＝AC′，所以△ACC′是等腰直角三角形，
在△ABC和△ADC′中

∴△ABC≌△ADC′（SAS），
∴四边形ABCD的面积等于等腰直角三角形ACC′的面积，
所以S四边形ABCD＝S△ACC′＝×2×2＝2．

变式、如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，AB=AD，若这个四边形的面积为12，则BC+CD=_______.

答案：

例题3. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，Rt△MPN，∠MPN＝90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE＝2PF时，AP＝　3　．

【解析】如图作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．
∵∠PQB＝∠QBR＝∠BRP＝90°，
∴四边形PQBR是矩形，
∴∠QPR＝90°＝∠MPN，
∴∠QPE＝∠RPF，
∴△QPE∽△RPF，
∴＝＝2，
∴PQ＝2PR＝2BQ，
∵PQ∥BC，
∴AQ：QP：AP＝AB：BC：AC＝3：4：5，设PQ＝4x，则AQ＝3x，AP＝5x，BQ＝2x，
∴2x+3x＝3，
∴x＝，
∴AP＝5x＝3．
故答案为3．

变式、如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在对角线AC上，连接BE，作EF⊥BE，垂足为E，直线EF交线段DC于点F，则＝（　　）

A． B． C． D．
【解析】如图，连接BF，取BF的中点O，连接OE，OC．
∵四边形ABCD是矩形，EF⊥BE，
∴∠BEF＝∠BCF＝90°，AB＝CD＝3，BC＝AD＝5，
∵OB＝OF，
∴OE＝OB＝OF＝OC，
∴B，C，F，E四点共圆，
∴∠EBF＝∠ECF，
∴tan∠EBF＝tan∠ACD，
∴＝＝，
故选：B．【本题两种方法解答，过E作两垂线亦可】

例题4. 用两个全等且边长为4的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD．把一个60°角的三角尺与
这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合，将三角尺绕点A按逆时
针方向旋转．
（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F时，（如图1），通过观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论？（直接写出结论，不用证明）；
（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD的延长线相交于点E，F时（如图2），你在（1）中得到的结论还成立吗？说明理由；
（3）在上述情况中，△AEC的面积是否会等于？如果能，求BE的长；如果不能，请说明理由．

【解析】（1）BE＝CF．
证明：在△ABE和△ACF中，
∵∠BAE+∠EAC＝∠CAF+∠EAC＝60°，
∴∠BAE＝∠CAF．
∵AB＝AC，∠B＝∠ACF＝60°，
∴△ABE≌△ACF（ASA）．
∴BE＝CF；
（3）能．
△AEC的CE边上的高为等边△ABC的高，为2，
∵△AEC的面积等于，
∴底边CE＝2，
∴BE＝6或2．


变式、我们规定：横、纵坐标相等的点叫做“完美点”．
（1）若点A（x，y）是“完美点”，且满足x+y＝4，求点A的坐标；
（2）如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A坐标为（0，4），连接OB，E点从O向B运动，速度为2个单位/秒，到B点时运动停止，设运动时间为t．
①不管t为何值，E点总是“完美点”；
②如图2，连接AE，过E点作PQ⊥x轴分别交AB、OC于P、Q两点，过点E作EF⊥AE交x轴于点F，问：当E点运动时，四边形AFQP的面积是否发生变化？若不改变，求出面积的值；若改变，请说明理由．

【解析】解（1）∵点A（x，y）是“完美点”
∴x＝y
∵x+y＝4
∴x＝2，y＝2
∴A点坐标（2，2）
（2）①∵四边形OABC是正方形，
点A坐标为（0，4），
∴AO＝AB＝BC＝4
∴B（4，4）
设直线OB解析式y＝kx过B点
∴4＝4k
k＝1
∴直线OB解析式y＝x
设点E坐标（x，y）
∵点E在直线OB上移动
∴x＝y
∴不管t为何值，E点总是“完美点”．
例题5. 已知，点P是∠MON的平分线上的一动点，射线PA交射线OM于点A，将射线PA绕点P逆时针旋转交射线ON于点B，且使∠APB+∠MON＝180°．
（1）利用图1，求证：PA＝PB；
（2）如图2，若点C是AB与OP的交点，当S△POB＝3S△PCB时，求PB与PC的比值；
（3）若∠MON＝60°，OB＝2，射线AP交ON于点D，且满足且∠PBD＝∠ABO，请借助图3补全图形，并求OP的长．

【解析】（1）作PE⊥OM，PF⊥ON，垂足为E、F
∵四边形OEPF中，∠OEP＝∠OFP＝90°，
∴∠EPF+∠MON＝180°，已知∠APB+∠MON＝180°，
∴∠EPF＝∠APB，即∠EPA+∠APF＝∠APF+∠FPB，
∴∠EPA＝∠FPB，
由角平分线的性质，得PE＝PF，
∴△EPA≌△FPB，即PA＝PB；
（2）∵S△POB＝3S△PCB，
∴PO＝3PC，
由（1）可知△PAB为等腰三角形，则
∠PBC＝（180°﹣∠APB）＝∠MON＝∠BOP，
又∵∠BPC＝∠OPB（公共角），
∴△PBC∽△POB，
∴＝，
即PB2＝PO•PC＝3PC2，
∴＝


练习1. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE，连结DE、DF、EF，在此运动变化的过程中，下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形；③四边形CDFE的面积保持不变；④DE长度的最小值为4；⑤△CDE面积的最大值为8，其中正确的结论是______________.

答案：①②③

练习2. 如图，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，求BE的长.

答案：
练习3. 如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC，BD的交点，点E在CD上，且DE＝2CE，连接
BE．过点C作CF⊥BE，垂足为点F，连接OF．求：
（1）CF的长；
（2）OF的长．

【解析】（1）如图，在BE上截取BG＝CF，连接OG，
∵RT△BCE中，CF⊥BE，
∴∠EBC＝∠ECF，
∵∠OBC＝∠OCD＝45°，
∴∠OBG＝∠OCF，
在△OBG与△OCF中，
，
∴△OBG≌△OCF（SAS），
∴OG＝OF，∠BOG＝∠COF，
∴OG⊥OF，
在RT△BCE中，BC＝DC＝6，DE＝2EC，
∴EC＝2，
∴BE＝＝＝2，
∵BC2＝BF•BE，
则62＝BF•2解得：BF＝，
∴EF＝BE﹣BF＝，
∵CF2＝BF•EF，
∴CF＝；
练习4. 如图①，∠QPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠QPN＝α，将∠QPN绕点P旋转，旋转过程中∠QPN两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E和点F（点F与点C，D不重合）．

（1）如图①，当α＝90°时，DE，DF，AD之间满足的数量关系是　DE+DF＝AD　；
（2）如图②，将图①中的正方形ABCD改为∠ADC＝120°的菱形，其他条件不变，当α＝60°时，（1）中的结论变为DE+DF＝AD，请给出证明；
（3）在（2）的条件下，若旋转过程中∠QPN的边PQ与射线AD交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，DE，DF，AD之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明．
【解析】（1）正方形ABCD的对角线AC，BD交于点P，
∴PA＝PD，∠PAE＝∠PDF＝45°，
∵∠APE+∠EPD＝∠DPF+∠EPD＝90°，∴∠APE＝∠DPF，
在△APE和△DPF中∴△APE≌△DPF（ASA），
∴AE＝DF，∴DE+DF＝AD；
（2）如图②，取AD的中点M，连接PM，
∵四边形ABCD为∠ADC＝120°的菱形，
∴BD＝AD，∠DAP＝30°，∠ADP＝∠CDP＝60°，
∴△MDP是等边三角形，
∴PM＝PD，∠PME＝∠PDF＝60°，
∵∠PAM＝30°，
∴∠MPD＝60°，
∵∠QPN＝60°，
∴∠MPE＝∠FPD，
在△MPE和△DPF中，∴△MPE≌△DPF（ASA）∴ME＝DF，∴DE+DF＝AD；

练习5. “如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．”这里，根据已学的相似三角形的知识，易证：＝．在图1这个基本图形的基础上，继续添加条件“如图2，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F，设＝．”
（1）探究发现：如图②，若m＝n，点E在线段AC上，则＝　1　；
（2）数学思考：
①如图3，若点E在线段AC上，则＝　　（用含m，n的代数式表示）；
②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图4的情形给出证明；
（3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长．

【解析】（1）当m＝n时，即：BC＝AC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠DCB+∠ABC＝90°，
∴∠A＝∠DCB，
∵∠FDE＝∠ADC＝90°，
∴∠FDE﹣∠CDE＝∠ADC﹣∠CDE，
即∠ADE＝∠CDF，
∴△ADE∽△CDF，∴＝，
∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，
∴△ADC∽△CDB，
∴＝＝1，∴＝1，
故答案为1．
（2）①∵∠ACB＝90°，

∴∠A+∠ABC＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠DCB+∠ABC＝90°，
∴∠A＝∠DCB，
∵∠FDE＝∠ADC＝90°，
∴∠FDE﹣∠CDE＝∠ADC﹣∠CDE，
即∠ADE＝∠CDF，
∴△ADE∽△CDF，∴＝，
∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，
∴△ADC∽△CDB，
∴＝＝，∴＝，
故答案为．

（3）由（2）有，△ADE∽△CDF，
∵＝＝，
∴＝＝＝，
∴CF＝2AE，
在Rt△DEF中，DE＝2，DF＝4，
∴EF＝＝＝2，
①当E在线段AC上时，在Rt△CEF中，
CF＝2AE＝2（AC﹣CE）＝2（﹣CE），EF＝2，
根据勾股定理得，CE2+CF2＝EF2，
∴CE2+[2（﹣CE）]2＝40
∴CE＝2，或CE＝﹣（舍）
而AC＝＜CE，
∴此种情况不存在，

练习6.（2019·贵阳适应性）如图①，已知AC=BC，AC⊥BC，直线MN经过点B，过点A作AD⊥MN，垂足为D，连接CD．
（1）动手操作：根据题意，请利用尺规将图①补充完整；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）探索证明：在补充完成的图①中，猜想CD、BD与AD之间的数量关系，并说明理由；
（3）探索拓广：一天小明一家在某公园游玩时走散了，电话联系后得知，三人的位置如图②，爸爸在A处，妈妈在C处，小明在D处，B为公园大门口，若B、D在直线MN上，且AC⊥BC，AD⊥MN，AC=BC，AD=100m，CD=40m，求出小明到公园门口的距离BD的长度.



中考数学几何模型4：中点模型
中点模型，提到中点，我们需要想到关于中点的以下知识点：①三角形中线平分三角形面积，等分点等分面积；②等腰三角形“三线合一”的性质；③直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；④三角形中位线平行且等于第三边的一半. 这四点使我们已经深入学习过的有关中点运用的知识点，今天重点在结合四点的基础上探究另外一种中点模型，我们简称“平中对模型”，即“平行线+中点+对顶角”构造全等或相似模型，与倍长中线法相通。

例题1. 如图，在△ABC的两边AB、AC向形外作正方形ABDE和ACFG，取BE、BC、CG的中点M、Q、
N．求证：MQ＝QN．

【解析】证明：连接BG和CE交于O，
∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形，
∴AB＝AE，AC＝AG，∠EAB＝∠GAC，
∴∠EAB+∠EAG＝∠GAC+∠EAG，∴∠GAB＝∠EAC，
在△BAG和△EAC中，，∴△BAG≌△EAC（SAS），∴BG＝CE．
∵BE、BC、CG的中点M、Q、N，∴MQ＝CE，QN＝BG，
∵BG＝CE，∴QN＝MQ．

练习1.如图，在△ACE中，点B是AC中点，点D是CE的中点，点M是AE中点，四边形BCGF和四边
形CDHN都是正方形．求证：△FMH是等腰直角三角形．

【解析】证明：连接MB、MD，设FM与AC交于点P，
∵B、D、M分别是AC、CE、AE的中点，四边形BCGF和四边形CDHN都是正方形，
∴MD∥AC，且MD＝AC＝BC＝BF；
MB∥CE，且MB＝CE＝CD＝DH，
∴四边形BCDM是平行四边形，
∴∠CBM＝∠CDM，
又∵∠FBP＝∠HDC，
∴∠FBM＝∠MDH，
在△FBM和△MDH中，
∴△FBM≌△MDH（SAS），
∴FM＝MH，且∠FMB＝∠MHD，∠BFM＝∠DMH．
∴∠FMB+∠HMD＝180°﹣∠FBM，
∵BM∥CE，
∴∠AMB＝∠E，
同理：∠DME＝∠A．
∴∠AMB+∠DME＝∠A+∠AMB＝∠CBM，
∴∠FMH＝180°﹣（∠AMB+∠DME）﹣（∠FMB+∠HMD）
＝180°﹣∠CBM﹣（180°﹣∠FBM）
＝∠FBC＝90°，
∴△FMH是等腰直角三角形．

例题2. 如图，已知BD、CE分别是△ABC的AC、AB边上的高，G、F分别是BC、DE的中点．求证：GF⊥DE．

【解析】证明：如图，连接EG、DG，
∵BD、CE分别是△ABC的AC、AB边上的高，点G是BC的中点，
∴DG＝EG＝BC，∵点F是DE的中点，∴GF⊥DE．

练习2.如图，在△ABC中内取一点，使∠PBA＝∠PCA，作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，求证：DE的垂直平分线必过BC的中点M．

【解析】取BC，PB，PC的中点M，N，F，连接MN，MF，E，DN，DM，EM，
∴MF＝BP，MN＝PC，MF∥PN，MN∥PF，∴四边形NMFP是平行四边形，
∴∠PNM＝∠PFM，
∵PD⊥AB，PE⊥AC，∴DN＝PB，EF＝PC，
∴DN＝MF，MN＝EF，
∵∠DNP＝2∠ABP，∠PFE＝2∠ACD，∠ABP＝∠ACD，
∴∠DNP＝∠PFE，∴∠DNM＝∠EFM，
在△DNM与△MFE中，，∴△DNM≌△MFE，∴DM＝EM，
∴△DME是等腰三角形，
∴底边DE的垂直平分线（过M点）必是BC的中点M．
例题3. 已知：AD为△ABC的中线，AE是△ABD的中线，AB＝BD，求证：AC＝2AE．（两种证法）

【解析】（1）解：∵AD为△ABC的中线，AE是△ABD的中线，
∴BD＝CD，BE＝DE，
∴BE＝BD，BD＝BC；
又∵AB＝BD，
∴BE＝AB，AB＝BC，
∴＝＝，∠B＝∠B，
∴△ABE∽△CBA；
（2）证明：
∵由（1）知，△ABE∽△CBA，
∴＝＝，
∴AC＝2AE．
练习3. 如图①，点O为线段MN的中点，PQ与MN相交于点O，且PM∥NQ，可证△PMO≌△QNO．根据上
述结论完成下列探究活动：
探究一：如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE＝∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F．试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论；
探究二：如图③，DE、BC相交于点E，BA交DE于点A，且BE：EC＝1：2，∠BAE＝∠EDF，CF∥AB．若AB＝4，CF＝2，求DF的长度．

【解析】（1）AB＝AF+CF．
如图2，分别延长DC、AE，交于G点，
根据图①得△ABE≌△GCE，∴AB＝CG，
又AB∥DC，∴∠BAE＝∠G
而∠BAE＝∠EAF，∴∠G＝∠EAF，∴AF＝GF，
∴AB＝CG＝GF+CF＝AF+CF；

（2）如图3，分别延长CF、AE，交于G点，
根据CF∥AB得△ABE∽△GCE，∴AB：CG＝BE：CE，
而BE：EC＝1：2，AB＝4，∴CG＝8，
又AB∥FC，∴∠BAE＝∠G，
而∠BAE＝∠EDF，∴∠G＝∠EDF，∴DF＝GF，
而CF＝2，∴DF＝CG﹣CF＝8﹣2＝6．
例题4. 如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1，点F，G分别在边BC，CD上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为　　．

【解析】方法1、延长GE交AB于点O，作PH⊥OE于点H．
则PH∥AB．
∵P是AE的中点，
∴PH是△AOE的中位线，
∴PH＝OA＝（3﹣1）＝1．
∵直角△AOE中，∠OAE＝45°，
∴△AOE是等腰直角三角形，即OA＝OE＝2，
同理△PHE中，HE＝PH＝1．
∴HG＝HE+EG＝1+1＝2．
∴在Rt△PHG中，
PG＝＝＝．
故答案是：．
练习4. 如图，过边长为3的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为　　．

【解析】过P作PF∥BC交AC于F，
∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，
∴∠PFD＝∠QCD，∠APF＝∠B＝60°，∠AFP＝∠ACB＝60°，∠A＝60°，
∴△APF是等边三角形，∴AP＝PF＝AF，
∵PE⊥AC，∴AE＝EF，
∵AP＝PF，AP＝CQ，∴PF＝CQ，
在△PFD和△QCD中，
∴△PFD≌△QCD（AAS），∴FD＝CD，
∵AE＝EF，∴EF+FD＝AE+CD，
∴AE+CD＝DE＝AC，
∵AC＝3，∴DE＝，
故答案为．
例题5. 如图1，在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG.易证：EG=CG且EG⊥CG.
（1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图2所示，则线段EG和CG有怎样的数量和位置关系？请直接写出你的猜想.
（2）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图3所示，则线段EG和CG又有怎样的数量和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明.
（3）将△BEF绕点B旋转一个任意角度α，如图4所示，则线段EG和CG有怎样的数量和位置关系？请直接写出结论.

解答：第（1）（2）略
（3）解法一：如图，延长EG至点H，使GH=EG.连接DH，CE，CH.
因为点G是DF的中点，所以GF=GD.根据SAS易证△GEF≌△GHD
EF=HD且∠GEF=∠GHD，所以EF//DH.
分别延长HD与EB交于点K，HD的延长线交BC于点M.如下图：
因为EB⊥EF，而EF//DH，所以EK⊥HK，即∠BKM=∠MCD=90°.
又∠BMK=∠CMD.根据三角形的内角和，可得∠KBM=∠MDC.
所以∠EBC=∠HDC.又EB=HD，BC=DC
所以△EBC≌△HDC.所以CE=CB且∠ECB=∠HCD.
所以∠ECB=90°，即△BCE是等腰直角三角形，
又因为点G是斜边EB的中点，
所以CG⊥GE且CG=GE.
练习5. 请阅读下列材料：
问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连结PG、PC．若∠ABC＝∠BEF＝60°，探究PG与PC的位置关系及数量关系．
小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．
请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）直接写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及的值；
（2）如图2，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连结PG、PC，探究PG与PC的位置关系及数量关系；
（3）将图2中的正方形BEFG绕点B顺时针旋转，原问题中的其他条件不变（如图3），你在（2）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．

【解析】（1）PG⊥PC，＝；
理由如下：延长GP交DC于H，如图1所示：
∵四边形ABCD和BEFG均为菱形，
∴DC＝BC，GF＝BG，DC∥AE∥GF，
∴∠HDP＝∠GFP，∠DHP＝∠FGP，
∵P是线段DF的中点，
∴DP＝FP，
在△DHP和△FGP中，
，
∴△DHP≌△FGP（AAS），
∴HP＝GP，DH＝FG＝BG，
∴CH＝CG，
∴CP⊥HG，即PG⊥PC，
∵∠ABC═60°，∴∠HCG＝180°﹣60°＝120°，
∴∠CGP＝（180°﹣120°）＝30°，
∴＝；
（3）在（2）中得到的两个结论不发生变化；理由如下：
过点F作FH∥DC交CP的延长线于H，交CB的延长线于N，交BE于M，
连接CG、HG，如图3所示：
则∠CDP＝∠PFH，
在△CDP和△FHP中，
，∴△CDP≌△FHP（ASA），
∴CP＝PH，CD＝FH，
∵∠BNM＝∠MEF＝90°，∠BMN＝∠EMF，
∴∠NBM＝∠EFM，
∵∠CBG+∠NBM＝180°﹣90°＝90°，
∠EFM+∠MFG＝90°，
∴∠CBG＝∠MFG，
在△CBG和△FHG中，
，
∴△CBG≌△FHG（SAS），
∴CG＝GH，∠BGC＝∠FGH，
∴∠CGH＝∠BGC﹣∠HGB＝∠FGH﹣∠HGB＝∠BGF＝90°，
∴△CGH是等腰直角三角形，
∴PG＝PC，且PG⊥PC．
巩固1. 如图所示，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB＝8，MN＝3，则AC的长是（　　）

A．12 B．14 C．16 D．18
【解析】延长BN交AC于D，
在△ANB和△AND中，，∴△ANB≌△AND，∴AD＝AB＝8，BN＝ND，
∵M是△ABC的边BC的中点，∴DC＝2MN＝6，∴AC＝AD+CD＝14，故选：B．

巩固2. 如图，正方形ABCD中，E为CD的中点，F是DA的中点，连接BE，与CF相交于P，求证：AP＝AB．

【解析】证明：延长CF、BA交于点M，
∵点E、F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点，
在△BCE与△CDF中，，∴△BCE≌△CDF（SAS），∴∠CBE＝∠DCF．
∵∠DCF+∠BCP＝90°，∴∠CBE+∠BCP＝90°，
∴∠BPM＝∠CBE+∠BCP＝90°．
在△CDF与△AMF中，，∴△CDF≌△AMF（AAS），∴CD＝AM，
∵CD＝AB，∴AB＝AM，∴PA是直角△BPM斜边BM上的中线，
∴AP＝BM，
即AP＝AB．
巩固3. 如图，分别以△ABC的边AB、AC为斜边向外侧构造等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，M是BC中点．求证：DM＝ME，DM⊥ME．

【解析】证明：如图，取AB、AC的中点F、G，连接DF，MF，EG，MG，
∴AF＝，AG＝，
∵△ABD和△AEC是等腰直角三角形，
∴DF⊥AB，DF＝，EG⊥AC，EG＝，
∴∠AFD＝∠AGE＝90°，DF＝AF，GE＝AG．
∵M是BC的中点，
∴MF∥AC，MG∥AB，
∴四边形AFMG是平行四边形，
∴AG＝MF，MG＝AF，∠AFM＝∠AGM．
∴MF＝GE，DF＝MG，∠AFM+∠AFD＝∠AGM+∠AGE，
∴∠DFM＝∠MGE．
在△DFM和△MGE中，，∴△DFM≌△MGE（SAS），
∴DM＝ME；∠MDF＝∠GME，
∵∠MDF+∠BFD+∠BFM+∠DMF＝180°，
∠BFD＝90°，
∴∠MDF+∠BFM+∠DMF＝90°，
∵AB∥MG，
∴∠BFM＝∠GMF，
∴∠GME+∠GMF+∠DMF＝90°，
即∠DME＝90°，
∴DM⊥ME．
巩固4. 已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，点F为BE中点，连接DF、CF．
（1）如图1，当点D在AB上，点E在AC上，请判断此时线段DF、CF的数量关系和位置关系，并说明理由．
（2）如图2，将△ADE绕点A逆时针旋转45°时，请你判断此时（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由．
（3）如图3，将△ADE绕点A逆时针旋转90°时，若AD＝2，AC＝3，求此时△FBC中CF边上的高的长．（直接写出结果）

【解析】（1）DF＝CF，且DF⊥CF，理由如下：
∵∠ACB＝∠ADE＝90°，点F为BE中点，
∴∠BDE＝90°，CF＝BE＝EF＝BF，
∴DF＝BE＝EF＝BF，
∴DF＝CF．
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°
∵BF＝DF，∴∠DBF＝∠BDF，
∵∠DFE＝∠ABE+∠BDF，∴∠DFE＝2∠DBF，
同理得：∠CFE＝2∠CBF，
∴∠DFE+∠EFC＝2∠DBF+2∠CBF＝2∠ABC＝90°，
∴DF＝CF，且DF⊥CF．

（2）（1）中的结论仍然成立．理由如下：
延长DF交BC于点G．如图2所示：
∵∠ADE＝∠ACB＝90°，∴DE∥BC，
∴∠DEF＝∠GBF，∠EDF＝∠BGF．
∵F为BE中点，∴EF＝BF．
在△DEF和△GBF中，，∴△DEF≌△GBF（AAS）．∴DE＝GB，DF＝GF．
∵AD＝DE，∴AD＝GB，
∵AC＝BC，
∴AC﹣AD＝BC﹣GB，
∴DC＝GC．
∵∠ACB＝90°，
∴△DCG是等腰直角三角形，
∵DF＝GF．
∴DF＝CF，DF⊥CF．

