2021年山东省济南市平阴县中考数学二模试卷

这是一份2021年山东省济南市平阴县中考数学二模试卷，共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年山东省济南市平阴县中考数学二模试卷
一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）
1．（4分）绝对值等于2的数是（　　）
A．2 B．﹣2 C． D．±2
2．（4分）下列各图中，∠1与∠2互为余角的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（4分）3.2021年4月20日，济南增选玫瑰为市花，“荷谐玫好”双市花来了！济南市计划栽植玫瑰175万株，美化城市景观、提升生态品质，满足人民对优美生态环境的需求，让更多市民在家门口欣赏到玫瑰，闻到花香，175万用科学记数法表示正确的是（　　）
A．175×104 B．17.5×105 C．1.75×106 D．0.175×107
4．（4分）有6个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（　　）

A． B． C． D．
5．（4分）如图是我国几家银行的标志，其中即是轴对称图形又是中心对称图形的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．（4分）下列计算结果正确的是（　　）
A．a4•a2＝a8 B．（a5）2＝a7
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（ab）2＝a2b2
7．（4分）若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝0有实数根，则k的取值范围为（　　）
A．k≥0 B．k≥0且k≠2 C．k≥ D．k≥且k≠2
8．（4分）为庆祝建党100周年的校园歌唱比赛中，11名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩取前5名进入决赛．如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小明需要知道这11名同学成绩的（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
9．（4分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝x﹣k与y＝（k为常数，且k≠0）的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
10．（4分）如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A′B′C′的位置．已知△ABC的面积为16，阴影部分三角形的面积9．若AA′＝1，则A′D等于（　　）

A．2 B．3 C．4 D．
11．（4分）将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，则CD的长度是（　　）

A．5 B． C．10﹣ D．15﹣
12．（4分）如图，将矩形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），点C在x轴上，点D（3，1）在BC上，将矩形OABC沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E．若抛物线y＝ax2﹣4ax+10（a≠0且a为常数）的顶点落在△ADE的内部，则a的取值范围是（　　）

A． B． C． D．
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
13．（4分）分解因式：am2﹣9a＝　 　．
14．（4分）若一个多边形的每个内角都为135°，则它的边数为　 　．
15．（4分）若代数式与代数式的值相等，则x＝　 　．
16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，点D是AB的中点，以A、B为圆心，AD、BD长为半径画弧，分别交AC、BC于点E、F，则图中阴影部分的面积为　 　．

17．（4分）如图，已知A地在B地正南方3千米处，甲乙两人同时分别从A、B两地向正北方向匀速直行，他们的距离s（千米）与所用的时间t（小时）之间的函数关系分别如图中的射线OC和ED，当他们行走4小时后，他们之间的距离为　 　千米．

18．（4分）如图，等腰△ABC中，CA＝CB＝4，∠ACB＝120°，点D在线段AB上运动（不与A、B重合），将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CAQ，给出下列结论：①CD＝CP＝CQ；②∠PCQ的大小不变；③△PCQ面积的最小值为；④当点D在AB的中点时，△PDQ是等边三角形；⑤当PQ⊥BQ时，AD的长为．其中所有正确结论的序号是　 　．

三、解答题：（本大题共9个小题，78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算：32+（2﹣π）0﹣2cos45°．
20．（6分）解不等式组：，并写出它的所有整数解．
21．（6分）如图，将等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线l上，过A，B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为D，E，求证：BE＝DC．

22．（8分）为了解某校九年级男生1000米跑的水平，从中随机抽取部分男生进行测试，并把测试成绩分为A、B、C、D四个等次，绘制成如图所示的不完整的统计图，请你依图解答下列问题：

（1）a＝　 　，b＝　 　，c═　 　，
（2）请将条形统计图补充完整，并计算表示C等次的扇形所对的圆心角的度数为＝　 　，
（3）学校决定从A等次的甲、乙、丙、丁四名男生中，随机选取两名男生参加全市中学生1000米跑比赛，请用列表法或画树状图法，求甲、乙两名男生同时被选中的概率．
23．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E．
（1）求证：AC是⊙D的切线；
（2）若CE＝2，求⊙D的半径．

