新疆乌鲁木齐市第八中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学（理）试题+Word版含答案

乌鲁木齐市第八中学2020—2021学年

第一学期高二年级期末考试

数学(理科）问卷

（考试时间：120分钟 卷面分值：150分）

（命题范围：选修2-1，选修2-2）

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1. i是虚数单位，，则是为纯虚数的   条件

A. 充分不必要 B. 必要不充分 

C. 充要 D. 既非充分也非必要

2. 一场考试之后，甲乙丙三位同学被问及语文、数学、英语三个科目是否达到优秀时，甲说：有一个科目我们三个人都达到了优秀；乙说：我的英语没有达到优秀；丙说：乙达到优秀的科目比我多．则可以完全确定的是

A. 甲同学三个科目都达到优秀 B. 乙同学只有一个科目达到优秀
C. 丙同学只有一个科目达到优秀 D. 三位同学都达到优秀的科目是数学

3. 过双曲线C：的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于点A，若C的右焦点到点A，O距离相等且长度为2，则双曲线的方程为

A.  B.  C.  D.

4. 下列四个函数中，在处取得极值的是
   ；；；．

A.  B.  C.  D.

5. 已知命题p“函数在上单调递增”，命题q“函数的图象恒过点”，则下列命题正确的是

A.  B.  C.  D.

6. 若，，当取最小值时，x的值等于

A. 19 B.  C.  D.

7. 如图所示，正方体的棱长为a，M，N分别为和AC上的点，且，则MN与平面的位置关系是   

1. 斜交                  B. 平行
   C. 垂直                  D. 不能确定

8. 设曲线上任一点处的切线的斜率为，则函数的部分图象可以为

A.  B.
C.  D.

9. 已知抛物线C：的焦点为F，若斜率为的直线l过点F，且与抛物线C交于A，B两点，则线段AB的中点到准线的距离为

A.  B.  C.  D.

10. 已知，是椭圆的两个焦点，若存在点P为椭圆上一点，使得，则椭圆离心率e的取值范围是   

A.  B.  C.  D.

11. 已知函数，，，，，依此类推，

A.  B.  C. 0 D.

12. 某市响应习总书记在十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”的号召，对环境进行大力整治．目前该市的空气质量位于全国前十，吸引了大量的外地游客．某旅行社组织了一个旅游团于近期来到该市的国家森林湿地公园．数据显示，近期公园中每天空气质量指数近似满足函数，其中x为每天的时刻，则当x等于多少时，该时刻的空气质量指数最高     

A. 10 B. 11 C. 12 D. 13

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 如图，在空间四边形OABC中，，，，点M在OA边上，且，N为BC的中点，则________用表示．
    
    
     

14. 曲线，及所围成的图形的面积为________．
15. 已知定点，F是椭圆的右焦点，在椭圆上求一点M，使取得最小值时M点的坐标__________
16. 已知定义域为R的奇函数的导函数为，当时，，若，，，则a，b，c的大小关系正确的是______．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17. 数列中，，前n项的和记为．

求的值，并猜想的表达式；

请用数学归纳法证明你的猜想．
 

18. 分别根据下列条件，求双曲线的标准方程．

右焦点为，离心率；

双曲线的一条渐近线方程为，且双曲线与椭圆有公共焦点．
 

19. 如图所示，在中，AD是BC边上的高，且，，E是BD的中点．现沿AD进行翻折，使得平面平面ABD，得到的图形如图所示．

Ⅰ求证：；

Ⅱ求直线AE与平面BCE所成角的正弦值．

20. 已知，，若为真命题，求x的取值范围

设，，若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

21. 已知函数R

当时，求函数的最值；

若函数在区间上是减函数，求实数a的取值范围．

22. 已知抛物线的焦点为椭圆的右焦点F，点B为此抛物线与椭圆C在第一象限的交点，且 ．

Ⅰ求椭圆C的方程；

Ⅱ过点F作两条互相垂直的直线 ，直线与椭圆C交于两点，直线与直线 交于点T，求的取值范围．


 

2020—2021学年第一学期高二数学（理科）期末考试答案

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.【答案】B

【解析】解：复数是纯虚数，则，
“”是“复数是纯虚数”的必要不充分条件．
故选：B
复数是纯虚数，则，即可判断出结论．
本题考查了纯虚数的定义、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

