第17讲 相似三角形

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知识点一：比例线段
关键点拨与对应举例
比例
线段
在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．
列比例等式时，注意四条线段的大小顺序，防止出现比例混乱.
2.比例
的基本性质
(1)基本性质：⇔ ad＝bc；（b、d≠0）
(2)合比性质：⇔＝；（b、d≠0）
(3)等比性质：＝…＝＝k(b＋d＋…＋n≠0)⇔
＝k.（b、d、···、n≠0）
已知比例式的值，求相关字母代数式的值，常用引入参数法，将所有的量都统一用含同一个参数的式子表示，再求代数式的值，也可以用给出的字母中 的一个表示出其他的字母，再代入求解.如下题可设a=3k,b=5k,再代入所求式子，也可以把原式变形得a=3/5b代入求解.
例：若，则.
3.平行线分线段成比例定理
（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线 段成比例.即如图所示，若l3∥l4∥l5，则.
利用平行线所截线段成比例求线段长或线段比时，注意根据图形列出比例等式，灵活运用比例基本性质求解.
例：如图，已知D，E分别是△ABC的边BC和AC上的点，AE=2，CE=3，要使DE∥AB，那么BC：CD应等于.
（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)，所得的对应线段成比例.
即如图所示，若AB∥CD，则.
（3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似．
如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC.
4.黄金分割
点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果eq \f(AC,AB)＝=eq \f(\r(5)－1,2)≈0.618，那么线段AB被点C黄金分割．其中点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．
例：把长为10cm的线段进行黄金分割，那么较长线段长为5(－1)cm．
知识点二 ：相似三角形的性质与判定
5.相似三角形的判定
(1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA).
如图，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，则△ABC∽△DEF.
判定三角形相似的思路：①条件中若有平行
线，可用平行线找出相等的角而判定；②条
件中若有一对等角，可再找一对等角或再找
夹这对等角的两组边对应成比例；③条件中
若有两边对应成比例可找夹角相等；④条件
中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证
明直角边和斜边对应成比例；⑤条件中若有
等腰关系，可找顶角相等或找一对底角相等
或找底、腰对应成比例.
(2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 如图，若∠A＝∠D，，则△ABC∽△DEF.
(3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如图，若，则△ABC∽△DEF.
6.相似
三角形的性质
(1)对应角相等，对应边成比例．
(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．
(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比．
例：(1)已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为2，则△ABC与△DEF的面积之比为9：4.
(2) 如图，DE∥BC， AF⊥BC,已知S△ADE:S△ABC=1:4，则AF:AG=1：2.
7.相似三角形的基本模型
（1）熟悉利用利用相似求解问题的基本图形，可以迅速找到解题思路，事半功倍.
（2）证明等积式或者比例式的一般方法：经常把等积式化为比例式，把比例式的四条线段分别看做两个三角形的对应边.然后，通过证明这两个三角形相似，从而得出结果.