黑龙江省哈尔滨市师大附中2020-2021学年高二上学期期末考试+数学(文)+Word版含答案
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这是一份黑龙江省哈尔滨市师大附中2020-2021学年高二上学期期末考试+数学(文)+Word版含答案,共12页。试卷主要包含了 设 , 是椭圆 等内容,欢迎下载使用。
哈师大附中2020-2021年度高二学年上学期期末考试数学试卷(文科)考试时间:120分钟 满分:150分一.选择题(本题共12题,每题5分,共60分,每题给出的四个选项中只有一项正确)1. 在上随机取一个值,则的概率为( )A. B. C. D. 2. 已知 ,则的最大值为( C )A. 1 B. C. D.63. 若椭圆C的参数方程为 ( 为参数),则椭圆C的焦距为( )A. 1 B. 2 C. D. 4. 若直线 被圆 所截得的弦长为 ,则实数 的值为 A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 5. 从正方形四个顶点及其中心这5个点中,任取2个点,则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为( )A. B. C. D.6. 某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比依次为6:5:7 .防疫站欲对该校学生进行身体健康调查,用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 的样本,样本中高三年级的学生有 人,则 等于( )A. B. C. D. 7. 设 , 是椭圆 : 的左、右焦点, 为直线 上一点, 是底角为 的等腰三角形,则 的离心率为 ( ) A. B. C. D. 8. 若从极点 作圆 的弦 ,则 的中点 的轨迹的极坐标方程是( )A. B. C. D. 9. 设 是双曲线 上一点,双曲线的一条渐近线方程为 , 、 分别是双曲线的左、右焦点,若 ,则 ( ) A. 或 B. 或 C. D. 10. 甲、乙两个班级共105名学生,某次数学考试后按照大于等于 分为优秀,小于 分为非优秀统计成绩,已知甲班优秀人数为10人,乙班非优秀人数为30人,在全部 人中随机抽取 人为优秀的概率为 ,则认为“成绩与班级有关系”犯错误的概率至多为( )(参考公式:) A. B. C. D. 11. 设双曲线 : 的左、右焦点分别为 ,,离心率为 . 是 上一点,且 .若 的面积为 ,则 ( ) A. B. C. D. 12. 已知椭圆 的左、 右顶点分别为 ,, 为椭圆 的右焦点,圆 上有一动点 , 不同于 , 两点,直线 与椭圆 交于点A,Q,则 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 二.填空题:(本题共4题,每题5分,共20分) 13.已知实数 , 满足条件 则目标函数 的最大值为 .男职工 女职工 50 6 9 8 562 3 4 4 98 7 6 6 5 1729 7 6 4 3 2 0855 4 291 314.某单位在职工体测后就某项健康指数(百分制)随机抽取了 名职工的体测数据作为样本进行调查,具体数据如茎叶图所示,则从茎叶图上看,该项健康指数整体上相对较高的是 职工. 15. 直角坐标系中直线 过点 ,倾斜角为 ,.以直角坐标系的原点 为极点, 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为 .若直线 与曲线 相交于 , 两点, ,则 的值为 .16. 已知抛物线 的焦点为 ,准线为,经过点 的直线交 于 , 两点,过点 , 分别作 的垂线,垂足分别为 、 两点,直线 交 于 点,若 ,则下述四个结论:① ;②直线 的倾斜角为 或 ;③ 是 的中点;④ 为等边三角形,其中所有正确结论的编号是 . 三.解答题:(本题共6小题,共70分,解答题应写出文字说明证明过程或演算步骤) 17. (本题满分10分)已知 ,求证:(1);(2). 18. (本题满分12分)下面给出了根据我国 年 年水果人均占有量 (单位:)和年份代码 绘制的散点图和线性回归方程的残差图( 年 年的年份代码 分别为 ). (1) 根据散点图相应数据计算得,,求 关于 回归方程;(2) 由(1)中的回归方程预测2020年我国水果人均占有量;(3) 根据线性回归方程的残差图,分析线性回归方程的拟合效果. 参考公式:回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: ,.19. (本题满分12分)如今电商已成为一种新型的购销平台,经销某种商品的一个电商在任何一个销售季度内,每售出 吨该商品可获利润 万元,提前采购后未能售出的商品,每 吨亏损 万元.