2.【答案】C

【解析】解：由题意可知，丙至少有一个科目达到优秀，
又因为丙说：乙达到优秀的科目比我多，所以乙至少有两个科目达到优秀，
因为乙说：我的英语没有达到优秀，所以乙确定有两个科目达到优秀，所以丙只有一个科目达到优秀，
故选：C．
由题意可知，丙至少有一个科目达到优秀，乙至少有两个科目达到优秀，又乙说：我的英语没有达到优秀，所以乙确定有两个科目达到优秀，丙只有一个科目达到优秀，
本题主要考查了简单的合情推理，是基础题．

3.【答案】A

【解答】
解：由题意，可得，故，
不妨设渐近线方程为，则，
故，
由，
由，解得，，
即有双曲线的方程为，
故选A．
 

4.【答案】B

【解答】
解：恒成立，所以函数在R上递增，无极值点
，当时函数单调递增；当时函数单调递减且符合
结合该函数图象可知在递增，在递减，符合
在R上递增，无极值点
故选：B．

5.【答案】D

【解析】

【解答】
解：函数的定义域为：，
故命题p“函数在上单调递增”，为假命题；
令，则，，故函数的图象恒过点，
故命题q“函数的图象恒过点”，为假命题；
则，，均为假命题；
为真命题，
故选：D．
6.【答案】C

【解答】
解：，
则
，
故当时，取最小值，

7.【答案】B

【解答】

解：设，，
由题意，知．

又，
，，

则，

因此，与，共面，
平面，从而平面C.

8.【答案】A

【解答】
解：，，
，，
为奇函数，
故排除B、D．
令，．
故排除C．
故选A．
 

9.【答案】A

解：抛物线C：，即，可得准线方程为：，焦点，
过点且斜率的直线l：，
由题意可得：，可得，
直线l与抛物线C相交于A、B两点，则线段AB的中点的横坐标为：，
则线段AB的中点到抛物线C的准线的距离为：．
故选：A．
求出抛物线的标准方程，然后求解准线方程，求出线段AB的中点的横坐标，然后求解即可．
本题考查抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系的应用，考查计算能力．

10.【答案】C

【解答】
解：如图，当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P对两个焦点的张角渐渐增大，当且仅当P点位于短轴端点处时，张角达到最大值．由此可得：
存在点P为椭圆上一点，使得，
中，，可得中，，
所以，即，其中
，可得，即
椭圆离心率，且

故选C．

 

11.【答案】A

【解析】解：函数，
，
，
，

，
，
即是周期为4的周期函数，
则，
所以，
故选：A．
利用两角和的正弦公式将函数化简，求函数的导数，判断函数的周期，利用函数的周期进行计算即可．
本题主要考查导数的计算，根据函数的导数公式判断函数的周期是解决本题的关键．
 

12【答案】C

【解答】
解：由题意，得 ，
当时，，当时，，
故时，递增；时，递减
所以当时，取得最大值，
所以此时刻的空气质量指数最高．
故选C．
 

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.【答案】

【解析】
解：，，，，N为BC的中点，

．
故答案为．
 

14.【答案】

【解答】
解：作出图形，如图所示．

所以．

故答案为．

15.【答案】

【解答】
解：显然椭圆的，，，设左焦点为
由椭圆的定义可知故

当A，M，在同一条直线上且M在第二象限时，取得最小值，
令代入椭圆方程得，由于M在第二象限，故
故答案为：．
 

16.【答案】

【解析】解：定义域为R的奇函数，
为R上的偶函数，

当时，，
当时，，
当时，，
即在单调递增，在单调递减．
，，，
，
．
即．
故答案为：．
根据式子得出为R上的偶函数，利用，当时，，当时，，判断单调性即可证明a，b，c的大小．
本题考查了导数在函数单调性的运用，根据给出的式子，得出需要的函数，运用导数判断即可，属于中档题．
 

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17.【答案】解，

猜想
证明：当时， ，猜想成立；
假设当时，猜想成立，即：；
当时，，
时猜想成立，
由、得猜想成立．

【解析】本题主要考查数列的递推公式及数列求和，以及数学归纳法，是基础题．
根据，可求，，的值，进而猜想的表达式；
由猜想的表达式，再根据数学归纳法的证题步骤进行证明即可．
 

