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新教材2020-2021学年高一数学下学期期末考试全真模拟卷1
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册全册综合测试题，共27页。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．或
2、已知为虚数单位，复数，则（ ）
A．B．2C．D．
3、已知，，，则向量与向量的夹角为（ ）
A．B．C．D．
4、某中学高三2班在每周的星期一、三、五的晚自习前都要用半个小时进行英语听力测试，一共30个小题，每个小题1分，共30分；测试完后，该班英语老师都会随机抽取一个小组进行现场评阅，下表是该班英语老师在某个星期一随机抽取一个小组进行现场评阅的得分情况：
对这个小组的英语听力测试分数，有下面四种说法：
①该小组英语听力测试分数的极差为12
②该小组英语听力测试分数的中位数为21
③该小组英语听力测试分数的平均数为21
④该小组英语听力测试分数的方差为11
其中说法正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
5、已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
6、在中，在边上满足，为的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
7、已知是正方体的中心关于平面的对称点，则下列说法中错误的是（ ）
A．与是异面直线
B．平面
C．
D．平面
8、已知函数，且关于的方程恰有两个互异的实数解，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共16分，在每小题给出的四个选项中，不止有一项是符合题目要求的）
9、设计如图所示的四个电路图，若开关闭合，灯泡亮，则是的充要条件的电路图是（ ）
A．B．
C．D．
10、已知，表示两条不同直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
11、已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．将的图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到的图象
C．在上单调递增
D．点是图象的一个对称中心
12、1982年美国数学学会出了一道题：一个正四面体和一个正四棱锥的所有棱长都相等，将正四面体的一个面和正四棱锥的一个侧面紧贴重合在一起，得到一个新几何体.中学生丹尼尔做了一个如图所示的模型寄给美国数学学会，美国数学学会根据丹尼尔的模型修改了有关结论.对于该新几何体，则（ ）
A．
B．
C．新几何体有7个面
D．新几何体的六个顶点不能在同一个球面上
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13、设向量，若，则______________.
14、在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则边长___________.
15、勾股定理又称商高定理，三国时期吴国数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的阴影小正方形组成的，如图，记，若，在正方形内随机取一点，则该点取自阴影正方形的概率为________.
16、已知三棱锥的所有顶点都在球的表面上，平面，，，，，则球的表面积为___________.
四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，考生根据要求作答）
17、（10分）已知某大学有男生14000人，女生10000人，大学行政主管部门想了解该大学学生的运动状况，按性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取120人，统计他们平均每天运动的时间（单位：小时）如表：
（1）求实数的值；
（2）若从被抽取的120人平均每天运动时间（单位：小时）在范围的人中随机抽取2人，求“被抽取的2人性别不相同”的概率.
18、（12分）如图1，在直角梯形中，，，且．现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使平面与平面垂直，如图2．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求点到平面的距离.
19、（12分）已知.
(1)求的最小正周期及单调递减区间;
(2)求函数在区间上的最大值和最小值.
20、（12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，，.
（1）证明：平面；
（2）若是的中点，在棱上是否存在点，使平面？若存在，求出的值，并证明你的结论.
21、（12分）的角，，的对边分别为，，，已知.
（1）求；
（2）从三个条件：①；②；③的面积为中任选一个作为已知条件，求周长的取值范围.
22、（12分）国家质量监督检验检疫局于2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准规定，车辆驾驶人血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升、小于80毫克/百毫升的行为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升为醉酒驾车，经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液内的变化规律“散点图”如下：
该函数模型如下，
.
根据上述条件，回答以下问题：
（1）试计算喝1瓶啤酒后多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？
（2）试计算喝1瓶啤酒后多少小时才可以驾车？（时间以整小时计）（参考数据：）
1、已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】A
【详解】
或，
.
故选：A.
