2021年湖北省荆门市九年级下学期学业水平适应性考试数学试题(word版含答案）

这是一份2021年湖北省荆门市九年级下学期学业水平适应性考试数学试题(word版含答案），共31页。试卷主要包含了单选题，小器一容三斛；大器一，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年湖北省荆门市九年级下学期学业水平适应性考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．实数的绝对值是（ )
A．2 B． C． D．
2．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．根据美国约翰斯·霍普金斯大学于美国东部时间4月10日18时16分（北京时间4月11日6时16分）统计的数据显示，美国新冠肺炎累计确诊病例已超过3114万例，达到31145168例．将数字3114万用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示，该几何体的俯视图是（ ）

A． B．
C． D．
5．小明在学习平行线的性质后，把含有60°角的直角三角板摆放在自己的文具上，如图，AD∥BC，若∠2＝70°，则∠1＝（　　）

A．22° B．20° C．25° D．30°
6．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，奠定了中国传统数学的基本框架，书中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛，问大小器各容几何？”译文：“今有大容器5个、小容器1个，总容量为3斛；大容器1个、小容器5个，总容量为2斛．问大小容器的容积各是多少斛？”设1个大容器的容积为斛，1个小容器的容积斛，则根据题意可列方程组（ ）
A． B． C． D．
8．如图，是等边三角形，是等腰三角形，且，过点作的平行线交于点，若，，则的长为（ ）

A．6 B． C． D．
9．如图，点为的内心，，，，则的面积是（ ）


A． B． C．2 D．4
10．已知抛物线与轴最多有一个交点，其顶点为，有下列结论：①；②；③关于的方程无实数根；④的最大值为-3．其中，正确结论的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

二、填空题
11．计算______．
12．不等式组的解集是______．
13．如图，在菱形中，是对角线，，⊙O与边相切于点，则图中阴影部分的面积为_______．

14．如图，矩形的顶点在双曲线上，，两点分别在轴，轴的正半轴上，将矩形绕点顺时针旋转90°，得到矩形，边，分别交此双曲线于，两点，若，的面积为1，则______．

15．如图，在正方形中，，与交于点，是的中点，点在边上，且，为对角线上一点，则的最大值为______．

16．如图，已知直线和直线，过上的点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交于点，…，按此作法进行下去，则点的横坐标为______．



三、解答题
17．先化简，再求值：，其中．
18．如图，将矩形纸片沿折叠，使点与点重合．

（1）求证：；
（2）若，，求的长．
19．某中学全校学生参加了“交通法规”知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：；；；，并绘制出如图不完整的统计图．

解答下列问题：
（1）求被抽取的学生成绩在组的有多少人?
（2）所抽取学生成绩的中位数落在哪个组内?
（3）学校要将Ｄ组最优秀的4名学生分成两组，每组2人到不同的社区进行“交通法规”知识演讲．已知这4名学生1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，求九年级的2名学生恰好分在同一个组的概率．
20．如图，某天我国一艘海监船巡航到港口正西方的处时，发现在的北偏东60°方向，相距150海里的处有一可疑船只正沿方向行驶，点在港口的北偏东30°方向上，海监船向港口发出指令，执法船立即从港口沿方向驶出，在处成功拦截可疑船只，此时点与点的距离为海里．

（1）求点到直线的距离．
（2）执法船从到航行了多少海里?
21．已知，是一元二次方程的两个实数根．
（1）求的取值范围；
（2）是否存在实数，使得等式成立?如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．
22．如图1，点在以为直径的上，是延长线上一点，，过点作，垂足为，交于点．


（1）求证：是的切线：
（2）若点是的中点，求的度数；
（3）如图2，过点作交于点，交于点，连接．若，，求的长．
23．某水果超市经销一种进价为18元/kg的水果，根据以前的销售经验，该种水果的最佳销售期为20天，销售人员整理出这种水果的销售单价y（元/kg）与第x天（1≤x≤20）的函数图象如图所示，而第x天（1≤x≤20）的销售量m（kg）是x的一次函数，满足下表：
x（天）
1
2
3
…
m（kg）
20
24
28
…
（1）请分别写出销售单价y（元/kg）与x（天）之间及销售量m（kg）是x（天）的之间的函数关系式
（2）求在销售的第几天时，当天的利润最大，最大利润是多少？
（3）请求出试销的20天中当天的销售利润不低于1680元的天数．

24．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且，连接，直线与轴交于点，与上方的抛物线交于点，与交于点．

（1）求点，的坐标及抛物线的解析式；
（2）设的面积为，的面积为，当最大时，求的值：
（3）在（2）的条件下，点是抛物线上一点，点是直线上一点，是否存在以，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．


