福建省福州市福州三中2020-2021学年高一上学期期末考数学试题+Word版含答案

这是一份福建省福州市福州三中2020-2021学年高一上学期期末考数学试题+Word版含答案，共18页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．
考试时间120分钟，满分150分．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. （ ）
A. B. C. D.
3.若函数的一个零点附近的函数值如下表：
则用二分法可求得方程的一个近似解（精确度为0.04）为（ ）
A.1.5
4.设，，，则，，大小关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
5.函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
6.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解.例如，地震释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为．据此推断里氏8.0级地震所释放的能量是里氏5.0级地震所释放的能量的（ ）倍．
A. B. C. D.
7.已知，则等于（ ）
A. B. C. D.
8.已知关于的方程在有四个不同的实数解，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．
9.已知函数，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10.将函数的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变，得到函数的图象．若，则的值可能为（ ）
A. B. C. D.
11.设，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
12.设函数，已知在有且仅有5个零点．下述四个结论中正确的是（ ）
A. 的取值范围是
B.当时，方程有且仅有3个解
C.当时，方程有且仅有2个解
D. ，使得在单调递增
第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在答题卡上的相应题目的答题区域内作答．
13.已知某扇形的周长为9，圆心角为，则该扇形的面积是_____________．
14.已知是定义在上的偶函数，且满足，当，，则_____________．
15.已知角的终边经过点，则_____________．
16.已知函数，则_____________；若存在四个不同的实数，
，，，使得，则的取值范围是_____________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卡上相应题目的答题区域内作答．
17.（本小题满分10分）
（1）求值：；
（2）已知，，求的值．
18.（本小题满分12分）
已知，，，．
（1）求的值；
（2）求的值．
19.（本小题满分12分）
水葫芦原产于巴西，1901年作为观赏植物引入中国．现在南方一些水域水葫芦已泛滥成灾严重影响航道安全和水生动物生长．某科研团队在某水域放入一定量水葫芦进行研究，发现其蔓延速度越来越快，经过2个月其覆盖面积约为，经过3个月其覆盖面积约为．现水葫芦覆盖面积（单位：）与经过时间（）个月的关系有两个函数模型（，）与可供选择．
（参考数据： ，）
（1）试判断哪个函数模型更合适，并求出该函数模型的解析式；
（2）约经过几个月该水域中水葫芦面积至少是当初投放的100倍？
20.（本小题满分12分）
已知函数．
（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；
（2）若函数的图象关于点对称，求正数的最小值；
21.（本小题满分12分）
函数的部分图象如图所示．
（1）求的解析式；
（2）若，，求实数的取值范围；
（3）是否存在实数，使得函数在（）上恰有2021个零点若存在，求出和对应的的值；若不存在，请说明理由．
22.（本小题满分12分）
已知函数，．
（1）若函数的定义域为，求实数的取值范围；
（2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围；
（3）用表示，中的最小值，设函数，讨论零点的个数．
福州三中2020-2021学年第一学期期末考试
高一数学试卷 答案
第Ⅰ卷
一、选择题
1.【答案】A
【解析】由题知，，从而得到．故选：A．
2.【答案】C
