高中数学人教版新课标A必修11.1.1集合的含义与表示第1课时习题

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1.1.1 集合的含义与表示
第1课时 集合的含义
学习目标 1.了解集合与元素的含义.2.理解集合中元素的特征，并能利用它们进行解题.
3.理解集合与元素的关系.4.掌握数学中一些常见的集合及其记法．
知识点一 集合的概念
元素与集合的概念
(1)把研究对象统称为元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示．
(2)把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．
知识点二 元素与集合的关系
思考 1是整数吗？eq \f(1,2)是整数吗？有没有这样一个数，它既是整数，又不是整数？
答案 1是整数；eq \f(1,2)不是整数．没有．
梳理 元素与集合的关系有且只有两种，分别为属于、不属于，数学符号分别为∈、∉.
知识点三 元素的三个特性
思考 某班所有的“帅哥”能否构成一个界限清楚的群体？某班身高高于175厘米的男生呢？
答案 某班所有的“帅哥”不能构成界限清楚的群体，因“帅哥”无明确的标准，难以判定该班某男生是否属于“帅哥”这一群体．高于175厘米的男生能构成一个界限清楚的群体，因为标准确定．
梳理 元素的三个特性是指确定性、互异性、无序性．
知识点四 常用数集及表示符号
1．y＝x＋1上所有点构成集合A，则点(1,2)∈A.(√)
2．0∈N但0∉N*.(√)
3．由形如2k－1，其中k∈Z的数组成集合A，则4k－1∉A.(×)
类型一 判断给定的对象能否构成集合
例1 考察下列每组对象能否构成一个集合．
(1)不超过20的非负数；
(2)方程x2－9＝0在实数范围内的解；
(3)某班的所有高个子同学；
(4)eq \r(3)的近似值的全体．
考点 集合的概念
题点 集合的概念
解 (1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合；
(2)能构成集合；
(3)“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合；
(4)“eq \r(3)的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合．
反思与感悟 判断给定的对象能不能构成集合，关键在于是否给出一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能按此标准确定它是不是给定集合的元素．
跟踪训练1 下列各组对象可以组成集合的是( )
A．数学必修1课本中所有的难题
B．小于8的所有素数
C．平面直角坐标系内第一象限的一些点
D．所有小的正数
考点 集合的概念
题点 集合的概念
答案 B
解析 A中“难题”的标准不确定，不能构成集合；B能构成集合；C中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“平面直角坐标系内第一象限的一些点”不能构成集合；D中没有明确的标准，所以不能构成集合．
类型二 元素与集合的关系
命题角度1 判定元素与集合的关系
例2 给出下列关系：
①eq \f(1,2)∈R；②eq \r(2)∉Q；③|－3|∉N；④|－eq \r(3)|∈Q；⑤0∉N，
其中正确的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
考点 常用的数集及表示
题点 常用的数集及表示
答案 B
解析 eq \f(1,2)是实数，①对；eq \r(2)不是有理数，②对；
|－3|＝3是自然数，③错；|－eq \r(3)|＝eq \r(3)是无理数，④错；
0是自然数，⑤错．故选B.
反思与感悟 要判断元素与集合的关系，首先要弄清集合中有哪些元素(涉及常用数集，如N，R，Q，概念要清晰)；其次要看待判定的元素是否具有集合要求的条件．
跟踪训练2 用符号 “∈”或“∉”填空．
－eq \r(2)________R；－3________Q；
－1________N；π________Z.
考点 常用的数集及表示
题点 常用的数集及表示
答案 ∈ ∈ ∉ ∉
命题角度2 根据已知的元素与集合的关系推理
例3 集合A中的元素x满足eq \f(6,3－x)∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．
考点 元素与集合的关系
题点 伴随元素问题
答案 0,1,2
解析 ∵x∈N，eq \f(6,3－x)∈N，∴0≤x≤2且x∈N.
当x＝0时，eq \f(6,3－x)＝eq \f(6,3)＝2∈N；
当x＝1时，eq \f(6,3－x)＝eq \f(6,3－1)＝3∈N；
当x＝2时，eq \f(6,3－x)＝eq \f(6,3－2)＝6∈N.
∴A中元素为0,1,2.
反思与感悟 判断元素和集合关系的两种方法
(1)直接法
①使用前提：集合中的元素是直接给出的．
②判断方法：首先明确集合是由哪些元素构成，然后再判断该元素在已知集合中是否出现．
(2)推理法
①使用前提：对于某些不便直接表示的集合．
②判断方法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征．
跟踪训练3 已知集合A中元素满足2x＋a>0，a∈R，若1∉A，2∈A，则( )
A．a>－4 B．a≤－2
C．－4