初中3 探索三角形全等的条件学案

这是一份初中3 探索三角形全等的条件学案，共3页。
1．通过课本P118“议一议”，感受运用“SAS”、“ASA”、“AAS”说明直角三角形全等时已知直角的作用．
2．完成课本P118“做一做”，通过实践，感受已知斜边和一条直角边对确定直角三角形形状、大小的作用．
3．初步了解并熟记直角三角形全等的特殊条件“HL” ．
知识梳理
1．直角三角形画图
如图1是Rt△ABC．
(1)如图2，在直线m上截取DE＝AB；
(2)如图3，过点D画直线n⊥m；
(3)如图4，以点E为圆心，BC长为半径画弧，交直线n于点F；
(4)如图5，连接EF，得到Rt△DEF．
观察发现：Rt△ABC ______Rt△DEF．
2．直角三角形全等的特殊条件
________边和一条________边对应________的两个直角三角形全等，简写成“______、________”或“________” ．

在图6与图7中，因为∠C＝∠F＝________，又因为AB＝________，________＝DF，所以Rt△ABC ________Rt△DEF．或因为∠C＝∠F＝________ ，又因为AB＝________，________＝EF，所以Rt△ABC ________Rt△DEF．
例题精讲
例1 如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C＝∠C'＝90º，BC＝ B'C'，BD、B'D'分别是AC、A'C'边上的中线，且BD＝B'D'．
(1)请说明Rt△ABC和Rt△A'B'C'全等的理由．
(2)你能用自己的语言对上面的结论进行概括吗？
提示：要想判断Rt△ABC和Rt△A'B'C'全等，已知∠C＝∠C'＝90º，BC＝B'C'，根据已知条件，再找出一组边相等即可．要使AC＝A'C'，故只需DC＝D'C'，即只需△BCD≌△B'C'D'．
解答：(1)在Rt△BDC和Rt△B'D'C'中，BC＝B'C'，BD＝B'D'，所以Rt△BDC≌Rt△B'D'C(HL)．所以DC＝D'C'．又因为AC＝2CD，A'C'＝2C'D'，所以AC＝A'C'．在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，因为BC＝B'C'，∠C＝∠C'＝90º，AC＝A'C'，所以Rt△ABC≌Rt△A'B'C' (SAS)．
(2) －条直角边以及另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等．
点评：说明两个直角三角形全等，并不是只有“HL”定理，还可以用“SSS”、“ASA”、“AAS”等方法．
例2 如图，BC> BA，AD＝CD，BD平分∠ABC，试说明∠A＋∠C
＝180º．
提示：由BD平分∠ABC联想到角平分线的性质，因此作辅助线DE⊥
BA，DF⊥BC，又由AD＝CD，根据“HL”可知Rt△AED≌Rt△CFD，于是
∠1＝∠C，又因为∠1＋∠BAD＝180º，故∠C＋∠BAD＝180º．
解答：作DE⊥BA，交BA的延长线于E，作DF⊥BC于F．因为BD平分∠ABC，DE⊥BE，DF⊥BC，所以DE＝DF，∠DEA＝∠DFC＝90º．因为在△AED与△CFD中，AD＝CD，DE＝DF，所以Rt△AED≌Rt△CFD(HL)．所以∠1＝∠C．因为∠1＋∠BAD＝180º，所以∠C＋∠BAD＝180º．
点评：有角平分线时，常常过角平分线上的点向角的两边作垂线，根据角平分线的性质得垂线段相等．
热身练习
l．如图，AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC
的是 ( )
A．CB＝CD B．∠BAC＝∠DAC
C．∠BCA＝∠DCA D．∠B＝∠D＝90º
2．如图，在△ABC和△ABD中，∠C＝∠D＝90º．
(1)若利用“AAS”说明△ABC≌△ABD，则需添加条件________或________；
(2)若利用“HL”说明△ABC≌△ABD，则需添加条件________或________．
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90º，AC＝10，BC＝5，PQ＝BA，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，当AP＝________时，才能使△ABC≌△QPA．
4．如图，P是∠BAC内部的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E、F，AE＝AF．试说明：
(1) PE＝FP．
(2)点P在∠BAC的平分线上．
5．如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD的延长线于F，且CB＝DC．你能说明BE与DF相等吗？
6．小亮只用一把直尺就作出了一个任意角的平分线，你相信吗？如图，他先后将直尺的一边与这个角的两边重叠，过另一边先后作两条直线，它们的交点M必在角平分线上，于是作射线OM，OM就是∠AOB的平分线，你能说出其中的奥妙吗？
参考答案
1．C 2．(1) ∠CAB＝∠DAB ∠CBA＝∠DBA (2) AC＝AD CB＝DB 3．5
4．略 5． BE＝DF 理由略 6．略