【解析】
3.【答案】C
【解答】，，且，所以方程的一个近似解可取1.4375，故选：C．
4.【答案】B
【解析】，，，则，故选B．
5.【答案】A
【解析】，则是偶函数，排除B，D；又因为恒成立，所以排除C，故选A．
6.【答案】D
【解析】设里氏8.0级和里氏5.0级地震所释放的能量分别为和，则，，所以，则，即．故选：D．
7.【答案】B
【解析】，则，故选B．
8.【答案】D
【解析】当，，则，函数是偶函数，由偶函数的对称性，只需研究当时，，设，则有一个根
①当时，是开口向下，对称轴为的二次函数，
则，这与矛盾，舍去；
②当时，是开口向上，对称轴为的二次函数，
因为，，则存在，只需，解得，所以．
综上，非零实数的取值范围为．故选D．
9.【答案】AC
【详解】，，单调递增，所以；
故选AC．
10.【答案】BD
【解析】，则，因为，则，分别是函数的最大，最小值，则，故选BD．
11.【答案】ABD
【解析】，，，则，，即，即；；由得，因为，则，所以，故选ABD
12.【答案】ABD
由于，，设，则，因为在有且仅有5个零点，所以，解得，A正确；
即此时取最大值则满足的是的解，共3个，B正确；
，即此时取最小值，则满足的显然是的解，但当接近时，，也是的解，这时有3个解，C错；
当时，由，所以是递增的，D正确．
故选：ABD．
二、填空题
13.【答案】
【解析】设半径为，则弧长，周长，解得，所以面积为．
14.【答案】2.5
【解析】，则周期，所以
．
15.【答案】7
【解析】
又，，所以原式
16.【答案】1，
【解析】，，，
画出的图象，如图所示，
，不妨设，
，，
由图象的对称性知，关于直线对称，所以
，且，
，，
故答案为：1，．
三、解答题
17.【解答】（1）原式
（2）原式，因为，
所以，则，所以，又因为，所以，则，所以原式．
18.解答：（1）因为，，所以
所以
（2）因为，所以，所以，
因为，所以，所以
所以
19.【解答】（1）（，）的增长速度越来越快，的增长速度越来越慢．依题意应选函数（，）则有，解得
，
（2）设经过个月该水域中水葫芦面积至少是当初投放的100倍，则
因为，所以．
答：约经过12个月该水域中水葫芦面积至少是当初投放的100倍．
20.【解答】
（1）
，
，由解得，
则的单调递减区间是
（2），又的最小值为
21.【解答】（1）由图可得，，即，，
，，，因为
，．
（2），，，
令，则由题意得恒成立，
解法一：（分离变量）即恒成立，因为，单调递增，所以，所以，即的取值范围是．
解法二：（二次函数）令，，对称轴是，①若，，则，解得，这与矛盾，舍去；
②若，函数在区间单调递增，则只需，解得
综上：，即的取值范围是．
（3）由题意可得的图像与直线在上恰有2021个交点，且函数的周期是，设，
①当或时，的图像与直线在上无交点.
②当或时，的图像与直线在仅有一个交点，
此时的图像与直线在上恰有021个交点，则．
③当或时，的图像与直线在恰有2个交点，
的图像与直线在上有偶数个交点，不可能有2021个交点．
④当时，的图像与直线在恰有3个交点，
此时，才能使的图像与直线在上有2021个交点．
综上可得，当或时，；当时，．
22.【解答】
（1）函数，若该函数的定义域为，
则对任意恒成立，因此，解得；
（2）函数，若在上单调递减，
则问题等价于在上恒成立，且在上单调递增，
即，解得，所以实数的取值范围是．
（3）解法1：当时，，所以当时，，所以在上没有零点；
当时，，
若即时，，此时是函数的一个零点；
若即时，，此时不是函数的一个零点；
当时，因为，则函数的零点个数等价于函数的零点个数
当，即时，，则，
函数在上没有零点；
当即时，函数有且只有一个零点，
若，由可得，则函数在上没有零点；
若，由可得，则函数在上有1个零点；
当，即或时，函数有两个零点，不妨设为且
当时，，，所以，则在上没有零点；
当时，，，所以，
当即时，，所以，则，
所以此时在上有且只有一个零点；
当，即时，对称轴，且，
所以，在上有两个零点；
综上所述：
当或时，有一个零点；
当或时，有两个零点；
当时，有三个零点；
解法2：
当时，，所以当时，，所以在上没有零点；
当时，，
若即时，，此时是函数的一个零点；
若即时，，此时不是函数的一个零点；
当时，因为，则函数的零点个数等价于函数的零点个数：
由，可得，构造函数
由对勾函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增，
且当时，函数，
所以当，即时，函数与没有交点，所以在上没有零点；
当或，即或时，函数与有且只有一个交点，所以在上有且只有一个零点；
当时，即时，函数与有两个交点，所以在上有两个零点
综上所述：
当或时，有一个零点；
当或时，有两个零点；
当时，有三个零点；