24．（10分）我县某小区积极响应国家号召，落实“垃圾分类回收，科学处理”的政策，准备购买A、B两种型号的垃圾分类回收箱共20只，放在小区各个合适位置，以方便进行垃圾分类投放．小区物业共支付费用4240元，A、B型号价格信息如表：
型号
价格
A型
200元/只
B型
240元/只
（1）请问小区物业购买A型和B型垃圾回收箱各是多少只？
（2）因受到居民欢迎，物业准备再次购进A、B两种型号的垃圾分类回收箱共40只，总费用不超过9000元，那么物业至少购进A型号回收箱多少只？
25．（10分）如图1，反比例函数图象经过等边△OAB的一个顶点B，点A坐标为（2，0），过点B作BM⊥x轴，垂足为M．
（1）求点B的坐标和k的值；
（2）若将△ABM沿直线AB翻折，得到△ABM'，判断该反比例函数图象是从点M'的上方经过，还是从点M'的下方经过，又或是恰好经过点M'，并说明理由；
（3）如图2，在x轴上取一点A1，以AA1为边长作等边△AA1B1，恰好使点B1落在该反比例函数图象上，连接BB1，求△ABB1的面积．

26．（12分）如图1，Rt△ABC中，∠C＝90°，点E是AB边上一点，且点E不与A、B重合，ED⊥AC于点D．
（1）当sinB＝时，
①求证：BE＝2CD；
②当△ADE绕点A旋转到如图2的位置时（60°＜∠CAD＜90°），BE＝2CD是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（2）当sinB＝时，将△ADE绕点A旋转到∠DEB＝90°，若AC＝10，AD＝2，请直接写出线段CD的长．

27．（12分）如图1，二次函数y＝ax2+bx﹣2（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣4，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求这个二次函数的表达式：
（2）点M在该抛物线的对称轴上，当△ACM是直角三角形时，求点M的坐标；
（3）如图2，点D在y轴上，且CD＝OA，连接AD，点E、F分别是线段OA，AD上的动点，求EF+OF的最小值．


2021年山东省济南市平阴县中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）
1．（4分）绝对值等于2的数是（　　）
A．2 B．﹣2 C． D．±2
【分析】直接利用绝对值的定义得出答案．
【解答】解：绝对值等于2的数是±2．
故选：D．
2．（4分）下列各图中，∠1与∠2互为余角的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．依此定义结合图形即可求解．
【解答】解：四个选项中，只有选项C满足∠1+∠2＝90°，
即选项C中，∠1与∠2互为余角．
故选：C．
3．（4分）3.2021年4月20日，济南增选玫瑰为市花，“荷谐玫好”双市花来了！济南市计划栽植玫瑰175万株，美化城市景观、提升生态品质，满足人民对优美生态环境的需求，让更多市民在家门口欣赏到玫瑰，闻到花香，175万用科学记数法表示正确的是（　　）
A．175×104 B．17.5×105 C．1.75×106 D．0.175×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：175万＝1.75×106，
故选：C．
4．（4分）有6个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据主视图是从正面看得到的图形，可得答案．
【解答】解：从正面看第一层三个小正方形，第二层左边一个小正方形，右边一个小正方形．
故选：C．
5．（4分）如图是我国几家银行的标志，其中即是轴对称图形又是中心对称图形的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：中国银行标志：既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
中国工商银行标志：既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
中国人民银行标志：是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
中国农业银行标志：是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
中国建设银行标志：不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
故选：A．
6．（4分）下列计算结果正确的是（　　）
A．a4•a2＝a8 B．（a5）2＝a7
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（ab）2＝a2b2
【分析】运用同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，完全平方公式运算即可．
【解答】解：A．a4•a2＝a6，故A错误；
B．（a5）2＝a10，故B错误；
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故C错误；
D．（ab）2＝a2b2，故D正确，
故选：D．
7．（4分）若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝0有实数根，则k的取值范围为（　　）
A．k≥0 B．k≥0且k≠2 C．k≥ D．k≥且k≠2
【分析】先根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k﹣2≠0且△＝（﹣2k）2﹣4（k﹣2）k≥0，然后求出两不等式组的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得k﹣2≠0且△＝（﹣2k）2﹣4（k﹣2）k≥0，
解得k≥0且k≠2．
故选：B．
8．（4分）为庆祝建党100周年的校园歌唱比赛中，11名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩取前5名进入决赛．如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小明需要知道这11名同学成绩的（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【分析】由于比赛取前5名参加决赛，共有11名选手参加，根据中位数的意义分析即可．
【解答】解：11个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有6个数，
故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了．
故选：B．
9．（4分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝x﹣k与y＝（k为常数，且k≠0）的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据题目中的函数解析式，利用分类讨论的方法可以判断哪个选项中图象是正确的，本题得以解决．
【解答】解：∵函数y＝x﹣k与y＝（k为常数，且k≠0）
∴当k＞0时，y＝x﹣k经过第一、三、四象限，y＝经过第一、三象限，故选项A符合题意，选项B不符合题意，
当k＜0时，y＝x﹣k经过第一、二、三象限，y＝经过第二、四象限，故选项C、D不符合题意，
故选：A．
10．（4分）如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A′B′C′的位置．已知△ABC的面积为16，阴影部分三角形的面积9．若AA′＝1，则A′D等于（　　）

