2021年安徽省合肥市庐阳区中考数学二模试卷

这是一份2021年安徽省合肥市庐阳区中考数学二模试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）﹣2021的相反数是（ ）
A．﹣2021B．﹣C．D．2021
2．（4分）下列运算一定正确的是（ ）
A．a2+a2＝a4B．a2•a4＝a8
C．（a2）4＝a8D．（a+b）2＝a2+b2
3．（4分）芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一，它作为食物和药物，得到广泛的使用．经测算，一粒芝麻的质量约为0.00000201kg，将0.00000201用科学记数法表示为（ ）
A．2.01×10﹣8B．0.201×10﹣7C．2.01×10﹣6D．20.1×10﹣5
4．（4分）如图摆放的几何体中，主视图与左视图有可能不同的是（ ）
A．B．C．D．
5．（4分）用配方法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0，配方正确的是（ ）
A．（x﹣）2＝B．（x﹣）2＝
C．（x﹣）2＝D．（x﹣）2＝
6．（4分）某中学开展“读书伴我成长”活动，为了解八年级学生四月份的读书册数，对从中随机抽取的20名学生的读书册数进行调查，结果如右表：
根据统计表中的数据，这20名同学读书册数的众数，中位数分别是（ ）
A．3，3B．3，7C．2，7D．7，3
7．（4分）如图，A，B是双曲线y＝上的两个点，过点A作AC⊥x轴，交OB于点D，垂足为点C．若△ODC的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（ ）
A．B．2C．4D．8
8．（4分）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为（ ）
A．B．C．4D．
9．（4分）如图，AB为⊙O的直径，C，D是圆周上的两点，若∠ABC＝38°，则锐角∠BDC的度数为（ ）
A．57°B．52°C．38°D．26°
10．（4分）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E、G分别在AD、DC上，将△ABE、△EDG分别沿BE、EG翻折，点A的对称点为点F，点D的对称点为点H，当E、F、H、C四点在同一直线上时，连接DH，则线段DH长为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）如果二次根式有意义，那么x的取值范围是 ．
12．（5分）分解因式：xy2﹣4x＝ ．
13．（5分）在正方形网格中，A、B、C、D均为格点，则∠BAC﹣∠DAE＝ ．
14．（5分）已知函数y＝x2+x+4与y轴交于点C，顶点为D，直线CD交x轴于点E，点F在直线CD上，且横坐标为4，现在，将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段EF总有公共点，抛物线向上最多可以平移 个单位长度，向下最多可以平移 个单位长度．
三、（本大题2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）解不等式组：．
16．（8分）目前，以5G为代表的战略性新兴产业蓬勃发展，某市2019年底有5G用户2万户，计划到2021年底5G用户数累计达到9.68万户，求这两年全市5G用户数的年平均增长率．
四、（本大题2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（﹣3，4）、和C（2，4）、D（6，6），请按下列要画图并填空：
（1）沿水平方向移动线段AB，使点A和点C的横坐标相同，画出平移后所得的线段A1B1，并写出点B1的坐标；
（2）将线段A1B1绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合（点A1与点C重合，点B1与点D重合），请用无刻度的直尺和圆规，找出旋转中心点P．（保留作图痕迹，不写作法）
18．（8分）阅读下面内容，并将问题解决过程补充完整：
﹣1；
；
…
．
由此，我们可以解决下面问题：S＝1+++…+，请求出S的整数部分．
解：S＝1+++…+＝+++…+
＜+++…+＝1+2（﹣1+﹣+…+﹣）＝19；
S＝1+++…+＝+++…+＞ ．
∴S的整数部分是 ．
五、（本大题2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．
