2021年湖北省襄阳市南漳县中考适应性考试数学试题（word版 含答案）

这是一份2021年湖北省襄阳市南漳县中考适应性考试数学试题（word版 含答案），共32页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．的相反数是（ ）
A．B．C．D．
2．下列运算结果正确的是（ ）
A．a6÷a3＝a2B．（a2）3＝a5C．3a＋2a＝5a2D．a2－（－a）2＝0
3．下列四个几何体中，左视图与俯视图相同的是（ ）
A．B．C．D．
4．不等式组的解集在数轴上可表示为（ ）
A．B．
C．D．
5．如图，ABCD，AD⊥AC，∠BAD＝35°，则∠ACD＝（ ）
A．35°B．45°C．55°D．70°
6．参加一次绿色有机农产品交易会的每两家公司都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，参加这次交易会的公司共有（ ）
A．9家B．10家C．10家或9家D．19家
7．如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，则对角线BD的长是（ ）
A．1B．C．2D．
8．下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．如果x2＝y2，那么x＝y
B．车辆行驶到某十字路口，遇到绿灯
C．掷一枚1元的硬币，有数字的面向上
D．太阳每天都会从东方升起
9．如图，AB是⊙O的直径，⊙O的弦CD＝8，且CD⊥AB于点E. 若OE∶OB＝3∶5，则直径AB的长为（ ）
A．16B．13C．10D．6
10．下列叙述正确的是（ ）
A．的算术平方根是2
B．函数y＝的自变量x的取值范围是x＞－1
C．一元二次方程x2－2x＝4无实数根
D．若点P（m，－1）与点Q（5，n）关于坐标原点对称，则m＝－5，n＝1
二、填空题
11．被命名为COVID-19新型冠状病毒的平均直径约是0.00 000 009米，将0.00 000 009用科学记数法表示为___.
12．某校举行以“学党史，感党恩，听党话，跟党走”为主题的演讲比赛，决赛阶段只剩下甲、乙、丙、丁四名同学，则甲、乙同学获得前两名的概率是___．
13．《九章算术》是中国古代一部数学专著，其中有一道阐述“盈不足术”的问题．原文：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元. 问共有多少人？这个物品的价格是___元．
14．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内，若以每件x元（20≤x≤40，且x为整数）出售，可卖出（40﹣x）件，若要使利润最大，则每件商品的售价应为_____元．
15．如图，△ABC内接于⊙O， E是边BC的中点，连接OE并延长交⊙O于点D，连接CD，若∠BCD＝26°，则∠A＝__°．
16．如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，E为边AB上一点，且BE＝3，△DAE沿DE翻折得到△DFE，连接BF，tan∠EFB的值为___．
三、解答题
17．先化简，再求值：，其中x＝－2．
18．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是边BC上的高．
（1）请用尺规作图法，作出线段AD的垂直平分线MN（保留作图痕迹，不必写出作法，但必须交待作图结果）；
（2）设（1）中的直线MN交边AB，AC分别于点E，F ，连接DE，DF．求证：四边形AEDF是菱形．
19．为了解学生掌握垃圾分类知识的情况，某校举行有关垃圾分类的知识测试活动，现从七、八年级中各随机抽取20名学生的测试成绩(满分10分，6分及6分以上为合格)进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
七年级20名学生的测试成绩为：
7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6．
八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图所示：
七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数如表所示：
请你根据以上提供信息，解答下列问题：
（1）上表中a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握垃圾分类知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校七、八年级共1100名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩合格的学生有 人．
20．如图，某中学数学兴趣小组在学习了“解直角三角形及其应用”后，选定测量小河对岸一幢建筑物BC的高度，他们先在A处测得该建筑物顶端B的仰角为28°，然后从A处前进40m到达D处，在D处测得该建筑物顶端B的仰角为60°，点A，D， C在同一水平的直线上，且BC⊥DC. 求建筑物BC的高度（结果精确到0.1）．
