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2019-2020学年 中考数学 三模试卷【某师大附中】
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这是一份2019-2020学年 中考数学 三模试卷【某师大附中】，共26页。试卷主要包含了选择题，四象限，点P，解答题等内容，欢迎下载使用。
2019-2020学年度某师大附中中考数学三模试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）（﹣）0＝（ ）
A．1 B．0 C．﹣ D．﹣3
2．（3分）如图是由5个小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）如图，AB∥CD，∠B＝80°，∠D＝45°，则∠E的度数为（ ）
A．34° B．35° C．36° D．37°
4．（3分）已知正比例函数y＝kx的图象经过第二、四象限，点P（m，n）是其图象上的点，且当﹣1≤m≤1时﹣2≤n≤2，则k的值为（ ）
A．﹣ B． C．﹣2 D．2
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．x2+x2＝x4 B．（x2）3＝x5
C．（x﹣3）2＝x2﹣9 D．2x3y2÷x2＝2xy2
6．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线，E是AC的中点，连接DE，若BC＝6，AD＝2，则DE＝（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）在同一平面直角坐标系内，若直线y＝2x+1与直线y＝kx﹣k的交点在第二象限，则k的取值范围是（ ）
A．k＜﹣1 B．﹣1＜k＜0 C．0＜k＜1 D．k＞1
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝m，BC＝6，点E在边CD上，且CE＝m．连接BE，将△BCE沿BE折叠，点C的对应点C'恰好落在边AD上，则m＝（ ）
A．3 B．2 C． D．5
9．（3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，且AB＝AC，∠ABC＝56°，⊙O的直径CD交AB于点E，则∠AED的度数为（ ）
A．99° B．100° C．101° D．102°
10．（3分）在平面直角坐标系中，点P的坐标为（1，2），将抛物线y＝x2﹣3x+2沿坐标轴平移一次，使其经过点P，则平移的最短距离为（ ）
A． B．1 C．5 D．
二、填空题（共4小题，每题3分，共12分）
11．（3分）比较大小：﹣ ﹣．
12．（3分）若正多边形的一个中心角为40°，则这个正多边形的一个内角等于 ．
13．（3分）如图，菱形OABC中，AB＝4，∠AOC＝30°，OB所在直线为反比例函数y＝的对称轴，当反比例函数y＝（x＜0）的图象经过A、C两点时，k的值为 ．
14．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝3，CD⊥AB于点D，点E是线段CD的一个动点，则BE+CE的最小值是 ．
三、解答题（共11小题，共78分，解答应写出过程）
15．计算：÷﹣|2﹣3|+（﹣）﹣3．
16．解方程：＝﹣1．
17．如图，已知△ABC，P为AB上一点，请用尺规作图的方法在AC上找一点Q，使得AQ+PQ＝AC（保留作图痕迹，不写作法）．
18．如图，∠C＝∠E，AC＝AE，点D在BC边上，∠1＝∠2，AC和DE相交于点O．求证：△ABC≌△ADE．
19．2020年伊始，全国发生了传播速度快、感染范围广、防控难度大的新冠肺炎疫情．根据教育部提出的2020年春节延期开学，“停课不停学”的相关要求，很多学校开展了线上授课相关工作．
为了更好地提高学生线上授课的效果，某中学进行了线上授课问卷调查．其中一项调查是：你认为影响师生互动的最主要因素是A．教师的授课理念；B．网络配麦等硬件问题；C．科目特点；D．学生的配合情况，针对这个题目，问卷时要求每位同学必须且只能选择其中一项．现随机抽取了若干名学生的调查问卷，将所得数据进行整理，制成如图条形统计图和扇形统计图．
请你根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）补全如图的条形统计图和扇形统计图；
（2）所抽取学生中认为影响师生互动最主要因素的众数为 ；
（3）已知该校有2400名学生，请你估计该校学生中认为影响师生互动的最主要因素是C．科目特点的有多少人？
20．在炎热的夏季，遮阳伞在我们的生活中随处可见．如图1，滑动调节式遮阳伞的立柱AC垂直于地面AB，点P为立柱上的滑动调节点，伞体的截面示意图为△PDE，F为PD中点，PD＝2m，CF＝1m，∠DPE＝22°．当点P位于初始位置P0时，点D与C重合（如图2）．
根据生活经验，当太阳光线与PE垂直时，遮阳效果最佳．已知太阳光线与地面的夹角为65°（如图3），为使遮阳效果最佳，点P需从P0上调多少米？（结果精确到0.1m）（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）
21．已知A，B两地相距200km，甲、乙两辆货车装满货物分别从A，B两地相向而行，图中l1，l2分别表示甲、乙两辆货车离A地的距离s（km）与行驶时间t（h）之间的函数关系．
请你根据以上信息，解答下列问题：
（1）分别求出直线l1，l2所对应的函数关系式；
（2）何时甲货车离B地的距离大于乙货车离B地的距离？
22．为了丰富校园生活，展现同学们英语表达的风采，某校组织了“英语风采大赛”，大赛共设置四个比赛项目．八年级六班的同学们踊跃报名，在“才艺表演”项目中，小怡报名表演古筝，小宏报名表演小提琴，小童报名表演笛子，小灿和小源报名唱英文歌曲．
为了取得良好的节目效果，体现公平公正．文体委员决定采用以下方法搭配组合节目：制作5张完全相同的卡片，正面分别写上报名参加比赛同学的姓名，将卡片反面朝上洗匀，然后随机抽取卡片，卡片正面是谁的名字，谁就代表班级参加比赛．
（1）随机抽取一张卡片，求六班才艺表演项目是“乐器独奏”的概率；
（2）随机抽取两张卡片，请用树状图或列表法求小宏和小灿组合参加比赛的概率．（注：可以用A，B，C，D，E分别表示小怡，小宏，小童，小灿，小源的名字）
