第18讲 解直角三角形

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知识点一：锐角三角函数的定义
关键点拨与对应举例
1.锐角三角函数
正弦: sinA＝eq \f(∠A的对边,斜边)＝eq \f(a,c)
余弦: csA＝eq \f(∠A的邻边,斜边)＝eq \f(b,c)
正切: tanA＝eq \f(∠A的对边,∠A的邻边)＝eq \f(a,b).
根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.
2.特殊角的三角函数值
度数
三角函数
30°
45°
60°
sinA
csA
tanA
1
知识点二 ：解直角三角形
3.解直角三角形的概念
在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．
科学选择解直角三角形的方法口诀：
已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；
已知直边求直边，理所当然用正切；
已知两边求一边，勾股定理最方便；
已知两边求一角，函数关系要记牢；
已知锐角求锐角，互余关系不能少；
已知直边求斜边，用除还需正余弦.
例：在Rt△ABC中，已知a=5,sinA=30°，则c=10,b=5.
4.解直角三角形的常用关系
(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；
(2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；
(3)边角之间的关系：sinA＝=csB=eq \f(a,c)，csA＝sinB=eq \f(b,c)，
tanA＝eq \f(a,b).
知识点三 ：解直角三角形的应用
5.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角
(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．（如图①）
(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示． 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα. （如图②）
(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．（如图③）
解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：
叠合式 （2）背靠式
解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解.
6.解直角三角形实际应用的一般步骤
(1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；
(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；
(3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；
(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．