2021年江苏省南通市中考数学一模试卷

这是一份2021年江苏省南通市中考数学一模试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）﹣4的相反数是（ ）
A．B．﹣C．4D．﹣4
2．（3分）下列计算，正确的是（ ）
A．a3+2a＝3a4B．a4÷a＝a3C．a2•a3＝a6D．（﹣a2）3＝a6
3．（3分）2017年南通地区生产总值约为7700亿元，将7700亿用科学记数法表示为（ ）
A．7.7×108B．7.7×109C．7.7×1010D．7.7×1011
4．（3分）下列水平放置的几何体中，左视图是圆的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）如图，BC∥DE，若∠A＝35°，∠E＝60°，则∠C等于（ ）
A．60°B．35°C．25°D．20°
6．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝与y轴交于点A，与x轴交于点B，则tan∠ABO的值为（ ）
A．B．C．D．2
7．（3分）用一个圆心角为120°，半径为6的扇形做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为（ ）
A．2B．6C．2D．3
8．（3分）若关于x的不等式组的解集为x＜3，则k的取值范围为（ ）
A．k＞1B．k＜1C．k≥1D．k≤1
9．（3分）端午节前夕举行了南通濠河国际龙舟邀请赛，在500米直道竞速赛道上，甲、乙两队所划行的路程y（单位：米）与时间t（单位：分）之间的函数关系式如图所示，根据图中提供的信息，
有下列说法：
①甲队比乙队提前0.5分到达终点
②当划行1分钟时，甲队比乙队落后50米
③当划行分钟时，甲队追上乙队
④当甲队追上乙队时，两队划行的路程都是300米
其中错误的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
10．（3分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，点D为半圆AB的中点，CD交AB于点E，若AC＝8，BC＝6，则BE的长为（ ）
A．4.25B．C．3D．4.8
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共计24分。不需写出解答过程，请把正确答案直接填在答题卡相应的位置上）
11．（3分）若∠α＝35°，则∠α的补角为 度．
12．（3分）因式分解2a3b﹣8ab3＝ ．
13．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
14．（3分）已知平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形，若AB＝3，则平行四边形ABCD的面积为 ．
15．（3分）已知一组数据3，4，6，x，9的平均数是6，那么这组数据的方差等于 ．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是线段AB的中点，点E是线段BC上的一个动点，若AC＝6，BC＝8，则DE长度的取值范围是 ．
17．（3分）如图，点A（1，n）和点B都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，若∠OAB＝90°，，则k的值是 ．
18．（3分）若x＝﹣m和x＝m﹣4时，多项式ax2+bx+4a+1的值相等，且m≠2．当﹣1＜x＜2时，存在x的值，使多项式ax2+bx+4a+1的值为3，则a的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共10小题，共计96分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的演算步骤、证明过程或文字说明）
19．（10分）（1）计算：+2sin60°；
（2）先化简，再求值：，其中x＝﹣1．
20．（8分）如图，一枚运载火箭从地面A处发射．当火箭到达B点时，从位于地面D处的雷达站测得BD的距离是4km，仰角为30°；当火箭到达C点时，测得仰角为45°，这时，C点距离雷达站D有多远（结果保留根号）？