某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22°，然后沿MP方向前进16m到达点N处，测得点A的仰角为45°．测角仪的高度为1.6m求观星台最高点A距离地面的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin22°≈0.37，cs22°≈0.93，tan22°≈0.40，≈1.41）．
20．（10分）如图，点B为⊙O外一点，过点B作⊙O的切线，切点为A，点P为OB上一点，连接AP并延长交⊙O于点C，连接OC，若OC⊥OB．
（1）求证：BP＝AB；
（2）若OB＝10，⊙O的半径为8，求AP的长．
六、（本大题满分12分）
21．（12分）某学校“校园主持人大赛”结束后，将所有参赛选手的比赛成绩（得分均为整数）进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数分布直方图．部分信息如下：
（1）本次比赛参赛选手共有 ，扇形统计图中“79.5～89.5“这一范围的人数占总参赛人数的百分比为 ；
（2）补全图2频数分布直方图；
（3）成绩前四名是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人作为该校文艺晚会的主持人，请用列举法（画树状图或列表）求所选取的这两名学生恰好是一男一女的概率．
七、（本大题满分12分）
22．（12分）某商店经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：
已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？
八、（本大题满分14分）
23．（14分）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AD、CD上的点，且AE＝CF，连接BE、BF、EF，点G是BE的中点，连接AG并延长交BF于点K．
（1）求证：AK⊥BF；
（2）当点E是AD的中点时，求tan∠EBF的值；
（3）连接CK，当线段CK取最小值时，求的值．
2021年安徽省合肥市庐阳区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）﹣2021的相反数是（ ）
A．﹣2021B．﹣C．D．2021
【分析】利用相反数的定义分析得出答案．
【解答】解：﹣2021的相反数是：2021．
故选：D．
2．（4分）下列运算一定正确的是（ ）
A．a2+a2＝a4B．a2•a4＝a8
C．（a2）4＝a8D．（a+b）2＝a2+b2
【分析】根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则以及完全平方公式逐一计算判断即可．
【解答】解：A、a2+a2＝2a2，原计算错误，故此选项不合题意；
B、a2•a4＝a6，原计算错误，故此选项不合题意；
C、（a2）4＝a8，原计算正确，故此选项合题意；
D、（a+b）2＝a2+2ab+b2，原计算错误，故此选项不合题意．
故选：C．
3．（4分）芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一，它作为食物和药物，得到广泛的使用．经测算，一粒芝麻的质量约为0.00000201kg，将0.00000201用科学记数法表示为（ ）
A．2.01×10﹣8B．0.201×10﹣7C．2.01×10﹣6D．20.1×10﹣5
【分析】绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00000201＝2.01×10﹣6．
故选：C．
4．（4分）如图摆放的几何体中，主视图与左视图有可能不同的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】分别确定每个几何体的主视图和左视图即可作出判断．
【解答】解：A、主视图和左视图是长方形，一定相同，故本选项不合题意；
B、主视图和左视图都是等腰三角形，一定相同，故选项不符合题意；
C、主视图和左视图都是圆，一定相同，故选项不符合题意；
D、主视图是长方形，左视图是可能是正方形，也可能是长方形，故本选项符合题意；
故选：D．
5．（4分）用配方法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0，配方正确的是（ ）
A．（x﹣）2＝B．（x﹣）2＝
C．（x﹣）2＝D．（x﹣）2＝
【分析】化二次项系数为1后，把常数项﹣右移，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣的一半的平方．