23．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC为⊙O的直径，⊙O的切线AP与CB的延长线交于点P．
（1）求证：∠PAB＝∠ACB；
（2）若AB＝12，cos∠ADB＝，求PB的长．
24．如图，二次函数y＝﹣x2﹣x的图象经过△AOB的三个顶点，其中A（1，m），B（﹣2，n）
（1）求点A，B的坐标；
（2）在第三象限存在点C，使以A、O、B、C为顶点的四边形是平行四边形，求满足条件的点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，能否将抛物线y＝﹣x2﹣x平移后经过A、C两点，若能求出平移后经过A、C两点的拋物线的表达式，并写出平移过程．若不能，请说明理由．
25．问题提出：
（1）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则tanA的值是 ．
（2）如图②，在正方形ABCD中，AB＝5，点E是平面上一动点，且BE＝2，连接CE，在CE上方作正方形EFGC，求线段CF的最大值．
问题解决：
（3）如图③，⊙O半径为6，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点A，B在⊙O上，点C在⊙O内，且tanA＝．当点A在圆上运动时，求线段OC的最小值．
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）（﹣）0＝（ ）
A．1 B．0 C．﹣ D．﹣3
【解答】解：（﹣）0＝1．
故选：A．
2．（3分）如图是由5个小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：从正面看去，一共三列，左边有2竖列，中间有1竖列，右边是1竖列．
故选：C．
3．（3分）如图，AB∥CD，∠B＝80°，∠D＝45°，则∠E的度数为（ ）
A．34° B．35° C．36° D．37°
【解答】解：设CD与BE交于点F，如图所示：
∵AB∥CD，∠B＝80°，
∴∠EFC＝∠B＝80°，
∵∠EFC＝∠D+∠E，∠D＝45°，
∴∠E＝∠EFC﹣∠D＝80°﹣45°＝35°，
故选：B．
4．（3分）已知正比例函数y＝kx的图象经过第二、四象限，点P（m，n）是其图象上的点，且当﹣1≤m≤1时﹣2≤n≤2，则k的值为（ ）
A．﹣ B． C．﹣2 D．2
【解答】解：∵正比例函数y＝kx的图象经过第二、四象限，
∴k＜0，y随x的增大而减小，
∵点P（m，n）是其图象上的点，
∴km＝n，
∵当﹣1≤m≤1时﹣2≤n≤2，
∴当m＝﹣1时，n＝2；当m＝1时，n＝﹣2，
∴k＝﹣2
故选：C．
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．x2+x2＝x4 B．（x2）3＝x5
C．（x﹣3）2＝x2﹣9 D．2x3y2÷x2＝2xy2
【解答】解：A、x2+x2＝2x2，故此选项错误；
B、（x2）3＝x6，故此选项错误；
C、（x﹣3）2＝x2﹣6x+9，故此选项错误；
D、2x3y2÷x2＝2xy2，正确．
故选：D．
6．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线，E是AC的中点，连接DE，若BC＝6，AD＝2，则DE＝（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵AB＝AC，AD是△ABC的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°．
在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，AD＝2，CD＝BC＝3，
∴AC＝＝．
又∵E是AC的中点，∠ADC＝90°，
∴DE＝AC＝．
故选：C．
7．（3分）在同一平面直角坐标系内，若直线y＝2x+1与直线y＝kx﹣k的交点在第二象限，则k的取值范围是（ ）
A．k＜﹣1 B．﹣1＜k＜0 C．0＜k＜1 D．k＞1
【解答】解：解析式联立，解得：，
∵交点在第二象限
∴，解得﹣1＜k＜0
故选：B．
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝m，BC＝6，点E在边CD上，且CE＝m．连接BE，将△BCE沿BE折叠，点C的对应点C'恰好落在边AD上，则m＝（ ）
A．3 B．2 C． D．5
【解答】解：设AC'＝x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝6，CD＝AB＝m，∠A＝∠D＝90°．
∵将△BCE沿BE折叠，点C的对应点C'恰好落在边AD上，
∴BC'＝BC＝6，C'E＝CE＝m，DE＝CD﹣CE＝m﹣m＝m．
在Rt△ABC'中，由勾股定理得：AC'2+AB2＝BC'2，
即x2+m2＝62，
在Rt△DEC'中，由勾股定理得：C'E2＝DE2+DC'2，
即（m）2＝（m）2+（6﹣x）2，
化简得：3（6﹣x）2＝m2，
代入x2+m2＝62中得：3（6﹣x）2＝62﹣x2，
解得：x＝3，或x＝6．
当x＝3时，m＝3或﹣3（舍去）；
当x＝6时，m＝0（舍去）；
∴m＝3；
故选：A．
9．（3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，且AB＝AC，∠ABC＝56°，⊙O的直径CD交AB于点E，则∠AED的度数为（ ）
A．99° B．100° C．101° D．102°
【解答】解：连接AD，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝56°，
∴∠BAC＝180°﹣56°×2＝68°，
由圆周角定理得，∠ADC＝∠ABC＝56°，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠DAC＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣∠ADC＝34°，
∴∠AED＝∠BAC+∠ACD＝68°+34°＝102°，
故选：D．
10．（3分）在平面直角坐标系中，点P的坐标为（1，2），将抛物线y＝x2﹣3x+2沿坐标轴平移一次，使其经过点P，则平移的最短距离为（ ）
A． B．1 C．5 D．
【解答】解：y＝x2﹣3x+2＝（x﹣3）2﹣，
