黑龙江省实验中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学（理）试题+Word版含答案

黑龙江省实验中学2020—2021学年上学期高二年级期末考试

数学试题（理科）

考试时间：120分钟        总分：150分        命题人：赵春梅

Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．已知点，，则直线的倾斜角为（    ）

A．30 B．45 C．120 D．135

2．设，则“”是“”的（    ）条件

A．充分不必要 B．必要不充分

C．充要 D．既不充分也不必要

3．已知椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为6，且椭圆的离心率为，则椭圆方程为（    ）

A． B． 

C． D．

4．已知直线与圆心为的圆相切，则圆的方程为（    ）

A． B．

C． D．

5．已知双曲线的焦点在轴上，焦距为，且一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程是（    ）

A． B． 

C． D．

6．已知正三角形ABC的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C在第一象限，若点（x，y）在△ABC内部，则z=－x+y的取值范围是（    ）

A．(1－，2) B．(0，2) 

C．(－1，2) D．(0，1+)

7．抛物线上一点到其焦点的距离为6，则点M到y轴的距离为（    ）

A．          B．6 C．4             D．

8．一动点C在曲线x2+y2＝1上移动时，它和定点B(3，0)连线的中点P的轨迹方程是（    ）

A．(x+3)2+y2 =4 B．(x-3)2+y2 =1

C．(x+)2+y2=1                          D．(2x－3)2 +4y2 =1 

9．已知O为坐标原点，点F是双曲线的右焦点，过点F且倾斜角为的直线与双曲线C在第一象限交于点P，若为正三角形，则双曲线C的离心率为（    ）

A．            B． C． D．

10．若过椭圆内一点的弦被该点平分，则该弦所在直线方程为（    ）

A． B．

C． D．

11．三棱锥S﹣ABC的各顶点均在球O的球面上，SC为该球的直径，AC＝BC＝2，∠ACB＝120°，且三棱锥S﹣ABC的体积为2，则球O的半径为（    ）

A．            B． C． D．3

12．设分别是椭圆的左、右焦点，若在直线上存在点P，使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（    ）

A． B． C．             D． 

Ⅱ卷（非选择题  共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．命题“”的否定是________

14．若双曲线C经过点(2，2)，且与双曲线具有相同渐近线，则双曲线C的标准方程为   ．

15．已知直线y＝ax与圆C：x2＋y2－6y＋6＝0相交于A，B两点，C为圆心.若△ABC为等边三角形，则a的值为________.

16．已知过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，交圆于，两点，其中，位于第一象限，则的最小值为_____．

三、解答题（本大题共6题，共70分）

17．（本小题满分10分） 已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），曲线的方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求直线和曲线的极坐标系方程；

（2）曲线分别交直线和曲线于，，求的最大值．

18.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱中，，，，，为的中点.

（1）证明：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

19.（本小题满分12分）已知抛物线过焦点且平行于轴的弦长为2.点，直线与交于两点.（1）求抛物线的方程；

（2）若不平行于轴，且(为坐标原点)，证明：直线过定点.

20.（本小题满分12分）如图，四棱锥的底面为矩形，是四棱锥的高，与平面PAD所成角为45º，是的中点，E是BC上的动点．

（1）证明：PE⊥AF；（2）若BC=2AB，PE与AB所成角的余弦值为，求二面角D-PE-B的余弦值．

21.（本小题满分12分）在平面直角坐标系中以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数），其中，直线与曲线相交于、两点.

（1）求曲线的直角坐标方程；

（2）若点满足，求的值.

22.（本小题满分12分）

已知椭圆的左右焦点分别是离心率为，点P为椭圆上的一个动点，面积的最大值为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若是椭圆上不重合的四个点，与相交于，，

求的最小值.

答案

1．C

【分析】

先根据斜率公式得，进而根据斜率与倾斜角的关系直线的倾斜角为.

2．A

，则，即，充分的，

反之时，若，则不成立，不必要．故应是充分不必要条件．

 3．B

解：由题意得：，则，

又离心率，

所以，

，

所以椭圆的方程为：，

故选：B．

4．B

由于直线与圆相切，则圆的半径，

因此，圆的方程为.