（参考数据：sin28°≈0.47，cs28°≈0.88，tan28°≈0.53，≈1.73）
21．张明丽同学学习了反比例函数 y＝－的图象和性质后，对新函数y＝－的图象和性质进行了探究，以下是她的探究过程：
第一步：在平面直角坐标系中，作出函数 y＝－的图象；
第二步：通过列表、描点、连线，作出新函数y＝－的图象；
①列表：
②描点：如图所示
（1）请在图中帮助张明丽同学完成连线步骤；
（2）观察函数图象，发现函数y＝－与函数 y＝－的图象都是双曲线，并且形状也相同，只是位置发生了改变，由此可知，函数y＝－的图象可由函数 y＝－的图象平移得到．请结合图象写出函数y＝－的两条性质（函数的增减性和对称性各一条）．
22．如图，在等腰△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O与AC相交于点D，与CB的延长线相交于点E，过点D作DF⊥BC交AB的延长于点F，垂足为点M．
（1）判定直线DF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BF＝4，∠F＝30°，求图中阴影部分的面积．
23．某校计划对100名获优秀作品一、二、三等奖的学生分别奖励一套数学用具、一本笔记本、一支水笔. 已知购买1套数学用具和2本笔记本共35元，购买2套数学用具和3本笔记本共60元，一支水笔的单价为2元. 已知获一等奖人数最少，获三等奖的人数最多.
（1）求数学用具和笔记本的单价；
（2）因购买数量较多，商家给予优惠：每买1套数学用具和1本笔记本赠送2支水笔；
①若获二等奖人数是获一等奖人数的1.5倍，且获一等奖人数超过20人，已知在购买奖品时仍需要购买水笔，求购买奖品的总金额；
②若赠送的水笔恰好奖励给获三等奖的学生，求购买奖品的总金额的最小值及获二等奖的人数．
24．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P是△ABC外一点，连接BP，将线段BP绕点P逆时针旋转α得到线段PD，连接BD，CD，AP．
观察猜想：
（1）如图1，当α＝60°时，的值为 ，直线CD与 AP所成的较小角的度数为 °；
类比探究：
（2）如图2，当α＝90°时，求出的值及直线CD与AP所成的较小角的度数；
拓展应用：
（3）如图3，当α＝90°时，点E，F分别为AB，AC的中点，点P在线段FE的延长线上，点A，D，P三点在一条直线上，BD交PF于点G，CD交AB于点H. 若CD＝2＋，求BD的长．
25．在平面直角坐标系xy中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为（0，3），(2，0），顶点为M的抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A，B，且与x轴交于点D，E（点D在点E的左侧）．
（1）直接写出点B的坐标，抛物线的解析式及顶点M的坐标；
（2）点P是（1）中抛物线对称轴上一动点，求△PAD的周长最小时点P的坐标；
（3）平移抛物线y＝－x2＋bx＋c，使抛物线的顶点始终在直线AM上移动，在平移的过程中，当抛物线与线段BM有公共点时，求抛物线顶点的横坐标a的取值范围．
年级
平均数
众数
中位数
七年级
7.5
b
7
八年级
a
8
c
x
…
－4
－2
－1
0
1
3
4
5
6
…
y
…
1
2
3
6
－6
－3
－2
－
…
参考答案
1．B
【分析】
利用相反数的定义分析得出答案，只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
【详解】
的相反数是：－．
故选：B．
【点睛】
考查了相反数，解题关键是正确把握相反数的定义．
2．D
【分析】
分别根据同底数幂的除法法则可判断A，幂的乘方运算法则可判断B，同类项合并法则可判断C、D即可．
【详解】
A．a6÷a3= a6-3 =a3≠a2，故本选项计算不正确不合题意；
B．(a2)3=a6≠a5，故本选项计算不正确不合题意；
C．3a＋2a=5 a≠5a2，故本选计算不正确不合题意；
D．a2－（－a）2= a2－a2＝0，故本选项正确合题意．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了同底数幂的除法以及幂的乘方与合并同类项，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
3．A
【分析】
根据左视图、俯视图是分别从物体左面、上面看所得到的图形，逐一判断选项，即可．
【详解】
解：A、球体左视图为圆，俯视图为圆，两个圆大小相同；故选项A符合题意；
B、圆锥左视图为三角形，俯视图为圆形，两个图形不相同，故选项B不符合题意；
C、圆柱体左视图为长方形，俯视图为圆形，两个图形不相同，故选项C不符合题意；
D、长方体左视图为长方形，俯视图为长方形，两个长方形大小不一定相同，故选项D不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
4．B
【分析】
利用不等式的性质求出不等式组的解集，然后在数轴上表示出来即可.