A．2 B．3 C．4 D．
【分析】由S△ABC＝16、S△A′EF＝9且AD为BC边的中线知S△A′DE＝S△A′EF＝，S△ABD＝S△ABC＝8，根据△DA′E∽△DAB知（）2＝，据此求解可得．
【解答】解：设A′B′交BC于E，A′C′交BC于F．
∵S△ABC＝16、S△A′EF＝9，且AD为BC边的中线，
∴S△A′DE＝S△A′EF＝，S△ABD＝S△ABC＝8，
∵将△ABC沿BC边上的中线AD平移得到△A'B'C'，
∴A′E∥AB，
∴△DA′E∽△DAB，
则（）2＝，即（）2＝，
解得A′D＝3或A′D＝﹣（舍），
故选：B．

11．（4分）将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，则CD的长度是（　　）

A．5 B． C．10﹣ D．15﹣
【分析】过点B作BM⊥FD于点M，根据题意可求出BC的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF＝45°，进而可得出答案．
【解答】解：过点B作BM⊥FD于点M，

在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，
∴∠ABC＝30°，BC＝10×tan60°＝10 ，
∵AB∥CF，
∴BM＝BC×sin30°＝10 ×＝5 ，
CM＝BC×cos30°＝15，
在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，
∴∠EDF＝45°，
∴MD＝BM＝5 ，
∴CD＝CM﹣MD＝15﹣5 ．
故选：D．
12．（4分）如图，将矩形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），点C在x轴上，点D（3，1）在BC上，将矩形OABC沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E．若抛物线y＝ax2﹣4ax+10（a≠0且a为常数）的顶点落在△ADE的内部，则a的取值范围是（　　）

A． B． C． D．
【分析】先判断出△AEM∽EDN得出ME，EN，AB，再过点E作EF⊥AB于F，EF分别与 AD、OC交于点G、H，过点D作DP⊥EF于点P，首先利用勾股定理求得线段DP的长，从而求得线段BF的长，再利用△AFG∽△ABD得到比例线段求得线段FG的长，最后求得a的取值范围．
【解答】解：如图，
过点E作EM⊥y轴于M，交BC延长线于N，
∵∠AME＝∠DNE＝90°，∠AEM＝∠EDN，
∴△AEM∽EDN，
∴①，
设AM＝BN＝m，ME＝n，
∴EN＝MN﹣ME＝3﹣n，DN＝BN﹣BD＝m﹣3，
代入①得，②，
根据勾股定理得，m2+n2＝（3）2③，
由②③得n1＝3，m1＝0（舍），
n2＝2，m2＝5，
∵点A的坐标为（0，4），点D（3，1），
∴DE＝BD＝3，
∴AB＝3，AF＝2，E（2，﹣1）．
过点E作EF⊥AB于F，EF分别与AD、OC交于点G、H，过点D作DP⊥EF于点P，则EP＝PH+EH＝DC+EH＝2，
∵∠AFG＝∠ABD＝90°，∠FAG＝∠BAD，
∴△AFG∽△ABD．
∴，
即：＝，
∴FG＝2．
∴EG＝EF﹣FG＝3．
∴点G的纵坐标为2．
∵y＝ax2﹣4ax+10＝a（x﹣2）2+（10﹣20a），
∴此抛物线y＝ax2﹣4ax+10的顶点必在直线x＝2上．
又∵抛物线的顶点落在△ADE的内部，
∴此抛物线的顶点必在EG上．
∴﹣1＜10﹣20a＜2，
∴．
故选：B．