（3）延长DF交BA于点H，如图3所示：
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，AD＝DE．
∴∠AED＝∠ABC＝45°，
∵由旋转可以得出，∠CAE＝∠BAD＝90°，
∵AE∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∴∠DEF＝∠HBF．
∵F是BE的中点，
∴EF＝BF，
∴△DEF≌△HBF，
∴ED＝HB，
∵BC＝AC＝3，∠ACB＝90°，
∴AB＝AC＝6，
∵AD＝2，
∴ED＝BH＝2，
∴AH＝4，
巩固5. 已知：△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，AB＝BC，AD＝DE，按图1放置，使点E在BC上，取CE的中点F，连接DF、BF．
（1）探索DF、BF的数量关系和位置关系，并证明；
（2）将图1中△ADE绕A点顺时针旋转45°，再连接CE，取CE的中点F（如图2），问（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论；
（3）将图1中△ADE绕A点转动任意角度（旋转角在0°到90°之间），再连接CE，取CE的中点F（如图3），问（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论．

【解析】（1）DF＝BF且DF⊥BF．（1分）
证明：如图1：
∵∠ABC＝∠ADE＝90°，AB＝BC，AD＝DE，
∴∠CDE＝90°，∠AED＝∠ACB＝45°，
∵F为CE的中点，∴DF＝EF＝CF＝BF，∴DF＝BF
∴∠DFE＝2∠DCF，∠BFE＝2∠BCF，
∴∠EFD+∠EFB＝2∠DCB＝90°，
即：∠DFB＝90°，∴DF⊥BF
（2）仍然成立．
证明：如图2，延长DF交BC于点G，
∵∠ABC＝∠ADE＝90°，∴DE∥BC，
∴∠DEF＝∠GCF，
又∵EF＝CF，∠DFE＝∠GFC，∴△DEF≌△GCF，
∴DE＝CG，DF＝FG，
∵AD＝DE，AB＝BC，∴AD＝CG，∴BD＝BG，
又∵∠ABC＝90°，
∴DF＝BF且DF⊥BF

巩固6. 如图：在△ABC中，AB＝AC，EF交AB于点E，交AC的延长线于点F，交BC于D且BE＝CF，求证：DE＝DF．

【解析】证明：如图，过点E作EG∥AC交BC于G，则∠ACB＝∠BGE，∠F＝∠DEG，
∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠B＝∠BGE，∴BE＝GE，又∵BE＝CF，∴GE＝CF，
∵在△CDF和△GDE中，，∴△CDF≌△GDE（AAS），∴DE＝DF．

巩固7. （1）已知：如图1，在△ABC中，∠A＝90°，D为BC中点，E为AB上一点，F为AC上一点，ED⊥DF，连接EF，求证：线段BE、FC、EF总能构成一个直角三角形；
（2）已知：如图2，∠A＝120°，D为BC中点，E为AB上一点，F为AC上一点，ED⊥DF，连接EF，请你找出一个条件，使线段BE、FC、EF能构成一个等边三角形，给出证明．

【解析】（1）证明：延长FD到G使GD＝DF，连接BG，EG，∵D为BC中点，∴BD＝DC，
∵在△BDG和△CDF中，，∴△BDG≌△CDF（SAS），∴BG＝FC，∠C＝∠GBD，
∵ED⊥DF，∴EG＝EF，
∵∠A＝90°，∴∠ABC+∠C＝90°，∴∠ABC+∠GBD＝90°，即∠EBG＝90°，
∴线段BE、BG、EG总能构成一个直角三角形，
∵BG＝FC，EG＝EF，∴线段BE、FC、EF总能构成一个直角三角形；

（2）当线段FC＝BE时，线段BE、FC、EF能构成一个等边三角形，
证明：延长FD到W使WD＝DF，连接BW，EW，
∵D为BC中点，∴BD＝DC，
∵在△BDW和△CDF中 ∴△BDW≌△CDF（SAS），∴BW＝FC，∠C＝∠WBD
∵ED⊥DF，∴EW＝EF，
∵∠A＝120°，∴∠ABC+∠C＝60°，∴∠ABC+∠WBD＝60°，即∠EBW＝60°，
∴当线段BW＝BE（或BE＝EW，BW＝WE）时，BE、BW、EW能构成一个等边三角形；
∵EW＝EF，BW＝FC
∴当线段FC＝BE（或BE＝EF，EF＝FC）时，线段BE、FC、EF能构成一个等边三角形．

巩固8. 在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，E，F分别在AC，BC上，∠EDF＝90°，已知CE＝4，AE＝2，BF﹣CF＝，求AB．

【解析】延长FD至点G，使得DG＝DF，连接AG，EG，EF，如图所示：
∵D为斜边AB的中点，∴AD＝BD，
在△ADG和△BDF中，，∴∴△ADG≌△BDF（SAS），∴AG＝BF，∠DAG＝∠DBF，
∵∠DBF+∠BAC＝90°，∴∠DAG+∠BAC＝90°，即∠EAG＝90°，
∴EG2＝AG2+AE2，设BF＝AG＝x，
∵BF﹣CF＝，∴CF＝x﹣，又∵∠EDF＝90°，∴DE⊥FG，
∵DG＝DF，∴EF＝EG，∴EF2＝EG2，
在Rt△CEF中，EF2＝CE2+CF2，∴AG2+AE2＝CE2+CF2，即x2+22＝42+（x﹣）2，解得：x＝，
∴BF＝，CF＝x﹣＝，∴BC＝BF+CF＝8，
∵∠C＝90°，AC＝AE+CE＝6，∴AB＝＝10．
巩固9. 在△ABM中，∠ABM＝45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC．
（1）如图1，若AB＝3，BC＝5，求AC的长；
（2）如图2，点D是线段AM上一点，MD＝MC，点E是△ABC外一点，EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF．

【解析】（1）∵∠ABM＝45°，AM⊥BM，∴AM＝BM＝ABcos45°＝3×＝3，
则CM＝BC﹣BM＝5﹣3＝2，∴AC＝＝＝；

（2）延长EF到点G，使得FG＝EF，连接BG．
由DM＝MC，∠BMD＝∠AMC，BM＝AM，
∴△BMD≌△AMC（SAS），
∴AC＝BD，
又∵CE＝AC，因此BD＝CE，
由BF＝FC，∠BFG＝∠EFC，FG＝FE，∴△BFG≌△CFE，故BG＝CE，∠G＝∠E，
所以BD＝CE＝BG，
因此∠BDG＝∠G＝∠E．
巩固10. （1）方法回顾
在学习三角形中位线时，为了探索三角形中位线的性质，思路如下：
第一步添加辅助线：如图1，在△ABC中，延长DE（D、E分别是AB、AC的中点）到点F，使得EF＝DE，连接CF；
第二步证明△ADE≌△CFE，再证四边形DBCF是平行四边形，从而得到DE∥BC，DE＝BC．
（2）问题解决
如图2，在正方形ABCD中，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG＝2，DF＝3，∠GEF＝90°，求GF的长．
（3）拓展研究
如图3，在四边形ABCD中，∠A＝100°，∠D＝110°，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG＝4，DF＝，∠GEF＝90°，求GF的长．

【解析】（1）如图1，在△ABC中，延长DE（D、E分别是AB、AC中点）到点F，使EF＝DE，连接CF
在△ADE和△CFE中，∴△ADE≌△CFE（SAS），∴AD＝CF，∠A＝∠ECF，∴AD∥CF
∵AD＝BD，∴BD＝CF，
∵BD∥CF，∴四边形DBCF是平行四边形，∴DE∥BC，DF＝BC
∴DE＝DF＝BC．

（2）如图2，延长GE、FD交于点H，
∵E为AD中点，∴EA＝ED，且∠A＝∠EDH＝90°，
在△AEG和△DEH中，，∴△AEG≌△DEH（ASA），∴AG＝HD＝2，EG＝EH，
∵∠GEF＝90°，∴EF垂直平分GH，∴GF＝HF＝DH+DF＝2+3＝5；

（3）如图3，过点D作AB的平行线交GE的延长线于点H，过H作CD的垂线，垂足为P，连接HF，
同（1）可知△AEG≌△DEH，GF＝HF，
∴∠A＝∠HDE＝100°，AG＝HD＝4，
∵∠ADC＝110°，
∴∠HDF＝360°﹣100°﹣110°＝150°，
∴∠HDP＝30°，
∵∠DPH＝90°
∴PH＝2，PD＝2
∵DF＝，
∴PF＝PD+DF＝+2＝3，
在Rt△HFP中，∠HPF＝90°，HP＝2，PF＝3，
∴HF＝＝＝，
∴GF＝FH＝．（微信公众号：数学三剑客）

巩固11. 在△ABC中，AB＝AC，点F是BC延长线上一点，以CF为边，作菱形CDEF，使菱形CDEF与点A在BC的同侧，连接BE，点G是BE的中点，连接AG、DG．
（1）如图①，当∠BAC＝∠DCF＝90°时，直接写出AG与DG的位置和数量关系；
（2）如图②，当∠BAC＝∠DCF＝60°时，试探究AG与DG的位置和数量关系，
（3）当∠BAC＝∠DCF＝α时，直接写出AG与DG的数量关系．

【解析】（1）AG⊥DG，AG＝DG，
证明：延长DG与BC交于H，连接AH、AD，
∵四边形CDEF是正方形，∴DE＝DC，DE∥CF，
∴∠GBH＝∠GED，∠GHB＝∠GDE，
∵G是BE的中点，∴BG＝EG，
在△BGH和△EGD中
∴△BGH≌△EGD（AAS），
∴BH＝ED，HG＝DG，∴BH＝DC，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵∠DCF＝90°，
∴∠DCB＝90°，
∴∠ACD＝45°，
∴∠ABH＝∠ACD＝45°，
在△ABH和△ACD中
∴△ABH≌△ACD（SAS），
∴∠BAH＝∠CAD，AH＝AD，
∵∠BAH+∠HAC＝90°，
∴∠CAD+∠HAC＝90°，即∠HAD＝90°，
∴AG⊥GD，AG＝GD；




（3）DG＝AGtan；
证明：延长DG与BC交于H，连接AH、AD，
∵四边形CDEF是菱形，
∴DE＝DC，DE∥CF，
∴∠GBH＝∠GED，∠GHB＝∠GDE，
∵G是BE的中点，
∴BG＝EG，
在△BGH和△EGD中
∴△BGH≌△EGD（AAS），
∴BH＝ED，HG＝DG，
∴BH＝DC，
∵AB＝AC，∠BAC＝∠DCF＝α，
∴∠ABC＝90°﹣，∠ACD＝90°﹣，
∴∠ABC＝∠ACD，
在△ABH和△ACD中
∴△ABH≌△ACD（SAS），
∴∠BAH＝∠CAD，AH＝AD，
∴∠BAC＝∠HAD＝α；
∴AG⊥HD，∠HAG＝∠DAG＝，
∴tan∠DAG＝tan＝，
∴DG＝AGtan．
中考数学几何模型5：角含半角模型
角含半角模型，顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。它主要包含：等腰直角三角形角含半角模型；正方形中角含半角模型两种类型。解决类似问题的常见办法主要有两种：旋转目标三角形法和翻折目标三角形法。
类型一：等腰直角三角形角含半角模型
（1）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D，E在BC上，且∠DAE=45°，则：BD2+CE2=DE2.

图示（1） 作法1：将△ABD旋转90° 作法2：分别翻折△ABD,△ACE

（2）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在BC上，点E在BC延长线上，且∠DAE=45°，则：BD2+CE2=DE2.
图示（2）

（3）如图，将等腰直角三角形变成任意等腰三角形时，亦可以进行两种方法的操作处理..
任意等腰三角形
类型二：正方形中角含半角模型
（1）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，连接EF，过点A作AG⊥于EF于点G，则：EF=BE+DF，AG=AD.

图示（1） 作法：将△ABE绕点A逆时针旋转90°

（2）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CB，DC的延长线上，∠EAF=45°，连接EF，则：EF=DF-BE.

图示（2） 作法：将△ABE绕点A逆时针旋转90°

（3）如图，将正方形变成一组邻边相等，对角互补的四边形，在四方形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠C=180°，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=∠BAD，连接EF，则：EF=BE+DF.

图示（3） 作法：将△ABE绕点A逆时针旋转∠BAD的大小
例题1. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在AB，AD上，若CE＝5，且∠ECF＝45°，则CF的长为　4　．

【解析】如图，延长FD到G，使DG＝BE；连接CG、EF；

∵四边形ABCD为正方形，在△BCE与△DCG中，，∴△BCE≌△DCG（SAS），
∴CG＝CE，∠DCG＝∠BCE，∴∠GCF＝45°，
在△GCF与△ECF中，，∴△GCF≌△ECF（SAS），∴GF＝EF，
∵CE＝5，CB＝4，∴BE＝3，∴AE＝1，
设AF＝x，则DF＝4﹣x，GF＝1+（4﹣x）＝5﹣x，∴EF＝＝，
∴（5﹣x）2＝1+x2，∴x＝，即AF＝，∴DF＝4﹣＝，
∴CF＝＝＝4，
故答案为：4．
练习1．如图四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，AB＝BC+AD，∠DAC＝45°，E为CD上一点，且∠BAE＝45°．若CD＝4，则△ABE的面积为（　　）

A． B． C． D．
解法一：作AF⊥CB交CB的延长线于F，在CF的延长线上取一点G，使得FG＝DE．

∵AD∥BC，∴∠BCD+∠ADC＝180°，∴∠ADC＝∠BCD＝∠AFC＝90°，∴四边形ADCF是矩形，
∵∠CAD＝45°，∴AD＝CD，∴四边形ADCF是正方形，
∴AF＝AD，∠AFG＝∠ADF＝90°，∴△AFG≌△ADE，∴AG＝AE，∠FAG＝∠DAE，
∴∠FAG+∠FAB＝∠EAD+∠FAB＝45°＝∠BAE，∴△BAE≌△BAG，∴BE＝BG＝BF+GF＝BF+DE，
设BC＝a，则AB＝4+a，BF＝4﹣a，
在Rt△ABF中，42+（4﹣a）2＝（4+a）2，解得a＝1，
∴BC＝1，BF＝3，设BE＝b，则DE＝b﹣3，CE＝4﹣（b﹣3）＝7﹣b．
在Rt△BCE中，12+（7﹣b）2＝b2，解得b＝，∴BG＝BE＝，∴S△ABE＝S△ABG＝××4＝．

例题2. 在正方形ABCD中，连接BD．
（1）如图1，AE⊥BD于E．直接写出∠BAE的度数．
（2）如图1，在（1）的条件下，将△AEB以A旋转中心，沿逆时针方向旋转30°后得到△AB′E′，AB′与BD交于M，AE′的延长线与BD交于N．
①依题意补全图1；
②用等式表示线段BM、DN和MN之间的数量关系，并证明．
（3）如图2，E、F是边BC、CD上的点，△CEF周长是正方形ABCD周长的一半，AE、AF分别与BD交于M、N，写出判断线段BM、DN、MN之间数量关系的思路．（不必写出完整推理过程）

【解析】（1）∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ABD＝∠ADB＝45°，
∵AE⊥BD，
∴∠ABE＝∠BAE＝45°，
（2）①依题意补全图形，如图1所示，
②BM、DN和MN之间的数量关系是BM2+MD2＝MN2，
将△AND绕点D顺时针旋转90°，得到△AFB，
∴∠ADB＝∠FBA，∠BAF＝∠DAN，DN＝BF，AF＝AN，
∵在正方形ABCD中，AE⊥BD，
∴∠ADB＝∠ABD＝45°，
∴∠FBM＝∠FBA+∠ABD＝∠ADB+∠ABD＝90°，
在Rt△BFM中，根据勾股定理得，FB2+BM2＝FM2，
∵旋转△ANE得到AB1E1，∴∠E1AB1＝45°，
∴∠BAB1+∠DAN＝90°﹣45°＝45°，
∵∠BAF＝DAN，
∴∠BAB1+∠BAF＝45°，
∴∠FAM＝45°，
∴∠FAM＝∠E1AB1，
∵AM＝AM，AF＝AN，
∴△AFM≌△ANM，
∴FM＝MN，
∵FB2+BM2＝FM2，
∴DN2+BM2＝MN2，
练习2. （1）【探索发现】
如图1，正方形ABCD中，点M、N分别是边BC、CD上的点，∠MAN＝45°，若将△DAN绕点A顺时针旋转90°到△BAG位置，可得△MAN≌△MAG，若△MCN的周长为6，则正方形ABCD的边长为　3　．
（2）【类比延伸】
如图（2），四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B+∠D＝180°，点M、N分别在边BC、CD上的点，∠MAN＝60°，请判断线段BM，DN，MN之间的数量关系，并说明理由．
（3）【拓展应用】
如图3，四边形ABCD中，AB＝AD＝10，∠ADC＝120°，点M，N分别在边BC，CD上，连接AM，MN，△ABM是等边三角形，AM⊥AD，DN＝5（﹣1），请直接写出MN的长．

【解析】（1）如图1中，

∵△MAN≌△MAG，∴MN＝GM，
∵DN＝BG，GM＝BG+BM，∴MN＝BM+DN，
∵△CMN的周长为：MN+CM+CN＝6，∴BM+CM+CN+DN＝6，
∴BC+CD＝6，
∴BC＝CD＝3，
故答案为3．

（2）如图2中，结论：MN＝NM+DN．
延长CB至E，使BE＝DN，连接AE，
∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°，
∴∠D＝∠ABE，在△ABE和△ADN中，，∴△ABE≌△ADN，
∴AN＝AE，∠DAN＝∠BAE，
∵∠BAD＝2∠MAN，
∴∠DAN+∠BAM＝∠MAN，
∴∠MAN＝∠EAM，
在△MAN和△MAE中，，
∴△MAN≌△MAE，
∴MN＝EM＝BE+BM＝BM+DN，即MN＝BM+DN；

（3）解：如图3，把△ABM绕点A逆时针旋转150°至△ADG，连接AN．作NH⊥AD于H，在AH上取一点K，使得∠NKH＝30°
在Rt△DHN中，∵∠NDH＝60°DN＝5（﹣1），∴DH＝DN＝，HN＝DH＝，
在Rt△KNH中，KN＝2HN＝15﹣5，HK＝HN＝，
∴AK＝AH﹣HK＝15﹣5，
∴AK＝KN，∠KAN＝∠KNA，
∵∠NKH＝∠KAN+∠KNA，∴∠NAK＝15°，
∴∠MAN＝75°＝∠BAD，
由（2）得，MN＝BM+DN＝10+5（﹣1）＝5+5．
例题3. 如图，在四边形ABCD中，AB=BC，∠A=∠C=90°，∠B=135°，K，N分别是AB，BC上的点，若△BKN的周长为AB的2倍，求∠KDN的度数.


练习3. 如图，正方形被两条与边平行的线段EF，GH分割成四个小矩形，P是EF与GH的交点，若矩形PFCH的面积恰是矩形AGPE面积的2倍，试确定∠HAF的大小并证明你的结论.


例题4. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝CD，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠MAN＝∠BAD．
（1）如图1，将∠MAN绕着A点旋转，它的两边分别交边BC、CD于M、N，试判断这一过程中线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不用证明；
（2）如图2，将∠MAN绕着A点旋转，它的两边分别交边BC、CD的延长线于M、N，试判断这一过程中线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？并证明你的结论；
（3）如图3，将∠MAN绕着A点旋转，它的两边分别交边BC、CD的反向延长线于M、N，试判断这一过程中线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不用证明．

【解析】（1）证明：延长MB到G，使BG＝DN，连接AG．

∵∠ABG＝∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝AD，
∴△ABG≌△ADN．
∴AG＝AN，BG＝DN，∠1＝∠4．
∴∠1+∠2＝∠4+∠2＝∠MAN＝∠BAD．
∴∠GAM＝∠MAN．
又AM＝AM，
∴△AMG≌△AMN．
∴MG＝MN．
∵MG＝BM+BG．
∴MN＝BM+DN．
（2）MN＝BM﹣DN．

证明：在BM上截取BG，使BG＝DN，连接AG．
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，AD＝AB，
∴△ADN≌△ABG，
∴AN＝AG，∠NAD＝∠GAB，
∴∠MAN＝∠NAD+∠BAM＝∠DAB，
∴∠MAG＝∠BAD，
∴∠MAN＝∠MAG，
∴△MAN≌△MAG，
∴MN＝MG，
∴MN＝BM﹣DN．

（3）MN＝DN﹣BM．
巩固1. 请阅读下列材料：
问题：正方形ABCD中，M，N分别是直线CB、DC上的动点，∠MAN＝45°，当∠MAN交边CB、DC于点M、N（如图①）时，线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？
小聪同学的思路是：延长CB至E使BE＝DN，并连接AE，构造全等三角形经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）直接写出上面问题中，线段BM，DN和MN之间的数量关系；
（2）当∠MAN分别交边CB，DC的延长线于点M/N时（如图②），线段BM，DN和MN之间的又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明；
（3）在图①中，若正方形的边长为16cm，DN＝4cm，请利用（1）中的结论，试求MN的长．

【解析】（1）BM+DN＝MN；
（2）DN﹣BM＝MN．
理由如下：
如图，在DC上截取DF＝BM，连接AF．
∵AB＝AD，∠ABM＝∠ADF＝90°，∴△ABM≌△ADF （SAS）
∴AM＝AF，∠MAB＝∠FAD．
∴∠MAB+∠BAF＝∠FAD+∠BAF＝90°，即∠MAF＝∠BAD＝90°．
又∠MAN＝45°，∴∠NAF＝∠MAN＝45°．
∵AN＝AN，∴△MAN≌△FAN．∴MN＝FN，即 MN＝DN﹣DF＝DN﹣BM；
（3）∵正方形的边长为16，DN＝4，∴CN＝12．
根据（1）可知，BM+DN＝MN，
设 MN＝x，则 BM＝x﹣4，∴CM＝16﹣（x﹣4）＝20﹣x．
在Rt△CMN中，MN2＝CM2+CN2，∴x2＝（20﹣x）2+122．解得 x＝13.6．
∴MN＝13.6cm．

巩固2. （1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．
（1）小王同学探究此问题的方法是：延长EB到点G，使BG＝DF，连结AG，先证明△ABG≌△ADF，再证明△AEG≌△AEF，可得出结论，他的结论应是　EF＝BE+FD　．
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．

【解析】（1）由△ABG≌△ADF，△AEG≌△AEF可知，BG＝DF，EF＝EG＝BG+EF＝DF+EF，
（2）（1）中的结论EF＝BE+FD仍然成立．
理由：延长EB到点G，使BG＝DF，连结AG．
∵∠ABD+∠D＝180°，∠ABD+∠ABG＝180°，
∴∠ABG＝∠D，
∴AB＝AD，BG＝DF，
∴△ABG≌△ADF，
∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠BAE+∠DAF＝∠BAD＝∠BAE+∠BAG，
∴∠EAG＝∠EAF，
∵AE＝AE，AG＝AF，
∴△EAG≌△EAF，∴EG＝EF，∵EG＝BG+BE＝DF+BE，∴EF＝BE+DF．
巩固3. 小曼和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，有一次，他们碰到这样一道题：“已知正方形ABCD，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，若EG⊥FH，则EG＝FH．”为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案：
方案一：过点A作AM∥HF交BC于点M，过点B作BN∥EG交CD于点N；
方案二：过点A作AM∥HF交BC于点M，过点A作AN∥EG交CD于点N．…
（1）对小曼遇到的问题，请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明（如图（1））．
（2）如果把条件中的“正方形”改为“长方形”，并设AB＝2，BC＝3（如图（2）），是探究EG、FH之间有怎样的数量关系，并证明你的结论．
（3）如果把条件中的“EG⊥FH”改为“EG与FH的夹角为45°”，并假设正方形ABCD的边长为1，FH的长为（如图（3）），试求EG的长度．

【解析】（1）证明：过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EG交CD的延长线于点N，

∴AM＝HF，AN＝BC，
在正方形ABCD中，AB＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°
∵EG⊥FH，∴∠NAM＝90°，
∴∠BAM＝∠DAN，
在△ABM和△ADN中，∠BAM＝∠DAN，AB＝AD，∠ABM＝∠ADN
∴△ABM≌△ADN
∴AM＝AN，即EG＝FH
（2）结论：EG：FH＝3：2

证明：过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EC交CD的延长线于点N，
∴AM＝HF，AN＝EC，在长方形ABCD中，BC＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°，
∵EG⊥FH，∴∠NAM＝90°，∴∠BAM＝∠DAN．
∴△ABM∽△ADN．，
∵AB＝2，BC＝AD＝3，∴．

（3）解：过点A作AM∥HF交BC于点M，过点A作AN∥EG交CD于点N，
∵．∴在Rt△ABM中，BM＝．
将△AND绕点A顺时针旋转90°到△APB．
∵EG与FH的夹角为45°，∴∠MAN＝45°，
∴∠DAN+∠MAB＝45°，即∠PAM＝∠MAN＝45°，
从而△APM≌△ANM，∴PM＝NM．
设DN＝x，则NC＝1﹣x，MN＝PM＝．
在Rt△CMN中，解得．
∴．

巩固4. 已知：如图，正方形ABCD的边长为a，BM，DN分别平分正方形的两个外角，且满足∠MAN=45°，连接MC，NC，MN．
（1）填空：与△ABM相似的三角形是_________，BM•DN=_________；（用含a的代数式表示）
（2）求∠MCN的度数；
（3）猜想线段BM，DN和MN之间的等量关系并证明你的结论.