当沿水平方向平移时，纵坐标和P的纵坐标相同，把y＝2代入y＝x2﹣3x+2得：2＝x2﹣3x+2，
解得：x＝0或6，
平移的最短距离是1﹣0＝1，
当沿竖直方向平移时，横坐标和P的横坐标相同，把x＝1代入y＝x2﹣3x+2得：y＝×12﹣3×1+2＝﹣，
平移的最短距离是2+＝，
即平移的最短距离是1，
故选：B．
二、填空题（共4小题，每题3分，共12分）
11．（3分）比较大小：﹣ ＞ ﹣．
【解答】解：∵≈﹣1.41，
﹣＝﹣1.5，
∴﹣＞﹣．
故答案为：＞．
12．（3分）若正多边形的一个中心角为40°，则这个正多边形的一个内角等于 140° ．
【解答】解：∵正多边形的一个中心角为40°，
∴360°÷40°＝9，
∴这个正多边形是正九边形，
∴这个正九边形的一个内角等于：＝140°．
故答案为：140°．
13．（3分）如图，菱形OABC中，AB＝4，∠AOC＝30°，OB所在直线为反比例函数y＝的对称轴，当反比例函数y＝（x＜0）的图象经过A、C两点时，k的值为 ﹣4 ．
【解答】解：作CD⊥x轴于D，
∵菱形OABC中，∠AOC＝30°，
∴∠BOC＝15°，
∵OB所在直线为反比例函数y＝的对称轴，
∴∠BOD＝45°，
∴∠COD＝30°，
∵OC＝AB＝4，
∴OD＝OC＝2，CD＝OC＝2，
∴C（﹣2，2），
∵反比例函数y＝（x＜0）的图象经过C点，
∴k＝﹣2×2＝﹣4，
故答案为﹣4．
14．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝3，CD⊥AB于点D，点E是线段CD的一个动点，则BE+CE的最小值是 3 ．
【解答】解：如图，作EF⊥AC于F，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∵tanA＝，设AD＝a，CD＝3a，
∵AD2+CD2＝AC2，
∴a2+9a2＝100，
∴a2＝10，
∴a＝或﹣（舍去），
∴AD＝a＝，CD＝3a＝3，
∴sin∠ACD＝，
∴EF＝CE•sin∠ECF＝CE，
∴BE+CE＝BE+EF，
当B、E、F三点共线时，BE+CE＝BE+EF＝BF，
此时BF⊥AC，则根据垂线段最短性质知BE+CE＝BF值最小，
此时BF＝AB•sin∠A＝10×．
三、解答题（共11小题，共78分，解答应写出过程）
15．计算：÷﹣|2﹣3|+（﹣）﹣3．
【解答】解：原式＝+2﹣3+（﹣8）
＝+2﹣3﹣8
＝﹣11．
16．解方程：＝﹣1．
【解答】解：方程两边同乘以（x﹣2）（x+3）得（x+1）（x+3）＝2x（x﹣2）﹣（x﹣2）（x+3），
x2+4x+3＝2x2﹣4x﹣x2﹣x+6，
解得：，
经检验为原方程的根．
17．如图，已知△ABC，P为AB上一点，请用尺规作图的方法在AC上找一点Q，使得AQ+PQ＝AC（保留作图痕迹，不写作法）．
【解答】解：如图，点Q即为所求．
18．如图，∠C＝∠E，AC＝AE，点D在BC边上，∠1＝∠2，AC和DE相交于点O．求证：△ABC≌△ADE．
【解答】证明：∵∠ADC＝∠1+∠B，
即∠ADE+∠2＝∠1+∠B，
而∠1＝∠2，
∴∠ADE＝∠B，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（AAS）．
19．2020年伊始，全国发生了传播速度快、感染范围广、防控难度大的新冠肺炎疫情．根据教育部提出的2020年春节延期开学，“停课不停学”的相关要求，很多学校开展了线上授课相关工作．
为了更好地提高学生线上授课的效果，某中学进行了线上授课问卷调查．其中一项调查是：你认为影响师生互动的最主要因素是A．教师的授课理念；B．网络配麦等硬件问题；C．科目特点；D．学生的配合情况，针对这个题目，问卷时要求每位同学必须且只能选择其中一项．现随机抽取了若干名学生的调查问卷，将所得数据进行整理，制成如图条形统计图和扇形统计图．
请你根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）补全如图的条形统计图和扇形统计图；
（2）所抽取学生中认为影响师生互动最主要因素的众数为 学生的配合情况 ；
（3）已知该校有2400名学生，请你估计该校学生中认为影响师生互动的最主要因素是C．科目特点的有多少人？
【解答】解：（1）一共调查了6÷5%＝120名学生，
选择D的学生数有120﹣18﹣36﹣6＝60，
A：15%，B：30%；
补全如图的条形统计图和扇形统计图；
（2）所抽取学生中认为影响师生互动最主要因素的众数为：学生的配合情况，
故答案为：学生的配合情况；
（3）2400×5%＝120（人）
答：该校学生中认为影响师生互动的最主要因素是C．科目特点的约120人．
20．在炎热的夏季，遮阳伞在我们的生活中随处可见．如图1，滑动调节式遮阳伞的立柱AC垂直于地面AB，点P为立柱上的滑动调节点，伞体的截面示意图为△PDE，F为PD中点，PD＝2m，CF＝1m，∠DPE＝22°．当点P位于初始位置P0时，点D与C重合（如图2）．
根据生活经验，当太阳光线与PE垂直时，遮阳效果最佳．已知太阳光线与地面的夹角为65°（如图3），为使遮阳效果最佳，点P需从P0上调多少米？（结果精确到0.1m）（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）
【解答】解：已知当点P位于初始位置P0时，CP0＝2，
如图3，当点P上调至图中的位置时，
∵∠1＝90°，∠CAB＝90°，∠ABE＝65°，∠APE＝115°，
∴∠CPE＝180°﹣∠APE＝65°，
∵∠DPE＝22°，
∴∠CPF＝43°，
∵点F是DP的中点，DP＝2，
∴PF＝PD＝1，
∵CF＝1，
∴，△CPF为等腰三角形，
过点F作FG⊥CP于点G，
∴在Rt△FGP中，GP＝PF•cos43°＝1×0.73＝0.73，
∴CP＝2GP＝1.46，
∴P0P＝CP0﹣CP＝2﹣1.46≈0.5
所以点P需上调0.5m．
21．已知A，B两地相距200km，甲、乙两辆货车装满货物分别从A，B两地相向而行，图中l1，l2分别表示甲、乙两辆货车离A地的距离s（km）与行驶时间t（h）之间的函数关系．
请你根据以上信息，解答下列问题：
（1）分别求出直线l1，l2所对应的函数关系式；
（2）何时甲货车离B地的距离大于乙货车离B地的距离？
【解答】解：（1）设l1对应的函数关系式为s1＝k1t，
∵l1过点（6，200），
∴200＝6k，得k1＝，
即l1对应的函数关系式为s1＝t；
设l2对应的函数关系式为s2＝k2t+200，
∵l2过点（5，0），