参考答案
1．B
【分析】
根据绝对值的意义 ，可以知道负数的绝对值等于它的相反数．
【详解】
解：的绝对值是．
故选B
【点睛】
本题考查绝对值．
2．C
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．C
【分析】
由3114万=31140000，根据科学记数法的法则表示还原的数即可
【详解】
∵由3114万=31140000，
∴31140000=，
故选C．
【点睛】
本题考查了混合单位的大数的科学记数法，将混有单位的大数还原成纯数是解题的关键．
4．D
【分析】
根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
【详解】
解：从上面看，是一行两个矩形．
故选：D．
【点睛】
本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图是解题关键．
5．B
【分析】
过F作FG∥AD，则FG∥BC，即可得到∠2=∠EFG=70°，再根据∠AFE=90°，即可得出∠AFG=90°-70°=20°，进而得到∠1=∠AFG=20°．
【详解】
解：如图，过F作FG∥AD，则FG∥BC，

∴∠2=∠EFG=70°，
又∵∠AFE=90°，
∴∠AFG=90°-70°=20°，
∴∠1=∠AFG=20°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，三角板的知识，比较简单，熟记平行线的性质是解题的关键．
6．B
【分析】
根据题意直接利用合并同类项法则、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方运算法则分别计算得出答案即可．
【详解】
A、原计算错误，不符合题意；
B、正确，符合题意；
C、原计算错误，不符合题意；
D、原计算错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了合并同类项、幂的乘方运算、同底数幂的除法和同底数幂的乘法，正确掌握相关运算法则是解题的关键．
7．A
【分析】
根据题意，利用大容器加小容器的容量和，分别列出两个方程，从而得出方程组．
【详解】
解：根据大容器5个、小容器1个，总容量为3斛，可以列式：，
根据大容器1个、小容器5个，总容量为2斛，可以列式：，
得方程组：．
故选：A．
【点睛】
本题考查列方程组，解题的关键是根据题意找出等量关系列出方程组．
8．B
【分析】
连接交于点，由题意证明垂直平分，由是等边三角形，得到，通过证明是等边三角形，可得，由勾股定理求得的长即可．
【详解】
解：连接交于点，取中点，连接，如图，

是等边三角形

是等腰三角形，

垂直平分

是的中位线，








中，

故选：B．
【点睛】
本题考查等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、中位线、勾股定理、正切等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
9．B
【分析】
过点C作CH⊥BO于点H．由点O为△ABC的内心，∠A＝60°，得∠BOC＝120°，则∠COH＝60°，由OC＝4，得CH＝2，BO＝2，于是求出△OBC的面积．
【详解】
解：过点C作CH⊥BO于点H．
∵点O为△ABC的内心，∠A＝60°，
∴∠BOC＝180°-∠OBC-∠OCB=90°∠A＝90°120°，
则∠COH＝60°，∠OCH＝30°
∵CO＝4，
∴OH=2
∴CH＝2，BO＝2，
∴△OBC的面积为2，
故选：B．

【点睛】
本题考查了三角形内心的相关计算，熟练运用含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
10．A
【分析】
由与轴最多有一个交点，可判断①，抛物线的开口向上，函数有最小值，结合顶点在轴的负半轴或第二象限，可判断②，由关于轴对称的函数解析式为： 则的最小值为： 结合函数图像可判断③，由与轴最多有一个交点，可得当时， 证明 再利用不等式的基本性质可判断④，从而可得答案．
【详解】
解：∵与轴最多有一个交点，

＞
，故①正确；
∵，顶点为，
抛物线的开口向上，函数有最小值，
即当时，最小值为
当时，
由函数的性质可得：
又的对称轴为：＜
所以顶点在轴的负半轴或第二象限，

＜ 故②正确；
关于轴对称的函数解析式为：
则的最小值为：
＞
与没有交点，
当，则
结合函数图像的交点坐标含义可得：没有实数解，
所以：关于的方程无实数根；故③正确；
与轴最多有一个交点，
当时，


，
＜

的最大值为： 所以④正确．
故选：．
【点睛】
本题考查的是二次函数的综合题，二次函数的图像与性质，二次函数与不等式，二次函数与方程的关系，掌握以上知识是解题的关键．
11．-1
【分析】
分别根据有理数乘方的法则、数的开方法则、零指数幂、特殊角的三角函数值及负整数指数幂的运算法则计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
【详解】
解：原式＝3+1-4-1
＝﹣1．
【点睛】
本题考查的是实数的运算，熟知有理数乘方的法则、数的开方法则、零指数幂、特殊角的三角函数值及负整数指数幂的运算法则是解答此题的关键．
12．
【分析】
先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【详解】
解：，
解不等式①得：x≥﹣3，
解不等式②得：x＜-1，
∴不等式组的解集是﹣3≤x＜-1，
故答案为：﹣3≤x＜-1．
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．
13．
【分析】
连接OD，先求出等边三角形OAB的面积，再求出扇形的面积，即可求出阴影部分的面积．
【详解】
解：如图，连接OD，