中考数学几何模型6：弦图模型
弦图模型，包含两种模型：内弦图模型和外弦图模型.
（一）内弦图模型：如图，在正方形ABCD中，AE⊥BF于点E，BF⊥CG于点F，CG⊥DH于点G，DH⊥AE于点H，则有结论：△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH.

注意局部弦图


（二）外弦图模型：如图，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边上的点，且四边形EFGH是正方形，则有结论：△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH.

包含“一线三垂直”


例题1. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，分别以AB，AC向外作正方形ABDE，ACFG，连接EG，若AB=12，BC=16，求△AEG的面积.










练习1．如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边AD上，连接CE，以CE为边作正方形CEFG，点D，F在直线CE的同侧，连接BF，若AE=1，求BF的长.


例题2. 如图，以Rt△ABC的斜边BC在△ABC同侧作正方形BCEF，该正方形的中心为点O，连接AO.若AB=4，AO=，求AC的长.


练习2．如图，点A，B，C，D，E都在同一条直线上，四边形X，Y，Z都是正方形，若该图形总面积是m，正方形Y的面积是n，则图中阴影部分的面积是___________.



例题3. 如图，在△ABC中，∠BAC=45°，D为△ABC外一点，满足∠CBD=90°，BC=BD，若，求AC的长.


练习3．点P是正方形ABCD外一点，PB=10cm，△APB的面积是60cm2，△CPB的面积是30cm2．求正方形ABCD的面积.





例题4. 在边长为10的正方形ABCD中，内接有6个大小相同的正方形，P、Q、M、N是落在大正方形边上的小正方形的顶点，如图所示，求这六个小正方形的面积.



练习4．如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线y＝（x＞0）同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为，∠AOB＝∠OBA＝45°，则k的值为　1+　．

【解析】在△AOM和△BAN中，，∴△AOM≌△BAN（AAS），
∴AM＝BN＝，OM＝AN＝，∴OD＝+，BD＝﹣，
∴B（+，﹣），∴双曲线y＝（x＞0）同时经过点A和B，
∴（+）•（﹣）＝k，整理得：k2﹣2k﹣4＝0，
解得：k＝1±（负值舍去），
∴k＝1+；

例题5. 如图，在等腰Rt△ACB和等腰Rt△DCE中，∠AXB=∠DCE=90°，连接AD，BE，点I在AD上，
（1） 若IC⊥BE，求证：I为AD中点；
（2） 若I为AD中点，求证：IC⊥BE







例题6. 在平面直角坐标系中，直线l的解析式为，其与x轴交于点A,与y轴交于点B，在直线l移动的过程中，直线y=4上是否存在点P，使得△PAB是等腰直角三角形，若存在，请求出满足条件的所有点P的坐标，如不存在，请说明理由.


巩固1. 如图所示，“赵爽弦图”是由8个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，已知S1+S2+S3＝10，则S2的值是　　．

【解析】将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，
∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3＝10，
∴得出S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x，
∴S1+S2+S3＝3x+12y＝10，故3x+12y＝10，
x+4y＝，所以S2＝x+4y＝，
巩固2. 我国古代数学家赵爽利用弦图证明了勾股定理，这是著名的赵爽弦图（如图1）．它是由四个全等的直角三角形拼成了内、外都是正方形的美丽图案．在弦图中（如图2），已知点O为正方形ABCD的对角线BD的中点，对角线BD分别交AH，CF于点P、Q．在正方形EFGH的EH、FG两边上分别取点M，N，且MN经过点O，若MH＝3ME，BD＝2MN＝4．则△APD的面积为　5　．

【解析】如图，连接FH，作EK∥MN，OL⊥DG

∵四边形ABCD是正方形，且BD＝2MN＝4
∴MN＝2，AB＝2
∵四边形EFGH是正方形
∴FO＝HO，EH∥FG
∴∠HMO＝∠FNO，∠MHO＝∠NFO，且FO＝HO
∴△MHO≌△FNO（AAS），∴MH＝FN
∵MH＝3ME，∴MH＝FN＝3EM，EH＝EF＝4EM
∴EK∥KN，EH∥FG，∴四边形EMNK是平行四边形
∴MN＝EK＝2，KN＝EM，∴FK＝2EM
∵EF2+FK2＝EK2，∴16EM2+4EM2＝20，∴EM＝1，∴EH＝4，
∵AD2＝（AE+4）2+DH2，且AE＝DH
∴DH＝AE＝2，∴AH＝6
∵PH∥OL，∴，∴PH＝1，∴AP＝5，∴S△APD＝×5×2＝5
故答案为 5
巩固3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接CE，BG，EG．（正方形的各边都相等，各角均为90°）
（1）判断CE与BG的关系，并说明理由；
（2）若BC＝3，AB＝5，则AEG面积等于　6　．

【解析】（1）如图，
∵∠EAB＝∠GAC＝90°，∴∠EAC＝∠BAG，
在△EAC和△BAG中，，∴△EAC≌△BAG（SAS），∴CE＝BG，∠AEC＝ABG，
∵∠AEC+∠APE＝90°，∠APE＝∠BPC，
∴∠BPC+∠ABG＝90°，∴CE⊥BG；

（2）延长GA，过E作EQ⊥AQ，
∵∠EAB＝∠GAC＝90°，
∴∠EAG+∠BAC＝180°，
∵∠EAG+∠EAQ＝180°，
∴∠EAQ＝∠BAC，
∴EQ＝AE•sin∠EAQ＝AB•BC＝3，
∵BC＝3，AB＝5，∴AC＝＝4，
∴AEG面积＝AG•EQ＝×4×3＝6．

巩固4．【问题解决】
一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点P是正方形ABCD内一点，PA＝1，PB＝2，PC＝3．你能求出∠APB的度数吗？
小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：
思路一：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，求出∠APB的度数；
思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP'B，连接PP′，求出∠APB的度数．
请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．
【类比探究】
如图2，若点P是正方形ABCD外一点，PA＝3，PB＝1，PC＝，求∠APB的度数．

【解析】（1）思路一、如图1，

将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，
∴△ABP'≌△CBP，
∴∠PBP'＝90°，BP'＝BP＝2，AP'＝CP＝3，
在Rt△PBP'中，BP＝BP'＝2，
∴∠BPP'＝45°，根据勾股定理得，PP'＝BP＝2，
∵AP＝1，∴AP2+PP'2＝1+8＝9，
∵AP'2＝32＝9，∴AP2+PP'2＝AP'2，
∴△APP'是直角三角形，且∠APP'＝90°，
∴∠APB＝∠APP'+∠BPP'＝90°+45°＝135°；

（2）如图2，
将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，
∴△ABP'≌△CBP，
∴∠PBP'＝90°，BP'＝BP＝1，AP'＝CP＝，
在Rt△PBP'中，BP＝BP'＝1，∴∠BPP'＝45°，根据勾股定理得，PP'＝BP＝，
∵AP＝3，∴AP2+PP'2＝9+2＝11，
∵AP'2＝（）2＝11，∴AP2+PP'2＝AP'2，
∴△APP'是直角三角形，且∠APP'＝90°，
∴∠APB＝∠APP'﹣∠BPP'＝90°﹣45°＝45°．

巩固5．如图，已知∠ABC＝90°，D是直线AB上一点，AD＝BC．
（1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF＝BD，连接DC、DF、CF．
①求证：AF+AB＝BC
②判断FD与DC的关系并证明；
（2）如图2，E是直线BC上一点，且CE＝BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．

【解析】（1）证明：①∵AD＝BC，
∴AD＝AB+BD，AF＝BD，∴AF+AB＝BC．
②∵AF⊥AB，∴∠FAD＝90°，
又∵∠DBC＝90°，∴∠FAD＝∠DBC，
∵AF＝BD，AD＝BC，∴△FAD≌△DBC（SAS），
∴FD＝CD，∠ADF＝∠BCD，∴∠BDC+∠ADF＝∠BDC+∠BCD＝90°，即DF⊥DC；
（2）解：作AF⊥AB于A，使AF＝BD，连结DF，CF，如图，
∵AF⊥AD，∠ABC＝90°，∴∠FAD＝∠DBC，
在△FAD与△DBC中，，∴△FAD≌△DBC（SAS），
∴FD＝DC，∴△CDF是等腰三角形，
∵△FAD≌△DBC，∴∠FDA＝∠DCB，
∵∠BDC+∠DCB＝90°，∴∠BDC+∠FDA＝90°，
∴△CDF是等腰直角三角形，∴∠FCD＝45°，
∵AF∥CE，且AF＝CE，∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AE∥CF，∴∠APD＝∠FCD＝45°．

巩固6．【探究证明】（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明．
如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H，求证：；
【结论应用】（2）如图2，在满足（1）的条件下，又AM⊥BN，点M，N分别在边BC，CD上，若，则的值为　　；（直接写出结果）
【联系拓展】（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝6，BC＝CD＝3，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求的值．


【解析】（1）过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，如图1，
∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，AD∥BC．
∴四边形AEFP、四边形BHGQ都是平行四边形，
∴AP＝EF，GH＝BQ．
又∵GH⊥EF，∴AP⊥BQ，∴∠QAT+∠AQT＝90°．
∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠D＝90°，∴∠DAP+∠DPA＝90°，
∴∠AQT＝∠DPA．∴△PDA∽△QAB，∴，∴；
（2）如图2，
∵EF⊥GH，AM⊥BN，∴由（1）中的结论可得，；
∴，
故答案为；

（3）过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，如图3，
则四边形ABSR是平行四边形．
∵∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABSR是矩形，
∴∠R＝∠S＝90°，RS＝AB＝6，AR＝BS．
∵AM⊥DN，
∴由（1）中的结论可得 ．
设SC＝x，DS＝y，则AR＝BS＝3+x，RD＝6﹣y，
∴在Rt△CSD中，x2+y2＝9①，
在Rt△ARD中，（3+x）2+（6﹣y）2＝36②，
由②﹣①得x＝2y﹣3③，
解方程组 ，得（舍去），或 ，∴AR＝3+x＝，
∴＝＝．
巩固7．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，l是AD的垂直平分线，交AD于点M，以腰AB为边作正方形ABFE，EP⊥l于P．
求证：2EP+AD＝2CD．

【解析】证明：作AH⊥BC于H，延长EP交AH于G，
∵l是AD的垂直平分线，∴AM＝MD＝AD，l∥AH，
又∵四边形ABCD是直角梯形，∴四边形AHCD是矩形，∴AH＝CD，
∵PE⊥l，∴EG⊥AH，∴四边形AGPM是矩形，
∴GP＝AM＝AD，∴∠AHB＝∠AGE＝90°，∴∠1+∠2＝90°，
在正方形ABFE中，AB＝AE，∠BAE＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，∴∠1＝∠3，
在△ABH和△EAG中，，∴△ABH≌△EAG（AAS），∴AH＝EG，
∴CD＝GP+PE＝AD+PE，即2CD＝AD+2PE．

巩固8．提出问题：
如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接CE，BG，EG．
（1）探索CE与BG的关系；
（2）探究△ABC与△AEG面积是否仍然相等？说明理由．
（3）如图2，学校教学楼前的一个六边形花圃被分成七个部分，分别种上不同品种的花卉，已知△CDG是直角三角形，∠CGD＝90°，DG＝3m，CG＝4m，四边形ABCD、CIHG、GFED均为正方形，则这个六边形花圃ABIHFE的面积为　74m2　．

【解析】解（1）CE＝BG，CE⊥BG；
理由：∵∠EAB＝∠GAC＝90°，∴∠EAC＝∠BAG，
在△EAC和△BAG中，，∴△EAC≌△BAG（SAS），∴CE＝BG，∠AEC＝ABG，
∵∠AEC+∠APE＝90°，∠APE＝∠BPC，∴∠BPC+∠ABG＝90°，∴CE⊥BG；即：CE＝BG，CE⊥BG；
（2）如图1，
过点E作EH⊥AG交GA延长线于H；∴∠EHA＝∠90°＝∠BCA，
∵∠EAH+∠BAH＝90°，∠BAC+∠BAH＝90°，
∴∠EAH＝∠BAC，
在△EHA和△BCA中，，
∴△EHA≌△BCA，∴EH＝BC，
∵AC＝AG∴S△ABC＝AC×BC＝AC×EH，
S△AGE＝AG×EH＝AC×EH，∴S△ABC＝S△AGE，
（3）∵在Rt△CDG中，DG＝3m，CG＝4m，∴CD＝5m，
∵四边形ABCD，CIHG、GFED均为正方形
∴CG＝GH＝4，DG＝FG＝3，
同（2）的方法得出S△BCI＝S△CDG，S△ADE＝S△CDG
∴S六边形花圃ABIHFE＝S正方形ABCD+S△BCI+S正方形CIHG+S△FGH+S正方形DEFG+S△ADE+S△SDG
＝S正方形ABCD+S△CDG+S正方形CIHG+S△FGH+S正方形DEFG+S△CDG+S△CDG
＝S正方形ABCD+S正方形CIHG+S△FGH+S正方形DEFG+3S△CDG
＝CD2+CG2+GH×FG+DG2+3×CG×DG＝52+42+×4×3+32+×4×3＝74（m2）．
故答案为74m2．
巩固9．已知：l1∥l2∥l3∥l4，平行线l1与l2、l2与l3、l3与l4之间的距离分别为d1、d2、d3，且d1＝d3＝1，d2＝2．我们把四个顶点分别在l1、l2、l3、l4这四条平行线上的四边形称为“格线四边形”．

（1）如图1，正方形ABCD为“格线四边形”，则正方形ABCD的边长为　　．
（2）矩形ABCD为“格线四边形”，其长：宽＝2：1，求矩形ABCD的宽．
（3）如图1，EG过正方形ABCD的顶点D且垂直l1于点E，分别交l2，l4于点F，G．将∠AEG绕点A顺时针旋转30°得到∠AE′D′（如图2），点D′在直线l3上，以AD′为边在E′D′左侧作菱形AB′C′D′，使B′，C′分别在直线l2，l4上，求菱形AB′C′D′的边长．

【解析】（1）∵l1∥l2∥l3∥l4，∠AED＝90°∴∠DGC＝90°，
∵四边形ABCD为正方形，∴∠ADC＝90°，AD＝CD，∵∠ADE+∠2＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，∴∠1＝∠ADE，
∵l3∥l4，∴∠1＝∠DCG，∠ADE＝∠DCG，
在△AED与△DGC中，，∴△AED≌△GDC（AAS），
∴AE＝GD＝1，ED＝GC＝3，∴AD＝＝，

（2）如图2过点B作BE⊥L1于点E，反向延长BE交L4于点F，
则BE＝1，BF＝3，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴∠ABE+∠FBC＝90°，
∵∠ABE+∠EAB＝90°，∴∠FBC＝∠EAB，
当AB＜BC时，AB＝BC，∴AE＝BF＝，
∴AB＝＝；

如图3当AB＞BC时，同理可得：BC＝，
∴矩形的宽为：，；

（3）如图4过点E′作ON垂直于l1分别交l1，l3于点O，N，
∵∠OAE′＝30°，则∠E′FN＝60°
∵AE′＝AE＝1，故E′O＝，E′N＝，E′D′＝，
由勾股定理可知菱形的边长为：＝＝．
巩固10．四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边AD所在直线上，连接CE，以CE为边，作正方形CEFG（点D，点F在直线CE的同侧），连接BF．
（1）如图1，当点E与点A重合时，请直接写出BF的长；
（2）如图2，当点E在线段AD上时，AE＝1；
①求点F到AD的距离；
②求BF的长；
（3）若BF＝3，请直接写出此时AE的长．

【解析】（1）作FH⊥AB于H，如图1所示：则∠FHE＝90°，

∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴AD＝CD＝4，EF＝CE，∠ADC＝∠DAH＝∠BAD＝∠CEF＝90°，
∴∠FEH＝∠CED，
在△EFH和△CED中，，
∴△EFH≌△CED（AAS），
∴FH＝CD＝4，AH＝AD＝4，
∴BH＝AB+AH＝8，
∴BF＝＝＝4；

（2）过F作FH⊥AD交AD的延长线于点H，作FM⊥AB于M，如图2所示：则FM＝AH，AM＝FH，
①∵AD＝4，AE＝1，∴DE＝3，
同（1）得：△EFH≌△CED（AAS），∴FH＝DE＝3，EH＝CD＝4，即点F到AD的距离为3；
②∴BM＝AB+AM＝4+3＝7，FM＝AE+EH＝5，∴BF＝＝＝；

（3）分三种情况：
①当点E在边AD的左侧时，过F作FH⊥AD交AD于点H，交BC延长线于K．如图3所示：
同（1）得：△EFH≌△CED，∴FH＝DE＝AE+4，EH＝CD＝4，
∴FK＝8+AE，在Rt△BFK中，BK＝AH＝EH﹣AE＝4﹣AE，
由勾股定理得：（4﹣AE）2+（8+AE）2＝（3）2，解得：AE＝1或AE＝﹣5（舍去），∴AE＝1；

②当点E在边AD的右侧时，过F作FH⊥AD交AD的延长线于点H，交BC延长线于K，如图4所示：
同理得：AE＝2+或2﹣（舍去）．
③当点E在AD上时，可得：（8﹣AE）2+（4+AE）2＝90，解得AE＝5或﹣1，5＞4不符合题意．
综上所述：AE的长为1或2+．中考数学几何模型7：轴对称最值模型















例题1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，动点P满足S△PAB＝S矩形ABCD，则点P到A，B两点距离之和PA+PB的最小值为　2　．

【解析】设△ABP中AB边上的高是h．
∵S△PAB＝S矩形ABCD，∴AB•h＝AB•AD，∴h＝AD＝4，
∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．
在Rt△ABE中，∵AB＝10，AE＝4+4＝8，∴BE＝＝＝2，
即PA+PB的最小值为2．

练习1．如图Rt△ABC和等腰△ACD以AC为公共边，其中∠ACB＝90°，AD＝CD，且满足AD⊥AB，过点D作DE⊥AC于点F，DE交AB于点E，已知AB＝5，BC＝3，P是射线DE上的动点，当△PBC的周长取得最小值时，DP的值为（　　）

A． B． C． D．
【解析】连接PB、PC、PA，要使得△PBC的周长最小，只要PB+PC最小即可，
∵PB+PC＝PA+PB≥AB，∴当P与E重合时，PA+PB最小，
∵AD＝CD，DE⊥AC，∴AF＝CF，
∵∠ACB＝90°，∴EF∥BC，∴AE＝BE＝AB＝2.5，∴EF＝BC＝1.5，
∵AD⊥AB，∴△AEF∽△DEA，∴＝，∴DE＝＝，
故选：B．
例题2. 如图所示，凸四边形ABCD中，∠A＝90°，∠C＝90°，∠D＝60°，AD＝3，AB＝，若点M、N分别为边CD，AD上的动点，求△BMN的周长的最小值.