二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
13．（4分）分解因式：am2﹣9a＝　a（m+3）（m﹣3）　．
【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：am2﹣9a
＝a（m2﹣9）
＝a（m+3）（m﹣3）．
故答案为：a（m+3）（m﹣3）．
14．（4分）若一个多边形的每个内角都为135°，则它的边数为　8　．
【分析】由一个正多边形的每个内角都为135°，可求得其外角的度数，继而可求得此多边形的边数，则可求得答案．
【解答】：∵一个正多边形的每个内角都为135°，
∴这个正多边形的每个外角都为：180°﹣135°＝45°，
∴这个多边形的边数为：360°÷45°＝8，
故答案为：8．
15．（4分）若代数式与代数式的值相等，则x＝　﹣1　．
【分析】根据题意列出方程，再方程两边都乘以x（x﹣1）得出2x＝x﹣1，求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：根据题意得：＝，
方程两边都乘以x（x﹣1），得2x＝x﹣1，
解得：x＝﹣1，
检验：当x＝﹣1时，x（x﹣1）≠0，
所以x＝﹣1是原方程的解，
即当x＝﹣1时，代数式与代数式的值相等，
故答案为：﹣1．
16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，点D是AB的中点，以A、B为圆心，AD、BD长为半径画弧，分别交AC、BC于点E、F，则图中阴影部分的面积为　2﹣　．

【分析】根据S阴＝S△ABC﹣2•S扇形ADE，计算即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，CA＝CB＝2，
∴AB＝2，∠A＝∠B＝45°，
∵D是AB的中点，
∴AD＝DB＝，
∴S阴＝S△ABC﹣2•S扇形ADE＝×2×2﹣2×＝2﹣，
故答案为：2﹣．
17．（4分）如图，已知A地在B地正南方3千米处，甲乙两人同时分别从A、B两地向正北方向匀速直行，他们的距离s（千米）与所用的时间t（小时）之间的函数关系分别如图中的射线OC和ED，当他们行走4小时后，他们之间的距离为　3　千米．

【分析】利用待定系数法求出甲、乙行驶距离s与时间t间函数关系式，令t＝4可得二者之间的距离差．
【解答】解：根据题意，知OC表示甲行驶距离s与时间t间函数关系，
ED表示表示乙行驶距离s与时间t间函数关系，
设s甲＝kt，
由图象可知OC过点（2，4），代入解析式得：2k＝4，即k＝2，
故s甲＝2t，
设s乙＝mt+n，
由图象可知，ED过（0，3）、（2，4）两点，
代入解析式得；，
解得：，
故s乙＝t+3，
当t＝4时，s甲﹣s乙＝8﹣5＝3（km），
故答案为：3．
18．（4分）如图，等腰△ABC中，CA＝CB＝4，∠ACB＝120°，点D在线段AB上运动（不与A、B重合），将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CAQ，给出下列结论：①CD＝CP＝CQ；②∠PCQ的大小不变；③△PCQ面积的最小值为；④当点D在AB的中点时，△PDQ是等边三角形；⑤当PQ⊥BQ时，AD的长为．其中所有正确结论的序号是　①②④⑤　．