【解答】解：由原方程，得
x2﹣x＝，
x2﹣x+＝+，
（x﹣）2＝，
故选：A．
6．（4分）某中学开展“读书伴我成长”活动，为了解八年级学生四月份的读书册数，对从中随机抽取的20名学生的读书册数进行调查，结果如右表：
根据统计表中的数据，这20名同学读书册数的众数，中位数分别是（ ）
A．3，3B．3，7C．2，7D．7，3
【分析】根据众数、中位数的定义分别进行解答即可．
【解答】解：因为共有20个数据，
所以中位数为第10、11个数据的平均数，即中位数为＝3，
由表格知数据3出现了7次，次数最多，所以众数为3．
故选：A．
7．（4分）如图，A，B是双曲线y＝上的两个点，过点A作AC⊥x轴，交OB于点D，垂足为点C．若△ODC的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（ ）
A．B．2C．4D．8
【分析】过点B作BE⊥x轴于点E，根据反比例函数系数k的几何意义，可知S△BOE＝k，由D为OB的中点，CD∥BE，可知CD是△OBE的中位线，CD＝BE，那么△ODC∽△OBE，根据相似三角形面积比等于相似比的平方得出S△ODC＝S△BOE＝k＝1，即可求出k的值．
【解答】解：过点B作BE⊥x轴于点E，则S△BOE＝k．
∵D为OB的中点，CD∥BE，
∴CD是△OBE的中位线，CD＝BE，
∴△ODC∽△OBE，
∴＝（）2＝，
∴S△ODC＝S△BOE＝k＝1，
∴k＝8．
故选：D．
8．（4分）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为（ ）
A．B．C．4D．
【分析】由在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，利用菱形的性质以及勾股定理，求得OB的长，继而可求得BD的长，然后由菱形的面积公式可求得线段DE的长．
【解答】解：如图．
∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，
∴AC⊥BD，OA＝AC＝3，BD＝2OB，
∵AB＝5，
∴OB＝＝4，
∴BD＝2OB＝8，
∵S菱形ABCD＝AB•DE＝AC•BD，
∴DE＝＝＝．
故选：D．
9．（4分）如图，AB为⊙O的直径，C，D是圆周上的两点，若∠ABC＝38°，则锐角∠BDC的度数为（ ）
A．57°B．52°C．38°D．26°
【分析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可得∠ACB＝90°，又由∠ABC＝38°，即可求得∠A的度数，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠BDC的度数．
【解答】解：连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝38°，
∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝52°，
∴∠BDC＝∠BAC＝52°．
故选：B．
10．（4分）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E、G分别在AD、DC上，将△ABE、△EDG分别沿BE、EG翻折，点A的对称点为点F，点D的对称点为点H，当E、F、H、C四点在同一直线上时，连接DH，则线段DH长为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由翻折性质知前后对应边和对应角相等，可得△BFC≌△CDE，过点H作HM⊥DC于点M，则HM∥AD，根据相似的判定得△HMC∽△EDC，再根据相似的性质得DM＝，在Rt△DHM中，由勾股定理可得线段DH长．
【解答】解：由翻折可知：
AB＝BF＝3，∠BFC＝90°，
勾股定理得：FC＝4，
在△BFC和△CDE中，
，
∴△BFC≌△CDE（ASA），
∴FC＝ED＝4，EC＝BC＝5，
∴EH＝DE＝4（翻折），HC＝EC﹣EH＝1，
过点H作HM⊥DC于点M，则HM∥AD，
∴△HMC∽△EDC，
∴＝＝＝，
解得：MC＝，HM＝，
则DM＝，
在Rt△DHM中，
DH＝＝＝，
故选：A．
二、填空题（本大题4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）如果二次根式有意义，那么x的取值范围是 x≥﹣4 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：由题意得，x+4≥0，