【解析】作点B关于CD、AD的对称点分别为点B'和点B''，
连接B'B''交DC和AD于点M和点N，DB，连接MB、NB；
再DC和AD上分别取一动点M'和N'（不同于点M和N），

连接M'B，M'B'，N'B和N'B''，如图1所示：
∵B'B''＜M'B'+M'N'+N'B''，B'M'＝BM'，B''N'＝BN'，
∴BM'+M'N'+BN'＞B'B''，
又∵B'B''＝B'M+MN+NB''，MB＝MB'，NB＝NB''，
∴NB+NM+BM＜BM'+M'N'+BN'，∴C△BMN＝NB+NM+BM时周长最小；
连接DB，过点B'作B'H⊥DB''于B''D的延长线于点H，

如图示2所示：
∵在Rt△ABD中，AD＝3，AB＝，
∴＝＝2，
∴∠2＝30°，
∴∠5＝30°，DB＝DB''，
又∵∠ADC＝∠1+∠2＝60°，∴∠1＝30°，
∴∠7＝30°，DB'＝DB，
∴∠B'DB''＝∠1+∠2+∠5+∠7＝120°，
DB'＝DB''＝DB＝2，
又∵∠B'DB''+∠6＝180°，∴∠6＝60°，
∴HD＝，HB'＝3，
在Rt△B'HB''中，由勾股定理得：＝＝＝6．
∴C△BMN＝NB+NM+BM＝6，

练习2．如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（　　）

A．140° B．100° C．50° D．40°
【解析】分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，交OA于M，交OB于N，则
OP1＝OP＝OP2，∠OP1M＝∠MPO，∠NPO＝∠NP2O，
根据轴对称的性质，可得MP＝P1M，PN＝P2N，则△PMN的周长的最小值＝P1P2，
∴∠P1OP2＝2∠AOB＝80°，
∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝100°，
∴∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝100°，
故选：B．
例题3. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，CB＝CA＝4，∠A的平分线交BC于点D，若点P、Q分别是AC和AD上的动点，则CQ+PQ的最小值是　2　．

【解析】如图，作点P关于直线AD的对称点P′，连接CP′交AD于点Q，则CQ+PQ＝CQ+P′Q＝CP′
∵根据对称的性质知△APQ≌△AP′Q，∴∠PAQ＝∠P′AQ．
又∵AD是∠A的平分线，点P在AC边上，点Q在直线AD上，
∴∠PAQ＝∠BAQ，∴∠P′AQ＝∠BAQ，∴点P′在边AB上．
∵当CP′⊥AB时，线段CP′最短．又∵在△ABC中，∠C＝90°，CB＝CA＝4，
∴AB＝4，且当点P′是斜边AB的中点时，CP′⊥AB，
此时CP′＝AB＝2，即CQ+PQ的最小值是2．

练习3．如图，已知等边△ABC的面积为4，P、Q、R分别为边AB、BC、AC上的动点，则PR+QR的最小值是（　　）

A．3 B．2 C． D．4
【解析】如图，作△ABC关于AC对称的△ACD，点E与点Q关于AC对称，连接ER，则QR＝ER，
当点E，R，P在同一直线上，且PE⊥AB时，PR+QR的最小值是PE的长，
设等边△ABC的边长为x，则高为x，
∵等边△ABC的面积为4，∴x×x＝4，解得x＝4，
∴等边△ABC的高为x＝2，即PE＝2，故选：B．
例题4. 如图，∠MON＝30°，A在OM上，OA＝2，D在ON上，OD＝4，C是OM上任意一点，B是ON上任意一点，则折线ABCD的最短长度为　2　．

【解析】作D关于OM的对称点D′，作A作关于ON的对称点A′，连接A′D′与OM，ON的交点就是C，B二点．
此时AB+BC+CD＝A′B+BC+CD′＝A′D′为最短距离．连接DD′，AA′，OA′，OD′．
∵OA＝OA′，∠AOA′＝60°，∴∠OAA′＝∠OA′A＝60°，∴△ODD′是等边三角形．
同理△OAA′也是等边三角形．∴OD'＝OD＝4，OA′＝OA＝2，∠D′OA′＝90°．∴A′D′＝＝2．

练习4. 如图，在长方形ABCD中，O为对角线AC的中点，P是AB上任意一点，Q是OC上任意一点，已知：AC＝2，BC＝1．
（1）求折线OPQB的长的最小值；
（2）当折线OPQB的长最小时，试确定Q的位置．

【解析】（1）作点B关于AC的对称点B′，作点O关于AB的对称点O′，
连接AB′，QB′，AO′，PO′，B′O′，则QB＝QB′，OP＝O′P，

折线OPQB的长＝OP+PQ+QB＝O′P+PQ+QB′，∴折线OPQB的长的最小值＝B′O′．
∵在长方形ABCD中，∠ABC＝90°，
在△ABC中，AC＝2，BC＝1，∠ABC＝90°，∴∠BAC＝30°，
∵点B、B′关于AC对称，点O、O′关于AB对称，
∴∠B′AC＝30°，AB′＝AB＝，∠O′AB＝30°，AO′＝AO＝1，
∴∠B′AO′＝90°，∴B′O′＝，∴折线OPQB的长的最小值＝2；
（2）设B′O′交AC于点Q′，
∵在Rt△AO′B′中，AO′＝1，B′O′＝2，
∴∠AB′O′＝30°，则∠AO′B′＝60°，
∵在△AO′Q′中，∠Q′AO′＝∠Q′AB+∠BAO′＝60°，∴△AO′Q′是等边三角形，
∴AQ′＝AO′＝1＝AO，
∴点Q′就是AC的中点O．
∴当折线OPQB的长最小时，点Q在AC的中点．

例题5. 如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD的中点，点P、Q为BC上两个动点，且PQ＝3，当CQ＝　　时，四边形APQE的周长最小．

【解析】点A向右平移3个单位到M，点E关于BC对称点F，连接MF，交BC于Q，此时MQ+EQ最小，
∵PQ＝3，DE＝CE＝2，AE＝＝2，
∴要使四边形APQE的周长最小，只要AP+EQ最小就行，
即AP+EQ＝MQ+EQ，过M作MN⊥BC于N，
设CQ＝x，则NQ＝8﹣3﹣x＝5﹣x，
∵△MNQ∽△FCQ，∴＝，
∵MN＝AB＝4，CF＝CE＝2，CQ＝x，QN＝5﹣x，解得：x＝，则CQ＝
练习5．如图，已知A（3，1）与B（1，0），PQ是直线y＝x上的一条动线段且PQ＝（Q在P的下方），当AP+PQ+QB最小时，Q点坐标为（　　）

A．（，） B．（，） C．（0，0） D．（1，1）
【解析】作点B关于直线y＝x的对称点B'（0，1），过点A作直线MN，使得MN平行于直线y＝x，并沿MN向下平移单位后得A'（2，0）
连接A'B'交直线y＝x于点Q，如图

理由如下：∵AA'＝PQ＝，AA'∥PQ
∴四边形APQA'是平行四边形
∴AP＝A'Q
∵AP+PQ+QB＝B'Q+A'Q+PQ且PQ＝
∴当A'Q+B'Q值最小时，AP+PQ+QB值最小
根据两点之间线段最短，即A'，Q，B'三点共线时A'Q+B'Q值最小
∵B'（0，1），A'（2，0）
∴直线A'B'的解析式y＝﹣x+1
∴x＝﹣x+1，即x＝
∴Q点坐标（，）
故选：A．
例题6. 如图，点E、F是正方形ABCD的边BC上的两点（不与B、C两点重合），过点B作BG⊥AE于点G，连接FG、DF，若AB＝2，求DF+GF的最小值为.

【解析】取AB的中点O，点O、G关于BC的对称点分别为O'、G'，

∵G与G'关于BC对称，∴FG＝FG'，
∴FG+DF＝FG'+DF，
∴当G（也就是G'）固定时，取DG'与BC的交点F，此时能够使得FG+FD最小，
且此时FG+DF的最小值是DG'，（微信公众号：数学三剑客）
现在再移动点E（也就是移动G），
∵BG⊥AE，∴∠AGB＝90°，
∴当点E在BC上运动时，点G随着运动的轨迹是以O为圆心，OA为半径的90°的圆弧，
点G'随着运动的轨迹是以O'为圆心，O'B为半径的90°的圆弧，
∴当取DO'与交点为G'时，能够使得DG'达到最小值，
且DG'的最小值＝DO'﹣O'G'＝﹣1＝﹣1，
即DF+GF的最小值为﹣1．
故选：A．



练习6．如图，平面直角坐标系中，分别以点A（2，3）、点B（3，4）为圆心，1、3为半径作⊙A、⊙B，M，N分别是⊙A、⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值为（　　）

A．5﹣4 B．﹣1 C．6﹣2 D．
【解析】作⊙A关于x轴的对称⊙A′，连接BA′分别交⊙A′和⊙B于M、N，交x轴于P，如图，

则此时PM+PN最小，
∵点A坐标（2，3），
∴点A′坐标（2，﹣3），
∵点B（3，4），
∴A′B＝＝5，
∴MN＝A′B﹣BN﹣A′M＝5﹣3﹣1＝5﹣4，
∴PM+PN的最小值为5﹣4．
故选：A．



例题7. 如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE＝CF，当BF+CE取得最小值时，∠AFB＝（　　）

A．112.5° B．105° C．90° D．82.5°
【解析】如图，作CH⊥BC，且CH＝BC，连接BH交AD于M，连接FH，

∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴AC＝BC，∠DAC＝30°，∴AC＝CH，
∵∠BCH＝90°，∠ACB＝60°，
∴∠ACH＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DAC＝∠ACH＝30°，
∵AE＝CF，∴△AEC≌△CFH，
∴CE＝FH，BF+CE＝BF+FH，
∴当F为AC与BH的交点时，如图2，BF+CE的值最小，

此时∠FBC＝45°，∠FCB＝60°，∴∠AFB＝105°，故选：B．
练习7．如图，等边△ABC中，AD为BC边上的高，点M、N分别在AD、AC上，且AM＝CN，连BM、BN，当BM+BN最小时，∠MBN＝　30　度．

【解析】如图1中，作CH⊥BC，使得CH＝BC，连接NH，BH．

∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，CH⊥BC，∴∠DAC＝∠DAB＝30°，AD∥CH，
∴∠HCN＝∠CAD＝∠BAM＝30°，
∵AM＝CN，AB＝BC＝CH，∴△ABM≌△CHN（SAS），∴BM＝HN，
∵BN+HN≥BH，∴B，N，H共线时，BM+BN＝NH+BN的值最小，

如图2中，当B，N，H共线时，
∵△ABM≌△CHN，∴∠ABM＝∠CHB＝∠CBH＝45°，
∵∠ABD＝60°，∴∠DBM＝15°，∴∠MBN＝45°﹣15°＝30°，
∴当BM+BN的值最小时，∠MBN＝30°，
故答案为30．
例题8. （1）如图①，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB边上任意一点，则CD的最小值为　　．
（2）如图②，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M、点N分别在BD、BC上，求CM+MN的最小值．
（3）如图③，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB边上一点，且AE＝2，点F是BC边上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG、CG，四边形AGCD的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时BF的长度．若不存在，请说明理由．

【解析】（1）如图①，过点C作CD⊥AB于D，根据点到直线的距离垂线段最小，此时CD最小，

在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，根据勾股定理得，AB＝5，
∵AC×BC＝AB×CD，∴CD＝＝，

（2）如图②，作出点C关于BD的对称点E，
过点E作EN⊥BC于N，交BD于M，连接CM，此时CM+MN＝EN最小；
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°，CD＝AB＝3，根据勾股定理得，BD＝5，
∵CE⊥BC，∴BD×CF＝BC×CD，∴CF＝＝，由对称得，CE＝2CF＝，
在Rt△BCF中，cos∠BCF＝＝，∴sin∠BCF＝，
在Rt△CEN中，EN＝CEsin∠BCE＝＝；即：CM+MN的最小值为；

（3）如图3，
∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝3，AD＝BC＝4，∠ABC＝∠D＝90°，根据勾股定理得，AC＝5，
∵AB＝3，AE＝2，∴点F在BC上的任何位置时，点G始终在AC的下方，
设点G到AC的距离为h，
∵S四边形AGCD＝S△ACD+S△ACG＝AD×CD+AC×h＝×4×3+×5×h＝h+6，
∴要四边形AGCD的面积最小，即：h最小，
∵点G是以点E为圆心，BE＝1为半径的圆上在矩形ABCD内部的一部分点，
∴EG⊥AC时，h最小，
由折叠知∠EGF＝∠ABC＝90°，
延长EG交AC于H，则EH⊥AC，
在Rt△ABC中，sin∠BAC＝＝，
在Rt△AEH中，AE＝2，sin∠BAC＝＝，
∴EH＝AE＝，∴h＝EH﹣EG＝﹣1＝，
∴S四边形AGCD最小＝h+6＝×+6＝，
过点F作FM⊥AC于M，
∵EH⊥FG，EH⊥AC，∴四边形FGHM是矩形，∴FM＝GH＝
∵∠FCM＝∠ACB，∠CMF＝CBA＝90°，∴△CMF∽△CBA，∴，∴，∴CF＝1
∴BF＝BC﹣CF＝4﹣1＝3．
巩固1. 如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝10，点E，F，G，H分别在矩形各边上，点F，H为不动点，点E，G为动点，若要使得AF＝CH，BE＝DG，则四边形EFGH周长的最小值为（　　）

A．5 B．10 C．15 D．10
【解析】作点F关于CD的对称点F′，连接F′H交CD于点G，此时四边形EFGH周长取最小值，过点H作HH′⊥AD于点H′，如图所示．

∵AF＝CH，DF＝DF′，∴H′F′＝AD＝10，
∵HH′＝AB＝5，∴F′H＝＝5，∴C四边形EFGH＝2F′H＝10．故选：D．

巩固2. 如图，平面直角坐标系中，分别以点A（﹣2，3），B（3，4）为圆心，以1、2为半径作⊙A、⊙B，M、N分别是⊙A、⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值等于　﹣3　．

【解析】作⊙A关于x轴的对称⊙A′，连接BA′分别交⊙A′和⊙B于M、N，交x轴于P，如图，
则此时PM+PN最小，
∵点A坐标（﹣2，3），∴点A′坐标（﹣2，﹣3），
∵点B（3，4），∴A′B＝＝，
∴MN＝A′B﹣BN﹣A′M＝﹣2﹣1＝﹣3，∴PM+PN的最小值为﹣3．
巩固3. 如图，已知直线y＝x+4与两坐标轴分别交于A、B两点，⊙C的圆心坐标为 （2，0），半径为2，若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值和最大值分别是　8﹣2和8+2　．

【解析】y＝x+4，
∵当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝﹣4，∴OA＝4，OB＝4，
∵△ABE的边BE上的高是OA，∴△ABE的边BE上的高是4，
∴要使△ABE的面积最大或最小，只要BE取最大值或最小值即可，
过A作⊙C的两条切线，如图，
当在D点时，BE最小，即△ABE面积最小；
当在D′点时，BE最大，即△ABE面积最大；
∵x轴⊥y轴，OC为半径，∴EE′是⊙C切线，
∵AD′是⊙C切线，∴OE′＝E′D′，
设E′O＝E′D′＝x，
∵AC＝4+2＝6，CD′＝2，AD′是切线，
∴∠AD′C＝90°，由勾股定理得：AD′＝4，
∴sin∠CAD′＝＝，∴＝，解得：x＝，
∴BE′＝4+，BE＝4﹣，
∴△ABE的最小值是×（4﹣）×4＝8﹣2，
最大值是：×（4+）×4＝8+2，
故答案为：8﹣2和8+2．

巩固4. 正方形ABCD，AB＝4，E是CD中点，BF＝3CF，点M，N为线段BD上的动点，MN＝，求四边形EMNF周长的最小值　++　．

【解析】作点E关于BD的对称点G，则点G在AD上，
连接GM，过G作BD的平行线，截取GH＝MN＝，连接HN，则四边形GHNM是平行四边形，
∴HN＝GM＝EM，
过H作PQ⊥BC，交AD于P，交BC于Q，则∠HPG＝∠HQF＝90°，PQ＝AB＝4，
∵∠PGH＝∠ADB＝45°，∴HP＝PG＝＝1，HQ＝4﹣1＝3，

由轴对称的性质，可得DG＝ED＝2，
∴AP＝4﹣2﹣1＝1，∴BQ＝1，
又∵BF＝3CF，BC＝4，
∴CF＝1，∴QF＝4﹣1﹣1＝2，
∵当点H、N、F在同一直线上时，HN+NF＝HF（最短），
此时ME+NF最短，
∴Rt△HQF中，FH＝＝＝，
即ME+NF最短为，
又∵Rt△CEF中，EF＝＝＝，
∴ME+NF+MN+EF＝++，
∴四边形EMNF周长的最小值为++．
故答案为：++．
巩固5. 如图，已知点D，E分别是等边三角形ABC中BC，AB边的中点，BC＝6，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为　3　．

【解析】过C作CE⊥AB于E，交AD于F，连接BF，则BF+EF最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），由于C和B关于AD对称，则BF+EF＝CF，

∵等边△ABC中，BD＝CD，∴AD⊥BC，
∴AD是BC的垂直平分线（三线合一），∴C和B关于直线AD对称，
∴CF＝BF，即BF+EF＝CF+EF＝CE，又∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠CEB＝90°，在△ADB和△CEB中，，∴△ADB≌△CEB（AAS），
∴CE＝AD，
∵BC＝6，∴BD＝3，∴AD＝3，即BF+EF＝3．
巩固6. 如图，在边长为1正方形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，3AE＝EB，有一只蚂蚁从E点出发，经过F、G、H，最后回到E点，则蚂蚁所走的最小路程是　　．

【解析】延长DC到D'，使CD＝CD'，G对应位置为G'，则FG＝FG'，
同样作D'A'⊥CD'，D'A'＝DA，H对应的位置为H'，则G'H'＝GH，
再作A'B'⊥D'A'，E的对应位置为E'，

则H'E'＝HE．容易看出，当E、F、G'、H'、E'在一条直线上时路程最小，
最小路程为EE'＝＝＝2


巩固7. 如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠B＝30°，点E，F是线段AC的三等分点，点P是线段BC上的动点，点Q是线段AC上的动点，若AC＝3，则四边形EPQF周长的最小值是　8　．

【解析】过E点作E点关于BC的对称点E′，过F点作F点关于AC的对称点F′，

∵在△ABC中，AC⊥BC，∠B＝30°，AC＝3，
∴AB＝6，
∵点E，F是线段AC的三等分点，
∴EF＝2，
∵E′F′＝AB＝6，
∴四边形EPQF周长的最小值是6+2＝8．
故答案为：8．

巩固8. 如图，长为1的线段AB在x轴上移动C（0，1）、D（0，2），则AC+BD的最小值是　　．

【解析】如图所示，以AB，BD为边构造平行四边形ABDE，作点C关于x轴的对称点F，连接AF，则DE⊥y轴，OF＝OC＝1，

∵四边形ABDE是平行四边形，
∴BD＝AE，DE＝AB＝1，
∵AB垂直平分线CF，
∴AC＝AF，
∴AC+BD＝AE+AF，
如图，当点E，A，F在同一直线上时，AE+AF＝EF（最短），
此时，∵Rt△DEF中，DE＝1，DF＝2+1＝3，
∴EF＝＝＝，
∴AC+BD的最小值是．
故答案为：．



巩固9. 在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝10，G为AD边的中点．如图，若E、F为边AB上的两个动点，且EF＝4，当四边形CGEF的周长最小时，则求AF的长为　　．

【解析】∵E为AB上的一个动点，
∴如图，作G关于A对称点M，在CD上截取CH＝4，然后连接HM交AB于E，接着在EB上截取EF＝4

那么E、F两点即可满足使四边形CGEF的周长最小．
∵在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝10，G为边AD的中点，
∴AG＝AM＝5，MD＝15，而CH＝4，
∴DH＝4，
而AE∥CD，
∴△AEM∽△DHM，
∴AE：HD＝MA：MD，
∴AE＝＝＝，
∴AF＝4+＝．
故答案为：．

巩固10. 如图，矩形ABCO的边OC在x轴上，边OA在y轴上，且点C的坐标为（8，0），点A的坐标为（0，6），点E、F分别足OC、BC的中点，点M，N分别是线段OA、AB上的动点（不与端点重合），则当四边形EFNM的周长最小时，点N的坐标为　（4，6）　．

【解析】如图所示：作点F关于AB的对称点F′，作点E关于y轴的对称点E′，
连接E′F′交AB与点N．

∵C的坐标为（8，0），点A的坐标为（0，6），点E、F分别足OC、BC的中点，
∴OE＝OE′＝4，FB＝CF＝3，
∴E′C＝12，CF′＝9．
∵AB∥CE′，
∴△F′NB∽△F′E′C．
∴＝＝，即＝，解得BN＝4，
∴AN＝4．
∴N（4，6）．
故答案为：（4，6）．
巩固11. 如图，在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝6．P为对角线BD上一点，则PM﹣PN的最大值为　2　．

【解析】如图所示，作以BD为对称轴作N的对称点N'，连接PN'，MN'，

根据轴对称性质可知，PN＝PN'，∴PM﹣PN＝PM﹣PN'≤MN'，
当P，M，N'三点共线时，取“＝”，
∵正方形边长为8，∴AC＝AB＝，
∵O为AC中点，∴AO＝OC＝，
∵N为OA中点，∴ON＝，∴ON'＝CN'＝，∴AN'＝，
∵BM＝6，∴CM＝AB﹣BM＝8﹣6＝2，
∴＝＝
∴PM∥AB∥CD，∠CMN'＝90°，
∵∠N'CM＝45°，
∴△N'CM为等腰直角三角形，
∴CM＝MN'＝2，
即PM﹣PN的最大值为2，
故答案为：2．



巩固12. 如图，两点A、B在直线MN外的同侧，A到MN的距离AC＝16，B到MN的距离BD＝10，CD＝8，点P在直线MN上运动，则|PA﹣PB|的最大值等于　10　．

【解析】延长AB交MN于点P′，
∵P′A﹣P′B＝AB，AB＞|PA﹣PB|，∴当点P运动到P′点时，|PA﹣PB|最大，
∵BD＝10，CD＝8，AC＝16，过点B作BE⊥AC，则BE＝CD＝8，AE＝AC﹣BD＝16﹣10＝6，
∴AB＝＝＝10，∴|PA﹣PB|的最大值等于10，

巩固13. 如图△ABC是边长为2的等边三角形，D是AB边的中点，P是BC边上的动点，Q是AC边上的动点，当P、Q的位置在何处时，才能使△DPQ的周长最小？并求出这个最值．

【解析】作D关于BC、AC的对称点D′、D″，连接D′D″，DQ，DP．
∵DQ＝D″Q，DP＝D′P，∴△DPQ的周长为PQ+DQ+DP＝PQ+D″Q+D′P＝D′D″，
根据两点之间线段最短，D′D″的长即为三角形周长的最小值．
∵∠A＝∠B＝60°，∠BED＝∠AFD＝90°，∴∠α＝∠β＝90°﹣60°＝30°，
∠D′DD″＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∵D为AB的中点，∴DF＝AD•cos30°＝1×＝，AF＝，
易得△ADF≌△QD''F，∴QF＝AF＝，∴AQ＝1，BP＝1，
Q、P为AC、BC中点．∴DD″＝×2＝，同理DD′＝×2＝，∴△DD′D″为等腰三角形，
∴∠D′＝∠D″＝＝30°，∴D″D′＝2DD′•cos30°＝2××＝3．
巩固14. 如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设CD＝x．
（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；
（2）请问AC+CE的值是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在请说明理由．
（3）根据（2）中的规律和结论，请直接写出出代数式+的最小值为　25　．

【解析】（1）由线段的和差，得BC＝（8﹣x）．
由勾股定理，得AC+CE＝+＝+＝+；

（2）当A、C、E在同一直线上，AC+CE最小；当A、C、E在同一直线上时，延长AB，作EF⊥AB于点F，
∵AB＝5，DE＝1，∴AF＝6，又∵∠ABD＝90°，∴∠FBD＝90°，
∵∠BDE＝∠BFE＝90°，∴四边形BFED是矩形，∴BD＝EF＝8，
∴AE＝＝＝10；

（3）如下图所示：作BD＝24，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB＝3，ED＝4，连接AE交BD于点C，当BC＝x，
∵x+y＝24，∴y＝24﹣x，AE的长即为代数式的最小值，
过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，则AB＝DF＝3，AF＝BD＝24，
所以AE＝＝＝25，即代数式+的最小值为25，中考数学几何模型8：费马点最值模型
费马尔问题思考：
如何找一点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？







当B、P、Q、E四点共线时取得最小值

费马点的定义：数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。
它是这样确定的：
1. 如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；
2. 如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。
费马点的性质：费马点有如下主要性质：
1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。
2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。
费马点最小值快速求解：
费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．
秘诀：以△ABC任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值



例题1. 已知：△ABC是锐角三角形，G是三角形内一点。∠AGC=∠AGB=∠BGC=120°.
求证：GA+GB+GC的值最小.
证明：将△BGC逆时针旋转60°，连GP,DB.则 △CGB≌△CPD；
∴∠CPD=∠CGB=120°,CG=CP,GB=PD, BC=DC,∠GCB=∠PCD.
∵∠GCP=60°, ∠BCD=60°,
∴△GCP和△BCD都是等边三角形。
∵∠AGC=120°, ∠CGP=60°.∴ A、G、P三点一线。
∵∠CPD=120°, ∠CPG=60°.∴ G、P、D三点一线。
∴AG、GP、PD三条线段同在一条直线上。
∵ GA+GC+GB=GA+GP+PD=AD，∴G点是等腰三角形内到三个顶点的距离之和最小的那一点

练习1．如图，是边长为1的等边内的任意一点，求的取值范围.

解：将绕点顺时针旋转60°得到，
易知为等边三角形.
从而
（两点之间线段最短），从而.
过作的平行线分别交于点，
易知.
因为在和中，
①，
②。
又，所以③.
①+②+③可得，
即.综上，的取值范围为.
例题2. 已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为，求正方形的边长．

【解析】如图2，连接AC，把△AEC绕点C顺时针旋转60°，得到△GFC，连接EF、BG、AG，
可知△EFC、△AGC都是等边三角形，则EF=CE．又FG=AE，
∴AE+BE+CE = BE+EF+FG．
∵ 点B、点G为定点（G为点A绕C点顺时针旋转60°所得）．
∴ 线段BG即为点E到A、B、C三点的距离之和的最小值，此时E、F两点都在BG上．
设正方形的边长为，那么BO=CO=，GC=, GO=．
∴ BG=BO+GO =+．
∵ 点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为．∴ +=，解得=2．
【小结】本题旋转△AEB、△BEC也都可以，但都必须绕着定点旋转，读者不妨一试．

练习2．若P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC=60°，PA=3，PC=4, 求PB的值.