【详解】
解不等式2x+3≥1，得：x≥﹣1，
解不等式x﹣2＜0，得：x＜2，
∴不等式组的解集为﹣1≤x＜2，
故选B．
【点睛】
本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握不等式的性质和一元一次不等式组求解集是解题关键.
5．C
【分析】
由平行线的性质可得∠ADC＝∠BAD＝35°，再由垂线的定义可得△ACD是直角三角形，进而根据直角三角形两锐角互余的性质即可得出∠ACD的度数．
【详解】
∵AB∥CD，∠BAD=35°，
∴∠ADC＝∠BAD＝35°，
∵AD⊥AC，
∴∠ADC+∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣35°＝55°，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；熟练掌握平行线的性质是解题关键．
6．B
【分析】
每家公司都与其他公司签订了一份合同，设有x家公司参加，那么每个公司都要签订（x-1）份合同，但每两家公司签订的合同只有一份，所以签订的合同共有份．
【详解】
解：设有x家公司参加，依题意可得，
，
整理得：，
解得：．
答：共有10家公司参加商品交易会．
故选：B．
【点睛】
本题考察了一元二次方程的应用以及不重复计数问题．两两之间互相签订合同，只能算一份，属于典型的不重复计数问题，解答过程中一定要注意舍去不符合题意的解．
7．C
【详解】
试题分析：∵菱形ABCD的边长为2，
∴AD=AB=2，
又∵∠DAB=60°，
∴△DAB是等边三角形，
∴AD=BD=AB=2，
则对角线BD的长是2．
故选C．
考点：菱形的性质．
8．D
【分析】
根据时间发生的可能性大小判断相应事件的类型即可
【详解】
A、如果x2＝y2，那么x＝y或x＝-y，所以x＝y是随机事件，不符合题意；
B、车辆行驶到某十字路口，遇到绿灯是随机事件，不符合题意；
C、掷一枚1元的硬币，有数字的面向上是随机事件，不符合题意；
D、太阳每天都会从东方升起是必然事件，符合题意．
故答案选：D
【点睛】
本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
9．C
【分析】
连结OC，由垂径定理可得CE=DE=，由OE∶OB＝3∶5，可得OE：OC=3:5，设OE=3x，OC=5x，在Rt△OEC中，可求OC=5即可；
【详解】
解：连结OC，
∵AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB，
∴CE=DE=，
∵OB=OA=OC，OE∶OB＝3∶5，
∴OE：OC=3:5，
设OE=3x，OC=5x，
在Rt△OEC中，
由勾股定理，即，
整理得，
解得（舍去），
∴OC=5，
∴AB=2OC=10．
故选择C．
【点睛】
本题考查垂径定理，勾股定理，圆的性质，掌握垂径定理，圆的性质，连辅助线构造直角三角形利用勾股定理求半径是解题关键．
10．D
【分析】
A.根据算术平方根定义解题；
B.根据二次根式有意义的条件解题；
C.根据一元二次方程根的判别式解题；
D.关于原点对称的点坐标的特征是横坐标、纵坐标都变为原数的相反数．
【详解】
解：A. ，的算术平方根是，故A错误；
B. 函数y＝的自变量x的取值范围是，故B错误；
C. 一元二次方程x2－2x＝4中，
方程有两个不相等的实数根，故C错误；
D. 点P（m，－1）与点Q（5，n）关于坐标原点对称，
则m＝－5，n＝1，故D正确，
故选：D．
【点睛】
本题考查实数的运算、二次根式的定义、一元二次方程根的判别式、关于原点对称的点的特征等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
11．．
【分析】
绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】
解：，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，熟悉相关性质是解题的关键．