21．（9分）某校开展了为期一周的“敬老爱亲”社会活动，为了解情况，学生会随机调查了部分学生在这次活动中做家务的时间，并将统计的时间（单位：小时）分成5组，A：0.5≤x＜1，B：1≤x＜1.5，C：1.5≤x＜2，D：2≤x＜2.5，E：2.5≤x＜3，制作成两幅不完整的统计图（如图）．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）学生会随机调查了 名学生；
（2）补全频数分布直方图；
（3）若全校有900名学生，估计该校在这次活动中做家务的时间不少于2.5小时的学生有多少人？
22．（8分）在不透明的袋子中有四张标着数字1，2，3，4的卡片．随机抽出一张卡片后不放回，再随机抽出一张卡片，求两次抽到的数字之和为奇数的概率．
23．（8分）打折前，买20件A商品和30件B商品要用2200元，买50件A商品和10件B商品要用2900元．若打折后，买40件A商品和40件B商品用了3240元，比不打折少花多少钱？
24．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，AB，DC的延长线交于点E．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若BE＝3，CE＝3，求图中阴影部分的面积．
25．（8分）如图，四边形ABCD是正方形，点E是平面内异于点A的任意一点，以线段AE为边作正方形AEFG，连接EB，
GD．
（1）如图1，求证EB＝GD；
（2）如图2，若点E在线段DG上，AB＝5，AG＝3，求BE的长．
26．（10分）已知关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣2＝0．
（1）求证：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）设x2+mx+m﹣2＝0的两个实数根为x1，x2，若y＝x12+x22+4x1x2，求出y与m的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，若﹣1≤m≤2时，求y的取值范围．
27．（13分）如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝6cm，D是BC的中点．点E从A出发，以acm/s（a＞0）的速度沿AC匀速向点C运动，点F同时以1cm/s的速度从C出发，沿CB匀速向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，过点E作AC的垂线，交AD于点G，连接EF，FG．设它们运动的时间为t秒（t＞0）．
（1）当t＝2时，△ECF∽△BCA，求a的值；
（2）当a＝时，以点E、F、D、G为顶点的四边形是平行四边形，求t的值；
（3）当a＝2时，是否存在某个时间t，使△DFG是直角三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
28．（14分）定义：形如y＝|G|（G为用自变量表示的代数式）的函数叫做绝对值函数．
例如，函数y＝|x﹣1|，y＝，y＝|﹣x2+2x+3|都是绝对值函数．
绝对值函数本质是分段函数，例如，可以将y＝|x|写成分段函数的形式：
探索并解决下列问题：
（1）将函数y＝|x﹣1|写成分段函数的形式；
（2）如图1，函数y＝|x﹣1|的图象与x轴交于点A（1，0），与函数的图象交于B，C两点，过点B作x轴的平行线分别交函数，y＝|x﹣1|的图象于D，E两点．求证△ABE∽△CDE；
（3）已知函数y＝|﹣x2+2x+3|的图象与y轴交于F点，与x轴交于M，N两点（点M在点N的左边），点P在函数y＝|﹣x2+2x+3|的图象上（点P与点F不重合），PH⊥x轴，垂足为H．若△PMH与△MOF相似，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．
2021年江苏省南通市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）﹣4的相反数是（ ）
A．B．﹣C．4D．﹣4
【分析】根据相反数的定义作答即可．
【解答】解：﹣4的相反数是4．
故选：C．
2．（3分）下列计算，正确的是（ ）
A．a3+2a＝3a4B．a4÷a＝a3C．a2•a3＝a6D．（﹣a2）3＝a6
【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：A、a3+2a，无法计算，故此选项错误；
B、a4÷a＝a3，正确；
C、a2•a3＝a5，故此选项错误；
D、（﹣a2）3＝﹣a6，故此选项错误；
故选：B．
3．（3分）2017年南通地区生产总值约为7700亿元，将7700亿用科学记数法表示为（ ）