例题3. 如图，矩形ABCD是一个长为1000米，宽为600米的货场，A、D是入口，现拟在货场内建一个收费站P，在铁路线BC段上建一个发货站台H，设铺设公路AP、DP以及PH之长度和为l，求l的最小值．

【解析】，线段A1E为最短．

练习3．如图，某货运场为一个矩形场地ABCD，其中AB＝500米，AD＝800米，顶点A，D为两个出口，现在想在货运广场内建一个货物堆放平台P，在BC边上（含B，C两点）开一个货物入口M，并修建三条专用车道PA，PD，PM．若修建每米专用车道的费用为10000元，当M，P建在何处时，修建专用车道的费用最少？最少费用为多少？（结果保留整数）

连接AM，DM，将△ADP绕点A逆时针旋转60°，得△AP′D′，
由（2）知，当M，P，P′，D′在同一条直线上时，AP+PM+DP最小，最小值为D′N，
∵M在BC上，∴当D′M⊥BC时，D′M取最小值，设D′M交AD于E，
∵△ADD′是等边三角形，∴EM＝AB＝500，∴BM＝400，PM＝EM﹣PE＝500﹣，
∴D′E＝AD＝400，∴D′M＝400+500，
∴最少费用为10000×（400+500）＝1000000（4+5）元；
∴M建在BC中点（BM＝400米）处，点P在过M且垂直于BC的直线上，且在M上方（500﹣）米处，最少费用为1000000（4+5）元．
例题4. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣6，0），B（6，0），C（0，4），延长AC到点D，使CD＝AC，过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E．
（1）求D点的坐标；
（2）作C点关于直线DE的对称点F，分别连接DF、EF，若过B点的直线y＝kx+b将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；
（3）在第二问的条件下，设G为y轴上一点，点P从直线y＝kx+b与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短．（要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明）

【解析】（1）∵A（﹣6，0），C（0，4）
∴OA＝6，OC＝4，设DE与y轴交于点M
由DE∥AB可得△DMC∽△AOC，又∵CD＝AC
∴，∴CM＝2，MD＝3，同理可得EM＝3，∴OM＝6，∴D点的坐标为（3，6）
（2）由（1）可得点M的坐标为（0，6）
由DE∥AB，EM＝MD，可得y轴所在直线是线段ED的垂直平分线
∴点C关于直线DE的对称点F在y轴上，∴ED与CF互相垂直平分
∴CD＝DF＝FE＝EC，∴四边形CDFE为菱形，且点M为其对称中心
作直线BM，设BM与CD、EF分别交于点S、点T，
可证△FTM≌△CSM，∴FT＝CS，
∵FE＝CD，∴TE＝SD，
∵EC＝DF，∴TE+EC+CS+ST＝SD+DF+FT+TS，
∴直线BM将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，
由点B（6，0），点M（0，6）在直线y＝kx+b上，可得直线BM的解析式为y＝﹣x+6
（3）解法1 ∵ BQ=AQ， ∴MQ＋2AQ最小就是MQ＋AQ＋BQ最小，就是在直线MO上找点G使他到A、B、M三点的距离和最小．至此，再次发现这又是一个费尔马问题的变形，注意到题目中等边三角形的信息，考虑作旋转变换．
把△MQB绕点B顺时针旋转60°，得到△M′Q′B，连接QQ′、MM′（图5），可知△QQ′B、△MM′B都是等边三角形，则QQ′=BQ．
又M′Q′=MQ，∴MQ＋AQ＋BQ= M′Q′+ QQ′+AQ．
∵点A、M′为定点，所以当Q、Q′两点在线段A M′上时，MQ＋AQ＋BQ最小．由条件可证明Q′点总在AM′上，所以A M′与OM的交点就是所要的G点（图6）．可证OG=MG．

图5 图6 图7

解法2 考虑MQ＋AQ最小，过Q作BM的垂线交BM于K，由OB=6，OM=，可得∠BMO＝30°，所以QK＝MQ．要使MQ＋AQ最小，只需使AQ＋QK最小， 根据“垂线段最短”，可推出当点A、Q、K在一条直线上时，AQ+QK最小，并且此时的QK垂直于BM，此时的点Q即为所求的点G（图7）．
过A点作AH⊥BM于H,则AH与y轴的交点为所求的G点.
由OB=6，OM=，可得∠OBM=60°，∴∠BAH=30°
在Rt△OAG中，OG=AO·tan∠BAH=
∴G点的坐标为（0，）（G点为线段OC的中点）．

例题5. 如图1，已知一次函数y＝x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c过A、
B两点，且与x轴交于另一点C．
（1）求b、c的值；
（2）如图1，点D为AC的中点，点E在线段BD上，且BE＝2ED，连接CE并延长交抛物线于点M，求点M的坐标；
（3）将直线AB绕点A按逆时针方向旋转15°后交y轴于点G，连接CG，如图2，P为△ACG内一点，连接PA、PC、PG，分别以AP、AG为边，在他们的左侧作等边△APR，等边△AGQ，连接QR
①求证：PG＝RQ；
②求PA+PC+PG的最小值，并求出当PA+PC+PG取得最小值时点P的坐标．

【解析】（1）∵一次函数y＝x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴A（﹣3，0），B（0，3），
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c过A、B两点，∴解得，∴b＝﹣2，c＝3．
（2），对于抛物线y＝﹣x2﹣2x+3，令y＝0，则﹣x2﹣2x+3＝0，解得x＝﹣3或1，
∴点C坐标（1，0），
∵AD＝DC＝2，∴点D坐标（﹣1，0），
∵BE＝2ED，∴点E坐标（﹣，1），
设直线CE为y＝kx+b，把E、C代入得到解得，∴直线CE为y＝﹣x+，
由解得或，∴点M坐标（﹣，）．
（3）①∵△AGQ，△APR是等边三角形，
∴AP＝AR，AQ＝AG，∠QAC＝∠RAP＝60°，
∴∠QAR＝∠GAP，
在△QAR和△GAP中，，
∴△QAR≌△GAP，∴QR＝PG．

②如图3中，∵PA+PG+PC＝QR+PR+PC＝QC，
∴当Q、R、P、C共线时，PA+PG+PC最小，
作QN⊥OA于N，AM⊥QC于M，PK⊥OA于K．
∵∠GAO＝60°，AO＝3，
∴AG＝QG＝AQ＝6，∠AGO＝30°，
∵∠QGA＝60°，∴∠QGO＝90°，∴点Q坐标（﹣6，3），
在RT△QCN中，QN＝3，CN＝7，∠QNC＝90°，
∴QC＝＝2，
∵sin∠ACM＝＝，∴AM＝，
∵△APR是等边三角形，∴∠APM＝60°，∵PM＝PR，cos30°＝，
∴AP＝，PM＝RM＝，∴MC＝＝，∴PC＝CM﹣PM＝，
∵＝＝，∴CK＝，PK＝，∴OK＝CK﹣CO＝，
∴点P坐标（﹣，）．
∴PA+PC+PG的最小值为2，此时点P的坐标（﹣，）．
巩固1. 如图，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME的最小值为______．

【分析】依然构造60°旋转，将三条折线段转化为一条直线段．
分别以AD、AM为边构造等边△ADF、等边△AMG，连接FG，
易证△AMD≌△AGF，∴MD=GF，∴ME+MA+MD=ME+EG+GF
过F作FH⊥BC交BC于H点，线段FH的长即为所求的最小值．

巩固2. 如图，P为正方形ABCD对角线BD上一动点，若AB＝2，则AP+BP+CP的最小值为（　　）

A．+ B．+ C．4 D．3
【解析】如图将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AEF，当E、F、P、C共线时，PA+PB+PC最小．
理由：∵AP＝AF，∠PAF＝60°，∴△PAF是等边三角形，∴PA＝PF＝AF，EF＝PB，
∴PA+PB+PC＝EF+PF+PC，∴当E、F、P、C共线时，PA+PB+PC最小，
作EM⊥DA交DA的延长线于M，ME的延长线交CB的延长线于N，则四边形ABNM是矩形，
在RT△AME中，∵∠M＝90°，∠MAE＝30°，AE＝2，
∴ME＝1，AM＝BN＝，MN＝AB＝2，EN＝1，
∴EC＝＝＝
＝＝＝+．∴PA+PB+PC的最小值为+．故选：B．

巩固3．如图，四边形ABCD是菱形，AB＝4，且∠ABC＝∠ABE＝60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM，则AM+BM+CM的最小值为　4　．

【解析】如图，连接MN，∵△ABE是等边三角形，∴BA＝BE，∠ABE＝60°．
∵∠MBN＝60°，∴∠MBN﹣∠ABN＝∠ABE﹣∠ABN．即∠MBA＝∠NBE．
又∵MB＝NB，∴△AMB≌△ENB（SAS），∴AM＝EN，
∵∠MBN＝60°，MB＝NB，∴△BMN是等边三角形．∴BM＝MN．∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．
根据“两点之间线段最短”，得EN+MN+CM＝EC最短
∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长，
过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，∴∠EBF＝180°﹣120°＝60°，
∵BC＝4，∴BF＝2，EF＝2，在Rt△EFC中，∵EF2+FC2＝EC2，EC＝4．

巩固4．将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点B、C落在格点上，点A在BC的垂直平分线上，∠ABC＝30°，点P为平面内一点．
（1）∠ACB＝　30　度；
（2）如图，将△APC绕点C顺时针旋转60°，画出旋转后的图形（尺规作图，保留痕迹）；
（3）AP+BP+CP的最小值为　　．

【解析】（1）∵点A在BC的垂直平分线上．∴AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ABC＝30°，∴∠ACB＝30°．故答案为30°．
（2）如图△CA′P′就是所求的三角形．
（3）如图当B、P、P′、A′共线时，PA+PB+PC＝PB+PP′+P′A的值最小，
此时BC＝5，AC＝CA′＝，BA′＝＝．故答案为．
巩固5．如图，四个村庄坐落在矩形ABCD的四个顶点上，AB＝10公里，BC＝15公里，现在要设立两个车站E，F，则EA+EB+EF+FC+FD的最小值为　（15+10）　公里．

【解析】如图1，将△AEB绕A顺时针旋转60°得△AGH，连接BH、EG，将△DFC绕点D逆时针旋转60°得到△DF'M，连接CM、FF'，

由旋转得：AB＝AH，AE＝AG，∠EAG＝∠BAH＝60°，BE＝GH，
∴△AEG和△ABH是等边三角形，∴AE＝EG，
同理得：△DFF'和△DCM是等边三角形，DF＝FF'，FC＝F'M，
∴当H、G、E、F、F'、M在同一条直线上时，EA+EB+EF+FC+FD有最小值，如图2，

∵AH＝BH，DM＝CM，∴HM是AB和CD的垂直平分线，∴HM⊥AB，HM⊥CD，
∵AB＝10，∴△ABH的高为5，
∴EA+EB+EF+FC+FD＝EG+GH+EF+FF'+F'M＝HM＝15+5+5＝15+10，
则EA+EB+EF+FC+FD的最小值是（15+10）公理．
故答案为：（15+10）．
巩固6．已知，在△ABC中，∠ACB＝30°
（1）如图1，当AB＝AC＝2，求BC的值；
（2）如图2，当AB＝AC，点P是△ABC内一点，且PA＝2，PB＝，PC＝3，求∠APC的度数；
（3）如图3，当AC＝4，AB＝（CB＞CA），点P是△ABC内一动点，则PA+PB+PC的最小值为　　．

【解析】（1）如图1中，作AP⊥BC于P．

∵AB＝AC，AP⊥BC，∴BP＝PC，
在Rt△ACP中，∵AC＝2，∠C＝30°，∴PC＝AC•cos30°＝，∴BC＝2PC＝2．
（2）如图2中，将△APB绕点A逆时针旋转120°得到△QAC．

∵AB＝AC，∠C＝30°，∴∠BAC＝120°，∴PA＝AQ＝2，PB＝QC＝，
∵∠PAQ＝120°，∴PQ＝2，∴PQ2+PC2＝QC2，∴∠QPC＝90°，
∵∠APQ＝30°，∴∠APC＝30°+90°＝120°．
（3）如图3中，将△BCP绕点C逆时针旋转60°得到△CB′P′，连接PP′，AB′，则∠ACB′＝90°．

∵PA+PB+PC＝PA+PP′+P′B′，∴当A，P，P′，B′共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值＝AB′的长，
由AB＝，AC＝4，∠C＝30°，可得BC＝CB′＝3，∴AB′＝＝
巩固7．如图l，在△ABC中，∠ACB＝90°，点P为△ABC内一点．
（1）连接PB，PC，将△BCP沿射线CA方向平移，得到△DAE，点B，C，P的对应点分别为点D、A、E，连接CE．
①依题意，请在图2中补全图形；
②如果BP⊥CE，BP＝3，AB＝6，求CE的长
（2）如图3，以点A为旋转中心，将△ABP顺时针旋转60°得到△AMN，连接PA、PB、PC，当AC＝3，AB＝6时，根据此图求PA+PB+PC的最小值．

【解析】（1）①补全图形如图所示；

②如图，连接BD、CD

∵△BCP沿射线CA方向平移，得到△DAE，∴BC∥AD且BC＝AD，
∵∠ACB＝90°，∴四边形BCAD是矩形，∴CD＝AB＝6，
∵BP＝3，∴DE＝BP＝3，
∵BP⊥CE，BP∥DE，∴DE⊥CE，∴在Rt△DCE中，CE＝＝＝3；

（2）证明：如图所示，以点A为旋转中心，将△ABP顺时针旋转60°得到△AMN，连接BN．
由旋转可得，△AMN≌△ABP，
∴MN＝BP，PA＝AM，∠PAM＝60°＝∠BAN，AB＝AN，
∴△PAM、△ABN都是等边三角形，∴PA＝PM，
∴PA+PB+PC＝CP+PM+MN，
当AC＝3，AB＝6时，BC＝3，
∴sin∠ABC＝，∴∠ABC＝30°，∵∠ABN＝60°，∴∠CBN＝90°
当C、P、M、N四点共线时，PA+PB+PC的值最小，
最小值＝CN＝＝＝3．

巩固8．（1）阅读证明
①如图1，在△ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P为△ABC的费马点，此时PA+PB+PC的值为△ABC的费马距离．
②如图2，已知点P为等边△ABC外接圆的上任意一点．求证：PB+PC＝PA．
（2）知识迁移
根据（1）的结论，我们有如下探寻△ABC（其中∠A，∠B，∠C均小于120°）的费马点和费马距离的方法：
第一步：如图3，在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆；
第二步：在上取一点P0，连接P0A，P0B，P0C，P0D．易知P0A+P0B+P0C＝P0A+（P0B+P0C）＝P0A+　P0D　；
第三步：根据（1）①中定义，在图3中找出△ABC的费马点P，线段　AD　的长度即为△ABC费马距离．
（3）知识应用
已知三村庄A，B，C构成了如图4所示的△ABC（其中∠A，∠B，∠C均小于120°），现选取一点P打水井，使水井P到三村庄A，B，C所铺设的输水管总长度最小．求输水管总长度的最小值．

【解析】（1）如图2，延长BP至E，使PE＝PC．

∵在等边△ABC中，∴∠EPC＝∠BAC＝60°，又∵PC＝PE，∴△PCE为等边三角形，
∴PC＝PE，∠PCE＝60°，∴∠BCP+∠PCE＝∠ACB+∠BCP，∴∠ACP＝∠BCE，
∵在△ACP和△BCE中，，∴△ACP≌△BCE（SAS）．∴AP＝BE＝BP+PE＝BP+PC；
（2）由（1）得出：第一步：如图3，在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆；
第二步：在上取一点P0，连接P0A，P0B，P0C，P0D．易知P0A+P0B+P0C＝P0A+（P0B+P0C）＝P0A+P0D；
第三步：根据（1）①中定义，在图3中找出△ABC的费马点P，线段AD的长度即为△ABC的费马距离．

（3）如图4，以BC为边在△ABC的外部作等边△BCD，连接AD．
∴AD的长就是△ABC的费马距离．可得∠ABD＝90°，∴AD＝＝5（km）．
∴输水管总长度的最小值为5千米．中考数学几何模型9：隐圆模型
触发隐圆模型的类型
（1）动点定长模型

若P为动点，但AB=AC=AP 原理：圆A中，AB=AC=AP
则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径 备注：常转全等或相似证明出定长

（2）直角圆周角模型

固定线段AB所对动角∠C恒为90° 原理：圆O中，圆周角为90°所对弦是直径
则A、B、C三点共圆，AB为直径 备注：常通过互余转换等证明出动角恒为直角

（3）定弦定角模型




固定线段AB所对动角∠P为定值 原理：弦AB所对同侧圆周角恒相等
则点P运动轨迹为过A、B、C三点的圆 备注：点P在优弧、劣弧上运动皆可


（4）四点共圆模型①

若动角∠A+动角∠C=180° 原理：圆内接四边形对角互补
则A、B、C、D四点共圆 备注：点A与点C在线段AB异侧

（5）四点共圆模型②

固定线段AB所对同侧动角∠P=∠C 原理：弦AB所对同侧圆周角恒相等
则A、B、C、P四点共圆 备注：点P与点C需在线段AB同侧

圆中旋转最值问题

条件：线段AB绕点O旋转一周，点M是线段AB上的一动点，点C是定点
（1）求CM最小值与最大值；（2）求线段AB扫过的面积；（3）求最大值与最小值
作法：如图建立三个同心圆，作OM⊥AB，B、A、M运动路径分别为大圆、中圆、小圆
结论：①CM1最小，CM3最大
②线段AB扫过面积为大圆与小圆组成的圆环面积
③最小值以AB为底，CM1为高；最大值以AB为底，CM2为高
例题1. 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A`MN，连接A`C，则A`C长度的最小值是__________．

【分析】考虑△AMN沿MN所在直线翻折得到△A’MN，可得MA’=MA=1，所以A’轨迹是以M点为圆心，MA为半径的圆弧．连接CM，与圆的交点即为所求的A’，此时A’C的值最小．构造直角△MHC，勾股定理求CM，再减去A’M即可，答案为．


练习1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是__________．

【分析】考虑到将△FCE沿EF翻折得到△FPE，可得P点轨迹是以F点为圆心，FC为半径的圆弧．过F点作FH⊥AB，与圆的交点即为所求P点，此时点P到AB的距离最小．由相似先求FH，再减去FP，即可得到PH．答案为1.2.

例题2. 如图，已知圆C的半径为3，圆外一定点O满足OC=5，点P为圆C上一动点，经过点O的直线l上有两点A、B，且OA=OB，∠APB=90°，l不经过点C，则AB的最小值为________．

【分析】连接OP，根据△APB为直角三角形且O是斜边AB中点，可得OP是AB的一半，若AB最小，则OP最小即可．连接OC，与圆C交点即为所求点P，此时OP最小，AB也取到最小值．答案为4.


练习2．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P、Q分别是直线BC、AB上的两个动点，AE=2，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF、PD，则PF+PD的最小值是___8______．

【分析】F点轨迹是以E点为圆心，EA为半径的圆，作点D关于BC对称点D’，连接PD’，PF+PD化为PF+PD’．连接ED’，与圆的交点为所求F点，与BC交点为所求P点，勾股定理先求ED‘,再减去EF即可．

例题3. 如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE=DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H，若正方形边长为2，则线段DH长度的最小值是________．　

【分析】根据条件可知：∠DAG=∠DCG=∠ABE，易证AG⊥BE，即∠AHB=90°，所以H点轨迹是以AB为直径的圆弧当D、H、O共线时，DH取到最小值，勾股定理可求．答案为


练习3．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=8，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值是_________．

【分析】∵∠PBC+∠PBA=90°，∠PBC=∠PAB，∴∠PAB+∠PBA=90°，∴∠APB=90°，
∴P点轨迹是以AB为直径的圆弧．当O、P、C共线时，CP取到最小值，勾股定理求OC，再减OP即可


例题4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=10，点D是AC上的一个动点，以CD为直径作圆O，连接BD交圆O于点E，则AE的最小值为_________．

【分析】连接CE，由于CD为直径，故∠CED=90°，考虑到CD是动线段，故可以将此题看成定线段CB对直角∠CEB．取CB中点M，所以E点轨迹是以M为圆心、CB为直径的圆弧．连接AM，与圆弧交点即为所求E点，此时AE值最小，．


练习4．如图，正方形ABCD的边长为4，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为　 　．

【分析】首先考虑整个问题中的不变量，仅有AE=CF，BG⊥EF，但∠BGE所对的BE边是不确定的．
重点放在AE=CF，可得EF必过正方形中心O点，连接BD，与EF交点即为O点．
∠BGO为直角且BO边为定直线，故G点轨迹是以BO为直径的圆．记BO中点为M点，当A、G、M共线时，AG取到最小值，利用Rt△AOM勾股定理先求AM，再减去GM即可．答案为　


例题5. 如图，等边△ABC边长为2，E、F分别是BC、CA上两个动点，且BE=CF，连接AE、BF，交点为P点，则CP的最小值为________．

【分析】由BE=CF可推得△ABE≌△BCF，所以∠APF=60°，但∠APF所对的边AF是变化的．所以考虑∠APB=120°，其对边AB是定值．所以如图所示，P点轨迹是以点O为圆心的圆弧．（构造OA=OB且∠AOB=120°）
当O、P、C共线时，可得CP的最小值，利用Rt△OBC勾股定理求得OC，再减去OP即可．





练习5．在△ABC中，AB=4，∠C=60°，∠A>∠B，则BC的长的取值范围是________．
【分析】先作图，如下
答案为：
条件不多，但已经很明显，AB是定值，∠C=60°，即定边对定角．故点C的轨迹是以点O为圆心的圆弧．（作AO=BO且∠AOB=120°）题意要求∠A>∠B，即BC>AC，故点C的轨迹如下图．当BC为直径时，BC取到最大值为，考虑∠A为△ABC中最大角，故BC为最长边，BC>AB=4．无最小值．


例题6. 如图，ABCD为正方形，O为AC、BD的交点，△DCE为Rt△，∠CED＝90°，∠DCE＝30°，若OE＝，则正方形的面积为（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2
【解析】如图，过点O作OM⊥CE于M，作ON⊥DE交ED的延长线于N，
∵∠CED＝90°，∴四边形OMEN是矩形，
∴∠MON＝90°，
∵∠COM+∠DOM＝∠DON+∠DOM，
∴∠COM＝∠DON，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OC＝OD，
在△COM和△DON中，
∴△COM≌△DON（AAS），
∴OM＝ON，
∴四边形OMEN是正方形，
设正方形ABCD的边长为2a，
∵∠DCE＝30°，∠CED＝90°
∴DE＝a，CE＝a， 亦可按隐圆模型解答
设DN＝x，x+DE＝CE﹣x，解得：x＝，
∴NE＝x+a＝，
∵OE＝NE，∴＝•，∴a＝1，
∴S正方形ABCD＝4
故选：B．

练习6．如图， BE，CF为△ABC的高，且交于点H，连接AH并延长交于BC于点D，求证：AD⊥BC.


例题7. 如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，AC为对角线，过点D作DF⊥AB，垂足为E，交CB延长线于点F，若AC＝CF，∠CAD＝∠CFD，DF﹣AD＝2，AB＝6，则ED的长为　　．

【解析】∵∠CAD＝∠CFD，∴点A，F，C，D四点共圆，
∴∠FAD+∠DCF＝180°，∠FAC＝∠FDC，
∵∠DCF＝90°，∴∠FAD＝90°，
∵AC＝FC，∴∠FAC＝∠AFC，
∵DF⊥AB，∴∠ABF+∠BFE＝∠CDF+∠BFE＝90°，
∴∠ABF＝∠CDF，∴∠AFB＝∠ABF，∴AF＝AB＝6，
∵DF﹣AD＝2，∴DF＝AD+2，
∵DF2＝AF2+AD2，∴（2+AD）2＝62+AD2，
解得：AD＝8，∴DF＝10，
∵∠FAD＝90°，AE⊥DF，∴△ADE∽△DAF，
∴＝，∴DE＝＝＝，故答案为：．


练习7．（1）如图1，E是正方形ABCD的边AB上的一点，过点E作DE的垂线交∠ABC的外角平分线于点F，求证：FE=DE.
（2）如图2，正方形ABCD，∠EAF＝45°，当点E，F分别在对角线BD、边CD上，若FC＝6，则BE的长为　3　．

图1 图2
证明：（1）如图，连接DB、DF.