【分析】①由折叠直接得到结论；
②由折叠的性质求出∠ACP+∠BCQ＝120°，再用周角的意义求出∠PCQ＝120°；
③先作出△PCQ的边PC上的高，用三角函数求出QE＝CQ，得到S△PCQ＝CD2，判断出△PCQ面积最小时，点D的位置，求出最小的CD＝CF，即可；
④先判断出△APD是等边三角形，△BDQ是等边三角形，再求出∠PDQ＝60°，即可．
⑤当D，C，Q共线时，可以证明∠PQB＝90°，求出此时AD的值即可．
【解答】解：①∵将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ，
∴CP＝CD＝CQ．故①正确；
②∵将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ，
∴∠ACP＝∠ACD，∠BCQ＝∠BCD，
∴∠ACP+∠BCQ＝∠ACD+∠BCD＝∠ACB＝120°，
∴∠PCQ＝360°﹣（∠ACP+BCQ+∠ACB）＝360°﹣（120°+120°）＝120°，
∴∠PCQ的大小不变．故②正确；
③如图1中，

过点Q作QE⊥PC交PC延长线于E，
∵∠PCQ＝120°，
∴∠QCE＝60°，
在Rt△QCE中，sin∠QCE＝，
∴QE＝CQ×sin∠QCE＝CQ×sin60°＝CQ，
∵CP＝CD＝CQ
∴S△PCQ＝CP×QE＝CP×CQ＝CD2，
∴CD最短时，S△PCQ最小，
即：CD⊥AB时，CD最短，
过点C作CF⊥AB，此时CF就是最短的CD，
∵AC＝BC＝4，∠ACB＝120°，
∴∠ABC＝30°，
∴CF＝BC＝2，
即：CD最短为2，
∴S△PCQ最小＝CD2＝×22＝，故③错误，
④∵将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ，
∴AD＝AP，∠DAC＝∠PAC，
∵∠DAC＝30°，
∴∠PAD＝60°，
∴△APD是等边三角形，
∴PD＝AD，∠ADP＝60°，
同理：△BDQ是等边三角形，
∴DQ＝BD，∠BDQ＝60°，
∴∠PDQ＝60°，
∵当点D在AB的中点，
∴AD＝BD，
∴PD＝DQ，
∴△DPQ是等边三角形．故④正确，
⑤如图2中，

当D，C，Q共线时，∵BQ＝BD，∠QBD＝60°，
∴△BDQ是等边三角形，
∴∠QDB＝∠PAD＝60°，
∴PA∥DQ，
∴∠ACD＝∠PAC＝∠CAD＝30°，
∴PA＝AD＝CD＝PC，
∴四边形ADCP是菱形，
∴PA＝CD＝CQ，
∴四边形APQC是平行四边形，
∴∠PQC＝∠PAC＝30°，
∴∠PQB＝90°，
过点C作CF⊥AB于F，则AF＝FB＝BC•cos30°＝2，
∵∠DCB＝∠ACB﹣∠ACD＝90°，
∴BD＝2CD＝2AD，
∴AD＝AB＝，故⑤正确，
故答案为：①②④⑤．
三、解答题：（本大题共9个小题，78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算：32+（2﹣π）0﹣2cos45°．
【分析】原式利用乘方的意义，零指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．
【解答】解：原式＝9+﹣1﹣1﹣2×
＝9+﹣1﹣1﹣
＝7．
20．（6分）解不等式组：，并写出它的所有整数解．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀“大小小大中间找”确定不等式组的解集，再在解集内确定其整数解即可．
【解答】解：解不等式x﹣1＞﹣2，得：x＞﹣1，
解不等式﹣x≤1，得：x≤2，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
∴不等式组的整数解为0，1，2．
21．（6分）如图，将等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线l上，过A，B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为D，E，求证：BE＝DC．

【分析】根据这两个三角形中的数量关系由AAS证明：△ACD≌△CBE，从而得出BE＝DC．
【解答】解：由题意知∠CAD+∠ACD＝90°，
∠ACD+∠BCE＝90°，
∴∠BCE＝∠CAD．
在△CBE与△ACD中，

∴△CBE≌△ACD（AAS）．
∴BE＝DC．
22．（8分）为了解某校九年级男生1000米跑的水平，从中随机抽取部分男生进行测试，并把测试成绩分为A、B、C、D四个等次，绘制成如图所示的不完整的统计图，请你依图解答下列问题：