解得，x≥﹣4，
故答案为：x≥﹣4．
12．（5分）分解因式：xy2﹣4x＝ x（y+2）（y﹣2） ．
【分析】原式提取x，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝x（y2﹣4）＝x（y+2）（y﹣2），
故答案为：x（y+2）（y﹣2）
13．（5分）在正方形网格中，A、B、C、D均为格点，则∠BAC﹣∠DAE＝ 45° ．
【分析】把△ADE移到△CFG处，连接AG，根据勾股定理求出AC、AG、CG，根据勾股定理的逆定理和等腰三角形的判定得出△ACG是等腰直角三角形，再求出答案即可．
【解答】解：如图所示，把△ADE移到△CFG处，连接AG，
此时∠DAE＝∠FCG，
∵CF∥BD，
∴∠BAC＝∠FCA，
∴∠BAC﹣∠DAE＝∠FCA﹣∠FCG＝∠ACG，
设小正方形的边长是1，
由勾股定理得：CG2＝12+32＝10，AC2＝AG2＝12+22＝5，
∴AC2+AG2＝CG2，AC＝AG，
∴∠CAG＝90°，
即△ACG是等腰直角三角形，
∴∠ACG＝45°，
∴∠BAC﹣∠DAE＝45°，
故答案为：45°．
14．（5分）已知函数y＝x2+x+4与y轴交于点C，顶点为D，直线CD交x轴于点E，点F在直线CD上，且横坐标为4，现在，将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段EF总有公共点，抛物线向上最多可以平移 36 个单位长度，向下最多可以平移 个单位长度．
【分析】求出直线CD解析式为y＝x+4①，若抛物线向下移m个单位，其解析式y＝﹣x2+x+4﹣m②，由△＝﹣2m≥0，得到0＜m≤，进而求解．
【解答】解：对于y＝x2+x+4，令x＝0，则y＝4，
故点C的坐标为（0，4），
而y＝x2+x+4＝﹣（x﹣1）2+，
∴顶点D的坐标为（1，），
设直线CD解析式为y＝kx+b．
则，解得，
∴直线CD解析式为y＝x+4①，
∴E（﹣8，0），F（4，6），
若抛物线向下移m个单位，其解析式y＝﹣x2+x+4﹣m②，
联立①②得﹣x2+x﹣m＝0，
∵△＝﹣2m≥0，
∴0＜m≤，
∴向下最多可平移个单位，
若抛物线向上移m个单位，其解析式y＝﹣x2+x+4+m（m＞0），
当x＝﹣8时，y＝﹣36+m，
当x＝4时，y＝m，
要使抛物线与EF有公共点，则﹣36+m≤0或m≤6，
∴0＜m≤36，
综上，要使抛物线与EF有公共点，向上最多可平移36个单位，向下最多可平移个单位．
故答案为：36，．
三、（本大题2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）解不等式组：．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式4（x﹣1）≤x+2，得：x≤2，
解不等式＜x，得：x＞﹣1，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤2．
16．（8分）目前，以5G为代表的战略性新兴产业蓬勃发展，某市2019年底有5G用户2万户，计划到2021年底5G用户数累计达到9.68万户，求这两年全市5G用户数的年平均增长率．
【分析】根据该市2019年底及2021年底有5G用户的数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设这两年全市5G用户数的年平均增长率为x，
依题意得：2（1+x）2＝9.68，
解得：x1＝1.2＝120%，x2＝﹣3.2（不合题意，舍去）．
答：这两年全市5G用户数的年平均增长率为120%．
四、（本大题2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（﹣3，4）、和C（2，4）、D（6，6），请按下列要画图并填空：
（1）沿水平方向移动线段AB，使点A和点C的横坐标相同，画出平移后所得的线段A1B1，并写出点B1的坐标；
（2）将线段A1B1绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合（点A1与点C重合，点B1与点D重合），请用无刻度的直尺和圆规，找出旋转中心点P．（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】（1）利用C点的横坐标为2，把AB向右平移2个单位即可；
（2）作CA1与DB1的垂直平分线，它们的交点为P．
【解答】解：（1）如图，线段A1B1为所作，点B1的坐标为（0，4）；
（2）如图，点P为所作．
18．（8分）阅读下面内容，并将问题解决过程补充完整：
﹣1；
