甘肃省天水市甘谷县第四中学2021届高三上学期第五次检测数学（理）试题+Word版含答案

甘谷县第四中学2020—2021学年高三级第五次检测考试

理科数学试题

考生注意：

1．本试卷考试时间120分钟。

2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

4．本卷命题范围：集合，逻辑，函数，导数，三角函数，解三角形，平面向量，数列，不等式，立体几何。

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．命题“，”的否定为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

3．如果，那么下列不等式成立的是（    ）

A． B． C． D．

4．已知向量，，若与共线，则实数（    ）

A． B．2 C． D．

5．已知等差数列的前项和为，，则（    ）

A．112 B．126 C．142 D．156

6．牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间后的温度将满足，其中是环境温度，称为半衰期．现有一杯80℃的热茶，放置在30℃的房间中，如果热茶降温到55℃，需要6分钟，则欲降温到40℃，大约需要多少分钟？（，）（    ）

A．12 B．14 C．16 D．18

7．函数（，，）的部分图象如图，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则的单调减区间为（    ）

A．（）

B．（）

C．（）

D．（）

8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（    ）

A． B． C． D．

9．在中，若，则的形状是（    ）

A．等腰三角形  B．直角三角形

C．等腰直角三角形  D．等腰三角形或直角三角形

10．设函数，若函数有3个零点分别为，，，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

11．已知点是边长为2的等边三角形所在平面上一点，满足，则的最大值是（    ）

A． B． C． D．

12．对任意实数，有成立，则实数的取值范围是（    ）

A．  B．

C．  D．

二、填空题：本题共4小题．

13．已知（），则最小值为______．

14．若，函数为增函数，则实数的取值范围为______．

15．在三棱锥中，平面，是棱的中点，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为______．

16．已知数列满足，（），则数列的通项公式为______．

三、解答题：本题共6小题，解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤．

17．在中，角，，的对边分别为，，，且．

（1）求角；

（2）若，，求的面积．

18．已知函数在上为增函数．

（1）求实数的值；

（2）若在上为减函数，求实数的取值范围．

19．已知平面向量，，，函数图象的两相邻最高点之间的距离是．

（1）求函数的单调递增区间；

（2）求函数在区间上的最值．

20．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，点在线段上，．

（1）证明：平面；

（2）当平面平面时，求二面角的余弦值．

21．已知是数列的前项和，，．

（1）证明：数列是等比数列，并求的通项公式；

（2）记，求数列的前项和．

22．已知函数，（）．

（1）求函数的单调区间；

（2）若对任意，不等式恒成立，球求正整数的最大值．

甘肃省甘谷第四中学2020-2021学年高三级第五次检测考试理科数学

参考答案、提示及评分细则

1．A

因为，又，所以．

2．D

3．C

∵，两边同乘以，∴，故A错误；，，故B错误；两边同乘以，∴，故C正确；两边同乘以，∴，故D错误．

4．D

，，且与共线，∴，解答．

5．B

因为，所以，所以．

6．B

根据题意有：，

∴．

7．C

由的图象，可得，，即，则，所以，由，可得，所以（），则（），又，所以，故．将的图象向左平移个单位长度得到函数，故函数，令（），解得（），所以的单调递增区间为（）．

8．A

由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，上半部分为半圆柱，下半部分为正四棱锥，圆柱的底面半径为1，高为2，棱锥的底面边长为2，高为1，∴该几何体的体积为．

9．D

由已知，得或，即或，由正弦定理得，即，即，∵，均为的内角，∴或，∴或，∴为等腰三角形或直角三角形．

10．D

不妨设，则，则，即，结合图象可得，∴．

11．A

建立如图所示的平面直角坐标系，则，，．设，则，，，，

由题意知：，即，

∴点在以为圆心，半径为的圆上，

又表示圆上的点到的距离，．

12．D

记，则的周期为，

，

由得，由此知在，上都是增函数，在上是减函数，，，∴最小值为，

∴，∴，，∴或．

13．6

，当且仅当，即时等号成立．

14．

，∴．

15．

取中点，连接，．∵是棱的中点，∴，∴或其补角即为异面直线，所成的角．∵平面，∴，，又，，，，∴，，，∴，，，，在中，，∴异面直线与所成角的余弦值为．

16．

由得，设，则有，即，又因为，所以数列为首项为以，公差为的等差数列，所以，则，所以．

17．解：（1）由正弦定理及．

∴，

由于，∴，

则，即，

由于，所以，

由于，∴．

（2）∵，，，∴．

∴．

18．解：（1）∵为幂函数，∴，∴或，

又在上为增函数，

∴∴．

（2）由（1）知，，

∵在上为减函数，二次函数的对称轴为：，

∴∴．

即实数的取值范围为．

19．解：（1）

．

由于图象的两相邻最高点之间的距离为，即，

由于，所以．所以．

令，解得，

所以的单调递增区间为（）．

（2）因为，所以，

所以，，．

所以在区间上的最小值为，最大值为3．

20．（1）证明：在线段上取一点，满足，

又因为，所以，故，

因为，所以，

因为，所以，

所以四边形为平行四边形，所以，

又因为平面，平面，所以平面．

（2）解：取的中点，连结，依题意得，则．

如图，以为坐标原点，，的方向分别为轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，得，，，

，，

设是平面的一个法向量，

则得令，解得，

同样可求得平面的一个法向量为，

所以，

又平面与平面所成角为锐二面角，

所以二面角的余弦值为．

21．（1）证明：由，当时，，

两式相减得（），

当时，即，∴，∴，

∴时都有，

∴数列是首项为5，公比为2的等比数列，∴．

（2）解：由（1）知，，∴，

①

②

由②①得：

，

即，

；

综上所述，．

22．解：（1）．

令，得；令，得，

∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为．

（2）∵，，∴，

令（），则由题意对任意的，，

而，，

再令（），则，

∴在上为增函数，

又，，

∴存在唯一的，使得，即，

当时，，，∴在上单调递减，

当时，，，∴在上单调递增，

∴，

∴，

又，∴，

∵为正整数，∴的最大值为4．