∴0＝5k2+200，得k2＝﹣40，
即l2所对应的函数关系式为s2＝﹣40t+200；
（2）由题意可得，
s1＜s2，
则t＜﹣40t+200，
解得，，
答：前甲货车离B地的距离大于乙货车离B地的距离
22．为了丰富校园生活，展现同学们英语表达的风采，某校组织了“英语风采大赛”，大赛共设置四个比赛项目．八年级六班的同学们踊跃报名，在“才艺表演”项目中，小怡报名表演古筝，小宏报名表演小提琴，小童报名表演笛子，小灿和小源报名唱英文歌曲．
为了取得良好的节目效果，体现公平公正．文体委员决定采用以下方法搭配组合节目：制作5张完全相同的卡片，正面分别写上报名参加比赛同学的姓名，将卡片反面朝上洗匀，然后随机抽取卡片，卡片正面是谁的名字，谁就代表班级参加比赛．
（1）随机抽取一张卡片，求六班才艺表演项目是“乐器独奏”的概率；
（2）随机抽取两张卡片，请用树状图或列表法求小宏和小灿组合参加比赛的概率．（注：可以用A，B，C，D，E分别表示小怡，小宏，小童，小灿，小源的名字）
【解答】解：（1）随机抽取一张卡片，共有5种等可能结果，其中才艺表演项目是“乐器独奏”的共有3种，∴才艺表演项目是“乐器独奏”的概率＝．
（2）列表如下：
A
B
C
D
E
A
（A，B）
（A，C）
（A，D）
（A，E）
B
（B，A）
（B，C）
（B，D）
（B，E）
C
（C，A）
（C，B）
（C，D）
（C，E）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）
（D，E）
E
（E，A）
（E，B）
（E，C）
（E，D）
共有20种等可能的情况，其中小宏和小灿组合参加比赛的结果有2种，
所以P（小宏和小灿组合参加比赛）＝．
23．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC为⊙O的直径，⊙O的切线AP与CB的延长线交于点P．
（1）求证：∠PAB＝∠ACB；
（2）若AB＝12，cos∠ADB＝，求PB的长．
【解答】解：（1）证明：如图，连接OA，
∵AP为⊙O的切线，
∴OA⊥AP，
∴∠OAP＝90°，
∴∠OAB+∠PAB＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∴∠OBA+∠PAB＝90°，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠ACB+∠OBA＝90°，
∴∠PAB＝∠ACB；
（2）由（1）知∵∠PAB＝∠ACB，且∠ADB＝∠ACB，
∴∠PAB＝∠ACB＝∠ADB，
∴，
∵AB＝12，
∴AC＝16，
∴，
∴OB＝10，
过B作BF⊥AP于F，
∵∠ADB＝∠FAB，，
∴，
∴，
∴在Rt△ABF中，，
∵OA⊥AP，BF⊥AP，
∴BF∥OA，
∴△PBF∽△POA，
∴，
∴，
∴．
答：PB的长为．
24．如图，二次函数y＝﹣x2﹣x的图象经过△AOB的三个顶点，其中A（1，m），B（﹣2，n）
（1）求点A，B的坐标；
（2）在第三象限存在点C，使以A、O、B、C为顶点的四边形是平行四边形，求满足条件的点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，能否将抛物线y＝﹣x2﹣x平移后经过A、C两点，若能求出平移后经过A、C两点的拋物线的表达式，并写出平移过程．若不能，请说明理由．
【解答】解：（1）∵的图象过点A（1，m），
∴，
同理：，
∴A（1，﹣1），B（﹣2，﹣2）；
（2）如图，分别过△AOB的三个顶点作对边的平行线，三条平行线两两相交于点C1，C2，C3．
因此，四边形AOC1B，四边形AOBC2，四边形OBAC3为平行四边形．
∵O（0，0），A（1，﹣1），B（﹣2，﹣2），
∴C1（﹣3，﹣1），C2（﹣1，﹣3），C3（3，1），
因此，满足条件的点C坐标为（﹣3，﹣1），（﹣1，﹣3）．
（3）能．
①∵A（1，﹣1），C1（﹣3，﹣1），
设经过A，C1两点的抛物线的表达式为，
依题意，得，
解得，
∴经过A，C1两点的抛物线的表达式为，
∴该抛物线的顶点坐标为，而原抛物线顶点坐标为，
∴将原抛物线先向左平移个单位，再向上平移个单位即可获得符合条件的抛物线；
②当平移后的抛物线经过A，C2两点时，
∵OA∥BC2，OA＝BC2，O（0，0），A（1，﹣1），
∴将O点向右平移1个单位再向下平移1个单位使点O移到A点，这时点B随着原抛物线平移到C2点．
∴经过A，C2两点的抛物线的表达式为．即．
∴将原抛物线先向右平移1个单位，再向下平移1个单位即可获得符合条件的抛物线．
25．问题提出：
（1）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则tanA的值是 ．
（2）如图②，在正方形ABCD中，AB＝5，点E是平面上一动点，且BE＝2，连接CE，在CE上方作正方形EFGC，求线段CF的最大值．
问题解决：
（3）如图③，⊙O半径为6，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点A，B在⊙O上，点C在⊙O内，且tanA＝．当点A在圆上运动时，求线段OC的最小值．
【解答】解：（1）∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，
∴AC＝＝＝12，
∴tanA＝＝，
故答案为：；
（2）∵BE＝2，点B为定点，
∴点E在以B为圆心，BE长为半径的圆上运动，
∴当C、B、E三点共线，且E在CB的延长线上时，线段CE取得最大值，
∵在正方形ABCD中，AB＝5，
∴BC＝AB＝5，
∴CE最大＝BC+BE＝5+2＝7，
∵四边形EFGC是正方形，
∴CE最大时，CF最大，CF＝CE，
∴线段CF的最大值为：×7＝7；
（3）延长BC交⊙O于点F，连接AF，如图③所示：
∵∠B＝90°，
∴AF为⊙O的直径经过点O，AF＝2×6＝12，
∵tanA＝，
∴∠CAB、∠ACB为定值，
∴∠ACF为定值，
∴当OC⊥AF时，OC值最小，
设BC＝3x，则AB＝4x，x＞0，
∵OC⊥AF，OA＝OF，
∴FC＝AC＝＝＝5x，
∴BF＝CF+BC＝5x+3x＝8x，
在Rt△ABF中，AF2＝AB2+BF2，即122＝（4x）2+（8x）2，
解得：x2＝，
∴AC2＝（5x）2＝25×＝45，
∴在Rt△AOC中，OC＝＝＝3，
∴线段OC的最小值是3．
