初中数学人教版九年级下册第二十六章 反比例函数综合与测试精品达标测试

本章中考演练

一、选择题

1．[2015·温州] 如图28－Y－1，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosA的值是(　　)

图28－Y－1

A.  B.  C.  D.

[答案] D

2．[2014·天津] cos60°的值等于(　　)

A.  B.

C.  D.

[答案] A

3．[2015·乐山] 如图28－Y－2，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为(　　)

图28－Y－2           　　图28－Y－3

A.  B.  C.  D.

[解析] D　如图，过点B作BD⊥AC(点D正好在格点外)，如图，由勾股定理，得AB＝＝，AD＝＝2，所以cosA＝＝＝.

4．[2015·丽水] 如图28－Y－4，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是(　　)

A.  B.  C.  D.

[答案] C

图28－Y－4           　　　图28－Y－5

5．[2015·荆门] 如图28－Y－5，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为(　　)

A.  B.－1  C．2－  D.

[解析] A　∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝45°，BC＝AC.又∵D为边AC的中点，∴AD＝DC＝AC.∵DE⊥BC于点E，∴∠CDE＝∠C＝45°，∴DE＝EC＝DC＝AC，∴tan∠DBC＝＝＝.

6．[2013·衢州] 如图28－Y－6所示，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4 m，测得仰角为60°，已知小敏同学身高(AB)为1.6 m，则这棵树的高度约为(结果精确到0.1 m，≈1.73)(　　)

图28－Y－6

A．3.5 m  B．3.6 m

C．4.3 m  D．5.1 m

[答案] D

7．[2014·临沂] 如图28－Y－7，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B，C之间的距离为(　　)

图28－Y－7               　　图28－Y－8

A．20海里  B．10　海里

C．20　海里  D．30海里

[解析] C　如图，∵∠ABE＝15°，∠DAB＝∠ABE，

∴∠DAB＝15°，

∴∠CAB＝∠CAD＋∠DAB＝90°.

又∵∠FCB＝60°，∠CBE＝∠FCB，∠CBA＋∠ABE＝∠CBE，

∴∠CBA＝45°.

在Rt△ABC中，sin∠ABC＝＝＝，

∴BC＝20　海里．

二、填空题

8．[2014·白银] 在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，若sinA＝，cosB＝，则∠C＝________．

[答案] 60°

[解析] ∵在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，sinA＝，cosB＝，∴∠A＝∠B＝60°，

∴∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－60°－60°＝60°.

9．[2014·黔西南] 如图28－Y－9，AB是⊙O的直径，AB＝15，AC＝9，则tan∠ADC＝__________．

图28－Y－9

[答案]

10．[2014·宁波] 为解决停车难的问题，在如图28－Y－10所示的一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米、宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出__________个这样的停车位(≈1.4)．

图28－Y－10

　[答案] 17

[解析] 如图，BC＝2.2×sin45°＝2.2×≈1.54(米)，

图28－Y－11

CE＝5×sin45°＝5×≈3.5(米)，

BE＝BC＋CE≈5.04米，

EF＝2.2÷sin45°＝2.2÷≈3.14(米)，

(56－5.04)÷3.14＋1

＝50.96÷3.14＋1

≈16＋1

＝17(个)．

故这个路段最多可以划出17个这样的停车位．

三、解答题

11．[2015·黔南州] 如图28－Y－12是一座人行天桥的示意图，天桥的高度是10米，CB⊥DB，坡面AC的倾斜角为45°.为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的坡度为i＝1∶若新坡角下需留3米宽的人行道，问离原坡角(点A处)10米的建筑物是否需要拆除？(参考数据：≈1.414，≈1.732)

图28－Y－12

解：需要拆除，理由：

∵CB⊥AB，∠CAB＝45°，

∴△ABC为等腰直角三角形，

∴AB＝BC＝10米．

在Rt△BCD中，新坡面DC的坡度为i＝1∶，

∴∠CDB＝30°，

∴DC＝2BC＝20米，BD＝10米，

∴AD＝BD－AB＝10－10≈7.32(米)．

∵3＋7.32＝10.32＞10，

∴高原坡角10米的建筑物需要拆除．

12．[2013·绥化] 如图28－Y－13，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB＝8，∠ABD＝30°，∠CAD＝45°，求BC的长．

图28－Y－13

解：∵AD⊥BC于点D，

∴∠ADB＝∠ADC＝90°.

