人教版新课标A必修42.2 平面向量的线性运算教学设计

这是一份人教版新课标A必修42.2 平面向量的线性运算教学设计，共8页。教案主要包含了基础知识，常用结论等内容，欢迎下载使用。
一、基础知识
1．向量的有关概念
(1)向量的定义及表示：既有大小又有方向的量叫做向量．以A为起点、B为终点的向量记作eq \(AB,\s\up7(―→))，也可用黑体的单个小写字母a，b，c，…来表示向量．
(2)向量的长度(模)：向量eq \(AB,\s\up7(―→))的大小即向量eq \(AB,\s\up7(―→))的长度(模)，记为|eq \(AB,\s\up7(―→))|.
2．几种特殊向量
单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；与向量a平行的单位向量有两个，即向量eq \f(a,|a|)和－eq \f(a,|a|).
3．向量的线性运算
❷向量加法的多边形法则
多个向量相加，利用三角形法则，应首尾顺次连接，a＋b＋c表示从始点指向终点的向量，只关心始点、终点.
4．共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.
只有a≠0才保证实数λ的存在性和唯一性.
二、常用结论
(1)若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则eq \(OP,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(OB,\s\up7(―→)))．
(2)eq \(OA,\s\up7(―→))＝λeq \(OB,\s\up7(―→))＋μeq \(OC,\s\up7(―→)) (λ，μ为实数)，若点A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.
eq \a\vs4\al(考点一 平面向量的有关概念)
[典例] 给出下列命题：
①若a＝b，b＝c，则a＝c；
②若A，B，C，D是不共线的四点，则eq \(AB,\s\up7(―→))＝eq \(DC,\s\up7(―→))是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；
③a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；
④若a∥b，b∥c，则a∥c.
其中正确命题的序号是________．
[解题技法] 向量有关概念的关键点
(1)向量定义的关键是方向和长度．
(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．
(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．
(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．
(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任意向量共线．
[题组训练]
1．给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；
②λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；
③λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
其中错误的命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
2．设a0为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0，假命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
eq \a\vs4\al(考点二 平面向量的线性运算)
[典例] (1)(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则eq \(EB,\s\up7(―→))＝( )
A.eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up7(―→)) B.eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up7(―→))
C.eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up7(―→)) D.eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up7(―→))
(2)如图，在直角梯形ABCD中，eq \(DC,\s\up7(―→))＝eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up7(―→))，eq \(BE,\s\up7(―→))＝2eq \(EC,\s\up7(―→))， 且eq \(AE,\s\up7(―→))＝req \(AB,\s\up7(―→))＋seq \(AD,\s\up7(―→))，则2r＋3s＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解题技法] 向量线性运算的解题策略
(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则．
(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．
(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：
①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．
(4)与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值．
[题组训练]
1．设D为△ABC所在平面内一点，eq \(BC,\s\up7(―→))＝3eq \(CD,\s\up7(―→))，则( )
A．eq \(AD,\s\up7(―→))＝－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(4,3)eq \(AC,\s\up7(―→)) B．eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \f(4,3)eq \(AC,\s\up7(―→))
C．eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \f(4,3)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up7(―→)) D．eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \f(4,3)eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up7(―→))
2．(2019·太原模拟)在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若eq \(AC,\s\up7(―→))＝λeq \(AM,\s\up7(―→))＋μeq \(AN,\s\up7(―→))，则实数λ＋μ＝________.
eq \a\vs4\al(考点三 共线向量定理的应用 )
[典例] 设两个非零向量a与b不共线，
(1)若eq \(AB,\s\up7(―→))＝a＋b，eq \(BC,\s\up7(―→))＝2a＋8b，eq \(CD,\s\up7(―→))＝3a－3b，
求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb同向．
1.向量共线问题的注意事项
(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．
(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．
[题组训练]
1．在四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up7(―→))＝a＋2b，eq \(BC,\s\up7(―→))＝－4a－b，eq \(CD,\s\up7(―→))＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是( )
A．矩形 B．平行四边形
C．梯形 D．以上都不对
2．已知向量e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，若向量a与向量b共线，则( )
A．λ＝0 B．e2＝0
C．e1∥e2 D．e1∥e2或λ＝0
3．已知O为△ABC内一点，且eq \(AO,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)(eq \(OB,\s\up7(―→))＋eq \(OC,\s\up7(―→)))，eq \(AD,\s\up7(―→))＝teq \(AC,\s\up7(―→))，若B，O，D三点共线，则t＝( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(2,3)
4．已知O，A，B三点不共线，P为该平面内一点，且eq \(OP,\s\up7(―→))＝eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \f(eq \(AB,\s\up7(―→)),|eq \(AB,\s\up7(―→))|)，则( )
A．点P在线段AB上
B．点P在线段AB的延长线上
C．点P在线段AB的反向延长线上
D．点P在射线AB上
eq \a\vs4\al([课时跟踪检测])
1．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则eq \(EB,\s\up7(―→))＋eq \(FC,\s\up7(―→))＝( )
A．eq \(AD,\s\up7(―→)) B.eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up7(―→))
C.eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up7(―→)) D．eq \(BC,\s\up7(―→))
2．已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d共线反向，则实数λ的值为( )
A．1 B．－eq \f(1,2)
C．1或－eq \f(1,2) D．－1或－eq \f(1,2)
3．设向量a，b不共线，eq \(AB,\s\up7(―→))＝2a＋pb，eq \(BC,\s\up7(―→))＝a＋b，eq \(CD,\s\up7(―→))＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
4．(2019·甘肃诊断)设D为△ABC所在平面内一点，eq \(BC,\s\up7(―→))＝－4eq \(CD,\s\up7(―→))，则eq \(AD,\s\up7(―→))＝( )
A.eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up7(―→)) B.eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up7(―→))
C.eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up7(―→)) D.eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up7(―→))
名称
定义
备注
零向量
长度为0的向量
零向量记作0，其方向是任意的
单位向量
长度等于1个单位的向量
单位向量记作a0，a0＝eq \f(a,|a|)
平行向量
方向相同或相反的非零向量(也叫共线向量)
0与任意向量共线
相等向量
长度相等且方向相同的向量
相等向量一定是平行向量，平行向量不一定是相等向量
相反向量
长度相等且方向相反的两个向量
若a，b为相反向量，则a＝－b
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算

三角形法则 平行四边形法则
❷
(1)交换律：a＋b＝b＋a；
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差
三角形法则
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
|λa|＝|λ||a|；当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb