2021年山东省临沂市蒙阴县中考模拟数学试题（一）

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本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分120分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷 选择题（共42分）
注意事项：
1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试卷上.
3.考试结束，将本卷和答题卡一并收回.
一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列实数是无理数的是
A． B．C．0D．
2．为鼓励大学生创业，我市为在高新区创业的大学生提供无息贷款125000元，这个数据用科学记数法表示为(精确到0.01)
A． B．1.2105 C．1.25105 D．
3. 下列运算正确的是
A．＝2B．＝C．＝D．＝
4．如图是由几个大小相同的小正方形搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小正方体的个数，则该几何体的左视图是
第4题图

5．对于不等式组，下列说法正确的是
A．此不等式组的正整数解为1，2，3B．此不等式组的解集为－1＜≤
C．此不等式组有5个整数解D．此不等式组无解
6．如图，AB∥CD，E为CD上一点，射线EF经过点A，EC＝EA，若∠CAE＝30°，
第6题图
则∠BAF＝
A．30°B．40° C．50° D．60°
7．若—个三角形的两边长分别为5和8，则第三边长可能是
A．14B．10C．3 D．2
8. 定义一种“十位上的数字比个位、百位上的数字都要小”的三位数叫做“V数”，如“729”就是一个“V数”．若十位上的数字为2，则从1，4，5，6中任选两数，能与2组成“V数”的概率是
A． B．C． D．
第7题图
9. 已知二次函数＝的图像如图所示，则一次函数＝与反比例函数＝的图像可能是
10. 已知是二元一次方程组的解，则的立方根为
第11题图
A． B． C． D．
11．如图，在矩形纸片中，AB＝3，点E在边BC上，
将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点
F处，若∠EAC＝∠ECA，则AC的长是
A．B．6 C．4 D．5
12.如图，点是反比例函数（x＞0）的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数的图象于点，以为边作平行四边形，其中C、D在x轴上，则为
A． 2 B． 3 C． 4 D． 5
13．如图是⊙的直径，弦，∠＝30°，＝，则阴影部分图形的面积为
A．B ．C．D．
（第13题图）
A
B
D
C
O
（第13题图）
（第14题图）
14. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为
A.B.C.D.6
第Ⅱ卷（非选择题 共78分）
注意事项：
1．第Ⅱ卷分填空题和解答题.
2．第Ⅱ卷所有题目的答案，考生须用0.5毫米黑色签字笔答在答题卡规定的区域内，在试卷上答题不得分．
二、 填空题：(本大题共5个小题.每小题3分，共15分)把答案填在题中横线上.
15．分解因式: _____________.
16． 某种商品的进价为320元，为了吸引顾客，按标价的八折出售，这时仍可盈利至少25%，则这种商品的标价最少是 元．
A
B
C
D
F
E
第17题图
17.在菱形中，是边上的点，连接交于点, 若, ,则的值是____ .
18．如图，两同心圆的圆心为，大圆的弦切小圆于，两圆的半径分别为和，若用阴影部分围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为.
19. 对于正数，规定 ，例如：，，
则…+…=____ _．
三、解答题（本大题共7个小题，共63分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20.（本小题满分7分）
先化简，再求值：，其中的值从不等式组的整数解中选取．
21.（本小题满分7分）
遵义市某中学为了搞好“创建文明城市”的宣传活动，对本校部分学生（随机抽查）进行了一次相关知识了解程度的测试（成绩分为A、B、C、D、E五个组，x表示测试成绩）．通过对测试成绩的分析，得到如图所示的两幅不完整的统计图．请你根据图中提供的信息解答以下问题：
A组：90≤x≤100
B组：80≤x＜90
C组：70≤x＜80
D组：60≤x＜70
E组：x＜60
调查测试成绩分组表
A 10%
E
B
35%
C
D
20%
调查测试成绩扇形统计图
调查测试成绩条形统计图
人数/人
成绩分组
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
A
B
C
D
E
⑴参加调查测试的学生为______人；
⑵将条形统计图补充完整；
⑶本次调查测试成绩的中位数落在______组内；
⑷若测试成绩在80分以上（含80分）为优秀，该中学共有学生2600人，请你根据样本数据估计全校学生测试成绩为优秀的总人数 ．
22 （本小题满分7分）
（第22题图）
如图，反比例函数(，x＞0)的图象与直线y=3x相交于点C，过直线上点A(1，3)作AB⊥x轴于点B，交反比例函数图象于点D，且AB=3BD.