∵四边形ABCD是正方形，且BF是∠CBA的外角平分线，∴∠CBF=45°，∠DBC=45°， ∴∠DBF=90°．
又∵∠DEF=90°，∴D、E、B、F四点共圆．∴∠DFE=∠DBE=45°（同弧所对的圆周角相等）．
∴△DEF是等腰直角三角形．∴FE=DE．

（2）作△ADF的外接圆⊙O，连接EF、EC，过点E分别作EM⊥CD于M，EN⊥BC于N（如图）
∵∠ADF＝90°，∴AF为⊙O直径，∵BD为正方形ABCD对角线，∴∠EDF＝∠EAF＝45°，
∴点E在⊙O上，∴∠AEF＝90°，∴△AEF为等腰直角三角形，∴AE＝EF，
在△ABE与△CBE中，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴AE＝CE，∴CE＝EF，
∵EM⊥CF，CF＝6，∴CM＝CF＝3，∵EN⊥BC，∠NCM＝90°，∴CMEN是矩形，∴EN＝CM＝3，
∵∠EBN＝45°，∴BE＝EN＝3
例题8. 在锐角△ABC中，AB＝4，BC＝5，∠ACB＝45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1，
点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应
点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．

【解析】如图，过点B作BD⊥AC，D为垂足，
因为△ABC为锐角三角形，所以点D在线段AC上，
在Rt△BCD中，BD＝BC×sin45°＝；
①当P在AC上运动与AB垂直的时候，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小，最小值为：EP1＝BP1﹣BE＝BD﹣BE＝﹣2；
②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，最大值为：EP1＝BC+BE＝2+5＝7．

练习8．如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合）．直线l是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应点是点B’．当PB=6时，在直线l变化过程中，求△ACB’面积的最大值．

【分析】考虑l是经过点P的直线，且△ABC沿直线l折叠，所以B’轨迹是以点P为圆心，PB为半径的圆弧．考虑△ACB’面积最大，因为AC是定值，只需B’到AC距离最大即可．过P作作PH⊥AC交AC于H点，与圆的交点即为所求B’点，先求HB’，再求面积．答案为.

巩固1. 如图， AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB=10，AC=8．D是弧BC上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE．在点D移动的过程中，BE的最小值为　 　．

【分析】E是动点，E点由点C向AD作垂线得来，∠AEC=90°，且AC是一条定线段，所以E点轨迹是以AC为直径的圆弧．当B、E、M共线时，BE取到最小值．连接BC，勾股定理求BM，再减去EM即可．


巩固2. 如图，以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形ABE，∠AEB＝90°，AC、BD交于O．已知AE、BE的长分别为3，5，求三角形OBE的面积．

巩固3. 如图，正方形ABCD的边长是4，点E是AD边上一动点，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，点P是AD边上另一动点，则PC+PF的最小值为________．

【分析】∠AFB=90°且AB是定线段，故F点轨迹是以AB中点O为圆心、AB为直径的圆．考虑PC+PF是折线段，作点C关于AD的对称点C’，化PC+PF为PC’+PF，当C’、P、F、O共线时，取到最小值．


巩固4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=4，D是BC上一动点，CE⊥AD于E，EF⊥AB交BC于点F，则CF的最大值是_________．

【分析】∠AEC=90°且AC为定值，故E点轨迹是以AC为直径的圆弧．考虑EF⊥AB，且E点在圆上，故当EF与圆相切的时候，CF取到最大值．连接OF，易证△OCF≌△OEF，∠COF=30°，故CF可求

巩固5. 如图，△ABC为等边三角形，AB=3，若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB=∠ACP，则线段PB长度的最小值为________．


巩固6. 如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB＝5cm，AC＝4cm．D是弧BC上的一个动点（含端点B，不含端点C），连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE，在点D移动的过程中，BE的取值范围是　﹣2≤BE＜3　．

【解析】如图，由题意知，∠AEC＝90°，
∴E在以AC为直径的⊙M的上（不含点C、可含点N），
∴BE最短时，即为连接BM与⊙M的交点（图中点E′点），
∵AB＝5，AC＝4，∴BC＝3，CM＝2，
则BM＝＝＝，
∴BE长度的最小值BE′＝BM﹣ME′＝﹣2，
BE最长时，即E与C重合，
∵BC＝3，且点E与点C不重合，∴BE＜3，
综上，﹣2≤BE＜3，
故答案为：﹣2≤BE＜3．

巩固7. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝12，点D为线段BC上一动点．以CD为⊙O直径，作AD交⊙O于点E，连BE，则BE的最小值为　8　．

【解析】解：如图，连接CE，∴∠CED＝∠CEA＝90°，∴点E在以AC为直径的⊙Q上，
∵AC＝10，∴QC＝QE＝5，
当点Q、E、B共线时BE最小，
∵BC＝12，∴QB＝＝13，∴BE＝QB﹣QE＝8，BE的最小值为8，故答案为8．

巩固8. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为　2﹣2　．

【解析】连结AE，如图1，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝，∴AB＝AC＝4，
∵AD为直径，∴∠AED＝90°，∴∠AEB＝90°，
∴点E在以AB为直径的⊙O上，
∵⊙O的半径为2，
∴当点O、E、C共线时，CE最小，如图2，
在Rt△AOC中，∵OA＝2，AC＝4，∴OC＝＝2，
∴CE＝OC﹣OE＝2﹣2，
即线段CE长度的最小值为2﹣2．故答案为2﹣2．

巩固9. 如图，在矩形ABCD中，已知AB＝4，BC＝8，点O、P分别是边AB、AD的中点，点H是边CD上的一个动点，连接OH，将四边形OBCH沿OH折叠，得到四边形OFEH，连接PE，则PE长度的最小值是　2﹣2　．

【解析】如图，连接EO、PO、OC．

∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠OAP＝90°，
在Rt△OBC中，BC＝8，OB＝2，∴OC＝＝2，
在Rt△AOP中，OA＝2，PA＝4，∴OP＝＝2，
∵OE＝OC＝2，PE≥OE﹣OP，∴PE的最小值为2﹣2．故答案为2﹣2．
巩固10. 如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB边上一点，且AE＝2，点F是边BC上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG，CG，则四边形AGCD的面积的最小值为　　．

【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝3，AD＝BC＝4，∠ABC＝∠D＝90°，根据勾股定理得，AC＝5，
∵AB＝3，AE＝2，
∴点F在BC上的任何位置时，点G始终在AC的下方，
设点G到AC的距离为h，（微信公众号：数学三剑客）
∵S四边形AGCD＝S△ACD+S△ACG＝AD×CD+AC×h＝×4×3+×5×h＝h+6，
∴要四边形AGCD的面积最小，即：h最小，
∵点G是以点E为圆心，BE＝1为半径的圆上在矩形ABCD内部的一部分点，
∴EG⊥AC时，h最小，即点E，点G，点H共线．
由折叠知∠EGF＝∠ABC＝90°，
延长EG交AC于H，则EH⊥AC，
在Rt△ABC中，sin∠BAC＝，
在Rt△AEH中，AE＝2，sin∠BAC＝，
∴EH＝AE＝，∴h＝EH﹣EG＝﹣1＝，∴S四边形AGCD最小＝h+6＝+6＝．
故答案为：．
中考数学几何模型10：胡不归最值模型
在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如PA+PB最值，除此之外我们还可能会遇上形如“PA+kP”这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：（1）胡不归问题；（2）阿氏圆．
【故事介绍】
从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”）

而如果先沿着驿道AC先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？

【模型建立】
如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1

【问题分析】
，记，即求BC+kAC的最小值．


【问题解决】
构造射线AD使得sin∠DAN=k，即，CH=kAC．

将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．


【模型总结】
在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．而这里的PB必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段．





例题1. 如图，△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则的最小值是_______．

【分析】本题关键在于处理“”，考虑tanA=2，△ABE三边之比为，，故作DH⊥AB交AB于H点，则．问题转化为CD+DH最小值，故C、D、H共线时值最小，此时．
【小结】本题简单在于题目已经将BA线作出来，只需分析角度的三角函数值，作出垂线DH，即可解决问题，若稍作改变，将图形改造如下：则需自行构造α，如下图，这一步正是解决“胡不归”问题关键所在．

练习1．如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则的最小值等于________．

【分析】考虑如何构造“”，已知∠A=60°，且sin60°=，故延长AD，作PH⊥AD延长线于H点，即可得，将问题转化为：求PB+PH最小值．当B、P、H三点共线时，可得PB+PH取到最小值，即BH的长，解直角△ABH即可得BH长．
例题2. 如图，AC是圆O的直径，AC＝4，弧BA＝120°，点D是弦AB上的一个动点，那么OD+BD的最小值为（　　）

A． B． C． D．
【解析】∵的度数为120°，∴∠C＝60°，∵AC是直径，∴∠ABC＝90°，∴∠A＝30°，
作BK∥CA，DE⊥BK于E，OM⊥BK于M，连接OB．∵BK∥AC，∴∠DBE＝∠BAC＝30°，
在Rt△DBE中，DE＝BD，∴OD+BD＝OD+DE，
根据垂线段最短可知，当点E与M重合时，OD+BD的值最小，最小值为OM，
∵∠BAO＝∠ABO＝30°，∴∠OBM＝60°，
在Rt△OBM中，∵OB＝2，∠OBM＝60°，∴OM＝OB•sin60°＝，∴DB+OD的最小值为，

练习2．如图，△ABC中，∠BAC＝30°且AB＝AC，P是底边上的高AH上一点．若AP+BP+CP的最小值为2，则BC＝　﹣　．

【解析】如图将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AMG．连接PG，CM．
∵AB＝AC，AH⊥BC，∴∠BAP＝∠CAP，又∵PA＝PA，∴△BAP≌△CAP（SAS），∴PC＝PB，
∵MG＝PB，AG＝AP，∠GAP＝60°，∴△GAP是等边三角形，∴PA＝PG，∴PA+PB+PC＝CP+PG+GM，
∴当M，G，P，C共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值为线段CM的长，
∵AP+BP+CP的最小值为2，∴CM＝2，
∵∠BAM＝60°，∠BAC＝30°，∴∠MAC＝90°，∴AM＝AC＝2，
作BN⊥AC．则BN＝AB＝1，AN＝，CN＝2﹣，∴BC＝＝＝﹣．
例题3. 等边三角形ABC的边长为6，将其放置在如图所示的平面直角坐标系中，其中BC边在x轴上，BC边的高OA在Y轴上．一只电子虫从A出发，先沿y轴到达G点，再沿GC到达C点，已知电子虫在Y轴上运动的速度是在GC上运动速度的2倍，若电子虫走完全程的时间最短，则点G的坐标为　（0，）　．

【解析】如图作GM⊥AB于M，设电子虫在CG上的速度为v，
电子虫走完全全程的时间t＝+＝（+CG），
在Rt△AMG中，GM＝AG，∴电子虫走完全全程的时间t＝（GM+CG），
当C、G、M共线时，且CM⊥AB时，GM+CG最短，此时CG＝AG＝2OG，易知OG＝•×6＝
所以点G的坐标为（0，﹣）．

练习3．如图，△ABC在直角坐标系中，AB＝AC，A（0，2），C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为（　　）

A．（0，） B．（0，） C．（0，） D．（0，）
【解析】假设P在AD的速度为3V，在CD的速度为1V，
总时间t＝+＝（+CD），要使t最小，就要+CD最小，
因为AB＝AC＝3，过点B作BH⊥AC交AC于点H，交OA于D，
易证△ADH∽△ACO，所以＝＝3，所以＝DH，
因为△ABC是等腰三角形，所以BD＝CD，所以要+CD最小，就是要DH+BD最小，
就要B、D、H三点共线就行了．因为△AOC∽△BOD，所以＝，即＝，
所以OD＝，所以点D的坐标应为（0，）．
例题4. 直线y＝与抛物线y＝（x﹣3）2﹣4m+3交于A，B两点（其中点A在点B的左侧），与抛物线的对称轴交于点C，抛物线的顶点为D（点D在点C的下方），设点B的横坐标为t
（1）求点C的坐标及线段CD的长（用含m的式子表示）；
（2）直接用含t的式子表示m与t之间的关系式（不需写出t的取值范围）；
（3）若CD＝CB．①求点B的坐标；②在抛物线的对称轴上找一点F，使BF+CF的值最小，则满足条件的点F的坐标是　（3，）　．

【解析】（1）抛物线y＝（x﹣3）2﹣4m+3的对称轴为x＝3，
令x＝3，则有y＝×3＝4，即点C的坐标为（3，4）．
抛物线y＝（x﹣3）2﹣4m+3的顶点D的坐标为（3，﹣4m+3），
∵点D在点C的下方，∴CD＝4﹣（﹣4m+3）＝4m+1．
（2）∵点B在直线y＝上，且其横坐标为t，
则点B的坐标为（t，t），将点B的坐标代入抛物线y＝（x﹣3）2﹣4m+3中，得：
t＝（t﹣3）2﹣4m+3，整理，得：m＝﹣t+3．



（3）①依照题意画出图形，如图1所示．
过点C作CE∥x轴，过点B作BE∥y轴交CE于点E．
∵直线BC的解析式为y＝x，∴BE＝CE，
由勾股定理得：BC＝＝CE．
∵CD＝CB，
∴有4m+1＝（t﹣3）＝（+﹣3），解得：m＝﹣4，或m＝1．
当m＝﹣4时，+4×（﹣4）＝﹣＜0，不合适，
∴m＝1，此时t＝+＝6，y＝×6＝8．故此时点B的坐标为（6，8）．

②作B点关于对称轴的对称点B′，过F作FM⊥BC于点M，连接B′M、BB交抛物线对称轴于点N，如图2
∵直线BC的解析式为y＝x，FM⊥BC，
∴tan∠FCM＝＝，∴sin∠FCM＝．
∵B、B′关于对称轴对称，∴BF＝B′F，
∴BF+CF＝B′F+FM．
当点B′、F、M三点共线时B′F+FM最小．
∵B点坐标为（6，8），抛物线对称轴为x＝3，
∴B′点的坐标为（0，8）．
又∵B′M⊥BC，∴tan∠NB′F＝，∴NF＝B′N•tan∠NB′F＝，
∴点F的坐标为（3，）．故答案为：（3，）．

练习4．如图1，在平面直角坐标系中将y＝2x+1向下平移3个单位长度得到直线l1，直线l1与x轴交于点C；直线l2：y＝x+2与x轴、y轴交于A、B两点，且与直线l1交于点D．
（1）填空：点A的坐标为　（﹣2，0）　，点B的坐标为　（0，2）　；
（2）直线l1的表达式为　y＝2x﹣2　；
（3）在直线l1上是否存在点E，使S△AOE＝2S△ABO？若存在，则求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）如图2，点P为线段AD上一点（不含端点），连接CP，一动点H从C出发，沿线段CP以每秒1个单位的速度运动到点P，再沿线段PD以每秒个单位的速度运动到点D后停止，求点H在整个运动过程中所用时间最少时点P的坐标．

【解析】（1）直线l2：y＝x+2，令y＝0，则x＝﹣2，令y＝0，则x＝2，答案为（﹣2，0）、（0，2）；
（2）y＝2x+1向下平移3个单位长度得到直线l1，则直线l1的表达式为：y＝2x﹣2，答案为：y＝2x﹣2；
（3）∵S△AOE＝2S△ABO，∴yE＝2OB＝4，
将yE＝4代入l1的表达式得：4＝2x﹣2，解得：x＝3，则点E的坐标为（3，4）；
（4）过点P、C分别作y轴的平行线，分别交过点D作x轴平行线于点H、H′，H′C交BD于点P′，

直线l2：y＝x+2，则∠ABO＝45°＝∠HBD，PH＝PD，点H在整个运动过程中所用时间＝+＝PH+PC，当C、P、H在一条直线上时，PH+PC最小，即为CH′＝6，点P坐标（1，3），
故：点H在整个运动过程中所用最少时间为6秒，此时点P的坐标（1，3）．
例题5. 已知抛物线y＝a（x+3）（x﹣1）（a≠0），与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴相交于点C，经过点A的直线y＝﹣x+b与抛物线的另一个交点为D．
（1）若点D的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；
（2）若在（1）的条件下，抛物线上存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形，求点P的坐标；
（3）在（1）的条件下，设点E是线段AD上的一点（不含端点），连接BE．一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒个单位的速度运动到点D后停止，问当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？

【解析】（1）∵y＝a（x+3）（x﹣1），
∴点A的坐标为（﹣3，0）、点B两的坐标为（1，0），
∵直线y＝﹣x+b经过点A，∴b＝﹣3，
∴y＝﹣x﹣3，当x＝2时，y＝﹣5，
则点D的坐标为（2，﹣5），
∵点D在抛物线上，∴a（2+3）（2﹣1）＝﹣5，解得，a＝﹣，
则抛物线的解析式为y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3；
（2）∵A的坐标为（﹣3，0），C（0，3），∴直线AC的解析式为：y＝x+3，
①∵△ACP是以AC为直角边的直角三角形，∴CP⊥AC，
∴设直线CP的解析式为：y＝﹣x+m，把C（0，3）代入得m＝3，
∴直线CP的解析式为：y＝﹣x+3，
解得，（不合题意，舍去），∴P（﹣，）；

②∵△ACP是以AC为直角边的直角三角形，
∴AP⊥AC，∴设直线CP的解析式为：y＝﹣x+n，
把A（﹣3，0）代入得n＝﹣，
∴直线AP的解析式为：y＝﹣x﹣，
解y＝得，，∴P（，﹣），
综上所述：点P的坐标为（﹣，）或（，﹣）；

（3）如图2中，作DM∥x轴交抛物线于M，作DN⊥x轴于N，作EF⊥DM于F，
则tan∠DAN＝＝＝，∴∠DAN＝60°，∴∠EDF＝60°，
∴DE＝＝EF，∴Q的运动时间t＝+＝BE+=BE+EF，
∴当BE和EF共线时，t最小，则BE⊥DM，此时点E坐标（1，﹣4）．


练习5．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A（2，0）、B（﹣8，0），交y轴于点C，过点A、B、C三点的⊙M与y轴的另一个交点为D．
（1）求此抛物线的表达式及圆心M的坐标；
（2）设P为弧BC上任意一点（不与点B，C重合），连接AP交y轴于点N，请问：AP•AN是否为定值，若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；
（3）延长线段BD交抛物线于点E，设点F是线段BE上的任意一点（不含端点），连接AF．动点Q从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到点F，再沿线段FB以每秒个单位的速度运动到点B后停止，问当点F的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？

【解析】（1）抛物线解析式为y＝﹣（x+8）（x﹣2），即y＝﹣x2﹣x+4；
当x＝0时，y＝﹣x2﹣x+4＝4，则C（0，4）
∴BC＝4，AC＝2，AB＝10，
∵BC2+AC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，
∴AB为直径，∴圆心M点的坐标为（﹣3，0）；

（2）以AP•AN为定值．理由如下：如图1，
∵AB为直径，∴∠APB＝90°，
∵∠APB＝∠AON，∠NAO＝∠BAP，∴△APB∽△AON．
∴AN：AB＝AO：AP，∴AN•AP＝AB•AO＝20，
所以AP•AN为定值，定值是20；
（3）∵AB⊥CD，∴OD＝OC＝4，则D（0，﹣4），易得直线BD的解析式为y＝﹣x﹣4，

过F点作FG⊥x轴于G，如图2，
∵FG∥OD，∴△BFG∽△BDO，∴＝，即＝＝＝，
∴点Q沿线段FB以每秒个单位的速度运动到点B所用时间
等于点Q以每秒1个单位的速度运动到G点的时间，
∴当AF+FG的值最小时，点Q在整个运动过程中所用时间最少，
作∠EBI＝∠ABE，BI交y轴于I，作FH⊥BI于H，则FH＝FG，∴AF+FG＝AF+FH，
当点A、F、H共线时，AF+FH的值最小，此时AH⊥BI，如图2，作DK⊥BI，垂足为K，
∵BE平分∠ABI，∴DK＝DO＝4，设DI＝m，
∵∠DIK＝∠BIO，∴△IDK∽△IBO，∴＝＝＝，∴BI＝2m，
在Rt△OBI中，82+（4+m）2＝（2m）2，解得m1＝4（舍去），m2＝，∴I（0，﹣），
设直线BI的解析式为y＝kx+n，
把B（﹣8，0），I（0，﹣）代入得，解得，∴直线BI的解析式为y＝﹣x﹣，
∵AH⊥BI，∴直线AH的解析式可设为y＝x+q，
把A（2，0）代入得+q＝0，解得q＝﹣，∴直线AH的解析式为y＝x﹣，
解方程组，解得，∴F（﹣2，﹣3），
即当点F的坐标是（﹣2，﹣3）时，点Q在整个运动过程中所用时间最少．
巩固1. 如图，在平面直角坐标系中，点，点P为x轴上的一个动点，当最小时，点P的坐标为___________.


巩固2. 如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=60°，点M为对角线BD（不含点B）上的一动点，则的最小值为___________.