A．7.7×108B．7.7×109C．7.7×1010D．7.7×1011
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：7700亿用科学记数法表示为7.7×1011，
故选：D．
4．（3分）下列水平放置的几何体中，左视图是圆的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据常见几何体的三视图解答可得．
【解答】解：A、圆柱体的左视图是矩形，不符合题意；
B、球的左视图是圆，符合题意；
C、直三棱柱的左视图是矩形且中间有一条纵向的实线，不符合题意；
D、圆锥的左视图是三角形，不符合题意；
故选：B．
5．（3分）如图，BC∥DE，若∠A＝35°，∠E＝60°，则∠C等于（ ）
A．60°B．35°C．25°D．20°
【分析】先根据平行线的性质得出∠E＝∠CBE＝60°，再根据三角形的外角性质求出∠C的度数即可．
【解答】解：∵BC∥DE，
∴∠E＝∠CBE＝60°；
∵∠A＝35°，
∴∠C＝∠CBE﹣∠C＝60°﹣35°＝25°，
故选：C．
6．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝与y轴交于点A，与x轴交于点B，则tan∠ABO的值为（ ）
A．B．C．D．2
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A、B的坐标，进而可得出OA、OB的值，再将其代入tan∠ABO＝中即可求出结论．
【解答】解：当x＝0时，y＝x+1＝1，
∴点A的坐标为（0，1），
∴OA＝1．
当y＝0时，有x+1＝0，
解得：x＝﹣2，
∴点B的坐标为（﹣2，0），
∴OB＝2．
∴tan∠ABO＝＝．
故选：A．
7．（3分）用一个圆心角为120°，半径为6的扇形做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为（ ）
A．2B．6C．2D．3
【分析】求得扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径．
【解答】解：扇形的弧长＝＝4π，
∴圆锥的底面半径为4π÷2π＝2．
故选：A．
8．（3分）若关于x的不等式组的解集为x＜3，则k的取值范围为（ ）
A．k＞1B．k＜1C．k≥1D．k≤1
【分析】不等式整理后，由已知解集确定出k的范围即可．
【解答】解：不等式整理得：，
由不等式组的解集为x＜3，
得到k的范围是k≥1，
故选：C．
9．（3分）端午节前夕举行了南通濠河国际龙舟邀请赛，在500米直道竞速赛道上，甲、乙两队所划行的路程y（单位：米）与时间t（单位：分）之间的函数关系式如图所示，根据图中提供的信息，
有下列说法：
①甲队比乙队提前0.5分到达终点
②当划行1分钟时，甲队比乙队落后50米
③当划行分钟时，甲队追上乙队
④当甲队追上乙队时，两队划行的路程都是300米
其中错误的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【分析】利用图中信息一一判断即可；
【解答】解：观察图象可知：甲队比乙队提前0.5分到达终点，故①正确；
由题意y甲＝200x，y乙＝，
当x＝1时，y甲＝200，250﹣200＝50，
∴当划行1分钟时，甲队比乙队落后50米，故②正确，
由，解得，
∴当划行分钟时，甲队追上乙队，两队划行的路程都是米，故③正确，④错误，
故选：D．
10．（3分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，点D为半圆AB的中点，CD交AB于点E，若AC＝8，BC＝6，则BE的长为（ ）
A．4.25B．C．3D．4.8
【分析】连接OD，作CH⊥AB于H，如图，利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，则根据勾股定理可计算出AB＝10，利用面积法计算出CH＝，再利用勾股定理计算出BH＝，接着证明△CHE∽△DOE，根据相似的性质得到OE＝EH，从而得到EH+EH+＝5，求得EH后计算EH+BH即可．
【解答】解：连接OD，作CH⊥AB于H，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AB＝＝10，
∵CH•AB＝AC•BC，
∴CH＝＝，
在Rt△BCH中，BH＝＝，
∵点D为半圆AB的中点，
∴OD⊥AB，
∴OD∥CH，
∴△CHE∽△DOE，