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日期：2020/7/17 10:57:46；用户：数学；邮箱：xays089@xyh.com；学号：37485887
2019-2020学年度某师大附中中考数学三模试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）（﹣）0＝（ ）
A．1 B．0 C．﹣ D．﹣3
2．（3分）如图是由5个小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）如图，AB∥CD，∠B＝80°，∠D＝45°，则∠E的度数为（ ）
A．34° B．35° C．36° D．37°
4．（3分）已知正比例函数y＝kx的图象经过第二、四象限，点P（m，n）是其图象上的点，且当﹣1≤m≤1时﹣2≤n≤2，则k的值为（ ）
A．﹣ B． C．﹣2 D．2
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．x2+x2＝x4 B．（x2）3＝x5
C．（x﹣3）2＝x2﹣9 D．2x3y2÷x2＝2xy2
6．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线，E是AC的中点，连接DE，若BC＝6，AD＝2，则DE＝（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）在同一平面直角坐标系内，若直线y＝2x+1与直线y＝kx﹣k的交点在第二象限，则k的取值范围是（ ）
A．k＜﹣1 B．﹣1＜k＜0 C．0＜k＜1 D．k＞1
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝m，BC＝6，点E在边CD上，且CE＝m．连接BE，将△BCE沿BE折叠，点C的对应点C'恰好落在边AD上，则m＝（ ）
A．3 B．2 C． D．5
9．（3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，且AB＝AC，∠ABC＝56°，⊙O的直径CD交AB于点E，则∠AED的度数为（ ）
A．99° B．100° C．101° D．102°
10．（3分）在平面直角坐标系中，点P的坐标为（1，2），将抛物线y＝x2﹣3x+2沿坐标轴平移一次，使其经过点P，则平移的最短距离为（ ）
A． B．1 C．5 D．
二、填空题（共4小题，每题3分，共12分）
11．（3分）比较大小：﹣ ﹣．
12．（3分）若正多边形的一个中心角为40°，则这个正多边形的一个内角等于 ．
13．（3分）如图，菱形OABC中，AB＝4，∠AOC＝30°，OB所在直线为反比例函数y＝的对称轴，当反比例函数y＝（x＜0）的图象经过A、C两点时，k的值为 ．
14．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝3，CD⊥AB于点D，点E是线段CD的一个动点，则BE+CE的最小值是 ．
三、解答题（共11小题，共78分，解答应写出过程）
15．计算：÷﹣|2﹣3|+（﹣）﹣3．
16．解方程：＝﹣1．
17．如图，已知△ABC，P为AB上一点，请用尺规作图的方法在AC上找一点Q，使得AQ+PQ＝AC（保留作图痕迹，不写作法）．
18．如图，∠C＝∠E，AC＝AE，点D在BC边上，∠1＝∠2，AC和DE相交于点O．求证：△ABC≌△ADE．
19．2020年伊始，全国发生了传播速度快、感染范围广、防控难度大的新冠肺炎疫情．根据教育部提出的2020年春节延期开学，“停课不停学”的相关要求，很多学校开展了线上授课相关工作．
为了更好地提高学生线上授课的效果，某中学进行了线上授课问卷调查．其中一项调查是：你认为影响师生互动的最主要因素是A．教师的授课理念；B．网络配麦等硬件问题；C．科目特点；D．学生的配合情况，针对这个题目，问卷时要求每位同学必须且只能选择其中一项．现随机抽取了若干名学生的调查问卷，将所得数据进行整理，制成如图条形统计图和扇形统计图．
请你根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）补全如图的条形统计图和扇形统计图；
（2）所抽取学生中认为影响师生互动最主要因素的众数为 ；
（3）已知该校有2400名学生，请你估计该校学生中认为影响师生互动的最主要因素是C．科目特点的有多少人？
20．在炎热的夏季，遮阳伞在我们的生活中随处可见．如图1，滑动调节式遮阳伞的立柱AC垂直于地面AB，点P为立柱上的滑动调节点，伞体的截面示意图为△PDE，F为PD中点，PD＝2m，CF＝1m，∠DPE＝22°．当点P位于初始位置P0时，点D与C重合（如图2）．
根据生活经验，当太阳光线与PE垂直时，遮阳效果最佳．已知太阳光线与地面的夹角为65°（如图3），为使遮阳效果最佳，点P需从P0上调多少米？（结果精确到0.1m）（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）
21．已知A，B两地相距200km，甲、乙两辆货车装满货物分别从A，B两地相向而行，图中l1，l2分别表示甲、乙两辆货车离A地的距离s（km）与行驶时间t（h）之间的函数关系．
请你根据以上信息，解答下列问题：
（1）分别求出直线l1，l2所对应的函数关系式；
（2）何时甲货车离B地的距离大于乙货车离B地的距离？
22．为了丰富校园生活，展现同学们英语表达的风采，某校组织了“英语风采大赛”，大赛共设置四个比赛项目．八年级六班的同学们踊跃报名，在“才艺表演”项目中，小怡报名表演古筝，小宏报名表演小提琴，小童报名表演笛子，小灿和小源报名唱英文歌曲．
为了取得良好的节目效果，体现公平公正．文体委员决定采用以下方法搭配组合节目：制作5张完全相同的卡片，正面分别写上报名参加比赛同学的姓名，将卡片反面朝上洗匀，然后随机抽取卡片，卡片正面是谁的名字，谁就代表班级参加比赛．
（1）随机抽取一张卡片，求六班才艺表演项目是“乐器独奏”的概率；
（2）随机抽取两张卡片，请用树状图或列表法求小宏和小灿组合参加比赛的概率．（注：可以用A，B，C，D，E分别表示小怡，小宏，小童，小灿，小源的名字）
23．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC为⊙O的直径，⊙O的切线AP与CB的延长线交于点P．
（1）求证：∠PAB＝∠ACB；
（2）若AB＝12，cos∠ADB＝，求PB的长．
24．如图，二次函数y＝﹣x2﹣x的图象经过△AOB的三个顶点，其中A（1，m），B（﹣2，n）