故选：B.

5．C

设双曲线的标准方程为，，

由已知条件可得，解得，

因此，该双曲线的标准方程为.

故选：C.

6．A

【解析】

试题分析：作出可行域如图中阴影部分所示，由题知C（，2），作出直线：，平移直线，由图知，直线过C时，=1－，过B（0,2）时，=3-1=2，故z的取值范围为（1－，2），故选C.

考点：简单线性规划解法，数形结合思想

7．C

由抛物线定义知，点到抛物线准线的距离为

点到轴的距离为：

本题正确选项：

8．D

解：设中点，则动点，

因为点在圆上，

所以，即

故选：D

9．C

如图所示，设双曲线的左焦点为，若为正三角形，且，

则易得．又，则，所以，

根据双曲线的定义可知：，

所以离心率.

故选：C．

10．A

点差法：设交点为,,则

,

故选：A.

11．A

如图所示， 因为，

可得的面积为，

设的外接圆为圆，连接，则平面，

作圆的直径，连接，

因为分别为的中点，则，所以平面，

所以三棱锥的体积为，解得，

由正弦定理，可得，，

设球的半径为，则，解得.

故选：A.

12．D

由中垂线的性质可知，即，

即，又因为

所以.

故选：D

13．

14．

【解析】

试题分析：由题意设双曲线C的标准方程为，又过点(2，2)，所以．

15．

根据题意，圆C：x2＋y2－6y＋6＝0即x2＋(y－3)2＝3，其圆心为(0，3)，半径r＝，

直线y＝ax与圆C：x2＋y2－6y＋6＝0相交于A，B两点，

若△ABC为等边三角形，则圆心C到直线y＝ax的距离，则有，解得.

故答案为：.

16．

圆可化为，圆心坐标为，半径为，

抛物线的焦点，可设直线的方程为，设，，

由，得，所以，

又，，所以，

因为，

所以，当且仅当时，等号成立.

所以的最小值为.

故答案为：

17【答案】（1）；；（2）.

（1）由题可知直线的普通方程为，

直线的极坐标方程为．

曲线的普通方程为，

因为，，

所以的极坐标方程为．

（2）直线的极坐标方程为，令，

则，所以．

又，

所以，

因为，则的最大值为．

18．（1）见解析 （2）

（1）连接交于点，连接，因为四边形是矩形，所以点是的中点，

又点为的中点，所以是的中位线，所以.

因为平面，平面，

所以平面.

（2）由，，，可得，

分别以，，为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则有，，，，

所以，，，

设直线与平面所成角为，平面的法向量为，

则，即，令，得，

所以 .

19．已知抛物线过焦点且平行于轴的弦长为2.点，直线与交于两点.

（1）求抛物线的方程；

（2）若不平行于轴，且(为坐标原点)，证明：直线过定点.

19．（1）；（2）

（1）抛物线过焦点且平行于轴的弦长为2，

即，，故抛物线方程为：.

（2）易知直线斜率存在，设，，，

，则，故，.

，即，即，

故，化简整理得到：，故.

满足，故直线过定点.

20．（1）见解析；（2）

【详解】

（1）建立如图所示空间直角坐标系．设，则，于是，，

则，所以．

（2）设则,

若，则由得， 设平面的法向量为，

由，得：，于是，而设二面角D-PE-B为，则为钝角

所以，

21【答案】（1）；（2）

解：（1）曲线的极坐标方程为，

，

所以曲线的直角坐标方程是；

（2）点在直线：（为参数）上，且恰好是直线所过的定点，

将（为参数）代入，整理得，

，

因为，又，令

则有，即，

又，所以，解得或（舍去）．

22．(Ⅰ)；(Ⅱ).

（I），解得

椭圆的方程：=1   

（II）（1）当AC，BD中有一条直线斜率为0，另一条斜率不存在时，=14   

（2）当AC斜率k存在且时，

AC：与椭圆联立，，

同理可求，

=

综上，的最小值（此时）