人教版数学八年级下册期末专题复习四　特殊平行四边形第3课时 拓展训练 特殊四边形的性质在动点问题中的巧用

人教版数学八年级下册期末专题复习四　特殊平行四边形

第3课时  拓展训练  特殊四边形的性质在动点问题中的巧用

1．如图，在▱ABCD中，E，F两点在对角线BD上运动(E，F不重合)，且保持BE＝DF，连接AE，CF.请你猜想AE与CF有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由．

2．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，动点E在边BC上，动点F在边CD上．

(1)如图①，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证BE＝DF；

(2)如图②，若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形．

3．在矩形ABCD中，AB＝4 cm，BC＝8 cm，AC的垂直平分线EF分别交AD，BC于点E，F，垂足为O.

(1)如图①，连接AF，CE，证明四边形AFCE为菱形，并求AF的长．

(2) 如图②，动点P，Q分别从A，C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周，即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，已知点P的速度为5 cm/s，点Q的速度为4 cm/s，运动时间为t s，当以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．

4．如图，正方形ABCD的边长为8 cm，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH.

(1)求证：四边形EFGH是正方形；

(2)判断直线EG是否经过一个定点，并说明理由．

参考答案

1．如图，在▱ABCD中，E，F两点在对角线BD上运动(E，F不重合)，且保持BE＝DF，连接AE，CF.请你猜想AE与CF有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由．

解：AE＝CF，AE∥CF.理由如下：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，AB∥CD. ∴∠ABE＝∠CDF.

又∵BE＝DF， ∴△ABE≌△CDF(SAS)．

∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD.

∵∠AEB＋∠AED＝∠CFD＋∠CFB＝180°，

∴∠AED＝∠CFB. ∴AE∥CF.

2．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，动点E在边BC上，动点F在边CD上．

(1)如图①，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证BE＝DF；

证明：连接AC.

∵在菱形ABCD中，∠B＝60°，

AB＝BC＝CD，AB∥CD，

∴∠BCD＝180°－∠B＝120°，△ABC是等边三角形．

又∵E是BC的中点，∴AE⊥BC.

∵∠AEF＝60°，

∴∠FEC＝90°－∠AEF＝30°.

∴∠CFE＝180°－∠FEC－∠BCD＝180°－30°－120°＝30°.

∴∠FEC＝∠CFE.

∴EC＝CF.

∴BE＝DF.

(2)如图②，若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形．

证明：连接AC.

由(1)知△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC，∠ACB＝∠BAC＝∠EAF＝60°.

∴∠BAE＝∠CAF. ∵∠BCD＝120°，∠ACB＝60°，

∴∠ACF＝60°＝∠B. ∴△ABE≌△ACF. ∴AE＝AF.

又∵∠EAF＝60°，∴△AEF是等边三角形．

3．在矩形ABCD中，AB＝4 cm，BC＝8 cm，AC的垂直平分线EF分别交AD，BC于点E，F，垂足为O.

(1)如图①，连接AF，CE，证明四边形AFCE为菱形，并求AF的长．

解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC.

∴∠OAE＝∠OCF，∠AEO＝∠CFO.

∵EF垂直平分AC，垂足为O，

∴OA＝OC. ∴△AOE≌△COF(AAS)．

∴OE＝OF. ∴四边形AFCE为平行四边形．

又∵EF⊥AC，∴四边形AFCE为菱形．

∴AF＝CF.

设AF＝CF＝x cm，则BF＝(8－x)cm.

在Rt△ABF中，AB＝4 cm，由勾股定理得42＋(8－x)2＝x2，

解得x＝5. ∴AF＝5 cm.

(2) 如图②，动点P，Q分别从A，C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周，即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，已知点P的速度为5 cm/s，点Q的速度为4 cm/s，运动时间为t s，当以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．

解：显然当P点在AF上，Q点在CD上时，以A，C，P，Q四点为顶点不可能构成平行四边形；同理，当P点在AB上，Q点在DE或CE上时，也不可能构成平行四边形．

因此只有当P点在BF上，Q点在ED上时，才能构成平行四边形．

如图，连接AP，CQ.

若以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形，

则PC＝QA.

∵四边形AFCE是菱形，点P的速度为5 cm/s，点Q的速度为4 cm/s，运动时间为t s，

∴PC＝PF＋FC＝PF＋FA＝5t cm，QA＝(AD＋CD)－(QD＋

CD)＝(12－4t)cm. ∴5t＝12－4t，解得t＝.

∴当以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t＝.

4．如图，正方形ABCD的边长为8 cm，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH.

(1)求证：四边形EFGH是正方形；

证明：如图所示．

∵四边形ABCD为正方形，

∴∠A＝∠ABC＝∠C＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝CD＝AD.

又∵AE＝BF＝CG＝DH，∴BE＝CF＝DG＝AH.

∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG.

∴EH＝EF＝FG＝GH，∠1＝∠2.

∴四边形EFGH为菱形．

∵∠1＋∠3＝90°，∠1＝∠2，

∴∠2＋∠3＝90°.

∴∠HEF＝90°.

又∵四边形EFGH为菱形，

∴四边形EFGH是正方形．

(2)判断直线EG是否经过一个定点，并说明理由．

【点拨】解动点问题的关键是把动点看成定点，找到等量关系，一般情况下，这个等量关系在点运动时仍然成立．

解：直线EG经过一个定点．

理由：如图，连接BD，DE，BG，

设EG与BD交于O点．

∵BE∥DG，BE＝DG，

∴四边形BGDE为平行四边形．

∴BD，EG互相平分．

∴BO＝OD.

∴点O为正方形ABCD的中心．

∴直线EG必过正方形ABCD的中心．