（1）求点A，B的坐标；
（2）在第三象限存在点C，使以A、O、B、C为顶点的四边形是平行四边形，求满足条件的点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，能否将抛物线y＝﹣x2﹣x平移后经过A、C两点，若能求出平移后经过A、C两点的拋物线的表达式，并写出平移过程．若不能，请说明理由．
25．问题提出：
（1）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则tanA的值是 ．
（2）如图②，在正方形ABCD中，AB＝5，点E是平面上一动点，且BE＝2，连接CE，在CE上方作正方形EFGC，求线段CF的最大值．
问题解决：
（3）如图③，⊙O半径为6，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点A，B在⊙O上，点C在⊙O内，且tanA＝．当点A在圆上运动时，求线段OC的最小值．
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）（﹣）0＝（ ）
A．1 B．0 C．﹣ D．﹣3
【解答】解：（﹣）0＝1．
故选：A．
2．（3分）如图是由5个小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：从正面看去，一共三列，左边有2竖列，中间有1竖列，右边是1竖列．
故选：C．
3．（3分）如图，AB∥CD，∠B＝80°，∠D＝45°，则∠E的度数为（ ）
A．34° B．35° C．36° D．37°
【解答】解：设CD与BE交于点F，如图所示：
∵AB∥CD，∠B＝80°，
∴∠EFC＝∠B＝80°，
∵∠EFC＝∠D+∠E，∠D＝45°，
∴∠E＝∠EFC﹣∠D＝80°﹣45°＝35°，
故选：B．
4．（3分）已知正比例函数y＝kx的图象经过第二、四象限，点P（m，n）是其图象上的点，且当﹣1≤m≤1时﹣2≤n≤2，则k的值为（ ）
A．﹣ B． C．﹣2 D．2
【解答】解：∵正比例函数y＝kx的图象经过第二、四象限，
∴k＜0，y随x的增大而减小，
∵点P（m，n）是其图象上的点，
∴km＝n，
∵当﹣1≤m≤1时﹣2≤n≤2，
∴当m＝﹣1时，n＝2；当m＝1时，n＝﹣2，
∴k＝﹣2
故选：C．
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．x2+x2＝x4 B．（x2）3＝x5
C．（x﹣3）2＝x2﹣9 D．2x3y2÷x2＝2xy2
【解答】解：A、x2+x2＝2x2，故此选项错误；
B、（x2）3＝x6，故此选项错误；
C、（x﹣3）2＝x2﹣6x+9，故此选项错误；
D、2x3y2÷x2＝2xy2，正确．
故选：D．
6．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线，E是AC的中点，连接DE，若BC＝6，AD＝2，则DE＝（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵AB＝AC，AD是△ABC的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°．
在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，AD＝2，CD＝BC＝3，
∴AC＝＝．
又∵E是AC的中点，∠ADC＝90°，
∴DE＝AC＝．
故选：C．
7．（3分）在同一平面直角坐标系内，若直线y＝2x+1与直线y＝kx﹣k的交点在第二象限，则k的取值范围是（ ）
A．k＜﹣1 B．﹣1＜k＜0 C．0＜k＜1 D．k＞1
【解答】解：解析式联立，解得：，
∵交点在第二象限
∴，解得﹣1＜k＜0
故选：B．
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝m，BC＝6，点E在边CD上，且CE＝m．连接BE，将△BCE沿BE折叠，点C的对应点C'恰好落在边AD上，则m＝（ ）
A．3 B．2 C． D．5
【解答】解：设AC'＝x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝6，CD＝AB＝m，∠A＝∠D＝90°．
∵将△BCE沿BE折叠，点C的对应点C'恰好落在边AD上，
∴BC'＝BC＝6，C'E＝CE＝m，DE＝CD﹣CE＝m﹣m＝m．
在Rt△ABC'中，由勾股定理得：AC'2+AB2＝BC'2，
即x2+m2＝62，
在Rt△DEC'中，由勾股定理得：C'E2＝DE2+DC'2，
即（m）2＝（m）2+（6﹣x）2，
化简得：3（6﹣x）2＝m2，
代入x2+m2＝62中得：3（6﹣x）2＝62﹣x2，
解得：x＝3，或x＝6．
当x＝3时，m＝3或﹣3（舍去）；
当x＝6时，m＝0（舍去）；
∴m＝3；
故选：A．
9．（3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，且AB＝AC，∠ABC＝56°，⊙O的直径CD交AB于点E，则∠AED的度数为（ ）
A．99° B．100° C．101° D．102°
【解答】解：连接AD，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝56°，
∴∠BAC＝180°﹣56°×2＝68°，
由圆周角定理得，∠ADC＝∠ABC＝56°，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠DAC＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣∠ADC＝34°，
∴∠AED＝∠BAC+∠ACD＝68°+34°＝102°，
故选：D．
10．（3分）在平面直角坐标系中，点P的坐标为（1，2），将抛物线y＝x2﹣3x+2沿坐标轴平移一次，使其经过点P，则平移的最短距离为（ ）
A． B．1 C．5 D．
【解答】解：y＝x2﹣3x+2＝（x﹣3）2﹣，
当沿水平方向平移时，纵坐标和P的纵坐标相同，把y＝2代入y＝x2﹣3x+2得：2＝x2﹣3x+2，
解得：x＝0或6，
平移的最短距离是1﹣0＝1，
当沿竖直方向平移时，横坐标和P的横坐标相同，把x＝1代入y＝x2﹣3x+2得：y＝×12﹣3×1+2＝﹣，
平移的最短距离是2+＝，
即平移的最短距离是1，