根据往年的销售经验,得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示.若电商为下一个销售季度提前采购了 吨该商品.现以 (单位:吨,)表示下一个销售季度的市场需求量,(单位:万元)表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润. (1)根据频率分布直方图,估计一个销售季度内市场需求量 的平均数与中位数的大小;(2)根据直方图估计利润 不少于 万元的概率. 20. (本题满分12分)在直角坐标系 中,曲线 的参数方程为 ( 为参数),以坐标原点 为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线 的极坐标方程为 .(1)求曲线 的普通方程和直线 的直角坐标方程(2)射线 的极坐标方程为 ,若射线 与曲线 的交点为 ,与直线 的交点为 ,求线段 的长. 21. (本题满分12分)已知 为坐标原点,过点 的直线 与抛物线 交于 , 两点,且 .(1)求抛物线 的方程;(2)过点 作直线 交抛物线 于P,Q两点,记 , 的面积分别为 ,,证明: 为定值.22. (本题满分12分)已知椭圆 的离心率为 ,,,, 的面积为 .(1)求椭圆 的方程;(2)设 是椭圆 上一点,且不与四个顶点重合,若直线 与直线 交于点 ,直线 与直线 交于点 .求证: 为等腰三角形. 哈师大附中2020-2021年度高二学年上学期期末考试数学答案(文科)考试时间:120分钟 满分:150分一.选择题 B C B A B C C C D B A D 二.填空题 13. 4 14. 男 15. 16.① ③ ④ 三.解答题 17.(1)因为, 则 , 故 —————————————————— 5分(2)因为, 所以 .故.———— 5分 18. (1) 由散点图可以看出,点大致分布在某一直线的附近,且从左下方到右上方分布,从而 与 之间是线性相关,且为正相关关系 —— —————— 1分 由题中数据可得 ,,从而 —— —————— 5分 . —— —————— 7分从而所求 关于 的线性回归方程为 . —— —————— 8分 (2)令x=8,() ,故预测2020年我国水果人均占有量为187 — —————— 10分(3) 由残差图可以看出,残差对应的点均匀地落在0附近水平带状区域内,且宽度较窄,说明拟合效果较好. —— —————— 12分 19. (1)估计一个销售季度内市场需求量 的平均数为 (吨);—— —————— 2分由频率分布直方图易知,由于 时,对应的频率为 ,而 时,对应的频率为 ,因此一个销售季度内市场需求量 的中位数应属于区间 ,于是估计中位数应为 (吨).—— —————— 6分(2) 当 时,;当 时,,所以,. 根据频率分布直方图知,当 时,由 ,得 ,当 时,由 ,所以,利润 不少于 万元当且仅当 , —— —————— 9分由频率分布直方图可知市场需求量 的频率为 .所以下一个销售季度内的利润 不少于 万元的概率的估计值为 .—— ————— 12分 20. (1) 由 所以 ,所以曲线 的普通方程为 . —— —————— 3分由 ,可得 ,所以直线 的直角坐标方程为 . —— —————— 5分 (2) 方法一:曲线 的方程可化为 ,所以曲线 的极坐标方程为 . —— —————— 7分由题意设 ,,将 代入 ,可得:,所以 或 (舍去), —— —————— 9分将 代入 ,可得:, —— —————— 11分所以 . —— —————— 12分方法二:因为射线 的极坐标方程为 ,所以射线 的直角坐标方程为 ,由 ,解得 ,由 ,解得 ,所以 .21. (1) 设直线 的方程为:,与抛物线 联立,消去 得: ;设 ,,则 >0, ; —— —————— 1分由 ,得 解得 ,所以抛物线 的方程为 . —— —————— 5分 (2) 由()知,点 是抛物线 的焦点,所以 ,又原点到直线 的距离为 ,所以 的面积为 ,————— 8分又直线 过点 ,且 ,所以 的面积为 ; —— —————— 10分所以 为定值. —— —————— 12分22. (1) 由条件解得: 所以椭圆 的方程为 .—— ——————4分 (2) 方法一:设 ,所以 .可求得直线 ,直线 . 联立 解得: 所以 . —— —————— 6分同理:直线 ,直线 ,可求得 . —— —————— 8分可求得:, ,而 其中 — —————— 11分所以 ,即 ,所以 为等腰三角形.— ————— 12分方法二:设 ,所以 .可求得直线 ,直线 .联立: 解得: 所以 .同理:直线 ,直线 ,可求得 .线段 的中点 ,.所以 ,因为 所以 的斜率不存在,所以 ,所以 为等腰三角形.方法三:因为 ,, , ,而 其中 所以 ,即 ,所以 为等腰三角形.
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