2、已知为虚数单位，复数，则（ ）
A．B．2C．D．
【答案】A
【详解】
复数，
∴，
故选A．
3、已知，，，则向量与向量的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
因为，
所以
，
所以得到，
记向量与向量的夹角为，
且，，
所以，
而
所以，
故选：C．
4、某中学高三2班在每周的星期一、三、五的晚自习前都要用半个小时进行英语听力测试，一共30个小题，每个小题1分，共30分；测试完后，该班英语老师都会随机抽取一个小组进行现场评阅，下表是该班英语老师在某个星期一随机抽取一个小组进行现场评阅的得分情况：
对这个小组的英语听力测试分数，有下面四种说法：
①该小组英语听力测试分数的极差为12
②该小组英语听力测试分数的中位数为21
③该小组英语听力测试分数的平均数为21
④该小组英语听力测试分数的方差为11
其中说法正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【详解】
对①，该小组英语听力测试分数的极差为26-14=12，故①正确；
对②，该小组英语听力测试分数的中位数为21，故②正确；
对③，该小组英语听力测试分数的平均数为，故③正确；
④该小组英语听力测试分数的方差为
，故④错误.
故选：C.
5、已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
，
所以.
故选：D
6、在中，在边上满足，为的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】
如图所示：
因为为的中点，所以，
又，，
，故选B．
7、已知是正方体的中心关于平面的对称点，则下列说法中错误的是（ ）
A．与是异面直线
B．平面
C．
D．平面
【答案】D
【详解】对于A，因为与平面相交，平面，所以与是异面直线，A正确；
对于B，因为是中心关于平面的对称点，所以平行且等于，
即平面为平行四边形，所以
因为是正方体中心，所以经过点，即平面
因为平面，所以平面，B正确；
对于C，由题，，所以平面，所以，
又因为，所以，C正确；
对于D，由图可知，必不垂直于平面，又因为，所以必不垂直于平面，D错误.
故选：D.
8、已知函数，且关于的方程恰有两个互异的实数解，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
方程恰有两个互异的实数解，转化为与的图象有2个不同的交点，
作函数与的图象如下，
由图可知，当时，方程恰有两个互异的实数解.
故选：B
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共16分，在每小题给出的四个选项中，不止有一项是符合题目要求的）
9、设计如图所示的四个电路图，若开关闭合，灯泡亮，则是的充要条件的电路图是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【详解】
电路图A中，开关S闭合，灯泡L亮，而灯泡L亮开关S不一定闭合，故A中p是q的充分不必要条件；
电路图B中，开关S闭合，灯泡L亮，且灯泡L亮，则开关S一定闭合，故B中p是q的充要条件；
电路图C中，开关S闭合，灯泡L不一定亮，灯泡L亮则开关S一定闭合，故C中p是q的必要不充分条件；
电路图D中，开关S闭合则灯泡L亮，灯泡L亮则一定有开关S闭合，故D中p是q的充要条件.
故选：BD.
10、已知，表示两条不同直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
【答案】BC
【详解】
对于选项A，若，，则与可能相交､平行或异面，A错误；
由直线与平面垂直的性质得选项B正确；
依据直线与平面垂直的性质定理得C正确；
选项D中可能与平面平行､垂直､斜交或在平面内.
故选：BC
11、已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．将的图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到的图象
C．在上单调递增
D．点是图象的一个对称中心
【答案】ACD
【详解】
的最小正周期为，故A选项正确.
的图象上所有的点向右平移个单位长度得到，故B选项错误.
由，，所以在上单调递增，C选项正确.
，所以点是图象的一个对称中心，故D选项正确.
故选：ACD
12、1982年美国数学学会出了一道题：一个正四面体和一个正四棱锥的所有棱长都相等，将正四面体的一个面和正四棱锥的一个侧面紧贴重合在一起，得到一个新几何体.中学生丹尼尔做了一个如图所示的模型寄给美国数学学会，美国数学学会根据丹尼尔的模型修改了有关结论.对于该新几何体，则（ ）
A．
B．
C．新几何体有7个面
D．新几何体的六个顶点不能在同一个球面上
【答案】ABD
【详解】
由题意，正四面体和正四棱锥的所有棱长都相等，G、H为BC、ED的中点，连接FG、AH、GH，即，
∴，，，故A、B正确；
∴四点共面，即新几何体为斜三棱柱，有5个面且无外接球，C错误，D正确；
故选：ABD.