12．
【分析】
利用画树状图分析所有等可能的结果，再求甲、乙同学获得前两名的概率．
【详解】
解：画树状图如下：
获得前2名的情况共有12种，甲、乙同学获得前两名的概率是：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查画树状图求概率，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
13．53
【分析】
设共有x人，则这个物品的价格是（8x−3）元，根据“每人出7元，则还差4元”，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】
解：设共有x人，则这个物品的价格是（8x−3）元，
依题意，得：8x−3＝7x＋4，
解得：x＝7，
∴8x−3＝53．
故答案为：53．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
14．30．
【分析】
设商品所获利润为w元，先根据“利润（售价进价）销售量”得出w与x的关系式，再根据二次函数的性质求解即可得．
【详解】
设商品所获利润为w元
由题意得：
由二次函数的性质可知，当时，w随x的增大而增大；当时，w随x的增大而减小
则当时，w取得最大值，最大值为100元
故每件商品的售价应为30元
故答案为：30．
【点睛】
本题考查了二次函数的实际应用，依据题意，正确建立函数关系式是解题关键．
15．52°
【分析】
连结OB、OC，由圆周角定理∠BCD＝26°，可求∠BOD=2∠BCD=52°，由等腰三角形中线性质可得OE⊥BC，∠BOE=∠COE=52°，求出圆心角∠BOC=104°，根据圆周角定理∠A=．
【详解】
解：连结OB、OC，
∵∠BCD＝26°，
∴∠BOD=2∠BCD=2×26°=52°，
∵OB=OC，E是边BC的中点，
∴OE⊥BC，∠BOE=∠COE=52°，
∴∠BOC=∠DOB+∠COD=52°+52°=104°，
∴∠A=．
故答案为：52°．
【点睛】
本题考查圆周角定理，等腰三角形中线性质，掌握圆周角定理，等腰三角形中线性质是解题关键．
16．
【分析】
过点作于点，作于点，过作于点，由折叠性质解得，继而证明，再由三角形的等积法解得，接着四边形是矩形，解得，再利用勾股定理解得的值，最后在中，利用正切定义解题即可．
【详解】
解：过点作于点，作于点，过作于点，
折叠
四边形中，四个内角均为90°，
四边形是矩形，
或（舍去）
中，
故答案为：．
【点睛】
本题考查正切、折叠、全等三角形的判断与性质、矩形的判断与性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
17．，．
【分析】
将转化为，转化为，约分化简，化简后再代入x的值即可．
【详解】
原式＝
=
=
=
=
把x=－2代入得
原式=．
【点睛】
本题主要考查了分式的运算、完全平方公式、平方差公式等知识内容，注意化简步骤完整，避免出错．
18．（1）见解析；（2）见解析．
【分析】
（1）以A、D两点为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于两点M、N，过MN作直线，交AD于G，直线MN即为所作，如图所示；
（2）由EF是线段AD的垂直平分线，AE＝DE. AF=DF，再证△AGE≌△AGF（ASA）可得AE=AF，可得AE＝DE＝DF＝AF.即可．
【详解】
解：(1)作图如图，直线MN即为所作，
以A、D两点为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于两点M、N，过MN作直线，交AD于G；
(2)解：如图∵EF是线段AD的垂直平分线，
∴AE＝DE. AF=DF，
∵AB＝AC，AD是边BC上的高，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵AD⊥BC于G，
∴∠ AGE＝∠AGF=90°，
在△AGE和△AGF中，
，
∴△AGE≌△AGF（ASA），