在Rt△ABD中，∵AB＝8，∠ABD＝30°，

∴AD＝AB＝4，BD＝AB·cos∠ABD＝8×＝4.

在Rt△ADC中，∵∠CAD＝45°，

∴DC＝AD＝4，∴BC＝BD＋DC＝4＋4.

13．[2014·遂宁] 已知：如图28－Y－14，⊙O的直径AB垂直于弦CD，过点C的切线与直径AB的延长线相交于点P，连接PD.

(1)求证：PD是⊙O的切线；

(2)求证：PD2＝PB·PA；

(3)若PD＝4，tan∠CDB＝，求直径AB的长．

图28－Y－14　                　图28－Y－15

解：(1)证明：连接OD，OC.

∵PC是⊙O的切线，

∴OC⊥PC，

∴∠OCP＝90°.

∵直径AB⊥CD，

∴O，P是CD垂直平分线上的点，

∴OD＝OC，PD＝PC.

又∵OP＝OP，

∴△ODP≌△OCP，

∴∠ODP＝∠OCP＝90°.

又∵OD是⊙O的半径，

∴PD是⊙O的切线．

(2)证明：∵∠ODP＝90°，

∴∠PDB＋∠ODB＝90°.

∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，

∴∠ADO＋∠ODB＝90°，

∴∠PDB＝∠ADO＝∠A.

又∵∠DPB＝∠APD，

∴△DPB∽△APD，

∴PD∶PA＝PB∶PD，

∴PD2＝PB·PA.

(3)∵∠A＋∠ABD＝90°＝∠CDB＋∠ABD，

∴∠A＝∠CDB.

又∵tan∠CDB＝，

∴tanA＝，

∴AD＝2BD.

∵△DPB∽△APD，

∴PD∶PA＝PB∶PD＝BD∶DA＝1∶ 2.

又∵PD＝4，

∴PA＝8，PB＝2，

∴AB＝6.

14．[2014·南充] 马航MH370失联后，我国政府积极参与搜救．某日，我两艘专业救助船A，B同时收到有关可疑漂浮物的讯息，如图28－Y－16可疑漂浮物P在救助船A的北偏东53.50°方向上，在救助船B的西北方向上，船B在船A正东方向140海里处(参考数据：sin36.5°≈0.6，cos36.5°≈0.8，tan36.5°≈0.75)．

(1)求可疑漂浮物P到A，B两船所在直线的距离；

(2)若救助船A、救助船B分别以40海里/时，30海里/时的速度同时出发，匀速直线前往搜救，试通过计算判断哪艘船先到达P处．

图28－Y－16          　　图28－Y－17

解：(1)如图28－Y－17，过点P作PH⊥AB于点H，则PH的长是可疑漂浮物P到A，B两船所在直线的距离．

根据题意，得∠PAH＝90°－53.50°＝36.5°，∠PBH＝45°，AB＝140海里．

设PH＝x海里．

在Rt△PHB中，tan45°＝，∴BH＝x海里．

在Rt△PHA中，tan36.5°＝，

∴AH＝≈x海里．

∵AB＝140海里，∴x＋x≈140，

解得x≈60，即PH≈60海里，

因此可疑漂浮物P到A，B两船所在直线的距离约为60海里．

(2)在Rt△PHA中，AH≈×60＝80(海里)，PA≈＝100(海里)，救助船A到达P处的时间tA≈100÷40＝2.5(时)；在Rt△PHB中，PB≈＝60　，救助船B到达P处的时间tB≈60　÷30＝2　(时)．

∵2.5<2　，∴救助船A先到达P处．