巩固3. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D．
（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；
（2）点M为抛物线的对称轴上的一个动点，若平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，求点M的坐标；
（3）若P为y轴上的一个动点，连接PD，求PB+PD的最小值．

【解析】（1）由题意，解得 ，∴抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣，
∵y＝x2﹣x﹣＝（x﹣）2﹣，∴顶点坐标（，﹣）；
（2）设点M的坐标为（，y）．
∵A（﹣1，0），B（0，﹣），∴AB2＝1+3＝4．
①以A为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，此时AM＝AB，
则（+1）2+y2＝4，解得y＝±，即此时点M的坐标为（，）或（，﹣）；
②以B为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，此时BM＝AB，
则（）2+（y+）2＝4，解得y＝﹣+或y＝﹣﹣，
即此时点M的坐标为（，﹣+）或（，﹣﹣）；
③线段AB的垂直平分线与对称轴有一个交点，此时AM＝BM，
则（+1）2+y2＝（）2+（y+）2，解得y＝﹣，
即此时点M的坐标为（，﹣）．
综上所述，满足条件的点M的坐标为（，）或（，﹣）或（，﹣+）
或（，﹣﹣）或（，﹣）；

（3）如图，连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此时PB+PD最小．
理由：∵OA＝1，OB＝，∴tan∠ABO＝＝，
∴∠ABO＝30°，∴PH＝PB，∴PB+PD＝PH+PD＝DH，∴此时PB+PD最短（垂线段最短）．
在Rt△ADH中，∵∠AHD＝90°，AD＝，∠HAD＝60°，∴sin60°＝，∴DH＝，
∴PB+PD的最小值为．

巩固4. 【问题提出】如图①，已知海岛A到海岸公路BD的距离为AB的长度，C为公路BD上的酒店，从海岛A到酒店C，先乘船到登陆点D，船速为a，再乘汽车，车速为船速的n倍，点D选在何处时，所用时间最短？
【特例分析】若n＝2，则时间t＝+，当a为定值时，问题转化为：在BC上确定一点D，使得+的值最小．如图②，过点C做射线CM，使得∠BCM＝30°．
（1）过点D作DE⊥CM，垂足为E，试说明：DE＝；
（2）请在图②中画出所用时间最短的登陆点D′．
【问题解决】（3）请你仿照“特例分析”中的相关步骤，解决图①中的问题．（写出具体方案，如相关图形呈现、图形中角所满足的条件、作图的方法等）
【综合运用】（4）如图③，抛物线y＝﹣x2+x+3与x轴分别交于A，B两点，与y轴交于点C，E为OB中点，设F为线段BC上一点（不含端点），连接EF．一动点P从E出发，沿线段EF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿着线段FC以每秒个单位的速度运动到C后停止．若点P在整个运动过程中用时最少，请求出最少时间和此时点F的坐标．

【解析】（1）如图①，∵DE⊥CM，∴∠DEC＝90°，在Rt△BCM中，DE＝CDsin30°＝CD；

（2）如图①过点A作AE′⊥CM交BC于点D′，则点D′即为所用时间最短的登陆点；
（3）如图②，过点C作射线CM，使得sin∠BCM＝，
过点A作AE⊥CM，垂足为E交BC于点D，则点D为为所用时间最短的登陆点；
（4）由题意得：t＝＝EF+CF，
过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，过点F作GF⊥CD交CD于点G，
∠ACB＝∠DCB＝α，sin∠ABC＝＝，则EF＝CF，EF+CF＝EF+FH，
故当E、F、H三点共线且与CD垂直时，t最小，将点B、C坐标代入一次函数表达式并解得：
直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，点E是OB中点，其坐标为：（3，0），
当x＝3时，对于y＝﹣x+3，y＝，点F坐标为（3，），
t＝＝EF+CF，
当H、F、E三点共线时，EF+FH＝OC＝3，
即：最小时间为3秒．


巩固5. 如图，△ABC是等边三角形．
（1）如图1，AH⊥BC于H，点P从A点出发，沿高线AH向下移动，以CP为边在CP的下方作等边三角形CPQ，连接BQ．求∠CBQ的度数；
（2）如图2，若点D为△ABC内任意一点，连接DA，DB，DC．证明：以DA，DB，DC为边一定能组成一个三角形；
（3）在（1）的条件下，在P点的移动过程中，设x＝AP+2PC，点Q的运动路径长度为y，当x取最小值时，写出x，y的关系，并说明理由．

【解析】（1）如图1中

∵△ABC是等边三角形，AH⊥BC，∴∠CAP＝∠BAC＝30°，CA＝CB，∠ACB＝60°，
∵△PCQ是等边三角形，∴CP＝CQ，∠PCQ＝∠ACB＝60°，
∴∠ACP＝∠BCQ，∴△ACP≌△BCQ，∴∠CBQ＝∠CAP＝30°．

（2）证明：如图2中，将△ADC绕当A顺时针旋转60°得到△ABQ，连接DQ．
∵△ACD≌△ABQ，∴AQ＝AD，CD＝BQ，
∵∠DAQ＝60°，∴△ADQ是等边三角形，∴AD＝DQ，
∴DA，DB，DC为边一定能组成一个三角形（图中△BDQ）．

（3）如图3中，作PE⊥AB于E，CF⊥AB于F交AH于G．
∵PE＝PA，∴PA+2PC＝2（PA+PC）＝2（PE+PC），
根据垂线段最短可知，当E与F重合，P与G重合时，
PA+2PC的值最小，最小值为2CF．（微信公众号：数学三剑客）
由（1）可知△ACP≌△BCQ，可得BQ＝PA，
∴PA＝BQ＝AG＝CG＝y，FG＝y，∴x＝2（y+y），∴y＝x．

巩固6. 如图，已知抛物线y＝（x+2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y＝﹣x+b与抛物线的另一交点为D．
（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；
（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；
（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？

【解析】（1）抛物线y＝（x+2）（x﹣4），令y＝0，解得x＝﹣2或x＝4，∴A（﹣2，0），B（4，0）．
∵直线y＝﹣x+b经过点B（4，0），∴﹣×4+b＝0，解得b＝，
∴直线BD解析式为：y＝﹣x+．当x＝﹣5时，y＝3，∴D（﹣5，3）．
∵点D（﹣5，3）在抛物线y＝（x+2）（x﹣4）上，∴（﹣5+2）（﹣5﹣4）＝3，
∴k＝．∴抛物线的函数表达式为：y＝（x+2）（x﹣4）．即y＝x2﹣x﹣．
（2）由抛物线解析式，令x＝0，得y＝﹣k，∴C（0，﹣k），OC＝k．
因为点P在第一象限内的抛物线上，所以∠ABP为钝角．
因此若两个三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB．

①若△ABC∽△APB，则有∠BAC＝∠PAB，如答图2﹣1所示．
设P（x，y），过点P作PN⊥x轴于点N，则ON＝x，PN＝y．
tan∠BAC＝tan∠PAB，即：，∴y＝x+k．
∴P（x，x+k），代入抛物线解析式y＝（x+2）（x﹣4），
得（x+2）（x﹣4）＝x+k，整理得：x2﹣6x﹣16＝0，
解得：x＝8或x＝﹣2（与点A重合，舍去），∴P（8，5k）．
∵△ABC∽△APB，∴，即，解得：k＝．



②若△ABC∽△PAB，则有∠ABC＝∠PAB，如答图2﹣2所示．
设P（x，y），过点P作PN⊥x轴于点N，则ON＝x，PN＝y．
tan∠ABC＝tan∠PAB，即：＝，∴y＝x+．
∴P（x，x+），代入抛物线解析式y＝（x+2）（x﹣4），
得（x+2）（x﹣4）＝x+，整理得：x2﹣4x﹣12＝0，
解得：x＝6或x＝﹣2（与点A重合，舍去），∴P（6，2k）．
∵△ABC∽△PAB，＝，∴＝，解得k＝±，∵k＞0，∴k＝，
综上所述，k＝或k＝．

（3）方法一：
如答图3，由（1）知：D（﹣5，3），如答图2﹣2，过点D作DN⊥x轴于点N，
则DN＝3，ON＝5，BN＝4+5＝9，∴tan∠DBA＝＝＝，∴∠DBA＝30°．
过点D作DK∥x轴，则∠KDF＝∠DBA＝30°．
过点F作FG⊥DK于点G，则FG＝DF．
由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF，运动时间：t＝AF+DF，
∴t＝AF+FG，即运动的时间值等于折线AF+FG的长度值．
由垂线段最短可知，折线AF+FG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段．
过点A作AH⊥DK于点H，则t最小＝AH，AH与直线BD的交点，即为所求之F点．
∵A点横坐标为﹣2，直线BD解析式为：y＝﹣x+，
∴y＝﹣×（﹣2）+＝2，∴F（﹣2，2）．
综上所述，当点F坐标为（﹣2，2）时，点M在整个运动过程中用时最少．

方法二：
作DK∥AB，AH⊥DK，AH交直线BD于点F，
∵∠DBA＝30°，∴∠BDH＝30°，∴FH＝DF×sin30°＝，∴当且仅当AH⊥DK时，AF+FH最小，
点M在整个运动中用时为：t＝，
∵lBD：y＝﹣x+，∴FX＝AX＝﹣2，∴F（﹣2，）．

巩固7. 已如二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象和x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，
（1）如图1，P是直线BC上方抛物线上一动点（不与B、C重合）过P作PQ∥x轴交直线BC于Q，求线段PQ的最大值；
（2）如图2，点G为线段OC上一动点，求BG+CG的最小值及此时点G的坐标；
（3）如图3，在（2）的条件下，M为直线BG上一动点，N为x轴上一动点，连接AM，MN，求AM+MN的最小值．

【解析】（1）令y＝0，即：﹣x2+2x+3＝0，
解得：x＝3或﹣1，即点A、B的坐标分比为（﹣1，0）、（3，0），
令x＝0，则y＝3，则点C的坐标为（0，3），
直线BC过点C（0，3），则直线表达式为：y＝kx+3，
将点B坐标代入上式得：0＝3k+3，解得：k＝﹣1，则直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，
设点P的坐标为（m，n），n＝﹣m2+2m+3，
则点Q坐标为（3﹣n，n），则PQ＝m﹣（3﹣n）＝﹣m2+3m，
∵a＝﹣1＜0，则PQ有最大值，当m＝﹣＝，PQ取得最大值为；

（2）过直线CG作∠GCH＝α，使CH⊥GH，
当sinα＝时，HG＝GC，则BG+CG的最小值即为HG+GB的最小值，
当B、H、G三点共线时，HG+GB最小，则∠GBO＝α，
∵sinα＝，则cosα＝，tanα＝，
OG＝OB•tanα＝3×＝，即点G（0，），
CG＝3﹣＝，而BG＝，G+CG的最小值为：；

（3）作点A关于直线BG的对称点A′，过A′作A′N⊥x轴，交BG于点M，交x轴于点N，
则此时AM+MN取得最小值，即为A′N的长度，则：∠GBA＝∠AA′N＝∠OGB＝α，
AA′＝2ABsin∠ABG＝2×4×sinα＝，A′N＝A′Acosα＝×＝，
即：AM+MN的最小值为．
巩固8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，点D、F分别是边AB，BC上的动点，连接CD，过点A作AE⊥CD交BC于点E，垂足为G，连接GF，则GF+FB的最小值是（　　）

A． B． C． D．
【解析】延长AC到点P，使CP＝AC，连接BP，过点F作FH⊥BP于点H，取AC中点O，连接OG，过点O作OQ⊥BP于点Q，

∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝4，∴AC＝CP＝2，BP＝AB＝4
∴△ABP是等边三角形，∴∠FBH＝30°，∴Rt△FHB中，FH＝FB
∴当G、F、H在同一直线上时，GF+FB＝GF+FH＝GH取得最小值
∵AE⊥CD于点G，∴∠AGC＝90°，∵O为AC中点，∴OA＝OC＝OG＝AC
∴A、C、G三点共圆，圆心为O，即点G在⊙O上运动
∴当点G运动到OQ上时，GH取得最小值
∵Rt△OPQ中，∠P＝60°，OP＝3，sin∠P＝
∴OQ＝OP＝，∴GH最小值为 故选：C．

巩固9. 抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C．点P是直线AC上方抛物线上一点，PF⊥x轴于点F，PF与线段AC交于点E；将线段OB沿x轴左右平移，线段OB的对应线段是O1B1，当的值最大时，求四边形PO1B1C周长的最小值，并求出对应的点O1的坐标．

【分析】根据抛物线解析式得A、B、C，
直线AC的解析式为：，可知AC与x轴夹角为30°．　
根据题意考虑，P在何处时，PE+取到最大值．
过点E作EH⊥y轴交y轴于H点，则∠CEH=30°，故CH=，
问题转化为PE+CH何时取到最小值．考虑到PE于CH并无公共端点，故用代数法计算，设，则，，，，
∴当PE+EC的值最大时，x＝﹣2，此时P（﹣2，），∴PC＝2，
∵O1B1＝OB＝，∴要使四边形PO1B1C周长的最小，即PO1+B1C的值最小，
如图2，将点P向右平移个单位长度得点P1（﹣，），连接P1B1，则PO1＝P1B1，
再作点P1关于x轴的对称点P2（﹣，﹣），则P1B1＝P2B1，
∴PO1+B1C＝P2B1+B1C，
∴连接P2C与x轴的交点即为使PO1+B1C的值最小时的点B1，∴B1（﹣，0），
将B1向左平移个单位长度即得点O1，此时PO1+B1C＝P2C＝＝，
对应的点O1的坐标为（﹣，0），∴四边形PO1B1C周长的最小值为+3.
中考数学几何模型11：阿氏圆最值模型

在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．

【模型来源】“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.

【模型建立】如图 1 所示，⊙O 的半径为R，点 A、B 都在⊙O 外 ，P为⊙O上一动点，已知R=OB，
连接 PA、PB，则当“PA+PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？

解决办法：如图2，在线段 OB 上截取OC使 OC=R，则可说明△BPO与△PCO相似，则有PB=PC。故本题求“PA+PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当 A、P、C 三点共线时，“PA+PC”值最小。



【技巧总结】计算的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形

问题：在圆上找一点P使得的值最小，解决步骤具体如下：
1. 如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP，OB
2. 计算出这两条线段的长度比
3. 在OB上取一点C，使得，即构造△POM∽△BOP，则，
4. 则，当A、P、C三点共线时可得最小值
















例题1. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C为圆心，2为半径作圆C，分别交AC、BC于D、E两点，点P是圆C上一个动点，则的最小值为__________．

【分析】这个问题最大的难点在于转化，此处P点轨迹是圆，注意到圆C半径为2，CA=4，
连接CP，构造包含线段AP的△CPA，在CA边上取点M使得CM=2，
连接PM，可得△CPA∽△CMP，故PA：PM=2:1，即PM=．
问题转化为PM+PB≥BM最小值，故当B，P，M三点共线时得最小值，直接连BM即可得．

练习1．如图1，在RT△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，圆C的半径为2，点P为圆上一动点，连接AP,BP，求①，②，③，④的最小值.


例题2. 如图，点C坐标为(2,5)，点A的坐标为(7,0)，⊙C的半径为,点B在⊙C上一动点，的最小值为___5_____.

练习2．如图，在平面直角坐标系xoy中，A(6,-1)，M(4,4)，以M为圆心，为半径画圆，O为原点，P是⊙M上一动点，则PO+2PA的最小值为____10____.

例题3. 如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC＝1，BD＝2，P为上一动点，求PC+PD的最小值．

【解析】如图当A、P、D共线时，PC+PD最小．理由：连接PB、CO，AD与CO交于点M，
∵AB＝BD＝4，BD是切线，∴∠ABD＝90°，∠BAD＝∠D＝45°，又∵AB是直径，∴∠APB＝90°，
∴∠PAB＝∠PBA＝45°，∴PA＝PB，PO⊥AB，又∵AC＝PO＝2，AC∥PO，∴四边形AOPC是平行四边形，
∴OA＝OP，∠AOP＝90°，∴四边形AOPC是正方形，∴PM＝PC，∴PC+PD＝PM+PD＝DM，
∵DM⊥CO，∴此时PC+DP最小＝AD﹣AM＝2﹣＝．

练习3．如图，四边形ABCD为边长为4的正方形，⊙B的半径为2，P是⊙B上一动点，则PD+PC的最小值为　5　；PD+4PC的最小值为　10　．

【解析】①如图，连接PB、在BC上取一点E，使得BE＝1．

∵PB2＝4，BE•BC＝4，∴PB2＝BE•BC，∴＝，∵∠PBE＝∠CBE，
∴△PBE∽△CBE，∴＝＝，∴PD+PC＝PD+PE，
∵PE+PD≤DE，在Rt△DCE中，DE＝＝5，∴PD+PC的最小值为5．

②连接DB，PB，在BD上取一点E，使得BE＝，连接EC，作EF⊥BC于F．
∵PB2＝4，BE•BD＝×4＝4，∴BP2＝BE•BD，
∴＝，∵∠PBE＝∠PBD，∴△PBE∽△DBP，∴＝＝，∴PE＝PD，
∴PD+4PC＝4（PD+PC）＝4（PE+PC），
∵PE+PC≥EC，在Rt△EFC中，EF＝，FC＝，∴EC＝，
∴PD+4PC的最小值为10．故答案为5，10．
例题4. 如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为_______．

【分析】当P点运动到BC边上时，此时PC=3，根据题意要求构造，在BC上取M使得此时PM=，则在点P运动的任意时刻，均有PM=，从而将问题转化为求PD-PM的最大值．连接PD，对于△PDM，PD-PM＜DM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值．（微信公众号：数学三剑客）


练习4．（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为　　，PD﹣的最大值为　　．
（2）如图2，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为　　，PD﹣的最大值为　　．

图1 图2
【解析】（1）如图3中，在BC上取一点G，使得BG＝4．

∵＝＝，＝＝，∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，
∴△PBG∽△CBP，∴＝＝，∴PG＝PC，∴PD+PC＝DP+PG，
∵DP+PG≥DG，
∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG＝＝．
∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，
当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大，最大值为DG＝．

（2）如图4中，在BC上取一点G，使得BG＝1，作DF⊥BC于F．
∵＝＝2，＝＝2，∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，
∴△PBG∽△CBP，∴＝＝，∴PG＝PC，∴PD+PC＝DP+PG，
∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG，
在Rt△CDF中，∠DCF＝60°，CD＝4，∴DF＝CD•sin60°＝2，CF＝2，
在Rt△GDF中，DG＝＝，∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，
当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大（如图2中），最大值为DG＝．
例题5. 如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y=﹣x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．
（1）求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式；
（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；
（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求AM+CM它的最小值．

【解析】（1）∵点A（﹣4，﹣4），B（0，4）在抛物线y=﹣x2+bx+c上，
∴，∴，∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+4；
（2）设直线AB的解析式为y=kx+n过点A，B，
∴，∴，∴直线AB的解析式为y=2x+4，
设E（m，2m+4），∴G（m，﹣m2﹣2m+4），
∵四边形GEOB是平行四边形，∴EG=OB=4，
∴﹣m2﹣2m+4﹣2m﹣4=4，∴m=﹣2，∴G（﹣2，4）；

（3）①如图1，
由（2）知，直线AB的解析式为y=2x+4，∴设E（a，2a+4），
∵直线AC：y=﹣x﹣6，∴F（a，﹣a﹣6），设H（0，p），
∵以点A，E，F，H为顶点的四边形是矩形，
∵直线AB的解析式为y=2x+4，直线AC：y=﹣x﹣6，∴AB⊥AC，∴EF为对角线，
∴（﹣4+0）=（a+a），（﹣4+p）=（2a+4﹣a﹣6），
∴a=﹣2，P=﹣1，∴E（﹣2，0）．H（0，﹣1）；

②如图2，由①知，E（﹣2，0），H（0，﹣1），A（﹣4，﹣4），
∴EH=，AE=2，设AE交⊙E于G，取EG的中点P，∴PE=，
连接PC交⊙E于M，连接EM，∴EM=EH=，
∴=，∵=，∴=，
∵∠PEM=∠MEA，∴△PEM∽△MEA，∴=，
∴PM=AM，∴AM+CM的最小值=PC，设点P（p，2p+4），
∵E（﹣2，0），∴PE2=（p+2）2+（2p+4）2=5（p+2）2，又∵PE=，∴5（p+2）2=，
∴p=或p=﹣（由于E（﹣2，0），所以舍去），∴P（，﹣1），
∵C（0，﹣6），∴PC==，即：AM+CM=．
练习5．如图1，抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．
（1）求a的值和直线AB的函数表达式；
（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若＝，求m的值；
（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E′A+E′B的最小值．


【解析】（1）令y＝0，则ax2+（a+3）x+3＝0，
∴（x+1）（ax+3）＝0，∴x＝﹣1或﹣，
∵抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），
∴﹣＝4，∴a＝﹣．∵A（4，0），B（0，3），
设直线AB解析式为y＝kx+b，则，解得，
∴直线AB解析式为y＝﹣x+3．

（2）如图1中，∵PM⊥AB，PE⊥OA，
∴∠PMN＝∠AEN，∵∠PNM＝∠ANE，∴△PNM∽△ANE，∴＝，
∵NE∥OB，∴＝，∴AN＝（4﹣m），
∵抛物线解析式为y＝﹣x2+x+3，
∴PN＝﹣m2+m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，
∴＝，解得m＝2．

（3）如图2中，在y轴上 取一点M′使得OM′＝，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′＝OE．
∵OE′＝2，OM′•OB＝×3＝4，
∴OE′2＝OM′•OB，
∴＝，∵∠BOE′＝∠M′OE′，
∴△M′OE′∽△E′OB，
∴＝＝，
∴M′E′＝BE′，
∴AE′+BE′＝AE′+E′M′＝AM′，此时AE′+BE′最小
（两点间线段最短，A、M′、E′共线时），
最小值＝AM′＝＝．


巩固1. 如图，在RT△ABC中，∠B=90°，AB=CB=2，以点B为圆心作圆与AC相切，圆C的半径为，点P为圆B上的一动点，求的最小值.

[答案]：
巩固2. 如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则PA+PB的最小值为________.

[答案]：
巩固3. 如图，等边△ABC的边长为6，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则2PB+PC的最小值为________.

[答案]：




巩固4. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=3，CB=4，的半径为2，点P是上的一动点，则的最小值为？



巩固5. 如图，在平面直角坐标系中，，，，，P是△AOB外部第一象限内的一动点，且∠BPA=135°，则的最小值是多少？

[答案]




巩固6. 如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以C为顶点的正方形CDEF（C、D、E、F四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C自由转动，且CD＝，连接AF，BD
（1）求证：△BDC≌△AFC；
（2）当正方形CDEF有顶点在线段AB上时，直接写出BD+AD的值；
（3）直接写出正方形CDEF旋转过程中，BD+AD的最小值．

【解析】（1）证明：如图1中，

∵四边形CDEF是正方形，∴CF＝CD，∠DCF＝∠ACB＝90°，∴∠ACF＝∠DCB，
∵AC＝CB，∴△FCA≌△DCB（SAS）．

（2）①如图2中，当点D，E在AB边上时，
∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，∴AB＝2，
∵CD⊥AB，∴AD＝BD＝，
∴BD+AD＝+1．


②如图3中，当点E，F在边AB上时．
BD＝CF＝，AD＝＝，
∴BD+AD＝+．

（3）如图4中．取AC的中点M．连接DM，BM．
∵CD＝，CM＝1，CA＝2，∴CD2＝CM•CA，∴＝，
∵∠DCM＝∠ACD，∴△DCM∽△ACD，∴＝＝，∴DM＝AD，
∴BD+AD＝BD+DM，
∴当B，D，M共线时，BD+AD的值最小，
最小值＝＝．

巩固7. （1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的中线，请用尺规作图做出AB边上的中线CE，并证明BD＝CE：

（2）如图2，已知点P是边长为6的正方形ABCD内部一动点，PA＝3，求PC+PD的最小值；
（3）如图3，在矩形ABCD中，AB＝18，BC＝25，点M是矩形内部一动点，MA＝15，当MC+MD最小时，画出点M的位置，并求出MC+MD的最小值．

【解析】（1）如图1中，作线段AB的垂直平分线MN交AB于点E，连接EC．线段EC即为所求；
∵AB＝AC，AE＝EC，AD＝CD，∴AE＝AD，
∵AB＝AC，∠A＝∠A，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE．

（2）如图2中，在AD上截取AE，使得AE＝．
∵PA2＝9，AE•AD＝×6＝9，∴PA2＝AE•AD，
∴＝，∵∠PAE＝∠DAP，
∴△PAE∽△DAP，∴＝＝，∴PE＝PD，
∴PC+PD＝PC+PE，
∵PC+PE≥EC，∴PC+PD的最小值为EC的长，
在Rt△CDE中，∵∠CDE＝90°，CD＝6，DE＝，
∴EC＝＝，∴PC+PD的最小值为．

（3）如图3中，如图2中，在AD上截取AE，使得AE＝9．
∵MA2＝225，AE•AD＝9×25＝225，∴MA2＝AE•AE，
∴＝，∵∠MAE＝∠DAM，∴△MAE∽△DAM，
∴＝＝＝，∴ME＝MD，∴MC+MD＝MC+ME，
∵MC+ME≥EC，∴MC+MD的最小值为EC的长，
在Rt△CDE中，∵∠CDE＝90°，CD＝18，DE＝16，
∴EC＝＝2，
∴MC+MD的最小值为2．
中考数学几何模型12：主从联动模型
①当轨迹为弧线时
思考1如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，
Q点轨迹是？

揭秘：将点P看成主动点，点Q看成从动点，当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．
可以这样理解：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线，且Q点运动路径长为P点运动路径长的一半．

思考2如图，点C为定点，点P、Q为动点，CP=CQ，且∠PCQ为定值，当点P在直线
AB上运动，请探究点Q的运动轨迹.


揭秘：当CP与CQ夹角固定，且AP=AQ时，P、Q轨迹是同一种图形，且PP1=QQ1．
可以这样理解：易知△CPP1≌△CPP1，则∠CPP1=CQQ1，故可知Q点轨迹为一条直线.




思考3如图，点C为定点，点P是直线AB上的一动点，以CP为斜边作Rt△CPQ，且
∠P=30°，当点P在直线AB上运动，请探究点Q的运动轨迹.


揭秘：条件CP与CQ夹角固定时，P、Q轨迹是同一种图形，且有．
可以这样理解：由CPQ∽△CP1Q1，易得△CPP1≌△CPP1，则∠CPP1=CQQ1，故可知Q点轨迹为一条直线.

总结
条件：
主动点、从动点与定点连线的夹角是定量；
主动点、从动点到定点的距离之比是定量．

结论：
① 主动点、从动点的运动轨迹是同样的图形；
② 主动点路径做在直线与从动点路径所在直线的夹角等于定角
③ 当主动点、从动点到定点的距离相等时，从动点的运动路径长等于主动点的运动路径长；
④ 当主动点、从动点到定点的距离不相等时，.