故选：B．
二、填空题（共4小题，每题3分，共12分）
11．（3分）比较大小：﹣ ＞ ﹣．
【解答】解：∵≈﹣1.41，
﹣＝﹣1.5，
∴﹣＞﹣．
故答案为：＞．
12．（3分）若正多边形的一个中心角为40°，则这个正多边形的一个内角等于 140° ．
【解答】解：∵正多边形的一个中心角为40°，
∴360°÷40°＝9，
∴这个正多边形是正九边形，
∴这个正九边形的一个内角等于：＝140°．
故答案为：140°．
13．（3分）如图，菱形OABC中，AB＝4，∠AOC＝30°，OB所在直线为反比例函数y＝的对称轴，当反比例函数y＝（x＜0）的图象经过A、C两点时，k的值为 ﹣4 ．
【解答】解：作CD⊥x轴于D，
∵菱形OABC中，∠AOC＝30°，
∴∠BOC＝15°，
∵OB所在直线为反比例函数y＝的对称轴，
∴∠BOD＝45°，
∴∠COD＝30°，
∵OC＝AB＝4，
∴OD＝OC＝2，CD＝OC＝2，
∴C（﹣2，2），
∵反比例函数y＝（x＜0）的图象经过C点，
∴k＝﹣2×2＝﹣4，
故答案为﹣4．
14．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝3，CD⊥AB于点D，点E是线段CD的一个动点，则BE+CE的最小值是 3 ．
【解答】解：如图，作EF⊥AC于F，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∵tanA＝，设AD＝a，CD＝3a，
∵AD2+CD2＝AC2，
∴a2+9a2＝100，
∴a2＝10，
∴a＝或﹣（舍去），
∴AD＝a＝，CD＝3a＝3，
∴sin∠ACD＝，
∴EF＝CE•sin∠ECF＝CE，
∴BE+CE＝BE+EF，
当B、E、F三点共线时，BE+CE＝BE+EF＝BF，
此时BF⊥AC，则根据垂线段最短性质知BE+CE＝BF值最小，
此时BF＝AB•sin∠A＝10×．
三、解答题（共11小题，共78分，解答应写出过程）
15．计算：÷﹣|2﹣3|+（﹣）﹣3．
【解答】解：原式＝+2﹣3+（﹣8）
＝+2﹣3﹣8
＝﹣11．
16．解方程：＝﹣1．
【解答】解：方程两边同乘以（x﹣2）（x+3）得（x+1）（x+3）＝2x（x﹣2）﹣（x﹣2）（x+3），
x2+4x+3＝2x2﹣4x﹣x2﹣x+6，
解得：，
经检验为原方程的根．
17．如图，已知△ABC，P为AB上一点，请用尺规作图的方法在AC上找一点Q，使得AQ+PQ＝AC（保留作图痕迹，不写作法）．
【解答】解：如图，点Q即为所求．
18．如图，∠C＝∠E，AC＝AE，点D在BC边上，∠1＝∠2，AC和DE相交于点O．求证：△ABC≌△ADE．
【解答】证明：∵∠ADC＝∠1+∠B，
即∠ADE+∠2＝∠1+∠B，
而∠1＝∠2，
∴∠ADE＝∠B，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（AAS）．
19．2020年伊始，全国发生了传播速度快、感染范围广、防控难度大的新冠肺炎疫情．根据教育部提出的2020年春节延期开学，“停课不停学”的相关要求，很多学校开展了线上授课相关工作．
为了更好地提高学生线上授课的效果，某中学进行了线上授课问卷调查．其中一项调查是：你认为影响师生互动的最主要因素是A．教师的授课理念；B．网络配麦等硬件问题；C．科目特点；D．学生的配合情况，针对这个题目，问卷时要求每位同学必须且只能选择其中一项．现随机抽取了若干名学生的调查问卷，将所得数据进行整理，制成如图条形统计图和扇形统计图．
请你根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）补全如图的条形统计图和扇形统计图；
（2）所抽取学生中认为影响师生互动最主要因素的众数为 学生的配合情况 ；
（3）已知该校有2400名学生，请你估计该校学生中认为影响师生互动的最主要因素是C．科目特点的有多少人？
【解答】解：（1）一共调查了6÷5%＝120名学生，
选择D的学生数有120﹣18﹣36﹣6＝60，
A：15%，B：30%；
补全如图的条形统计图和扇形统计图；
（2）所抽取学生中认为影响师生互动最主要因素的众数为：学生的配合情况，
故答案为：学生的配合情况；
（3）2400×5%＝120（人）
答：该校学生中认为影响师生互动的最主要因素是C．科目特点的约120人．
20．在炎热的夏季，遮阳伞在我们的生活中随处可见．如图1，滑动调节式遮阳伞的立柱AC垂直于地面AB，点P为立柱上的滑动调节点，伞体的截面示意图为△PDE，F为PD中点，PD＝2m，CF＝1m，∠DPE＝22°．当点P位于初始位置P0时，点D与C重合（如图2）．
根据生活经验，当太阳光线与PE垂直时，遮阳效果最佳．已知太阳光线与地面的夹角为65°（如图3），为使遮阳效果最佳，点P需从P0上调多少米？（结果精确到0.1m）（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）
【解答】解：已知当点P位于初始位置P0时，CP0＝2，
如图3，当点P上调至图中的位置时，
∵∠1＝90°，∠CAB＝90°，∠ABE＝65°，∠APE＝115°，
∴∠CPE＝180°﹣∠APE＝65°，
∵∠DPE＝22°，
∴∠CPF＝43°，
∵点F是DP的中点，DP＝2，
∴PF＝PD＝1，
∵CF＝1，
∴，△CPF为等腰三角形，
过点F作FG⊥CP于点G，
∴在Rt△FGP中，GP＝PF•cos43°＝1×0.73＝0.73，
∴CP＝2GP＝1.46，
∴P0P＝CP0﹣CP＝2﹣1.46≈0.5
所以点P需上调0.5m．
21．已知A，B两地相距200km，甲、乙两辆货车装满货物分别从A，B两地相向而行，图中l1，l2分别表示甲、乙两辆货车离A地的距离s（km）与行驶时间t（h）之间的函数关系．
请你根据以上信息，解答下列问题：
（1）分别求出直线l1，l2所对应的函数关系式；
（2）何时甲货车离B地的距离大于乙货车离B地的距离？
【解答】解：（1）设l1对应的函数关系式为s1＝k1t，
∵l1过点（6，200），
∴200＝6k，得k1＝，
即l1对应的函数关系式为s1＝t；
设l2对应的函数关系式为s2＝k2t+200，
∵l2过点（5，0），
∴0＝5k2+200，得k2＝﹣40，
即l2所对应的函数关系式为s2＝﹣40t+200；
（2）由题意可得，
s1＜s2，
则t＜﹣40t+200，
解得，，
答：前甲货车离B地的距离大于乙货车离B地的距离
