浙江省瑞安中学2020-2021学年高二上学期期中测试数学试题+Word版含答案

浙江省瑞安中学2020至2021学年高二（上）期中测试卷

数学学科试卷

考试时间:120分钟  

选择题部分

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.表面积为的球的体积为（    ）

A.           B.             C.             D.

2.方程表示的图形是（    ）

A．两个半圆 B．两个圆 C．圆 D．半圆

3.已知双曲线，则“的离心率”是“的渐近线方程为”的（    ）                                           

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4.已知两条不重合的直线和两个不同的平面,则下列命题不正确是（    ）

A．若,则   B．若,则

C．若,则      D．若，则 

5.若圆与两坐标轴无公共点，那么实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

6.如图，已知三棱柱的底面为正三角形，侧棱垂直于底面,为中点，则下列判断不正确的是         （    ）

A.与是异面直线 ;     B.  

 C.面面;       D.面

7.已知椭圆的左、右焦点分别为，， 为椭圆的上顶点，若的外接圆的半径为，则椭圆的离心率为（    ）

A．      B．        C．          D．

8.已知与是直线(为常数)上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是（    ）

A．无论如何,总是无解 B．无论如何,总有唯一解

C．存在使之恰有两解 D．存在使之有无穷多解

9.在一个正方体中，为正方形四边上的动点，为底面正方形的中心，分别为中点，点为平面内一点，线段与互相平分，则满足的实数的值有（   ）

  A．0个       B．1个        C．2个      D．3个

10.在平面直角坐标系中,定义为两点的“切比雪夫距离”，又设点及上任意一点,称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”记作给出下列四个命题:

①对任意三点，都有

②已知点和直线则

③到原点的“切比雪夫距离”等于的点的轨迹是正方形；

其中真命题的是（    ）

A．①② B．②③ C．①③ D．①②③

非选择题部分

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．

11.若直线与互相平行，则的值为_____________；它们之间的距离为       ．

12.已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图为等腰三角形，则该几何体的体积是          ；表面积是       ．

13.若点到原点和的距离比，则点的轨迹是个圆，那么此圆的半径_________； 的最大值为       ．

14.如图，二面角的大小是，直线,与 所成的角为 ,则直线与平面所成的角的正弦值是         ；直线与所成角的范围为       ．

15.如图1，已知四面体的所有棱长都为，分别为线段和的中点，直线垂直于水平地面，该四面体绕着直线旋转一圈得到的几何体如图2所示，若图2所示的几何体的正视图恰为双曲线的一部分，则的方程为       ．

16.已知抛物线，其焦点为，准线为，过焦点的直线交抛物线于点、（其中在轴上方），，两点在抛物线的准线上的投影分别为，，若 ，，则       ．

17.在三棱锥中 ，二面角的大小为 ，在侧面内(含边界)有一动点，满足到的距离与到平面的距离相等，则的轨迹的长度为       ．

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18.（本题满分14分）圆经过点，和直线相切，且圆心在直线上.

(1)求圆的方程；

(2)圆内有一点，求以该点为中点的弦所在的直线的方程.

19.（本题满分15分）如图，在四面体中，

（1）求点到面的距离；

（2）求异面直线与所成角的余弦值.

  20.（本题满分15分）如图，已知点为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，点在抛物线上．

（1）求的值及抛物线的准线方程 ；

（2）若点为三角形的重心，求线段的长度.

21.（本题满分15分）已知矩形中，，，，分别在，上，且，，沿将四边形折成四边形，使点在平面上的射影在直线上．

（1）求证：∥平面；

（2）求二面角的大小．

22.（本题满分15分）如图，已知，为椭圆的左、右

焦点.动点在直线上，过作的两条切线，切点分别为、，

过，分别向，作垂线，垂足分别为，，，.

（1）证明：为定值；

（2）记和的面积分别为，，求的取值范围.

 浙江省瑞安中学2020至2021学年高二（上）期中测试卷

数学学科答案 2020.11

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．

11.     1   ;    .   12.       ;    .

13.      ;    .   14.        ;    .

15.     .   16.        .   17 .        .

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18．解：（1）圆心在直线上，设圆心，半径为，

则圆的方程为：，           

圆过，，

又圆和直线相切，，            

解得，，                                      

圆的方程为．                       

（2）点为弦的中点，由垂径定理得：，由（1）知点，

，，                

即，

以点为中点的弦的方程为：.                

19. 解：（1）取 的中点 ,作 垂足为 ,

由 ,

得 , 面

从而 面 面 , 面

在 中，

得， 与 重合，       

 所以，点到面的距离为

（2）

所以，异面直线与 所成角的余弦值为                                                                                            

20． 解：（1）点为抛物线的焦点，即，即，

抛物线的方程为，准线方程为；

（2）证明：设过的直线方程为，，，，，，，

即有，，，

联立直线和抛物线可得，

可得，，

因为，,即，

所以

即,

则.

21． 解．（1）∵∥∥

       ∴∥平面，∥平面  

       ∴平面∥平面

       ∴∥平面

（2）方法一：

       由（I）可知平面∥平面

∴二面角与二面角互补

       过作于，连结

       ∵平面   ∴  ∴平面  ∴

       ∵，，

∴  ∵ ∴

       又∵，   ∴  

∵   ∴

过作交延长线于点，连结

∵平面   ∴   

∴平面  ∴

∴为二面角的平面角…………12分   

∵   ∴

∴二面角的大小为

    方法二：

       如图，过作∥，过作平面

       分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系

       ∵在平面上的射影在直线上，设（）

       ∵，，

       ∴  

∴

       ∴

       ∴

       设平面的法向量为  又有

       ∴

       又∵平面的法向量为

       设二面角的大小为，显然为钝角

∴   ∴

22．解（1）方法一:设

由

得

方法二:设，

则，即.

∴；

（2）设，过的切线方程为：，

，

由可得：，即，

设，斜率分别为，，则，

由（1）知：，，

∴

.