∴EH：OE＝CH：OD＝：5＝24：25，
∴OE＝EH，
∵EH+EH+＝5，
∴EH＝，
∴BE＝EH+BH＝+＝．
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共计24分。不需写出解答过程，请把正确答案直接填在答题卡相应的位置上）
11．（3分）若∠α＝35°，则∠α的补角为 145 度．
【分析】根据两个角的和等于180°，则这两个角互补计算即可．
【解答】解：180°﹣35°＝145°，
则∠α的补角为145°，
故答案为：145．
12．（3分）因式分解2a3b﹣8ab3＝ 2ab（a+2b）（a﹣2b） ．
【分析】先提公因式，再利用平方差公式即可．
【解答】解：原式＝2ab（a2﹣4b2）＝2ab（a+2b）（a﹣2b），
故答案为：2ab（a+2b）（a﹣2b）．
13．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 x≥0且x≠1 ．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
【解答】解：根据题意得：x≥0且x﹣1≠0，
解得：x≥0且x≠1．
故答案为：x≥0且x≠1．
14．（3分）已知平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形，若AB＝3，则平行四边形ABCD的面积为 9 ．
【分析】首先证明四边形ABCD是矩形．再根据矩形的面积公式计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形．
在Rt△ABC中，由题意可知，AC＝6，AB＝3则BC＝3，
∴平行四边形ABCD的面积S＝3×3＝9．
故答案为9．
15．（3分）已知一组数据3，4，6，x，9的平均数是6，那么这组数据的方差等于 5.2 ．
【分析】先由平均数是6计算x的值，再根据方差的计算公式，直接计算可得．
【解答】解：∵数据3，4，6，x，9的平均数是6，
∴（3+4+6+x+9）＝6，
解得：x＝8，
s2＝[（3﹣6）2+（4﹣6）2+（6﹣6）2+（8﹣6）2+（9﹣6）2]＝5.2，
故答案为：5.2．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是线段AB的中点，点E是线段BC上的一个动点，若AC＝6，BC＝8，则DE长度的取值范围是 3≤DE≤5 ．
【分析】根据勾股定理得出CD的长和DE⊥BC时DE的长，进而得出DE的取值范围．
【解答】解：当E与C或重合时，DE最长，
在Rt△ABC中，AB＝，
∵点D是线段AB的中点，
∴CD＝5，
当DE⊥BC时，DE最短，DE＝，
所以DE长度的取值范围是3≤DE≤5，
故答案为：3≤DE≤5
17．（3分）如图，点A（1，n）和点B都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，若∠OAB＝90°，，则k的值是 2 ．
【分析】过A作AC⊥x轴，过B作BD⊥AC于D，则∠ACO＝∠BDA＝90°，OC＝1，AC＝n，先判定△AOC∽△BAD，即可得到AD＝，BD＝，进而得出B（1+，n﹣），依据k＝1×n＝（1+）（n﹣）可得到n的值，即可得到k的值．
【解答】解：如图，过A作AC⊥x轴，过B作BD⊥AC于D，则∠ACO＝∠BDA＝90°，OC＝1，AC＝n，
∵∠BAO＝90°，
∴∠CAO+∠BAC＝∠ABD+∠BAC＝90°，
∴∠CAO＝∠DBA，
∴△AOC∽△BAD，
∴＝＝，即，
∴AD＝，BD＝，
∴B（1+，n﹣），
∵k＝1×n＝（1+）（n﹣），
解得n＝2或n＝﹣0.5（舍去），
∴k＝1×2＝2，
故答案为：2．
18．（3分）若x＝﹣m和x＝m﹣4时，多项式ax2+bx+4a+1的值相等，且m≠2．当﹣1＜x＜2时，存在x的值，使多项式ax2+bx+4a+1的值为3，则a的取值范围是 ．
【分析】根据题意，可以将多项式转化函数，然后根据二次函数的性质即可解答本题．
【解答】解：∵x＝﹣m和x＝m﹣4时，多项式ax2+bx+4a+1的值相等，且m≠2，
∴令y＝ax2+bx+4a+1时的对称轴是直线x＝＝﹣2，
∴a＞0时，当x＞﹣2时，y随x的增大而增大，
a＜0时，当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，
∵当﹣1＜x＜2时，存在x的值，使多项式ax2+bx+4a+1的值为3，
∴当a＞0时，a﹣b+4a+1＜3＜4a+2b+4a+1，由﹣＝﹣2，解得，；