∴AE=AF，
∴AE＝DE＝DF＝AF，
∴四边形AEDF是菱形．
【点睛】
本题考查线段垂直平分线的作法，等腰三角形性质，三角形全等判定与性质，菱形的判定，掌握线段垂直平分线的作法，等腰三角形性质，三角形全等判定与性质，菱形的判定是解题关键．
19．（1）7.5，7，7.5；（2）八年级学生掌握垃圾分类知识较好；理由见解析；（3） 990．
【分析】
（1）根据平均数、众数、中位数的计算方法求解即可得出a、b、c的值；
（2）从中位数、众数的角度回答即可；
（3）求出七、八年级的总体合格率，利用总体乘以合格率计算即可即可．
【详解】
解：（1）由条形图得：（分），
七年级20名学生的测试成绩排序为：
5、5、6、6、6、7、7、7、7、7、7、8、8、8、9、9、9、9、10、10，
七年级学生成绩出现次数最多的是7分，共出现6次，因此七年级学生成绩的众数为7分，即b=7；
八年级学生成绩是20名学生测试成绩中位数位于，11两个位置数据的平均数，
从小到大排列后处在中间位置的两个数的测试成绩为7分,8分
平均数为（分），
因此八年级学生成绩的中位数是7.5分，即c=7.5；
故答案为：7.5，7，7.5；
（2）根据表格七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数如表所示：
∵七年八年学生测试成绩平均数相同，八年级学生测试成绩中位数与众数都比七年级学生测试成绩高
∴八年级学生掌握垃圾分类知识较好，；
（3）∵6分及6分以上为合格
七年级与八年级学生测试成绩合格人数分别为：18人，18人，
占七八年各随机抽取20名学生的测试成绩的百分比为：
该校七、八年级共1100名学生参加此次测试活动成绩合格的学生有（人），
答：我校七、八年级1100名学生中测试成绩合格的大约有990人．
【点睛】
本题考查了条形统计图、统计表，中位数、众数、平均数的意义，用样本的百分比含量估计总体中的数量，掌握中位数、平均数、众数、样本的百分比含量的计算方法是正确解答的前提．
20．建筑物BC的高度约为30.6m．
【分析】
根据三角函数得出AC和DC，进而列出方程解答即可．
【详解】
解：在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴.
∴ .
∴
∴,
∴
答：建筑物BC的高度约为30.6m．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练利用三角函数的知识求解是解答本题的关键．
21．（1）见解析；（2）当x＞2时，y随x的增大而增大，当x＜2时，y随x的增大而增大；图象关于点（2，0）中心对称（或图象关于直线y＝x－2轴对称）．
【分析】
（1）利用平滑的曲线连接，不可与图中的双曲线相交；
（2）观察两个函数对应点的关系可知，将y＝－的图像向右平移2个单位可得到y＝－的图像；
【详解】
连线如下图；

(2) 函数y＝－的两条性质为：
①当x＞2时，y随x的增大而增大，
当x＜2时，y随x的增大而增大；
②图象关于点(2，0)中心对称(或图象关于直线y＝x－2轴对称) ．
【点睛】
本题考查了函数的图像与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用掌握的知识解决问题．
22．（1）直线DF与⊙O相切于点D，理由见解析；（2）．
【分析】
（1）连接OD，BD，根据，，可得，则有，得，根据，可得，即可得直线DF与⊙O相切于点D；
（2）连接OE，过点D作DN⊥OF于点N，根据，，，可得弦与围成的弓形面积＝弦与围成的弓形面积，则有，在中，根据，，可求得，在中，可求得，据此可求得阴影的面积．
【详解】
解：（1）直线DF与⊙O相切于点D，理由如下：
连接OD，BD，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴直线DF与⊙O相切于点D；
（2）连接OE，过点D作DN⊥OF于点N，
∵，，
∴,
∵，
∴,
∵，
∴,
∴，,
∴弦与围成的弓形面积＝弦与围成的弓形面积.