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13、设向量，若，则______________.
【答案】5
【详解】
由可得，
又因为，
所以，
即，
故答案为：5.
14、在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则边长___________.
【答案】1或2
【详解】
在中，由，，，
由余弦定理得：
，
解得：b=1或b=2
故答案为：1或2.
15、勾股定理又称商高定理，三国时期吴国数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的阴影小正方形组成的，如图，记，若，在正方形内随机取一点，则该点取自阴影正方形的概率为________.
【答案】
【详解】
∵，
∴，
不妨设，，则，
所以大正方形的面积为，
阴影小正方形的面积为，
所以概率为．
故答案为.
16、已知三棱锥的所有顶点都在球的表面上，平面，，，，，则球的表面积为___________.
【答案】
【详解】
如图，绘出三棱锥的图像：
因为，得，
因为，所以，
因为，，由余弦定理得，代入得，解得，
所以为等腰三角形，且，
设外接圆的半径为，球的半径为，由正弦定理得，解得，
设的外心为，，过作，
则在中，，在中，，
联立，解得，球的表面积为，
故答案为.
四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，考生根据要求作答）
17、（10分）已知某大学有男生14000人，女生10000人，大学行政主管部门想了解该大学学生的运动状况，按性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取120人，统计他们平均每天运动的时间（单位：小时）如表：
（1）求实数的值；
（2）若从被抽取的120人平均每天运动时间（单位：小时）在范围的人中随机抽取2人，求“被抽取的2人性别不相同”的概率.
【答案】（1），（2）
【详解】
（1）男生14000人，女生10000人，男数女数，
故男生抽取了人，女生抽取了50人，由，
；
（2）从被抽取的120人平均每天运动时间（单位：小时）在范围的人中，有男生2，女生5人，共有7人
设男生为,女生为：
随机抽取2人不相同的情况有：
,总共有种选法
性别不同的(即一男生一女生)有：
，共种选法，
随机抽取人，“被抽取的人性别不相同”的事件为，
故.
18、（12分）如图1，在直角梯形中，，，且．现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使平面与平面垂直，如图2．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求点到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【详解】
试题分析：（1）要证直线与平面垂直，题中翻折成平面与平面垂直，因此有平面，从而有一个线线垂直，另一个在梯形中由平面几何知识可证，从而得证线面垂直；（2）由（1）知平面与平面垂直，因此只要过作于点，则可得的长就是点到平面的距离，在三角形中计算可得．
试题解析：（1）在正方形中，，又因为平面平面，且平面平面，所以平面，所以.在直角梯形中，，可得，在中，，所以，所以，
所以平面.
（2）因为平面，所以平面平面，过点作的垂线交于点，则平面，所以点到平面的距离等于线段的长度.
在直角三角形中，，所以，
所以点到平面的距离等于.
19、（12分）已知.
(1)求的最小正周期及单调递减区间;
(2)求函数在区间上的最大值和最小值.
【答案】(1),单调递减区间为;(2)见解析
【详解】
（1），
∴的最小正周期.
由，得，
∴的单调递减区间为.
（2）∵，
∴，
当，即时，函数取得最小值，为；
当，即时，函数取得最大值，为.
故函数在区间上的最大值为3，最小值为0.
20、（12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，，.
（1）证明：平面；
（2）若是的中点，在棱上是否存在点，使平面？若存在，求出的值，并证明你的结论.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，，证明见解析.
【详解】
（1）证明：∵，，
∴，，，
∴平面，
∴．
又∵为菱形，
∴，，
∴平面．
（2）解：当时，平面，
证明如下：
取的中点，连接，，
因为是的中点，是的中点，
所以，又面，面，
面
又因为，
所以是的中点．
设，则为的中点，
所以，又面，面，
面
因为，
所以平面平面，
又在平面内，
所以平面．
21、（12分）的角，，的对边分别为，，，已知.
（1）求；
（2）从三个条件：①；②；③的面积为中任选一个作为已知条件，求周长的取值范围.