例题1. 如图，在等边△ABC中，AB=10，BD=4，BE=2，点P从点E出发沿EA方向运动，连结PD，以PD为边，在PD的右侧按如图所示的方式作等边△DPF，当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长是________．

【分析】根据△DPF是等边三角形，所以可知F点运动路径长与P点相同，P从E点运动到A点路径长为8，故此题答案为8．

练习1．如图，在平面直角坐标系中，A（-3,0），点B是y轴正半轴上一动点，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，求OP的最小值．

【分析】求OP最小值需先作出P点轨迹，根据△ABP是等边三角形且B点在直线上运动，故可知P点轨迹也是直线．取两特殊时刻：（1）当点B与点O重合时，作出P点位置P1；（2）当点B在x轴上方且AB与x轴夹角为60°时，作出P点位置P2．连接P1P2，即为P点轨迹．根据∠ABP=60°可知：与y轴夹角为60°，作OP⊥，所得OP长度即为最小值，OP2=OA=3，所以OP=．

例题2. 如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE=1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为　　．

【分析】同样是作等边三角形，区别于上一题求动点路径长，本题是求CG最小值，可以将F点看成是由点B向点A运动，由此作出G点轨迹：考虑到F点轨迹是线段，故G点轨迹也是线段，取起点和终点即可确定线段位置，初始时刻G点在位置，最终G点在位置（不一定在CD边），即为G点运动轨迹．CG最小值即当CG⊥的时候取到，作CH⊥于点H，CH即为所求的最小值．
根据模型可知：与AB夹角为60°，故⊥．过点E作EF⊥CH于点F，则HF==1，CF=，所以CH=，因此CG的最小值为．（微信公众号：数学三剑客）

练2．（2017秋•江汉区校级月考）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点E在AB上，点D为BC的中点，△EDM为等边三角形．若点E从点B运动到点A，则M点所经历的路径长为　6　．

【解析】当点E在B时，M在AB的中点N处，当点E与A重合时，M的位置如图所示，
所以点E从点B运动到点A，则M点所经历的路径为MN的长，
∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∠BAD＝30°，
∵AB＝6，∴AD＝＝3，
∵△EDM是等边三角形，∴AM＝AD＝3，∠DAM＝60°，∴∠NAM＝30°+60°＝90°，
∵AN＝AB＝3，在Rt△NAM中，由勾股定理得：MN＝＝＝6，
则M点所经历的路径长为6，
例题3. 如图，已知点A是第一象限内横坐标为的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y=-x于点N，若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是________．

【分析】根据∠PAB=90°，∠APB=30°可得：AP:AB=，故B点轨迹也是线段，且P点轨迹路径长与B点轨迹路径长之比也为，P点轨迹长ON为，故B点轨迹长为．

练3．（2019•东台市模拟）如图，平面直角坐标系中，点A（0，﹣2），B（﹣1，0），C（﹣5，0），点D从点B出发，沿x轴负方向运动到点C，E为AD上方一点，若在运动过程中始终保持△AED～△AOB，则点E运动的路径长为　　．

【解析】如图，连接OE．∵∠AED＝∠AOD＝90°，∴A，O，E，D四点共圆，
∴∠EOC＝∠EAD＝定值，∴点E在射线OE上运动，∠EOC是定值．
∵tan∠EOD＝tan∠OAB＝，∴可以假设E（﹣2m，m），
当点D与C重合时，AC＝＝，
∵AE＝2EC，∴EC＝＝，∴（﹣2m+5）2+m2＝，解得m＝或（舍弃），
∴E（﹣，），∴点E的运动轨迹＝OE的长＝，故答案为．

②当轨迹为弧线时
思考1
如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？

揭秘：Q点轨迹是一个圆，考虑到Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，．

小结：确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，由A、Q、P始终共线可得：A、M、O三点共线，
由Q为AP中点可得：AM=1/2AO．Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放．
根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系；
根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系．

思考2：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP．
当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？


揭秘： Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90°得AQ，故Q点轨迹与P点轨迹都是圆．接下来确定圆心与半径．考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半径MQ=PO．即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO≌△AQM．

思考3：如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°，且AP=2AQ，
当P在圆O运动时，Q点轨迹是？

揭秘： 考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；考虑AP：AQ=2：1，可得Q点轨迹圆圆心M满足AO：AM=2：1．即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为2．




推理：
（1）如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，以AP为一边作等边△APQ．
当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是和圆O全等的一个圆.







（2）如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，以AP为斜边作等腰直角△APQ．
当点P在圆O上运动时，Q点轨迹为按AP：AQ=AO：AM=：1的比例缩放的一个圆.





总结： 为了便于区分动点P、Q，可称点P为“主动点”，点Q为“从动点”．
此类问题的必要条件：两个定量，即：
①主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；
②主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP：AQ是定值）．

结论：
（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：∠PAQ=∠OAM；
（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点距离之比：AP：AQ=AO：AM，也等于两圆半径之比，也等于两动点运动轨迹长之比，按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q与P的关系相当于旋转+伸缩．
古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”．

例题4. 如图，点P（3，4），圆P半径为2，A（2.8，0），B（5.6，0），点M是圆P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值是_______．

【分析】M点为主动点，C点为从动点，B点为定点．考虑C是BM中点，可知C点轨迹：取BP中点O，以O为圆心，OC为半径作圆，即为点C轨迹．当A、C、O三点共线且点C在线段OA上时，AC取到最小值，根据B、P坐标求O，利用两点间距离公式求得OA，再减去OC即可．答案为


练习4．如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当点P从点A运动至点B时，点M运动的路径长为________．

【分析】考虑C、M、P共线及M是CP中点，可确定M点轨迹：取AB中点O，连接CO取CO中点D，以D为圆心，DM为半径作圆D分别交AC、BC于E、F两点，则弧EF即为M点轨迹．当然，若能理解M点与P点轨迹关系，可直接得到M点的轨迹长为P点轨迹长一半，即可解决问题．答案为
例题5. 如图，正方形ABCD中，，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．求线段OF长的最小值．

【分析】E是主动点，F是从动点，D是定点，E点满足EO=2，故E点轨迹是以O为圆心，2为半径的圆．考虑DE⊥DF且DE=DF，故作DM⊥DO且DM=DO，F点轨迹是以点M为圆心，2为半径的圆．
直接连接OM，与圆M交点即为F点，此时OF最小．可构造三垂直全等求线段长，再利用勾股定理求得OM，减去MF即可得到OF的最小值．答案为

练习5．△ABC中，AB=4，AC=2，以BC为边在△ABC外作正方形BCDE，BD、CE交于点O，则线段AO的最大值为_____________．

【分析】考虑到AB、AC均为定值，可以固定其中一个，比如固定AB，将AC看成动线段，由此引发正方形BCED的变化，求得线段AO的最大值．根据AC=2，可得C点轨迹是以点A为圆心，2为半径的圆．接下来题目求AO的最大值，所以确定O点轨迹即可，观察△BOC是等腰直角三角形，锐角顶点C的轨迹是以点A为圆心，2为半径的圆，所以O点轨迹也是圆，以AB为斜边构造等腰直角三角形，直角顶点M即为点O轨迹圆圆心．连接AM并延长与圆M交点即为所求的点O，此时AO最大，根据AB先求AM，再根据BC与BO的比值可得圆M的半径与圆A半径的比值，得到MO，相加即得AO．答案为，本题或者直接利用托勒密定理可得最大值．
③当轨迹为其他种类时
根据刚才我们的探究，所谓“瓜豆原理”，就是主动点的轨迹与从动点的轨迹是相似性，根据主、从动点与定点连线形成的夹角以及主、从动点到定点的距离之比，可确定从动点的轨迹，而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是．

例题6. 如图，在反比例函数的图像上有一个动点A，连接AO并延长交图像的另一支于点B，在第一象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数的图像上运动，若tan∠CAB=2，则k的值为（ ）

A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】∠AOC=90°且AO：OC=1：2，显然点C的轨迹也是一条双曲线，分别作AM、CN垂直x轴，垂足分别为M、N，连接OC，易证△AMO∽△ONC，∴CN=2OM，ON=2AM，∴ON·CN=4AM·OM，故k=4×2=8．
【思考】若将条件“tan∠CAB=2”改为“△ABC是等边三角形”，k会是多少？


练习6．（2017•深圳模拟）如图，反比例函数y＝的图象上有一动点A，连接AO并延长交图象的另一支于点B，在第二象限内有一点C，满足AC＝BC，当点A运动时，点C始终在函数y＝的图象上运动，tan∠CAB＝2，则关于x的方程x2﹣5x+k＝0的解为　x1＝﹣1，x2＝6　．

【解析】连接OC，过点A作AE⊥y轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，如图所示，

∵由直线AB与反比例函数y＝的对称性可知A、B点关于O点对称，∴AO＝BO．
又∵AC＝BC，∴CO⊥AB．
∵∠AOE+∠AOF＝90°，∠AOF+∠COF＝90°，
∴∠AOE＝∠COF，
又∵∠AEO＝90°，∠CFO＝90°，
∴△AOE∽△COF，∴＝＝，
∵tan∠CAB＝＝2，∴CF＝2AE，OF＝2OE．
又∵AE•OE＝，CF•OF＝|k|，∴k＝±6．
∵点C在第二象限，∴k＝﹣6，
∴关于x的方程x2﹣5x+k＝0可化为x2﹣5x﹣6＝0，解得x1＝﹣1，x2＝6．
故答案为：x1＝﹣1，x2＝6．
例题7. 如图，A（-1,1），B（-1,4），C（-5,4），点P是△ABC边上一动点，连接OP，以OP为斜边在OP的右上方作等腰直角△OPQ，当点P在△ABC边上运动一周时，点Q的轨迹形成的封闭图形面积为________．

【分析】根据△OPQ是等腰直角三角形可得：Q点运动轨迹与P点轨迹形状相同，根据OP:OQ=，可得P点轨迹图形与Q点轨迹图形相似比为，故面积比为2:1，△ABC面积为1/2×3×4=6，故Q点轨迹形成的封闭图形面积为3．
【小结】根据瓜豆原理，类似这种求从动点轨迹长或者轨迹图形面积，根据主动点轨迹推导即可，甚至无需作图．
练习7．（2017春•工业园区期末）如图，△ABC的面积为9，点P在△ABC的边上运动．作点P关于原点O的对称点Q，再以PQ为边作等边△PQM．当点P在△ABC的边上运动一周时，点M随之运动所形成的图形面积为（　　）

A．3 B．9 C．27 D．
【解析】如图，
∵点P从点A出发，沿△ABC的边从A﹣B﹣C﹣A运动一周，且点Q关于原点O与点P对称，
∴点Q随点P运动所形成的图形是△ABC关于O的中心对称图形，
以PQ为边作等边△PQM，M点对应的A，B，C的点分别为Ma，Mb，Mc，

∵△MbQbB是等边三角形，∴MbO＝OB，同理McO＝OC，
∴＝＝，
∵∠COB+∠BOMc＝90°，∠McOMb+∠BOMc＝90°
∴∠COB＝∠McOMb，∴△McOMb∽△COB，∴MbMc＝BC，
同理，MaMb＝AB，MaMc＝AC，
∴△MaMbMc∽△ABC，
∴△MaMbMc的面积＝9×（）2＝27，
即点M随点P运动所形成的图形的面积为27．故选：C．


例题8. 如图所示，AB=4，AC=2，以BC为底边向上构造等腰直角三角形BCD，连接AD并延长至点P，使AD=PD，则PB的取值范围为___________．

【分析】固定AB不变，AC=2，则C点轨迹是以A为圆心，2为半径的圆，以BC为斜边作等腰直角三角形BCD，则D点轨迹是以点M为圆心、为半径的圆
考虑到AP=2AD，故P点轨迹是以N为圆心，为半径的圆，即可求出PB的取值范围．
答案为

练习8．（2018秋•新吴区期末）如图已知：正方形OCAB，A（2，2），Q（5，7），AB⊥y轴，AC⊥x轴，OA，BC交于点P，若正方形OCAB以O为位似中心在第一象限内放大，点P随正方形一起运动，当PQ达到最小值时停止运动．以PQ的长为边长，向PQ的右侧作等边△PQD，求在这个位似变化过程中，D点运动的路径长（　　）

A．5 B．6 C．2 D．4
【解析】如图，连接OQ，以OQ为边向下作等边△OQH，
连接DH，作QE⊥OA交OA的延长线于E．（微信公众号：数学三剑客）

∵△OQH，△PQD都是等边三角形，
∴QO＝QH，QP＝QD，∠OQH＝∠PQD＝60°，
∴∠OQP＝∠HQD，
∴△OQP≌△HQD（SAS），∴OP＝DH，
∴点D的运动路径的长＝点P的运动路径的长，
∵直线OA的解析式为y＝x，Q（5，7），QE⊥OA，
∴直线EQ使得解析式为y＝﹣x+12，由，解得，∴E（6，6），
∵P（1，1），∴PE＝5，
根据垂线段最短可知，当点P与点E重合时，PQ的长最短，
∴点P的运动路径的长为5，∴点D的运动路径的长为5，
故选：A．

例题9. （2019秋•硚口区期中）如图，一副含30°和45°角的三角板ABC和EDF拼合在一个平面上，边AC与EF重合，BC＝4cm．当点E从点A出发沿AC方向滑动时，点F同时从点C出发沿射线BC方向滑动，当点E从点A滑动到点C时，点D运动的路径长为　（24﹣12）　cm．

【解析】∵BC＝4cm，∠A＝30°，∠DEF＝45°，
∴AC＝BC＝12cm，AB＝2BC＝8cm，ED＝DF＝AC＝6cm，
当点E沿AC方向下滑时，得△E'D'F'，过点D'作D'N⊥AC于点N，作D'M⊥BC于点M，如图所示：

∴∠MD'N＝90°，且∠E'D'F'＝90°，
∴∠E'D'N＝∠F'D'M，
在△D'NE'和△D'MF'中，，
∴△D'NE'≌△D'MF'（AAS），
∴D'N＝D'M，且D'N⊥AC，D'M⊥CM，
∴CD'平分∠ACM，
即点E沿AC方向下滑时，点D'在射线CD上移动，
∴当E'D'⊥AC时，DD'值最大，最大值＝ED﹣CD＝（12﹣6）cm，
∴当点E从点A滑动到点C时，点D运动的路径长＝2×（12﹣6）＝（24﹣12）cm；
故答案为：（24﹣12）．
练习9．（2018•金华模拟）如图，Rt△ABC中，BC＝4，AC＝8，Rt△ABC的斜边在x轴的正半轴上，点A与原点重合，随着顶点A由O点出发沿y轴的正半轴方向滑动，点B也沿着x轴向点O滑动，直到与点O重合时运动结束．在这个运动过程中．
（1）AB中点P经过的路径长　π　．（2）点C运动的路径长是　8﹣12　．

【解析】（1）如图1，∵∠AOB＝90°，P为AB的中点，∴OP＝AB，
∵AB＝4，∴OP＝2，∴AB中点P运动的轨迹是以O为圆心，以OP为半径的圆弧，
即AB中点P经过的路径长＝×2×2π＝π；

（2）①当A从O到现在的点A处时，如图2，此时C′A⊥y轴，
点C运动的路径长是CC′的长，∴AC′＝OC＝8，∵AC′∥OB，∴∠AC′O＝∠COB，
∴cos∠AC′O＝cos∠COB＝＝，∴＝，∴OC′＝4，∴CC′＝4﹣8；
②当A再继续向上移动，直到点B与O重合时，如图3，
此时点C运动的路径是从C′到C，长是CC′，CC′＝OC′﹣BC＝4﹣4，
综上所述，点C运动的路径长是：4﹣8+4﹣4＝8﹣12；
故答案为：（1）π； （2）8﹣12．


1. （2018秋•黄冈期中）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2cm，线段BC上一动点P从C点开始运动，到B点停止，以AP为边在AC的右侧作等边△APQ，则Q点运动的路径为　2　cm．

【解析】如图，Q点运动的路径为QQ′的长，
∵△ACQ和△ABQ′是等边三角形，∴∠CAQ＝∠BAQ′＝60°，AQ＝AC＝AQ′＝2cm，
∵∠BAC＝90°，∴∠QAQ′＝90°，
由勾股定理得：QQ′＝＝＝2，∴Q点运动的路径为2cm；故答案为：2．

2．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，∠DCA＝30°，点F是对角线AC上的一个动点，连接DF，以DF为斜边作∠DFE＝30°的直角三角形DEF，使点E和点A位于DF两侧，点F从点A到点C的运动过程中，点E的运动路径长是　　．

【解析】E的运动路径是线段EE'的长；
∵AB＝4，∠DCA＝30°，∴BC＝，当F与A点重合时，
在Rt△ADE'中，AD＝，∠DAE'＝30°，∠ADE'＝60°，∴DE'＝，∠CDE'＝30°，
当F与C重合时，∠EDC＝60°，∴∠EDE'＝90°，∠DEE'＝30°，
在Rt△DEE'中，EE'＝；故答案为．
3．（2019•铜山区二模）如图，已知点M（0，4），N（4，0），开始时，△ABC的三个顶点A、B、C分别与点M、N、O重合，点A在y轴上从点M开始向点O滑动，到达点O结束运动，同时点B沿着x轴向右滑动，则在此运动过程中，点C的运动路径长　4　．

【解析】过点C'作C'D⊥x轴，C'E⊥y轴

∵点M（0，4），N（4，0），
∴OM＝ON，
∵∠CA'C'+45°＝∠EAB+∠MGB＝45°+∠MGB，
∴∠EA'C'＝∠B'GB，
∵∠B'GB+∠GB'B＝45°，∠GB'B+∠DB'C'＝45°，
∴∠EA'C'＝∠DB'C'，
又∵A'C'＝B'C'，
∴Rt△A'C'E≌Rt△B'C'D（HL），
∴EC'＝DC'，
∴C'在第四象限的角平分线上，∴C的运动轨迹是线段AC，∴C的运动路径长为4；
故答案为4；
3．（2018•宝应县三模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝2，若P是以AB为直径所作半圆上由A沿着半圆向B运动的一点，连接CP，过P向下作PM⊥CP，且有PM＝0.5CP，如图示，求点P运动过程中，点M的运动路径长是　π　．

【解析】如图，∵点P的运动轨迹是半圆，PM⊥CP，且有PM＝0.5CP，
可见点M的运动轨迹是半圆．当PC是直径时，CM也是的直径，
∴PC＝AB＝4时，PM＝2，∴CM＝＝2，∴的长＝•π＝π，故答案为π

4．（2017•江阴市二模）如图，线段AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，点P是⊙O上一动点，连接CP，以CP为斜边在PC的上方作Rt△PCD，且使∠DCP＝60°，连接OD，则OD长的最大值为　2+1　．

【解析】如图，作△COE，使得∠CEO＝90°，∠ECO＝60°，
则CO＝2CE，OE＝2，∠OCP＝∠ECD，
∵∠CDP＝90°，∠DCP＝60°，
∴CP＝2CD，∴＝＝2，∴△COP∽△CED，∴＝＝2，即ED＝OP＝1（定长），
∵点E是定点，DE是定长，∴点D在半径为1的⊙E上，
∵OD≤OE+DE＝2+1，∴OD的最大值为2+1，
故答案为．

5．如图，已知线段AB＝8，O为AB的中点，P是平面内的一个动点，在运动过程中保持OP＝2不变，连结BP，将PB绕点P逆时针旋转90°到PC，连结BC、AC，则线段AC长的最大值是　2　．

【解析】答案为：

6．（2018•建湖县一模）如图，在平面直角坐标系中，A（4，0）、B（0，﹣3），以点B为圆心、2为半径的⊙B上有一动点P．连接AP，若点C为AP的中点，连接OC，则OC的最小值为　1.5　．

【解析】解法一：如图，取点D（﹣4，0），连接PD，
∵C是AP的中点，O是AD的中点，∴OC是△APD的中位线，∴OC＝PD，
连接BD交⊙B于E，∵OD＝4，OB＝3，∴BD＝5，（微信公众号：数学三剑客）
当点P与点E重合时，PD最小为5﹣2＝3，故OC的最小值为1.5；
解法二：当点P运动到AB的延长线上时，即如图中点P1，C1是AP1的中点，
当点P在线段AB上时，C2是中点，取C1C2的中点为D，
点C的运动路径是以D为圆心，以DC1为半径的圆，当O、C、D共线时，OC的长最小，
设线段AB交⊙B于Q，Rt△AOB中，OA＝4，OB＝3，∴AB＝5，
∵⊙B的半径为2，∴BP1＝2，AP1＝5+2＝7，又∵C1是AP1的中点，∴AC1＝3.5，AQ＝5﹣2＝3，
∵C2是AQ的中点，∴AC2＝C2Q＝1.5，
C1C2＝3.5﹣1.5＝2，即⊙D的半径为1，
∵AD＝1.5+1＝2.5＝AB，∴OD＝AB＝2.5，
∴OC＝2.5﹣1＝1.5，故答案为：1.5．
7．（2016•江岸区校级模拟）如图，线段AB＝2，C是AB上一动点，以AC、BC为边在AB同侧作正△ACE、正△BCF，连EF，点P为EF的中点．当点C从A运动到B时，P点运动路径长为　1　．

【解析】如图，分别延长AE、BF交于点H．

∵∠A＝∠FCB＝60°，∴AH∥CF，
∵∠B＝∠ECA＝60°，∴CE∥BH，
∴四边形ECFH为平行四边形，∴EF与HC互相平分．
∵P为CH的中点，
∴P正好为EF中点，即在P的运动过程中，P始终为CH的中点，
所以P的运行轨迹为三角形HAB的中位线MN．
∵AB＝2，∴MN＝1，即P的移动路径长为1，
故答案为：1
8．（2019秋•江岸区校级月考）如图，正△ABC中，AB＝2，AD⊥BC于D，P，Q分别是AB，BC上的动点，且PQ＝AD，点M在PQ的右上方且PM＝QM，∠M＝120°，当P从点A运动到点B时，M运动的路径长为　3﹣　．(看成固定三角板滑动处理/或反其道而行之)

【解析】如图1中，作ME⊥AB于E，MF⊥BC于F，连接BM．

∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，
∵∠MEB＝∠MFB＝90°，∴∠EMF＝∠PMQ＝120°，∴∠PME＝∠QMF，
∵MP＝MQ，∴△MEP≌△MFQ（AAS），∴ME＝MF，
∴BM平分∠ABC，∴点M的在射线BM上运动．

如图2中，由题意，当PQ∥AC时，BM的值最大，最大值BM＝＝＝＝2，
当P1Q1落在BC上时，得到BM1的值最小，最小值BM1＝＝＝1，
设BM交AC于G，点M的运动路径是G→M→M1
∴点M的运动路径的长＝MG+MM1＝BM﹣BG+BM﹣BM1＝2﹣+2﹣1＝3﹣．
9．如图，点P（t，0）（t＞0）是x轴正半轴上的一定点，以原点为圆心作半径为1的弧分别交x轴．y轴于A，B两点，点M是上的一个动点，连结PM，作∠MPM1＝90°，∠PMM1＝60°，当P是x轴正半轴上的任意一点时，点M从点A运动至点B，M1的运动路径长是　π　．

【解析】如图作PH⊥x轴，使得PH＝OP．

∵∠APH＝∠MPM1，∴∠OPM＝∠HPM1
∵＝＝，∴△PHM1∽△POM，∴＝＝，
∵OM＝1，∴HM1＝．
即点M1的运动路径为圆心为H，半径为的弧，
∵∠AOB＝90°，∴点M1的运动的弧的圆心角为90°
其长度为×2π×＝π，∴M1的运动路径长＝π．
故答案为：π．（微信公众号：数学三剑客）
10．（2017秋•宜兴市期末）如图，在平面直角坐标系中，有一条长为10的线段AB，其端点A、点B分别1在y轴、x轴上滑动，点C为以AB为直径的⊙D上一点（C始终在第一象限），且tan∠BAC＝．则当点A从A0（0，10）滑动到O（0，0），B从O（0，0）滑动到B0（10，0）的过程中，点C运动的路径长为　20﹣6　．

【解析】如图1中，作射线OC．

∵tan∠BAC＝，∴∠CAB是定值，又∵∠COB＝∠CAB，∴∠COB是定值，∴点C在射线OC上运动．

如图2中，当线段AB在y轴上时，设OC1＝k，A1C1＝2k，则有：k2+4k2＝102，∴k＝2∴OC1＝2，
如图2中，四边形A2OB2C2是矩形时，OC2＝AB＝10，此时OC2的值最大，
当线段AB在x轴上时，同法可得OC3＝4，观察图形可知，点C的运动轨迹是C1→C2→C3，
∴点C的运动路径为：（10﹣2）+（10﹣4）＝20﹣6，