(1)求k的值；
(2)求点C的坐标；
(3)在y轴上确定一点M，使点M到C，D两点距离之
和d=MC+MD最小，求点M的坐标．
23．（本小题满分9分）
台阶
食
堂
第23题图
小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底M处出发，向前走3米到达A处，测得树顶端E的仰角为30°，他又继续走下台阶到达C处，测得树的顶端E的仰角是60°，再继续向前走到大树底D处，测得食堂楼顶N的仰角为45°．已知A点离地面的高度AB＝2米，∠BCA＝30°，且B，C，D三点在同一直线上．
（1）求树DE的高度；
（2）求食堂MN的高度．
24．（本小题满分9分）
已知：如图，在△中，．以为直径的⊙交于点，过点作⊥于点.
（第24题图）
(1)求证：与⊙相切；
(2)延长交的延长线于点.
若，=求线段的长.
25．（本小题满分11分）
如图，已知抛物线与轴相交于A．B两点，并与直线交于B．C两点，其中点C是直线与轴的交点，连接AC．
⑴求抛物线的解析式；
⑵证明：△ABC为直角三角形；
（第25题图）
⑶△ABC内部能否截出面积最大的矩形DEFG？（顶点D．E、F、G在△ABC各边上）若能，求出最大面积；若不能，请说明理由．
26．（本小题满分13分）
某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：如图1，等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，小敏将三角板中含45°角的顶点放在A上，斜边从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E.
（1）小敏在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：若AD平分∠BAM，则AE也平分∠MAC．请你证明小敏发现的结论；
（2）当0°＜≤45°时，小敏在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD2+CE2=DE2．同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决：
小颖的想法：将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，连接EF（如图2）；
小亮的想法：将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG，连接EG（如图3）；
请你从中任选一种方法进行证明；
(第26题图)
图1
图2
图3
图4
（3）小敏继续旋转三角板，请你继续研究：当135°＜＜180°时（如图4），等量关系BD2+CE2=DE2是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
2021年初中学业水平模拟考试（一）
数学试题答案及评分标准
说明：解答题只给出一种解法，考生若有其他正确解法应参照本标准给分.
一、选择题（每小题3分，共42分）
二、填空题（每小题3分，共15分）
15． 16．500 17．8 18． 19．.
三、解答题（共63分）
20.解：原式＝＝＝．………2分
解不等式≤3，得≥－1．
解不等式＜1，得＜．
∴不等式组的解集为－1≤＜，它的整数数解为－1，0，1，2．…………5分
∵≠－1，0，1，
∴＝2．
当＝2时，原式＝＝0．…………………………7分
21．解：(1)由条形统计图知，A组人数为40人，由扇形统计图可知A组人数占学生人数的10%， 40÷10%=400（人），
即此次参加调查测试的学生人数为400人；………………………1分
（2）B组的人数为400×35%=140（人），E组的人数为400-40-140-120-80=20（人）．
如图补全条形统计图；
调查测试成绩条形统计图
人数/人
成绩分组
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
A
B
C
D
E
……………………………………………3分
（3）被调查的总人数为400人，所以成绩的中位数为第200名、第201名学生成绩均落在C组，本次调查测试成绩的中位数落在C组内；…………………5分
（4）（人）．……………………………………………7分
22. 解：(1)∵A(1，3)，
∴OB=1，AB=3，
又AB=3BD，
∴BD=1，
（第23题图）
∴B(1，1)，
∴k=1×1=1；……………………………………2分
(2)由(1)知反比例函数的解析式为，
解方程组，得或(舍去)，
∴点C的坐标为(，)； ……………………………………………4分
(3)如图，作点D关于y轴对称点E，则E(-1，1)，连接CE交y轴于点M，即为所求.
设直线CE的解析式为，则
，解得，，
∴直线CE的解析式为，
当x=0时，y=，
∴点M的坐标为(0，).……………………………………………7分
23．解：（1）由题意，得AF∥BC．
∴∠FAC＝∠BCA＝30°．
∴∠EAC＝∠EAF＋∠CAF＝30°＋30°＝60°．
∵∠ACE＝180°－∠BCA－∠DCE＝180°－30°－60°＝90°．
∴∠AEC＝180°－∠EAC－∠ACE＝180°－60°－90°＝30°．
在△ABC中，∵∠BCA＝30°，AB＝2，
∴AC＝2AB＝4．
在△ACE中，∵∠AEC＝30°，AC＝4，
∴EC＝AC＝．
在△CDE中，∵sin∠ECD＝，∠ECD＝60°，EC＝，
∴sin60°＝．
∴ED＝sin60°＝×＝6（米）．
台阶
食
堂
答：树DE的高度6米．
（2）延长NM交BC于点G，则GB＝MA＝3．
在△ABC中，∵AB＝2，AC＝4，
∴BC＝＝＝．
在△CDE中，∵CE＝，DE＝6，
∴CD＝＝＝．
∴GD＝GB＋BC＋CD＝3＋＋＝．
在△GDN中，∵∠NDG＝45°，
∴NG＝GD＝．
∴MN＝NG－MG＝NG－AB＝＝（米）．
答：食堂MN的高度为米．
24.(1)证明：连接. ……………………………………………………………1分
∵=,∴.