（1）a＝　2　，b＝　45　，c═　20　，
（2）请将条形统计图补充完整，并计算表示C等次的扇形所对的圆心角的度数为＝　72°　，
（3）学校决定从A等次的甲、乙、丙、丁四名男生中，随机选取两名男生参加全市中学生1000米跑比赛，请用列表法或画树状图法，求甲、乙两名男生同时被选中的概率．
【分析】（1）用A等次的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再分别求出a和B等次的人数，然后计算出b、c的值；
（2）先补全条形统计图，然后用360°乘以C等次所占的百分比得到C等次的扇形所对的圆心角的度数；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出甲、乙两名男生同时被选中的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）12÷30%＝40，
a＝40×5%＝2；
b%＝×100%＝45%，即b＝45；
c%＝×100%＝20%，即c＝20；
（2）B等次人数为40﹣12﹣8﹣2＝18，
条形统计图补充为：

C等次的扇形所对的圆心角的度数＝20%×360°＝72°；
故答案为2，45，20，72°；
（3）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中甲、乙两名男生同时被选中的结果数为2，
所以甲、乙两名男生同时被选中的概率＝＝．
23．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E．
（1）求证：AC是⊙D的切线；
（2）若CE＝2，求⊙D的半径．

【分析】（1）连接AD，根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝30°，∠BAD＝∠B＝30°，求得∠ADC＝60°，根据三角形的内角和得到∠DAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，于是得到AC是⊙D的切线；
（2）连接AE，推出△ADE是等边三角形，得到AE＝DE，∠AED＝60°，求得∠EAC＝∠AED﹣∠C＝30°，得到AE＝CE＝2，于是得到结论．
【解答】（1）证明：连接AD，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵AD＝BD，
∴∠BAD＝∠B＝30°，
∴∠ADC＝60°，
∴∠DAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∴AC是⊙D的切线；
（2）解：连接AE，
∵AD＝DE，∠ADE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AE＝DE，∠AED＝60°，
∴∠EAC＝∠AED﹣∠C＝30°，
∴∠EAC＝∠C，
∴AE＝CE＝2，
∴⊙D的半径AD＝2．

24．（10分）我县某小区积极响应国家号召，落实“垃圾分类回收，科学处理”的政策，准备购买A、B两种型号的垃圾分类回收箱共20只，放在小区各个合适位置，以方便进行垃圾分类投放．小区物业共支付费用4240元，A、B型号价格信息如表：
型号
价格
A型
200元/只
B型
240元/只
（1）请问小区物业购买A型和B型垃圾回收箱各是多少只？
（2）因受到居民欢迎，物业准备再次购进A、B两种型号的垃圾分类回收箱共40只，总费用不超过9000元，那么物业至少购进A型号回收箱多少只？
【分析】（1）设学校购买A型垃圾回收箱x只，购买B型垃圾回收箱y只，根据学校购买两种型号的垃圾回收箱共20只且共花费4240元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据节省的总费用＝每只节省的费用×购买B型垃圾回收箱的数量，即可求出结论．
【解答】解：（1）设购买A型垃圾回收箱x只，购买B型垃圾回收箱y只．
依题意得：．
解得：．
答：购买A型垃圾回收箱14只，购买B型垃圾回收箱6只．
（2）设再次购买A型垃圾回收箱m只，则购买B型垃圾回收箱（40﹣m）只，
依题意得：200m+240（40﹣m）≤9000，
解得：m≥15．
答：至少购买A型垃圾回收箱15只．
25．（10分）如图1，反比例函数图象经过等边△OAB的一个顶点B，点A坐标为（2，0），过点B作BM⊥x轴，垂足为M．
（1）求点B的坐标和k的值；
（2）若将△ABM沿直线AB翻折，得到△ABM'，判断该反比例函数图象是从点M'的上方经过，还是从点M'的下方经过，又或是恰好经过点M'，并说明理由；
（3）如图2，在x轴上取一点A1，以AA1为边长作等边△AA1B1，恰好使点B1落在该反比例函数图象上，连接BB1，求△ABB1的面积．