【答案】（1）（2）分类讨论，见解析
【详解】
（1）因为，
由余弦定理得，因为，
所以；
（2）选择①，
因为，，
由正弦定理得，
即的周长
，
因为，所以，，
即周长的取值范围是.
选择②.
因为，，
由正弦定理得，，
即的周长
,
因为，所以，所以，
即周长的取值范围是.
选择③.
因为，，得，
由余弦定理得，
即的周长，
因为，当且仅当时等号成立，
所以.
即周长的取值范围是.
22、（12分）国家质量监督检验检疫局于2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准规定，车辆驾驶人血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升、小于80毫克/百毫升的行为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升为醉酒驾车，经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液内的变化规律“散点图”如下：
该函数模型如下，
.
根据上述条件，回答以下问题：
（1）试计算喝1瓶啤酒后多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？
（2）试计算喝1瓶啤酒后多少小时才可以驾车？（时间以整小时计）（参考数据：）
【答案】（1）喝一瓶啤酒后1.5小时血液中的酒精达到最大值，最大值是44.42毫克/百毫升；（2）喝一瓶啤酒后6小时才可以驾车
【详解】
（1）由图可知，当函数取得最大值时，.
此时.
当时，即时，函数取得最大值为，
故喝一瓶啤酒后1.5小时血液中的酒精达到最大值，最大值是44.42毫克/百毫升，
（2）由题意知当车辆驾驶人员血液中的酒精小于20毫克/100毫升可以驾车，此时，
由，得，
两边取自然对数得，
即，
∴，
故喝一瓶啤酒后6小时才可以驾车.
姓名
张周
邓靖川
王行
王沛
陆俊杰
刘振志
谭菲菲
任思颖
张韵
得分（单位：分）
20
23
22
21
14
18
20
25
26
男生平均每天运动的时间
人数
2
12
23
18
10
女生平均每天运动的时间
人数
5
12
18
10
3
姓名
张周
邓靖川
王行
王沛
陆俊杰
刘振志
谭菲菲
任思颖
张韵
得分（单位：分）
20
23
22
21
14
18
20
25
26
男生平均每天运动的时间
人数
2
12
23
18
10
女生平均每天运动的时间
人数
5
12
18
10
3
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．或
2、已知为虚数单位，复数，则（ ）
A．B．2C．D．
3、已知，，，则向量与向量的夹角为（ ）
A．B．C．D．
4、某中学高三2班在每周的星期一、三、五的晚自习前都要用半个小时进行英语听力测试，一共30个小题，每个小题1分，共30分；测试完后，该班英语老师都会随机抽取一个小组进行现场评阅，下表是该班英语老师在某个星期一随机抽取一个小组进行现场评阅的得分情况：
对这个小组的英语听力测试分数，有下面四种说法：
①该小组英语听力测试分数的极差为12
②该小组英语听力测试分数的中位数为21
③该小组英语听力测试分数的平均数为21
④该小组英语听力测试分数的方差为11
其中说法正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
5、已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
6、在中，在边上满足，为的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
7、已知是正方体的中心关于平面的对称点，则下列说法中错误的是（ ）
A．与是异面直线
B．平面
C．
D．平面
8、已知函数，且关于的方程恰有两个互异的实数解，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共16分，在每小题给出的四个选项中，不止有一项是符合题目要求的）
9、设计如图所示的四个电路图，若开关闭合，灯泡亮，则是的充要条件的电路图是（ ）
A．B．
C．D．
10、已知，表示两条不同直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
11、已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．将的图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到的图象
C．在上单调递增
D．点是图象的一个对称中心
12、1982年美国数学学会出了一道题：一个正四面体和一个正四棱锥的所有棱长都相等，将正四面体的一个面和正四棱锥的一个侧面紧贴重合在一起，得到一个新几何体.中学生丹尼尔做了一个如图所示的模型寄给美国数学学会，美国数学学会根据丹尼尔的模型修改了有关结论.对于该新几何体，则（ ）
A．
B．
C．新几何体有7个面
D．新几何体的六个顶点不能在同一个球面上
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13、设向量，若，则______________.
14、在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则边长___________.