当a＜0时，a﹣b+4a+1＞3＞4a+2b+4a+1，由﹣＝﹣2，此时无解，
故答案为：．
三、解答题（本大题共10小题，共计96分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的演算步骤、证明过程或文字说明）
19．（10分）（1）计算：+2sin60°；
（2）先化简，再求值：，其中x＝﹣1．
【分析】（1）先计算负整数指数幂、零指数幂、去绝对值符号、代入三角函数值，再计算乘法，最后计算加减即可；
（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算即可．
【解答】解：（1）原式＝4﹣1+2﹣+2×
＝5﹣+
＝5；
（2）原式＝[﹣]•（x﹣1）
＝（﹣）•（x﹣1）
＝[﹣]•（x﹣1）
＝•（x﹣1）
＝，
当x＝﹣1时，
原式＝＝＝﹣2．
20．（8分）如图，一枚运载火箭从地面A处发射．当火箭到达B点时，从位于地面D处的雷达站测得BD的距离是4km，仰角为30°；当火箭到达C点时，测得仰角为45°，这时，C点距离雷达站D有多远（结果保留根号）？
【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形两个直角三角形△CDA、△BDA，应利用其公共边AD构造等量关系，进而可求出答案．
【解答】解：在Rt△ABD中，cs∠BDA＝，
∴AD＝4×＝（km）；
在Rt△ACD中，cs∠CDA＝，
∴CD＝＝（km）．
∴C点距离雷达站D是km．
21．（9分）某校开展了为期一周的“敬老爱亲”社会活动，为了解情况，学生会随机调查了部分学生在这次活动中做家务的时间，并将统计的时间（单位：小时）分成5组，A：0.5≤x＜1，B：1≤x＜1.5，C：1.5≤x＜2，D：2≤x＜2.5，E：2.5≤x＜3，制作成两幅不完整的统计图（如图）．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）学生会随机调查了 50 名学生；
（2）补全频数分布直方图；
（3）若全校有900名学生，估计该校在这次活动中做家务的时间不少于2.5小时的学生有多少人？
【分析】（1）根据D组人数及其所占百分比即可得出总人数；
（2）总人数乘以C组的百分比求得C组人数，总人数减去其余各组人数求得B人数人数即可补全条形图；
（3）总人数乘以样本中E组人数所占比例可得．
【解答】解：（1）学生会调查的学生人数为10÷20%＝50（人），
故答案为：50；
（2）∵1.5≤x＜2的人数为50×40%＝20人，
∴1≤x＜1.5的人数为50﹣（3+20+10+4）＝13人，
补全图形如下：
（3）900×＝72（人），
答：估计该校在这次活动中做家务的时间不少于2.5小时的学生有72人．
22．（8分）在不透明的袋子中有四张标着数字1，2，3，4的卡片．随机抽出一张卡片后不放回，再随机抽出一张卡片，求两次抽到的数字之和为奇数的概率．
【分析】画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．
【解答】解：画树状图如下：
由树状图可知共有12种等可能结果，其中两次抽到的数字之和为奇数有8种，
所以两次抽到的数字之和为奇数的概率为＝．
23．（8分）打折前，买20件A商品和30件B商品要用2200元，买50件A商品和10件B商品要用2900元．若打折后，买40件A商品和40件B商品用了3240元，比不打折少花多少钱？
【分析】设A商品打折前的单价为x元/件，B商品打折前的单价为y元/件，根据“买20件A商品和30件B商品要用2200元，买50件A商品和10件B商品要用2900元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，根据总价＝打折前的单价×数量结合打折后的总价为3240元，即可求出节省的钱数．
【解答】解：设A商品打折前的单价为x元/件，B商品打折前的单价为y元/件，
根据题意得：，
解得：，
40x+40y﹣3240＝360．
答：打折后，买40件A商品和40件B商品用了3240元，比不打折少花360元．
24．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，AB，DC的延长线交于点E．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若BE＝3，CE＝3，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OC，如图，利用切线的性质得CO⊥CD，则AD∥CO，所以∠DAC＝∠ACO，加上∠ACO＝∠CAO，从而得到∠DAC＝∠CAO；