18.【答案】解：右焦点为，
双曲线的焦点在x轴上，且．
又离心率，，，
所求双曲线的标准方程为．
解：设双曲线的方程是，
双曲线的一条渐近线方程是，

再根据椭圆的方程可知，双曲线的焦点是和，
双曲线方程中的，．
解得，，
所求双曲线的标准方程为．

【解析】本题考查双曲线标准方程的求法，根据双曲线的焦点在x轴上，且，然后根据离心率求出结果，属于基础题．
本题考查椭圆的标准方程和双曲线标准方程的求法，根据渐近线可得，然后根据椭圆的焦点即可求出双曲线的焦点，即可求出结果，属于基础题．
 

19.【答案】证明：Ⅰ由图可知，在图中，，
平面平面ABD，平面平面，平面ABD，
平面ACD，
平面ACD，
．
解：Ⅱ由Ⅰ可知平面ACD，平面ACD，．
以A为原点，AC，AB，AD所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．

不妨设，则2，，0，，0，，，
，，．
设平面BCE的法向量为，
则，即
令，得，，则是平面BCE的一个法向量．
设直线AE与平面BCE所成角为，
则，
故直线AE与平面BCE所成角的正弦值为．

【解析】本题主要考查了面面垂直和线面垂直的性质，考查了利用空间向量求直线与平面所成的角，属于中档题．
Ⅰ根据已知可得，，因为平面平面ABD，根据面面垂直的性质，可得平面ACD，再根据线面垂直的性质，即可得到；
Ⅱ正确建立空间直角坐标系，求出向量，再求出平面BCE的法向量，故直线AE与平面BCE所成角的正弦值即可得．
 

【答案】解：，即，即．

当为真命题时，有，所以x的取值范围是．

，即

，即．

因为是的充分不必要条件，所以p是q的充分不必要条件．

则有，所以或，解得，

即实数a的取值范围是

【解析】本题考查了复合命题及其真假和充分必要条件的判定，属基础题．
根据复合命题的真值表知：p真q假；由此求出x的取值范围；
非q是非p的充分不必要条件，等价于p是q的充分不必要条件，等价于p是q的真子集．
 

21.【答案】解：当时，，其定义域是，---------分
-------------------分
令，即，解得或．
，舍去．
当时，；当时，．
函数在区间上单调递增，在区间上单调递减
当时，函数取得最大值，其值为---分
法一：因为其定义域为，
所以
当时，，
在区间上为增函数，不合题意----------分
当时，等价于，即．
此时的单调递减区间为．
依题意，得解之得-------------------分
当时，等价于，即
此时的单调递减区间为，
得分
综上，实数a的取值范围是-----------分
法二：，

由在区间上是减函数，可得在区间上恒成立．--------------8分
当时，不合题意----------------------------------10
当时，可得即
-----------14分
----------------------------------16分

【解析】把代入函数，利用导数判断出函数的单调性，进而可求出函数最大值；
对参数a进行讨论，然后利用导数注意函数的定义域来解答，方法一是先解得单调减区间A，再与已知条件中的减区间比较，即只需要即可解答参数的取值范围；方法二是要使函数在区间上是减函数，我们可以转化为在区间上恒成立的问题来求解，然后利用二次函数的单调区间于对称轴的关系来解答也可达到目标．
本题以函数为载体，综合考查利用函数的导数来解决有关函数的单调性、最值等问题的能力，考查已知函数的单调性的条件下怎样求解参数的范围问题，考查分类讨论，函数与方程，配方法等数学思想与方法．
 

22.【答案】解：Ⅰ由得其焦点坐标是，
设，，
则，解得：，
，
由点B在椭圆C上，得，
即，又，
解得：，，
椭圆C的方程是；
Ⅱ设直线PQ的方程为，，，
由，得，
则，
，，
，
当时，直线FT的方程为，
由，得，，
即，
，
，
设，则，
则，
应用在递增，则，
当时，PQ的中点是F，，
则，，，
综上，，
故的取值范围是．

【解析】本题考查了求椭圆的方程问题，考查直线和圆的位置关系以及不等式的应用，是一道综合题．
Ⅰ得出B的坐标，带入椭圆的方程，求出，的值，求出椭圆方程即可；
Ⅱ设直线PQ的方程为，，，联立方程组，得到，表示出，求出其范围即可．