15、勾股定理又称商高定理，三国时期吴国数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的阴影小正方形组成的，如图，记，若，在正方形内随机取一点，则该点取自阴影正方形的概率为________.
16、已知三棱锥的所有顶点都在球的表面上，平面，，，，，则球的表面积为___________.
四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，考生根据要求作答）
17、（10分）已知某大学有男生14000人，女生10000人，大学行政主管部门想了解该大学学生的运动状况，按性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取120人，统计他们平均每天运动的时间（单位：小时）如表：
（1）求实数的值；
（2）若从被抽取的120人平均每天运动时间（单位：小时）在范围的人中随机抽取2人，求“被抽取的2人性别不相同”的概率.
18、（12分）如图1，在直角梯形中，，，且．现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使平面与平面垂直，如图2．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求点到平面的距离.
19、（12分）已知.
(1)求的最小正周期及单调递减区间;
(2)求函数在区间上的最大值和最小值.
20、（12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，，.
（1）证明：平面；
（2）若是的中点，在棱上是否存在点，使平面？若存在，求出的值，并证明你的结论.
21、（12分）的角，，的对边分别为，，，已知.
（1）求；
（2）从三个条件：①；②；③的面积为中任选一个作为已知条件，求周长的取值范围.
22、（12分）国家质量监督检验检疫局于2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准规定，车辆驾驶人血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升、小于80毫克/百毫升的行为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升为醉酒驾车，经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液内的变化规律“散点图”如下：
该函数模型如下，
.
根据上述条件，回答以下问题：
（1）试计算喝1瓶啤酒后多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？
（2）试计算喝1瓶啤酒后多少小时才可以驾车？（时间以整小时计）（参考数据：）
1、已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】A
【详解】
或，
.
故选：A.
2、已知为虚数单位，复数，则（ ）
A．B．2C．D．
【答案】A
【详解】
复数，
∴，
故选A．
3、已知，，，则向量与向量的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
因为，
所以
，
所以得到，
记向量与向量的夹角为，
且，，
所以，
而
所以，
故选：C．
4、某中学高三2班在每周的星期一、三、五的晚自习前都要用半个小时进行英语听力测试，一共30个小题，每个小题1分，共30分；测试完后，该班英语老师都会随机抽取一个小组进行现场评阅，下表是该班英语老师在某个星期一随机抽取一个小组进行现场评阅的得分情况：
对这个小组的英语听力测试分数，有下面四种说法：
①该小组英语听力测试分数的极差为12
②该小组英语听力测试分数的中位数为21
③该小组英语听力测试分数的平均数为21
④该小组英语听力测试分数的方差为11
其中说法正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【详解】
对①，该小组英语听力测试分数的极差为26-14=12，故①正确；
对②，该小组英语听力测试分数的中位数为21，故②正确；
对③，该小组英语听力测试分数的平均数为，故③正确；
④该小组英语听力测试分数的方差为
，故④错误.
故选：C.
5、已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
，
所以.
故选：D
6、在中，在边上满足，为的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】
如图所示：
因为为的中点，所以，
又，，
，故选B．
7、已知是正方体的中心关于平面的对称点，则下列说法中错误的是（ ）
A．与是异面直线
B．平面
C．
D．平面
【答案】D
【详解】对于A，因为与平面相交，平面，所以与是异面直线，A正确；
对于B，因为是中心关于平面的对称点，所以平行且等于，
即平面为平行四边形，所以
因为是正方体中心，所以经过点，即平面
因为平面，所以平面，B正确；
对于C，由题，，所以平面，所以，
又因为，所以，C正确；
对于D，由图可知，必不垂直于平面，又因为，所以必不垂直于平面，D错误.
故选：D.
8、已知函数，且关于的方程恰有两个互异的实数解，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
方程恰有两个互异的实数解，转化为与的图象有2个不同的交点，
作函数与的图象如下，
由图可知，当时，方程恰有两个互异的实数解.
