数学人教版新课标A3.2复数代数形式的四则运算教案

第一节 数系的扩充与复数的引入

一、基础知识

1．复数的有关概念

(1)复数的概念：

形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．

 (2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．

(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．

(4)复数的模：

向量的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝.

2．复数的几何意义

(1)复数z＝a＋bi 复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．

(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量.

3．复数的运算

(1)复数的加、减、乘、除运算法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则

①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；

②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；

③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；

④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．

(2)复数加法的运算定律

设z1，z2，z3∈C，则复数加法满足以下运算律：

①交换律：z1＋z2＝z2＋z1；

②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．

二、常用结论

(1)(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i.

(2)－b＋ai＝i(a＋bi)．

(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)；i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)．

(4)z·＝|z|2＝||2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝，|zn|＝|z|n.

[典例]　(1)(2017·山东高考)已知i是虚数单位，若复数z满足zi＝1＋i，则z2＝(　　)

A．－2i　　　　　　　　　 B．2i

C．－2   D．2

(2)(2019·山东师大附中模拟)计算：＝(　　)

A．2   B．－2

C．2i   D．－2i

[解题技法]　复数代数形式运算问题的解题策略

(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．

(2)复数的除法运算是分子、分母同乘以分母的共轭复数，即分母实数化，解题中要注意把i的幂写成最简形式．

[题组训练]

1．(2019·合肥质检)已知i为虚数单位，则＝(　　)

A．5   B．5i

C．－－i   D．－＋i

2．(2018·济南外国语学校模块考试)已知＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z等于(　　)

A．1＋i   B．1－i

C．－1＋i   D．－1－i

3．已知复数z＝，则复数z＝________.

 [典例]　(1)(2019·湘东五校联考)已知i为虚数单位，若复数z＝＋i(a∈R)的实部与虚部互为相反数，则a＝(　　)

A．－5　　　　　　　　 B．－1

C．－   D．－

(2)(2018·全国卷Ⅰ)设z＝＋2i，则|z|＝(　　)

A．0　　　 　 　 　　　　　 B.

C．1   D.

[解题技法]　紧扣定义解决复数概念、共轭复数问题

(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b.

(2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．复数z1＝a＋bi与z2＝c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．

 [题组训练]

1．(2019·山西八校第一次联考)已知a，b∈R，i为虚数单位，若3－4i3＝，则a＋b等于(　　)

A．－9   B．5

C．13   D．9

2．(2019·贵阳适应性考试)设是复数z的共轭复数，满足＝，则|z|＝(　　)

A．2   B．2

C.   D.

3．若复数z＝a2－a－2＋(a＋1)i为纯虚数(i为虚数单位)，则实数a的值是________．

[典例]　(1)如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，若zz2＝z1，则z的共轭复数＝(　　)

A.＋i　　　　 B.－i

C．－＋i   D．－－i

(2)复数z＝4i2 018－(其中i为虚数单位)在复平面内对应的点在(　　)

A．第一象限   B．第二象限

C．第三象限   D．第四象限

[解题技法]　对复数几何意义的再理解

(1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔.

(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．

 [题组训练]

1．(2019·安徽知名示范高中联考)已知复数z满足(2－i)z＝i＋i2，则z在复平面内对应的点位于(　　)

A．第一象限　　　　　　　 B．第二象限

C．第三象限   D．第四象限

3．已知复数z＝，其中a为整数，且z在复平面内对应的点在第四象限，则a的最大值为________．

1．(2019·广州五校联考)＝(　　)

A．－1－i　　　　　　 B．1＋i

C．－1＋i   D．1－i

2．(2018·洛阳第一次统考)已知a∈R，i为虚数单位，若为纯虚数，则a的值为(　　)

A．－1  B．0

C．1   D．2

3.(2018·甘肃诊断性考试)如图所示，向量，所对应的复数分别为z1，z2，则z1·z2＝(　　)

A．4＋2i   B．2＋i

C．2＋2i   D．3＋i

4．若复数z1＝4＋29i，z2＝6＋9i，其中i是虚数单位，则复数(z1－z2)i的实部为(　　)

A．－20   B．－2

C．4   D．6

5．(2019·太原模拟)若复数z＝在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是(　　)

A．(－1,1)   B．(－1,0)

C．(1，＋∞)   D．(－∞，－1)

6．(2018·昆明高三摸底)设复数z满足(1＋i)z＝i，则z的共轭复数 ＝(　　)

A.＋i   B.－i

C．－＋i   D．－－i

7．设复数z满足i(z＋1)＝－3＋2i(i是虚数单位)，则复数z对应的点位于复平面内(　　)

A．第一象限   B．第二象限

C．第三象限   D．第四象限

8．已知复数z＝，z·＝1，则正数m的值为(　　)

A.   B．2

C.   D.

9．已知a，b∈R，i是虚数单位，若(1＋i)(1－bi)＝a，则的值为________．