；
…
．
由此，我们可以解决下面问题：S＝1+++…+，请求出S的整数部分．
解：S＝1+++…+＝+++…+
＜+++…+＝1+2（﹣1+﹣+…+﹣）＝19；
S＝1+++…+＝+++…+＞ 18 ．
∴S的整数部分是 18 ．
【分析】根据题中给出的计算方法进行计算求解即可．
【解答】解：S＝1+++⋯+＝++⋯+＜+++⋯+＝1+2（﹣1+﹣+⋯+﹣）＝19，
∴S＝1+++⋯+＝++⋯+＞18，
∴S的整数部分是18，
故答案为：18，18．
五、（本大题2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．
某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22°，然后沿MP方向前进16m到达点N处，测得点A的仰角为45°．测角仪的高度为1.6m求观星台最高点A距离地面的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin22°≈0.37，cs22°≈0.93，tan22°≈0.40，≈1.41）．
【分析】过A作AD⊥PM于D，延长BC交AD于E，则四边形BMNC，四边形BMDE是矩形，于是得到BC＝MN＝16m，DE＝CN＝BM＝1.6m，求得CE＝AE，设AE＝CE＝x，得到BE＝16+x，解直角三角形即可得到答案．
【解答】解：过A作AD⊥PM于D，延长BC交AD于E，
则四边形BMNC，四边形BMDE是矩形，
∴BC＝MN＝16m，DE＝CN＝BM＝1.6m，
∵∠AEC＝90°，∠ACE＝45°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴CE＝AE，
设AE＝CE＝x，
∴BE＝16+x，
∵∠ABE＝22°，
∴tan22°＝＝≈0.40，
解得：x≈10.7（m），
∴AD≈10.7+1.6＝12.3（m），
答：观星台最高点A距离地面的高度约为12.3m．
20．（10分）如图，点B为⊙O外一点，过点B作⊙O的切线，切点为A，点P为OB上一点，连接AP并延长交⊙O于点C，连接OC，若OC⊥OB．
（1）求证：BP＝AB；
（2）若OB＝10，⊙O的半径为8，求AP的长．
【分析】（1）根据切线的性质得到OA⊥AB，根据同角的余角相等得到∠BAP＝∠BPA，根据等腰三角形的判定定理得到BP＝AB；
（2）作BD⊥AP于点D，根据勾股定理求出BA，得到BP的长，证明△BPD∽△CPO，根据相似三角形的性质列出比例式求出PD，得到答案．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的切线，
∴OA⊥AB，
∴∠BAP+∠OAC＝90°，
∵OC⊥OB，
∴∠OPC+∠OCA＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵∠BPA＝∠OPC，
∴∠BAP＝∠BPA，
∴BP＝AB；
（2）解：作BD⊥AP于点D，
∵⊙O的半径为8，
∴CO＝OA＝8，
在Rt△OAB中，AB＝＝＝6，
∴BP＝BA＝6，
∴OP＝OB﹣BP＝4，
在Rt△CPO中，OP＝4，CO＝8，
∴CP＝4，
∵BA＝BP，BD⊥AP，
∴AD＝PD，∠BDP＝90°＝∠COP，
∵∠BPD＝∠CPO，
∴△BPD∽△CPO，
∴＝，即＝，
解得，PD＝，
∴AP＝．
六、（本大题满分12分）
21．（12分）某学校“校园主持人大赛”结束后，将所有参赛选手的比赛成绩（得分均为整数）进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数分布直方图．部分信息如下：
（1）本次比赛参赛选手共有 50人 ，扇形统计图中“79.5～89.5“这一范围的人数占总参赛人数的百分比为 36% ；
（2）补全图2频数分布直方图；
（3）成绩前四名是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人作为该校文艺晚会的主持人，请用列举法（画树状图或列表）求所选取的这两名学生恰好是一男一女的概率．
【分析】（1）用“89.5～99.5”的人数除以它们所占的百分比可得到调查的总人数；59.5～69.5”这一范围的人数占总参赛人数的百分比，即可得出答案；
（2）求出“69.5～74.5”这一范围的人数为15﹣8＝7（人），“79.5～84.5”这一范围的人数为18﹣8＝10（人）；补全图2频数直方图即可：