【分析】（1）由△OAB为等边三角形及OA＝2，可得出OM，BM的长，进而可得出点B的坐标，由点B的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k的值；
（2）过点M′作M′C⊥x轴，垂足为点C，由折叠的性质，可知：AM′＝AM＝1，∠BAM′＝∠BAM＝60°，在Rt△ACM′中，通过解直角三角形可求出AC，CM′的长，进而可得出OC的长，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出反比例函数图象与直线CM′交点的纵坐标，将其与点M′的纵坐标比较后即可得出结论；
（3）过点B1作B1D⊥x轴，垂足为点D，设AA1＝a，则AD＝a，B1D＝a，OD＝2+a，进而可得出点B1的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出a的值，进而可得出MD，B1D，AD的长，再结合＝﹣S△BMA﹣即可求出△ABB1的面积．
【解答】解：（1）∵△OAB为等边三角形，OA＝2，
∴OM＝OA＝1，BM＝OA＝，
∴点B的坐标为（1，）．
∵反比例函数图象经过点B，
∴k＝．
（2）该反比例函数图象是从点M'的下方经过，理由如下：
过点M′作M′C⊥x轴，垂足为点C，如图1所示．
由折叠的性质，可知：AM′＝AM＝1，∠BAM′＝∠BAM＝60°，
∴∠M′AC＝180°﹣∠BAM﹣∠BAM′＝60°．
在Rt△ACM′中，AM′＝1，∠ACM′＝90°，∠M′AC＝60°，
∴∠AM′C＝30°，
∴AC＝AM′＝，CM′＝AM′＝．
∴OC＝OA+AC＝，
∴点M′的坐标为（，）．
当x＝时，y＝＝，
∵＜，
∴该反比例函数图象是从点M'的下方经过．
（3）过点B1作B1D⊥x轴，垂足为点D，如图2所示．
设AA1＝a，则AD＝a，B1D＝a，OD＝2+a，
∴点B1的坐标为（2+a，a）．
∵点B1在该反比例函数y＝的图象上，
∴（2+a）•a＝，
解得：a1＝﹣2﹣2（舍去），a2＝2﹣2，
∴MD＝AM+AD＝，B1D＝a＝﹣，AD＝a＝﹣1，
∴＝﹣S△BMA﹣，
＝（BM+B1D）•MD﹣BM•AM﹣B1D•AD，
＝（+﹣）×﹣××1﹣×（﹣）×（﹣1），
＝﹣．


26．（12分）如图1，Rt△ABC中，∠C＝90°，点E是AB边上一点，且点E不与A、B重合，ED⊥AC于点D．
（1）当sinB＝时，
①求证：BE＝2CD；
②当△ADE绕点A旋转到如图2的位置时（60°＜∠CAD＜90°），BE＝2CD是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（2）当sinB＝时，将△ADE绕点A旋转到∠DEB＝90°，若AC＝10，AD＝2，请直接写出线段CD的长．

【分析】（1）先根据锐角三角函数求出∠B，进而求出∠A＝60°，
①先判断出EH＝CD，再用含30°角的直角三角形的性质即可得出结论；
（2）①先求出AD＝AF＝EF＝2，再求出AB＝10，进而利用勾股定理求出BF＝＝6，得出BE＝BF﹣EF＝4，最后判断出△ACD∽△ABE，即可得出结论；
②同①的方法即可得出结论．
【解答】解：（1）∵Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，
∴∠B＝30°，
∴∠A＝60°，
①如图1，过点E作EH⊥BC于点H，
∵ED⊥AC
∴∠ADE＝∠C＝90°，
∴四边形CDEH是矩形，即EH＝CD，
∴在Rt△BEH中，∠B＝30°，
∴BE＝2EH
∴BE＝2CD；

②BE＝2CD成立，
理由：∵△ABC和△ADE都是直角三角形，
∴∠BAC＝∠EAD＝60°，
∴∠CAD＝∠BAE，
又∵，，
∴，
∴△ACD∽△ABE，
∴，
又∵Rt△ABC中，＝2，
∴＝2，
即BE＝2CD；