（2）设⊙O半径为r，利用勾股定理得到r2+27＝（r+3）2，解得r＝3，再利用锐角三角函数的定义计算出∠COE＝60°，然后根据扇形的面积公式，利用S阴影＝S△COE﹣S扇形COB进行计算即可．
【解答】解：（1）连接OC，如图，
∵CD与⊙O相切于点C，
∴CO⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴AD∥CO，
∴∠DAC＝∠ACO，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠CAO，
∴∠DAC＝∠CAO，
即AC平分∠DAB；
（2）设⊙O半径为r，
在Rt△OEC中，∵OE2+EC2＝OC2，
∴r2+27＝（r+3）2，解得r＝3，
∴OC＝3，OE＝6，
∴cs∠COE＝＝，
∴∠COE＝60°，
∴S阴影＝S△COE﹣S扇形COB＝•3•3﹣＝﹣π．
25．（8分）如图，四边形ABCD是正方形，点E是平面内异于点A的任意一点，以线段AE为边作正方形AEFG，连接EB，
GD．
（1）如图1，求证EB＝GD；
（2）如图2，若点E在线段DG上，AB＝5，AG＝3，求BE的长．
【分析】（1）根据正方形性质求出A＝AG，AB＝AD，∠BAD＝∠GAE＝90°，求出∠BAE＝∠DAG，根据SAS推出△AGD≌△AEB即可；
（2）根据勾股定理求出DH、EG，求出GH，根据全等得出BE＝DG，即可求出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，
∴AB＝AD，AG＝AE，∠BAD＝∠GAE＝90°，
∴∠BAE＝∠DAG，
在△AGD和△AEB中，
，
∴△AGD≌△AEB（SAS），
∴EB＝GD；
（2）解：作AH⊥DG于H，
∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，
∴AD＝AB＝5，AE＝AG＝3．
∴由勾股定理得：EG＝＝6，
AH＝GH＝EG＝3（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴DH＝＝4，
∴BE＝DG＝DH+GH＝3+4＝7．
26．（10分）已知关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣2＝0．
（1）求证：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）设x2+mx+m﹣2＝0的两个实数根为x1，x2，若y＝x12+x22+4x1x2，求出y与m的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，若﹣1≤m≤2时，求y的取值范围．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△＝（m﹣2）2+4＞0，进而即可证出：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2＝﹣m、x1x2＝m﹣2，将其代入y＝x12+x22+4x1x2＝（x1+x2）2+2x1x2中即可找出y与m的函数关系式；
（3）利用配方法将二次函数解析式变形为顶点式，由此可得出抛物线的顶点坐标，由二次函数的性质结合﹣1≤m≤2，即可找出y的取值范围．
【解答】（1）证明：∵△＝m2﹣4（m﹣2）＝（m﹣2）2+4＞0，
∴无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：设x2+mx+m﹣2＝0的两个实数根为x1、x2，
∵x1+x2＝﹣m，x1x2＝m﹣2，
∴y＝x12+x22+4x1x2＝（x1+x2）2+2x1x2＝（﹣m）2+2（m﹣2）＝m2+2m﹣4．
（3）解：∵y＝m2+2m﹣4＝（m+1）2﹣5，
∴顶点（﹣1，﹣5）．
又∵﹣1≤m≤2，∴当x＝﹣1时，y最小值＝﹣5；
当x＝2时，y最大值＝4．
∴﹣5≤y≤4．
27．（13分）如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝6cm，D是BC的中点．点E从A出发，以acm/s（a＞0）的速度沿AC匀速向点C运动，点F同时以1cm/s的速度从C出发，沿CB匀速向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，过点E作AC的垂线，交AD于点G，连接EF，FG．设它们运动的时间为t秒（t＞0）．