∵AB是切线，则OD⊥AB，
在菱形中，
∴，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=∠A=60°，
∴OD=，
∴，
∴扇形的面积为：，
∴阴影部分的面积为：；
故答案为：．
【点睛】
本题考查了求不规则图形的面积，扇形的面积，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是正确求出等边三角形的面积和扇形的面积．
14．12．
【分析】
根据B在双曲线上，且，设，求出，，即可得出结论．
【详解】
∵B在双曲线上，且，
∴设，
∴，
又∵，
∴N，E纵坐标均为，
∴，即为中点，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：12．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数与几何综合，三角形面积公式，正确读懂题意是解题的关键．
15．1
【分析】
以BD为对称轴作N的对称点N'，连接PN'，MN'，依据PM-PN=PM-PN'≤MN'，可得当P，M，N'三点共线时，取“=”，再求得，即可得出PM∥AB∥CD，∠CMN'=90°，再根据△N'CM为等腰直角三角形，即可得到CM=MN'=1．
【详解】
解：如图所示，以BD为对称轴作N的对称点N'，连接PN'，MN'，
根据轴对称性质可知，PN=PN'，

∴PM-PN=PM-PN'≤MN'，
当P，M，N'三点共线时，取“=”，
∵正方形边长为4，
∴AC=AB=4，
∵O为AC中点，
∴AO=OC=2，
∵N为OA中点，
∴ON=，
∴ON'=CN'=，
∴AN'=3，
∵BM=3，
∴CM=AB-BM=4-3=1，
∴，
∴PM∥AB∥CD，∠CMN'=90°，
∵∠N'CM=45°，
∴△N'CM为等腰直角三角形，
∴CM=MN'=1，
即PMPN的最大值为1，
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质以及最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
16．
【分析】
据题意可以发现题目中各点的坐标变化规律，依此规律即可得出结论．
【详解】
解：∵点作x轴的垂线交l2于点P2，过点P2作y轴的垂线交l1于点P3，过点P3作x轴的垂线交l2于点P4，
∴P1与P2横坐标相同，P2与P3纵坐标相同，
∴当x＝1时，yx，
∴P2（1，），
∴当y时，则x，
∴x＝﹣3，
∴P3（﹣3，），
当x＝﹣3时，yx＝3，
∴P4（﹣3，3），
同理可得：P5（9，3），P6（9，﹣9），…
∴P2n的横坐标为（﹣3）n﹣1，
∵P2021的横坐标与P2022横坐标相同
且2022＝2×1011，
∴点P2021的横坐标为：（﹣3）1010＝，
故答案为：．
【点睛】
本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出题目中点的横坐标的变化规律．
17．；
【分析】
原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
【详解】
解：



，
当时，原式．
【点睛】
本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．
18．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）由翻折和矩形的性质可知，，即可证明 ，即可利用“”证明．
（2）设，则，由翻折可知．即可在中，利用勾股定理求出x的值．即可求出AE的长．
【详解】
（1）是矩形，
，，
由翻折的性质得，，，，
，
，，
．
（2）设，则，
沿翻折后点与点A重合，
，
在中，，即，
解得，
．
【点睛】
本题考查矩形与折叠的性质，三角形全等的判定以及勾股定理．利用数形结合的思想是解答本题的关键．
19．（1）学生成绩在组的有24人；（2）中位数落在这一组内；（3）
【分析】
（1）根据样本容量=项目频数÷项目所占百分数，求得样本容量，后用减法求出C等级的人数即可；
（2）根据中位数的定义，确定第30个，第31个数据的平均数，平均数的位置就是中位数的位置；
（3）利用枚举法计算概率；
【详解】
（1）∵样本容量==60，
∴共有60人参与调查；
组学生有：（人），
即被抽取的学生成绩在组的有24人；
（2）∵6+12＜30＜6+12+24，6+12＜31＜6+12+24，
∴所抽取学生成绩的中位数落在这一组内；
（3）用列举法可知：七年级用a表示，八年级用b表示，九年级用c，d表示，具体分组如下：a、c和b、d,a、d和b、c，a、b和c、d，一共有3种等可能的情况，其中九年级的2名学生恰好分在同一个组有1种，所以．
【点睛】
本题考查了条形统计图，扇形统计图，样本容量，枚举法求概率，掌握统计图的意义，并能灵活运用枚举法法进行相关计算是解题的关键．
20．（1）点到直线的距离是75海里；（2）执法船从到航行了海里．
【分析】
（1）过点作于点，根据含30°角的直角三角形性质，得到，据此解题；
（2）在中，利用勾股定理解得，在中，利用正切的定义解题即可．
【详解】
解：（1）过点作于点，如图．