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好选中1男1女的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）本次比赛参赛选手共有：（8+4）÷24%＝50（人），
“59.5～69.5”这一范围的人数占总参赛人数的百分比为×100%＝10%，
∴79.5～89.5”这一范围的人数占总参赛人数的百分比为100%﹣24%﹣10%﹣30%＝36%；
故答案为：50人，36%；
（2）∵“69.5～79.5”这一范围的人数为50×30%＝15（人），
∴“69.5～74.5”这一范围的人数为15﹣8＝7（人），
∵“79.5～89.5”这一范围的人数为50×36%＝18（人），
∴“79.5～84.5”这一范围的人数为18﹣8＝10（人）；
补全图2频数直方图：
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中恰好选中1男1女的结果数为8，
所以恰好选中1男1女的概率＝＝．
七、（本大题满分12分）
22．（12分）某商店经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：
已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？
【分析】（1）分成1≤x＜50和50≤x≤90两种情况进行讨论，利用：利润＝每件的利润×销售的件数，即可求得函数的解析式；
（2）结合（1）得到的两个解析式，结合二次函数与一次函数的性质分别求得最值，然后两种情况下取最大的即可．
【解答】解：（1）当1≤x＜50时，y＝（200﹣2x）（x+40﹣30）＝﹣2x2+180x+2000，
当50≤x≤90时，
y＝（200﹣2x）（90﹣30）＝﹣120x+12000，
综上所述：y＝；
（2）当1≤x＜50时，二次函数开口下，二次函数对称轴为x＝45，
当x＝45时，y最大＝﹣2×452+180×45+2000＝6050，
当50≤x≤90时，y随x的增大而减小，
当x＝50时，y最大＝6000，
综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元；
八、（本大题满分14分）
23．（14分）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AD、CD上的点，且AE＝CF，连接BE、BF、EF，点G是BE的中点，连接AG并延长交BF于点K．
（1）求证：AK⊥BF；
（2）当点E是AD的中点时，求tan∠EBF的值；
（3）连接CK，当线段CK取最小值时，求的值．
【分析】（1）证明△BAE≌△BCF（SAS），推出∠ABE＝∠CBF，再证明∠BAG＝∠CBF，可得结论．
（2）证明tan∠ABE＝tan∠BAK，推出＝＝，可以假设BK＝m，则AK＝2m，想办法用m表示出GK，可得结论．
（3）如图2中，设AB＝2a，取AB的中点P，连接PK，CP．证明当P，K，C共线时，CK的值最小（如图3中），求出CK的最小值，再利用平行线分线段成比例定理求出CF，可得结论．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BA＝BC，∠BAE＝∠C＝∠ABC＝90°，
∵AE＝CF，
∴△BAE≌△BCF（SAS），
∴∠ABE＝∠CBF，
∵BG＝GE，
∴AG＝GB＝GE，
∴∠ABE＝∠ABG，
∴∠CBF＝∠BAG，
∵∠CBF+∠ABF＝90°，
∴∠ABF+∠BAG＝90°，
∴∠AKB＝90°，
∴AK⊥BF．
（2）解：∵AE＝ED，
∴AB＝AD＝2AE，
∵∠ABE＝∠BAK，
∴tan∠ABE＝tan∠BAK，
∴＝＝，
∴可以假设BK＝m，则AK＝2m，
设AG＝BG＝x，则GK＝2m﹣x，
∵BG2＝GK2+BK2，
∴x2＝（2m﹣x）2＝m2，
∴x＝m，
∴GK＝m，
∴tan∠EBF＝＝．
（3）解：如图2中，设AB＝2a，取AB的中点P，连接PK，CP．
∵∠AKB＝90°，AP＝PB，
∴PK＝AB＝a，
∵∠CBP＝90°，PB＝a，BC＝2a，
∴PC＝＝a，
∵CK≥PC﹣PK，
∴CK≥a﹣a，
∴当P，K，C共线时，CK的值最小（如图3中），
∵CF∥BP，
∴＝，
∴＝
∴CF＝a﹣a，
∴AE＝CF＝a﹣a，
∴＝＝．
册数/册
1
2
3
4
5
人数/人
2
5
7
4
2
时间x（天）
1≤x＜50
50≤x≤90
售价（元/件）
x+40
90
每天销量（件）
200﹣2x
册数/册
1
2
3
4
5
人数/人
2
5
7
4
2
时间x（天）
1≤x＜50
50≤x≤90
售价（元/件）
x+40
90
每天销量（件）
200﹣2x