（1）当t＝2时，△ECF∽△BCA，求a的值；
（2）当a＝时，以点E、F、D、G为顶点的四边形是平行四边形，求t的值；
（3）当a＝2时，是否存在某个时间t，使△DFG是直角三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先表示出CF，AE，EC，由相似三角形的性质得出比例式建立方程求解即可得出结论；
（2）先判断出△AEG∽△ACD，得出EG，再判断出EG＝DF，最后分两种情况讨论，建立方程求解即可得出结论；
（3）先表示出AG＝厘米，EG＝，DF＝3﹣t厘米，DG＝5﹣（厘米），再分两种情况讨论，建立方程求解即可得出结论．
【解答】解：（1）∵t＝2，
∴CF＝2厘米，AE＝2a厘米，
∴EC＝（4﹣2a ） 厘米，
∵△ECF∽△BCA．
∴．（2分）
∴．
∴．（4分）
（2）由题意，AE＝厘米，CD＝3厘米，CF＝t厘米．
∵EG∥CD，
∴△AEG∽△ACD．
∴，．
∴EG＝．（5分）
∵以点E、F、D、G为顶点的四边形是平行四边形，
∴EG＝DF．
当0≤t＜3时，，
∴．（7分）
当3＜t≤6时，，
∴．
综上，或（9分）
（3）∵点D是BC中点，
∴CD＝BC＝3，
在Rt△ACD中，根据勾股定理得，AD＝5，
由题意，AE＝2t厘米，CF＝t厘米，
由（2）知，△AEG∽△ACD，
∴＝＝，
∴
∴AG＝厘米，EG＝，DF＝3﹣t厘米，DG＝5﹣（厘米）．
若∠GFD＝90°，则EG＝CF，＝t．
∴t＝0，（舍去）（11分）
若∠FGD＝90°，则△ACD∽△FGD．
∴，
∴．
∴t＝．（13分）
综上：t＝，△DFG是直角三角形．
28．（14分）定义：形如y＝|G|（G为用自变量表示的代数式）的函数叫做绝对值函数．
例如，函数y＝|x﹣1|，y＝，y＝|﹣x2+2x+3|都是绝对值函数．
绝对值函数本质是分段函数，例如，可以将y＝|x|写成分段函数的形式：
探索并解决下列问题：
（1）将函数y＝|x﹣1|写成分段函数的形式；
（2）如图1，函数y＝|x﹣1|的图象与x轴交于点A（1，0），与函数的图象交于B，C两点，过点B作x轴的平行线分别交函数，y＝|x﹣1|的图象于D，E两点．求证△ABE∽△CDE；
（3）已知函数y＝|﹣x2+2x+3|的图象与y轴交于F点，与x轴交于M，N两点（点M在点N的左边），点P在函数y＝|﹣x2+2x+3|的图象上（点P与点F不重合），PH⊥x轴，垂足为H．若△PMH与△MOF相似，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．
【分析】（1）根据绝对值的性质即可得到函数y＝|x﹣1|分段函数的形式；
（2）根据条件得各点坐标为：B（3，2），C（﹣2，3），E（﹣1，2），D（﹣3，2），根据两点间的距离公式得到BE，DE，AE，CE，再根据相似三角形的判定即可求解；
（3）由题意得y＝|﹣x2+2x+3|＝，设P的横坐标为x，分△PMH∽△FMO，△PMH∽△MFO，△PMH∽△MF，进行讨论可求点P的坐标．
【解答】解：（1）；
（2）∵函数y＝|x﹣1|与函数的图象交于B，C，过点B作x轴的平行线分别交函数，y＝|x﹣1|的图象于D，E两点．
∴根据条件得各点坐标为：B（3，2），C（﹣2，3），E（﹣1，2），D（﹣3，2）．
∴BE＝3﹣（﹣1）＝4，DE＝﹣1﹣（﹣3）＝2，AE＝，CE＝，
∴在△AEB和△CED中，∠AEB＝∠CED，，
∴△PMB∽△PNA．
（3）P的坐标为（6，21），（，），（，）．
当x＝0时，y＝|﹣x2+2x+3|＝3，∴F（0，3）．
当y＝0时，|﹣x2+2x+3|＝0，∴x1＝﹣1，x2＝3，∴M（﹣1，0），N（3，0）．
由题意得y＝|﹣x2+2x+3|＝，
设P的横坐标为x，
当x＜﹣1时，由题意得P（x，x2﹣2x﹣3），
若△PMH∽△FMO，，．
解得x1＝﹣1（舍去），x2＝0（舍去）．
若△PMH∽△MFO，，．
解得．
当﹣1＜x＜3时，由题意得P（x，﹣x2+2x+3），
若△PMH∽△MFO，，．
解得．
∴P的坐标为（，）．
若△PMH∽△MFO，，．
解得x1＝﹣1（舍去），x2＝0（舍去）．
当x＞3时，由题意P（x，x2﹣2x﹣3），
若△PMH∽△FMO，，．
解得x1＝﹣1（舍去），x2＝6．
∴P的坐标为（6，21）．
若△PMH∽△MF，，．
解得．
∴P的坐标为（，）．
综上：P的坐标为（6，21），（，），（，）．