第15讲 三角形的基本知识及全等三角形2

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知识点一：三角形的分类及性质
关键点拨与对应举例
1.三角形的分类
（1）按角的关系分类 （2）按边的关系分类

失分点警示：
在运用分类讨论思想计算等腰三角形周长时，必须考虑三角形三边关系.
例：等腰三角形两边长分别是3和6，则该三角形的周长为15.
2.三边关系
三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
3.角的关系
（1）内角和定理：
①三角形的内角和等180°；
②推论：直角三角形的两锐角互余.
（2）外角的性质：
①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和.
②三角形的任意一个外角大于任何和它不相邻的内角.
利用三角形的内、外角的性质求角度时，若所给条件含比例，倍分关系等，列方程求解会更简便.有时也会结合平行、折叠、等腰（边）三角形的性质求解.
4.三角形中的重要线段
四线
性 质
（1）角平分线、高结合求角度时，注意运用三角形的内角和为180°这一隐含条件.
（2）当同一个三角形中出现两条高，求长度时，注意运用面积这个中间量来列方才能够求解.
角平分线
角平线上的点到角两边的距离相等
三角形的三条角平分线的相交于一点（内心）
中线
将三角形的面积等分
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
高
锐角三角形的三条高相交于三角形内部；直角三角形的三条高相交于直角顶点；钝角三角形的三条高相交于三角形的外部
中位线
平行于第三边，且等于第三边的一半
5. 三角形中内、外角与角平分线的规律总结
如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，则∠α=∠BAC-∠CAE=(180°-∠B-∠C）-（90°-∠C）=(∠C-∠B）；
如图②，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，则有∠O=∠A+90°；
如图③，BO、CO分别为∠ABC、∠ACD、∠OCD的平分线，则∠O=∠A，∠O’=∠O；
如图④，BO、CO分别为∠CBD、∠BCE的平分线，则∠O=90°-∠A.
对于解答选择、填空题，可以直接通过结论解题，会起到事半功倍的效果.
知识点二 ：三角形全等的性质与判定
6.全等三角形的性质
(1)全等三角形的对应边、对应角相等．
(2)全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等．
(3)全等三角形的周长等、面积等．
失分点警示：运用全等三角形的性质时，要注意找准对应边与对应角.
7.三角形全等的判定
一般三角形全等
SSS（三边对应相等）
SAS（两边和它们的夹角对应相等）
ASA（两角和它们的夹角对应相等）
AAS（两角和其中一个角的对边对应相等）
失分点警示
如图，SSA和AAA不能判定两个三角形全等.
直角三角形全等
(1)斜边和一条直角边对应相等（HL）
(2)证明两个直角三角形全等同样可以用 SAS,ASA和AAS.
8.全等三角形的运用
（1）利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度：将特征的边或角放到两个全等的三角形中，通过证明全等得到结论.在寻求全等的条件时，注意公共角、公共边、对顶角等银行条件.
（2）全等三角形中的辅助线的作法：
①直接连接法：如图①，连接公共边，构造全等.
②倍长中线法：用于证明线段的不等关系，如图②，由SAS可得△ACD≌△EBD，则AC=BE.在△ABE中，AB+BE＞AE，即AB+AC＞2AD.
③截长补短法：适合证明线段的和差关系，如图③、④.
例：
如图，在△ABC中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，则CE=3.