人教版数学八年级下册期末专题复习三　平行四边形第2课时 构造三角形中位线的常用方法

人教版数学八年级下册期末专题复习三　平行四边形

第2课时  构造三角形中位线的常用方法

1． 如图，点B为AC上一点，分别以AB，BC为边在AC同侧作等边三角形ABD和等边三角形BCE，点P，M，N分别为AC，AD，CE的中点．

(1)求证PM＝PN；

(2)求∠MPN的度数．

2． 如图，在△ABC中，已知AB＝6，AC＝10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，点E为BC的中点．求DE的长．

3． 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，△BEF为等腰直角三角形，∠BEF＝90°，M为AF的中点．

求证ME＝CF.

4．如图，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，M，N分别是AD，BC的中点．若AB＝10，CD＝8，求MN长度的取值范围．

5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点P是AD的中点，延长BP交AC于点N.求证AN＝AC.

参考答案

1． 如图，点B为AC上一点，分别以AB，BC为边在AC同侧作等边三角形ABD和等边三角形BCE，点P，M，N分别为AC，AD，CE的中点．

(1)求证PM＝PN；

证明：如图，连接CD，AE.

由三角形中位线定理可得PM＝CD，

PN＝AE.

∵△ABD和△BCE是等边三角形，

∴AB＝DB，BE＝BC，∠ABD＝∠CBE＝60°.

∴∠ABE＝∠DBC.

∴△ABE≌△DBC.

∴AE＝DC.

∴PM＝PN.

(2)求∠MPN的度数．

解：如图，设PM交AE于F，PN交CD于G，

AE交CD于H.

由(1)知△ABE≌△DBC，∴∠BAE＝∠BDC.

∴∠AHD＝∠ABD＝60°，∴∠FHG＝120°.

由三角形中位线定理可得PM∥CD，PN∥AE，

∴四边形PFHG为平行四边形．∴∠MPN＝∠FHG＝120°.

2． 如图，在△ABC中，已知AB＝6，AC＝10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，点E为BC的中点．求DE的长．

解：如图，延长BD交AC于点F.

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAD.

∵BD⊥AD，

∴∠ADB＝∠ADF.

又AD＝AD，∴△ADB≌△ADF(ASA)．

∴AF＝AB＝6，BD＝FD.

∵AC＝10，

∴CF＝AC－AF＝10－6＝4.

∵E为BC的中点，BD＝FD，

∴DE是△BCF的中位线．

∴DE＝CF＝×4＝2.

3． 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，△BEF为等腰直角三角形，∠BEF＝90°，M为AF的中点．

求证ME＝CF.

证明：如图，延长FE至N，使EN＝EF，

连接BN，AN，则ME＝AN. ∵EF＝EN，

∠BEF＝90°，∴BE垂直平分FN. ∴BF＝BN.

∴∠BNF＝∠BFN.

∵△BEF为等腰直角三角形，∠BEF＝90°，∴∠BFN＝45°.

∴∠BNF＝45°. ∴∠FBN＝90°，即∠FBA＋∠ABN＝90°.

又∠FBA＋∠CBF＝90°，∴∠CBF＝∠ABN.

在△BCF和△BAN中，

∴△BCF≌△BAN(SAS)．∴CF＝AN. ∴ME＝AN＝CF.

4．如图，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，M，N分别是AD，BC的中点．若AB＝10，CD＝8，求MN长度的取值范围．

解：如图，取BD的中点P，连接PM，PN.

∵M是AD的中点，P是BD的中点，

∴PM是△ABD的中位线，

∴PM＝AB＝5.

同理得PN＝CD＝4.

在△PMN中，∵PM－PN<MN<PM＋PN，

∴1<MN<9.

5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点P是AD的中点，延长BP交AC于点N.求证AN＝AC.

证明：如图，取NC的中点H，连接DH，

过点H作HE∥AD，交BN的延长线于E.

∵AB＝AC，AD⊥BC，∴D为BC的中点．

∵H为NC的中点，∴DH∥BN.

又∵PD∥EH，∴四边形PDHE是平行四边形．

∴HE＝PD.

∵P为AD的中点，∴AP＝PD. ∴AP＝EH.

又∵HE∥AD，

∴∠PAN＝∠EHN，∠APN＝∠HEN.

∴△APN≌△HEN(ASA)．∴AN＝NH.

∴AN＝NH＝HC. ∴AN＝AC.