（2）∵sinB＝，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠DAE＝45°，
∵ED⊥AD，
∴∠AED＝∠BAC＝45°，
∴AD＝DE，AC＝BC，
将△ADE绕点A旋转∠DEB＝90°，分两种情况：
①如图3所示，过A作AF⊥BE交BE的延长线于F，则∠F＝90°，
当∠DEB＝90°时，∠ADE＝∠DEF＝90°，
又∵AD＝DE，
∴四边形ADEF是正方形，
∴AD＝AF＝EF＝2，
∵AC＝10＝BC，
根据勾股定理得，AB＝10，
在Rt△ABF中，BF＝＝6，
∴BE＝BF﹣EF＝4，
又∵△ABC和△ADE都是直角三角形，
且∠BAC＝∠EAD＝45°，
∴∠CAD＝∠BAE，
∵，，
∴，
∴△ACD∽△ABE，
∴＝，即＝，
∴CD＝2；
②如图4所示，过A作AF⊥BE于F，则∠AFE＝∠AFB＝90°，
当∠DEB＝90°时，∠DEB＝∠ADE＝90°，
又∵AD＝ED，
∴四边形ADEF是正方形，
∴AD＝EF＝AF＝2，
又∵AC＝10＝BC，
∴AB＝10，
在Rt△ABF中，BF＝＝6，
∴BE＝BF+EF＝8，
又∵△ACD∽△ABE，
∴＝，即＝，
∴CD＝4，
综上所述，线段CD的长为2或4．



27．（12分）如图1，二次函数y＝ax2+bx﹣2（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣4，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求这个二次函数的表达式：
（2）点M在该抛物线的对称轴上，当△ACM是直角三角形时，求点M的坐标；
（3）如图2，点D在y轴上，且CD＝OA，连接AD，点E、F分别是线段OA，AD上的动点，求EF+OF的最小值．

【分析】（1）将点A，B坐标代入抛物线解析式中，解得即可得出结论；
（2）先求出抛物线的对称轴，进而设出点M坐标，分三种情况，利用勾股定理，建立方程求解即可得出结论；
（3）先找出EF+OF的最小值为线段O′H的长，再用锐角三角函数即可得出结论．
【解答】解：（1）将A（﹣4，0）、B（1，0）的坐标分别代入y＝ax2+bx﹣2，得
，
解得，，
∴这个二次函数的函数表达式为y＝x2+x﹣2．
（2）由x＝0得y＝﹣2，
∴C（0，﹣2）．
抛物线的对称轴为直线x＝，即直线x＝﹣，
设点M的坐标为（﹣，m），
AM2＝（﹣+4）2+m2＝+m2，CM2＝（）2+（m+2）2＝+（m+2）2，AC2＝42+22＝20，
①当∠CAM＝90°时，AM2+AC2＝CM2，
即+m2+20＝+（m+2）2，
解得m＝5，
∴M（﹣，5），
②当∠ACM＝90°时，AC2+CM2＝AM2，即20++（m+2）2＝+m2．解得m＝﹣5，
∴M（﹣，﹣5），
③当∠AMC＝90°时，AM2+CM2＝AC2，即+m2++（m+2）2＝20，
解得m1＝，m2＝，
∴M（﹣，）或（﹣，）．
综上可知：点M的坐标为（﹣，5）、（﹣，﹣5）、（﹣，）或（﹣，）．
（3）如图，作点O关于直线AD的对称点O′，过O′作O′H⊥OA于点H，则EF+OF的最小值为线段O′H的长．
连接OO′交AD于点M，则OO′⊥AD，且M是线段OO′的中点，
∵CD＝OA＝4，OC＝2，
∴OD＝2，
即点D的坐标为（0，2），
在Rt△AOD中，AD＝，
∴sin∠DAO＝，
∴OM＝OA•sin∠DAO＝4×＝，
∴OO′＝，
∴OH＝OO′•sin∠OO′H＝OO′•sin∠DAO＝•＝，
∴O′H＝，
∴点O′（﹣，），
∴EF+OF的最小值＝O′H＝．