由题意得：，，
，
，
答：点到直线的距离是75海里．
（2）在中，
，，
，
，
在中，，
，
，
答：执法船从到航行了海里．
【点睛】
本题考查解直角三角形，涉及含30°角的直角三角形、勾股定理、正切等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
21．（1）；（2）存在满足条件的．
【分析】
（1）根据方程的系数，结合一元二次方程根的情况，得到根的判别式，转化为解关于的一元一次不等式，即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理，得到关于的方程，解之即可．
【详解】
（1）依题意得：，
，解得．
（2）依题意得：，
，即，
，解得，，
又，
存在满足条件的．
【点睛】
本题考查一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式，涉及一元一次不等式、一元二次方程的解法等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
22．（1）见解析；（2）；（3）
【分析】
（1）连接，然后利用等腰三角形的性质，余角的性质进行证明，即可得到结论成立；
（2）由圆周角定理和垂径定理，得到，即可得到答案；
（3）由垂径定理，等角对等边求出，然后求出，再利用勾股定理和三角函数，即可求出答案．
【详解】
（1）证明：连接，


为的直径，
，即，
，
，

，
，
是的切线．
（2）是的中点，，
，，
，
，
为的直径，
，
，
．
（3），
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，，
，
在中，设，则，
解得：，
，
在中，，
，
．
【点睛】
本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，三角函数，勾股定理，余角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的求出所求线段．
23．（1）y＝，m＝4x+16（0≤x≤20，且x为整数）；（2）在销售的第18天时，当天的利润最大，最大利润是1936元；（3）试销的20天中当天的销售利润不低于1680元的有13天
【分析】
(1)利用待定系数法求解可得；
(2)设当天的总利润为w，分1≤x≤7和8≤x≤20两种情况，根据“总利润=每千克利润×日销售量”列出函数解析式，再依据一次函数和二次函数的性质分别求解可得；
(3)在两种情况下，分别求出w≥1680时对应的x的范围，从而得出答案．
【详解】
(1)当1≤x≤7时，y=60；
当8≤x≤20时，设y=kx+b，
将(8，50)、(18，40)代入得，
解得，
∴；
综上，y=
设，
将(1，20)、(2，24)代入得，
解得，
则(0≤x≤20，且x为整数)；
(2)设当天的总利润为w，
当时，，
则时，w取得最大值，最大值为1848元；
当时，

，
∴当x=18时，w取得最大值，最大利润为1936元；
综上，在销售的第18天时，当天的利润最大，最大利润是1936元；
(3)当时，，
解得，
∴此时满足条件的天数为第6、7这2天；
当时，，
解得，
又∵，
∴，
∴此时满足条件的天数有11天；
综上，试销的20天中当天的销售利润不低于1680元的有13天．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系，并据此列出函数解析式及二次函数的性质的运用．
24．（1）A(-1，0)，B(4，0)，；（2）；（3）存在，点的坐标为(，)或(，)或(，)或(，)．
【分析】
（1）利用抛物线的对称轴以及已知条件组成方程组，即可求得点A，B的坐标；再运用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）过点作轴交于点，得到，再求得直线BC的解析式，利用二次函数的性质即可求解；
（3）分①以AC为对角线，②以A Q为对角线，③以A P为对角线三种情况讨论，利用平行四边形的性质即可求解．
【详解】
（1）∵抛物线的对称轴为：，
∴，即，
由，
解得：，，
∴A(-1，0)，B(4，0)；
把A(-1，0)代入得，，
解得，
∴抛物线的解析式为；

（2）过点作轴交于点，
，
．
与轴交于点，
∴D(0，1)，
，
∴，
设的解析式为，
将，代入得：
，解得
∴BC的解析式为．
设，则，其中．
，
当时，最大，此时，点的坐标为，
将点代入，
得；
（3）由（2）得，
∴直线DE的解析式，
A(-1，0)，C(0，2)，
设，则，
①以AC为对角线，则，
解得：(舍去)或，
∴Q(，)；
②以A Q为对角线，则，
解得：或，
∴Q(，)或(，)；
③以A P为对角线，则，
解得：(舍去)或，
∴Q(，)；
综上，存在，点的坐标为(，)或(，)或(，)或(，)．
【点睛】
本题考查了二次函数综合题型，待定系数法，平行四边形的性质，平行线截线段成比例，勾股定理等知识点，综合性较强有一定难度，熟练掌握待定系数法，二次函数图象和性质等相关知识，灵活运用数形结合思想，方程思想和分类讨论思想是解题关键．