又∵,∴.
∴.
∴∥. …………………2分
∵⊥于,∴⊥.源:Z,xx,k.Cm]
∴与⊙相切. ……………………3分
(2)解：连接. ………………………………………………………4分
∵为⊙的直径，∴∠=90°.
∵=6，=， ∴=. …………………5分
∵，∴.∴.
在△中，∠=90°.∵，
∴. ……………………………………………7分
又∵∥，∴△∽△.∴.
∵,∴.
∴. ∴. ……………………………………………9分
25.解：⑴设得，x＝4，即B（4，0）；
将x＝0代入得，y＝﹣2，即C（0，﹣2）．
因B（4，0）、C（0，﹣2）两点在抛物线上，所以有：
，解得，
⑵证明：方法一、解方程得，，则A（﹣1，0），
AO＝1，BO＝4，CO＝2．∴．
∵ ∠AOC＝∠COB＝90°，∴ △AOC∽△COB，∴ ∠ACO＝∠OBC．
又∵∠COB＝90°，∴ ∠OCB＋∠CBO＝90°，
∴ ∠ OCB＋∠ACO＝90°，
即∠ACO＝90°．故△ABC为直角三角形．
方法二：由A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，﹣2）三点坐标，
可求出，
，
所以∠ACE＝．故△ABC为直角三角形．
⑶解：△ABC内部可截出面积最大的矩形DEFG，面积为，理由如下：
①矩形的一点为C，AB、AC、BC边上各有一点，如图2，此时△AGF∽△ACB∽△FEB．
设GC＝x，AG＝－x，
∵，∴，∴GF＝，
∴S＝GC·GF＝＝
=
即当时，S最大值为．
②AB边上有两点，AC、BC边上各有一点，如图3，
此时△CDE∽△CAB∽△GAD，
设GD＝x，
∵，∴，∴AD＝，
∴CD＝CA－AD＝，
∵，∴，∴DE＝，
即x＝1时，S最大值为．
综上所述，能截出面积最大的矩形DEFG，其最大面积是．
26．解：（1）证明：∵∠BAC＝90º，∠DAE＝∠DAM＋∠MAE＝45º，
∴∠BAD＋∠EAC＝45º． ……………………………………1分
又∵AD平分∠MAB，∴∠BAD＝∠DAM．
∴∠MAE＝∠EAC．
∴AE平分∠MAC． …………………………………………2分
（2）证明小颖的方法：
∵将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，
∴AF＝AB，BD=DF,∠AFD＝∠B＝45º，∠BAD＝∠FAD．
又∵AC=AB，∴AF＝AC．…………………………………………………3分
由（1）知，∠FAE＝∠CAE．
在△AEF和△AEC中，∵AF＝ AC，∠FAE＝∠CAE，AE＝AE，
∴△AEF≌△AEC（SAS）．∴CE＝FE，∠AFE＝∠C＝45º．
∴∠DFE＝∠AFD ＋∠AFE＝90º． ……………………………………5分
在Rt△DEF中，DF2＋FE2＝DE2，∴BD2＋CE2＝DE2． ……………………6分
（3）当135º＜＜180º时，等量关系BD2＋CE2＝DE2仍然成立． ………7分
证明如下：
如图，将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF．
∴BD=DF ,AF＝AB，∠AFD＝∠ABD＝180 º－∠ABC＝ 135º，∠BAD＝∠FAD．
又∵AC=AB，∴AF＝AC．……………………………………………………8分
又∵∠CAE＝900－∠BAE
＝900－（45º－∠BAD）
＝45º＋∠BAD
＝45º＋∠FAD
＝∠FAE．………9分
在△AEF和△AEC中，∵AF＝AC，
∠FAE＝∠CAE，AE＝AE，
∴△AEF≌△AEC（SAS）．
∴CE＝FE，∠AFE＝∠C＝45º． …………………………………10分
∴∠DFE＝∠AFD－∠AFE ＝135 º－45 º ＝90º．
在Rt△DEF中，DF2＋FE2＝DE2，
∴BD2＋CE2＝DE2． …………………………………………………………11分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
B
C
D
D
A
D
B
B
A
D
B
D
B
C