故选：B
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共16分，在每小题给出的四个选项中，不止有一项是符合题目要求的）
9、设计如图所示的四个电路图，若开关闭合，灯泡亮，则是的充要条件的电路图是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【详解】
电路图A中，开关S闭合，灯泡L亮，而灯泡L亮开关S不一定闭合，故A中p是q的充分不必要条件；
电路图B中，开关S闭合，灯泡L亮，且灯泡L亮，则开关S一定闭合，故B中p是q的充要条件；
电路图C中，开关S闭合，灯泡L不一定亮，灯泡L亮则开关S一定闭合，故C中p是q的必要不充分条件；
电路图D中，开关S闭合则灯泡L亮，灯泡L亮则一定有开关S闭合，故D中p是q的充要条件.
故选：BD.
10、已知，表示两条不同直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
【答案】BC
【详解】
对于选项A，若，，则与可能相交､平行或异面，A错误；
由直线与平面垂直的性质得选项B正确；
依据直线与平面垂直的性质定理得C正确；
选项D中可能与平面平行､垂直､斜交或在平面内.
故选：BC
11、已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．将的图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到的图象
C．在上单调递增
D．点是图象的一个对称中心
【答案】ACD
【详解】
的最小正周期为，故A选项正确.
的图象上所有的点向右平移个单位长度得到，故B选项错误.
由，，所以在上单调递增，C选项正确.
，所以点是图象的一个对称中心，故D选项正确.
故选：ACD
12、1982年美国数学学会出了一道题：一个正四面体和一个正四棱锥的所有棱长都相等，将正四面体的一个面和正四棱锥的一个侧面紧贴重合在一起，得到一个新几何体.中学生丹尼尔做了一个如图所示的模型寄给美国数学学会，美国数学学会根据丹尼尔的模型修改了有关结论.对于该新几何体，则（ ）
A．
B．
C．新几何体有7个面
D．新几何体的六个顶点不能在同一个球面上
【答案】ABD
【详解】
由题意，正四面体和正四棱锥的所有棱长都相等，G、H为BC、ED的中点，连接FG、AH、GH，即，
∴，，，故A、B正确；
∴四点共面，即新几何体为斜三棱柱，有5个面且无外接球，C错误，D正确；
故选：ABD.
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13、设向量，若，则______________.
【答案】5
【详解】
由可得，
又因为，
所以，
即，
故答案为：5.
14、在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则边长___________.
【答案】1或2
【详解】
在中，由，，，
由余弦定理得：
，
解得：b=1或b=2
故答案为：1或2.
15、勾股定理又称商高定理，三国时期吴国数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的阴影小正方形组成的，如图，记，若，在正方形内随机取一点，则该点取自阴影正方形的概率为________.
【答案】
【详解】
∵，
∴，
不妨设，，则，
所以大正方形的面积为，
阴影小正方形的面积为，
所以概率为．
故答案为.
16、已知三棱锥的所有顶点都在球的表面上，平面，，，，，则球的表面积为___________.
【答案】
【详解】
如图，绘出三棱锥的图像：
因为，得，
因为，所以，
因为，，由余弦定理得，代入得，解得，
所以为等腰三角形，且，
设外接圆的半径为，球的半径为，由正弦定理得，解得，
设的外心为，，过作，
则在中，，在中，，
联立，解得，球的表面积为，
故答案为.
四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，考生根据要求作答）
17、（10分）已知某大学有男生14000人，女生10000人，大学行政主管部门想了解该大学学生的运动状况，按性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取120人，统计他们平均每天运动的时间（单位：小时）如表：
（1）求实数的值；
（2）若从被抽取的120人平均每天运动时间（单位：小时）在范围的人中随机抽取2人，求“被抽取的2人性别不相同”的概率.
【答案】（1），（2）
【详解】
（1）男生14000人，女生10000人，男数女数，
故男生抽取了人，女生抽取了50人，由，
；
（2）从被抽取的120人平均每天运动时间（单位：小时）在范围的人中，有男生2，女生5人，共有7人
设男生为,女生为：
随机抽取2人不相同的情况有：
,总共有种选法
性别不同的(即一男生一女生)有：
，共种选法，
随机抽取人，“被抽取的人性别不相同”的事件为，
故.