22．为了丰富校园生活，展现同学们英语表达的风采，某校组织了“英语风采大赛”，大赛共设置四个比赛项目．八年级六班的同学们踊跃报名，在“才艺表演”项目中，小怡报名表演古筝，小宏报名表演小提琴，小童报名表演笛子，小灿和小源报名唱英文歌曲．
为了取得良好的节目效果，体现公平公正．文体委员决定采用以下方法搭配组合节目：制作5张完全相同的卡片，正面分别写上报名参加比赛同学的姓名，将卡片反面朝上洗匀，然后随机抽取卡片，卡片正面是谁的名字，谁就代表班级参加比赛．
（1）随机抽取一张卡片，求六班才艺表演项目是“乐器独奏”的概率；
（2）随机抽取两张卡片，请用树状图或列表法求小宏和小灿组合参加比赛的概率．（注：可以用A，B，C，D，E分别表示小怡，小宏，小童，小灿，小源的名字）
【解答】解：（1）随机抽取一张卡片，共有5种等可能结果，其中才艺表演项目是“乐器独奏”的共有3种，∴才艺表演项目是“乐器独奏”的概率＝．
（2）列表如下：
A
B
C
D
E
A
（A，B）
（A，C）
（A，D）
（A，E）
B
（B，A）
（B，C）
（B，D）
（B，E）
C
（C，A）
（C，B）
（C，D）
（C，E）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）
（D，E）
E
（E，A）
（E，B）
（E，C）
（E，D）
共有20种等可能的情况，其中小宏和小灿组合参加比赛的结果有2种，
所以P（小宏和小灿组合参加比赛）＝．
23．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC为⊙O的直径，⊙O的切线AP与CB的延长线交于点P．
（1）求证：∠PAB＝∠ACB；
（2）若AB＝12，cos∠ADB＝，求PB的长．
【解答】解：（1）证明：如图，连接OA，
∵AP为⊙O的切线，
∴OA⊥AP，
∴∠OAP＝90°，
∴∠OAB+∠PAB＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∴∠OBA+∠PAB＝90°，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠ACB+∠OBA＝90°，
∴∠PAB＝∠ACB；
（2）由（1）知∵∠PAB＝∠ACB，且∠ADB＝∠ACB，
∴∠PAB＝∠ACB＝∠ADB，
∴，
∵AB＝12，
∴AC＝16，
∴，
∴OB＝10，
过B作BF⊥AP于F，
∵∠ADB＝∠FAB，，
∴，
∴，
∴在Rt△ABF中，，
∵OA⊥AP，BF⊥AP，
∴BF∥OA，
∴△PBF∽△POA，
∴，
∴，
∴．
答：PB的长为．
24．如图，二次函数y＝﹣x2﹣x的图象经过△AOB的三个顶点，其中A（1，m），B（﹣2，n）
（1）求点A，B的坐标；
（2）在第三象限存在点C，使以A、O、B、C为顶点的四边形是平行四边形，求满足条件的点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，能否将抛物线y＝﹣x2﹣x平移后经过A、C两点，若能求出平移后经过A、C两点的拋物线的表达式，并写出平移过程．若不能，请说明理由．
【解答】解：（1）∵的图象过点A（1，m），
∴，
同理：，
∴A（1，﹣1），B（﹣2，﹣2）；
（2）如图，分别过△AOB的三个顶点作对边的平行线，三条平行线两两相交于点C1，C2，C3．
因此，四边形AOC1B，四边形AOBC2，四边形OBAC3为平行四边形．
∵O（0，0），A（1，﹣1），B（﹣2，﹣2），
∴C1（﹣3，﹣1），C2（﹣1，﹣3），C3（3，1），
因此，满足条件的点C坐标为（﹣3，﹣1），（﹣1，﹣3）．
（3）能．
①∵A（1，﹣1），C1（﹣3，﹣1），
设经过A，C1两点的抛物线的表达式为，
依题意，得，
解得，
∴经过A，C1两点的抛物线的表达式为，
∴该抛物线的顶点坐标为，而原抛物线顶点坐标为，
∴将原抛物线先向左平移个单位，再向上平移个单位即可获得符合条件的抛物线；
②当平移后的抛物线经过A，C2两点时，
∵OA∥BC2，OA＝BC2，O（0，0），A（1，﹣1），
∴将O点向右平移1个单位再向下平移1个单位使点O移到A点，这时点B随着原抛物线平移到C2点．
∴经过A，C2两点的抛物线的表达式为．即．
∴将原抛物线先向右平移1个单位，再向下平移1个单位即可获得符合条件的抛物线．
25．问题提出：
（1）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则tanA的值是 ．
（2）如图②，在正方形ABCD中，AB＝5，点E是平面上一动点，且BE＝2，连接CE，在CE上方作正方形EFGC，求线段CF的最大值．
问题解决：
（3）如图③，⊙O半径为6，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点A，B在⊙O上，点C在⊙O内，且tanA＝．当点A在圆上运动时，求线段OC的最小值．
【解答】解：（1）∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，
∴AC＝＝＝12，
∴tanA＝＝，
故答案为：；
（2）∵BE＝2，点B为定点，
∴点E在以B为圆心，BE长为半径的圆上运动，
∴当C、B、E三点共线，且E在CB的延长线上时，线段CE取得最大值，
∵在正方形ABCD中，AB＝5，
∴BC＝AB＝5，
∴CE最大＝BC+BE＝5+2＝7，
∵四边形EFGC是正方形，
∴CE最大时，CF最大，CF＝CE，
∴线段CF的最大值为：×7＝7；
（3）延长BC交⊙O于点F，连接AF，如图③所示：
∵∠B＝90°，
∴AF为⊙O的直径经过点O，AF＝2×6＝12，
∵tanA＝，
∴∠CAB、∠ACB为定值，
∴∠ACF为定值，
∴当OC⊥AF时，OC值最小，
设BC＝3x，则AB＝4x，x＞0，
∵OC⊥AF，OA＝OF，
∴FC＝AC＝＝＝5x，
∴BF＝CF+BC＝5x+3x＝8x，
在Rt△ABF中，AF2＝AB2+BF2，即122＝（4x）2+（8x）2，
解得：x2＝，
∴AC2＝（5x）2＝25×＝45，
∴在Rt△AOC中，OC＝＝＝3，
∴线段OC的最小值是3．
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日期：2020/7/17 10:57:46；用户：数学；邮箱：xays089@xyh.com；学号：37485887
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