18、（12分）如图1，在直角梯形中，，，且．现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使平面与平面垂直，如图2．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求点到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【详解】
试题分析：（1）要证直线与平面垂直，题中翻折成平面与平面垂直，因此有平面，从而有一个线线垂直，另一个在梯形中由平面几何知识可证，从而得证线面垂直；（2）由（1）知平面与平面垂直，因此只要过作于点，则可得的长就是点到平面的距离，在三角形中计算可得．
试题解析：（1）在正方形中，，又因为平面平面，且平面平面，所以平面，所以.在直角梯形中，，可得，在中，，所以，所以，
所以平面.
（2）因为平面，所以平面平面，过点作的垂线交于点，则平面，所以点到平面的距离等于线段的长度.
在直角三角形中，，所以，
所以点到平面的距离等于.
19、（12分）已知.
(1)求的最小正周期及单调递减区间;
(2)求函数在区间上的最大值和最小值.
【答案】(1),单调递减区间为;(2)见解析
【详解】
（1），
∴的最小正周期.
由，得，
∴的单调递减区间为.
（2）∵，
∴，
当，即时，函数取得最小值，为；
当，即时，函数取得最大值，为.
故函数在区间上的最大值为3，最小值为0.
20、（12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，，.
（1）证明：平面；
（2）若是的中点，在棱上是否存在点，使平面？若存在，求出的值，并证明你的结论.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，，证明见解析.
【详解】
（1）证明：∵，，
∴，，，
∴平面，
∴．
又∵为菱形，
∴，，
∴平面．
（2）解：当时，平面，
证明如下：
取的中点，连接，，
因为是的中点，是的中点，
所以，又面，面，
面
又因为，
所以是的中点．
设，则为的中点，
所以，又面，面，
面
因为，
所以平面平面，
又在平面内，
所以平面．
21、（12分）的角，，的对边分别为，，，已知.
（1）求；
（2）从三个条件：①；②；③的面积为中任选一个作为已知条件，求周长的取值范围.
【答案】（1）（2）分类讨论，见解析
【详解】
（1）因为，
由余弦定理得，因为，
所以；
（2）选择①，
因为，，
由正弦定理得，
即的周长
，
因为，所以，，
即周长的取值范围是.
选择②.
因为，，
由正弦定理得，，
即的周长
,
因为，所以，所以，
即周长的取值范围是.
选择③.
因为，，得，
由余弦定理得，
即的周长，
因为，当且仅当时等号成立，
所以.
即周长的取值范围是.
22、（12分）国家质量监督检验检疫局于2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准规定，车辆驾驶人血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升、小于80毫克/百毫升的行为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升为醉酒驾车，经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液内的变化规律“散点图”如下：
该函数模型如下，
.
根据上述条件，回答以下问题：
（1）试计算喝1瓶啤酒后多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？
（2）试计算喝1瓶啤酒后多少小时才可以驾车？（时间以整小时计）（参考数据：）
【答案】（1）喝一瓶啤酒后1.5小时血液中的酒精达到最大值，最大值是44.42毫克/百毫升；（2）喝一瓶啤酒后6小时才可以驾车
【详解】
（1）由图可知，当函数取得最大值时，.
此时.
当时，即时，函数取得最大值为，
故喝一瓶啤酒后1.5小时血液中的酒精达到最大值，最大值是44.42毫克/百毫升，
（2）由题意知当车辆驾驶人员血液中的酒精小于20毫克/100毫升可以驾车，此时，
由，得，
两边取自然对数得，
即，
∴，
故喝一瓶啤酒后6小时才可以驾车.
姓名
张周
邓靖川
王行
王沛
陆俊杰
刘振志
谭菲菲
任思颖
张韵
得分（单位：分）
20
23
22
21
14
18
20
25
26
男生平均每天运动的时间
人数
2
12
23
18
10
女生平均每天运动的时间
人数
5
12
18
10
3
姓名
张周
邓靖川
王行
王沛
陆俊杰
刘振志
谭菲菲
任思颖
张韵
得分（单位：分）
20
23
22
21
14
18
20
25
26
男生平均每天运动的时间
人数
2
12
23
18
10
女生平均每天运动的时间
人数
5
12
18
10
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