∴,
在中，，，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴,
∵，，
∴．
【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系，等腰直角三角形的性质以及解直角三角形，熟悉相关性质是解题的关键．
23．（1）数学用具的单价为15元/套，笔记本的单价为10元/本；（2）①购买奖品的总金额为662元；②获二等奖的人数有28人，购买奖品的最小金额为640元．
【分析】
（1）设数学用具的单价为x元/套，笔记本的单价为y元/本，根据等量关系列出二元一次方程组，求解即可；
（2）设获一、二、三等奖的人数分别为a人，b人，c人，购买奖品的总金额为W元，①根据题意中的不等关系，求出范围后，确定a、b、c的取值，再代入求出W；
②由题意知a＜b＜c，c＝2a，W＝15a＋10b，20＜a＜25，且W随a的增大而减小且a为整数，所以当a＝24时，W最小＝640．
【详解】
（1）设数学用具的单价为x元/套，笔记本的单价为y元/本，由题意得
，
解得，
答：数学用具的单价为15元/套，笔记本的单价为10元/本；
（2）设获一、二、三等奖的人数分别为a人，b人，c人，购买奖品的总金额为W元，①由题意得b＝1.5a，c＞2a.
∵c＝100－b－a＝100－1.5a－a＝100－2.5a，
∴100－2.5a＞2a，
∴a＜
∵a＞20，
∴20＜a＜，
∵a，b均为整数，
∴a＝22，b＝33，
∴c＝45，
∴W＝22×15＋33×10＋2(55－22×2)＝662，
答：购买奖品的总金额为662元；
②由题意知a＜b＜c，c＝2a，W＝15a＋10b，
∴b＝100－a－c＝100－3a，
∴W＝15a＋10(100－3a)＝－15a＋1000，
∵a＜100－3a＜2a，
∴20＜a＜25，
∵－15＜0，
∴W随a的增大而减小且a为整数.
∴当a＝24时，W最小＝640，
此时b＝100－3×24＝28，
答：获二等奖的人数有28人，购买奖品的最小金额为640元．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组解决问题、一元一次不等式组解决实际问题等内容，要求学生对于实际问题的意义能理解，锻炼学生的数据处理能力．
24．（1）1，60；（2），直线CD与AP所成的较小角的度数为45°；（3）BD＝．
【分析】
（1）根据α＝60°时，△ABC是等边三角形，再证明△PBA≌△DBC，即可求解，再得到直线CD与 AP所成的度数；
（2）根据等腰直角三角形的性质证明△PBA∽△DBC，再得到=，再根据相似三角形的性质求出直线CD与 AP所成的度数；
（3）延长CA，BD相交于点K， 根据直角三角形斜边上的中线性质及中位线定理证得∠BCD＝∠KCD，由（2）的结论求出AP的长，再利用在Rt△PBD中，设PB＝PD＝x，由勾股定理可得BD＝x＝AD，再列出方程即可求出x，故可得到BD的长．
【详解】
（1）∵α＝60°，AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=CB
∵将线段BP绕点P逆时针旋转α得到线段PD，
∴△BDP是等边三角形，
∴BP=BD
∵∠PBA=∠PBD-∠ABD=60°-∠ABD，∠DBC=∠ABC-∠ABD=60°-∠ABD，
∴∠PBA=∠DBC
∴△PBA≌△DBC，
∴AP=CD
∴=1
如图，延长CD交AB，AP分别于点G，H，则∠AHC为直线CD与AP所成的较小角，
∵△PBA≌△DBC
∴∠PAB=∠DCB
∵∠HGA=∠BGC
∴∠AHC＝∠ABC＝60°
故答案为：1，60；
（2）解：如图，延长CD交AB，AP分别于点M，N，则∠ANC为直线CD与AP所成的较小角，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝45°.
在Rt△ABC中，＝cs∠ABC＝cs45°＝.
∵PB＝PD，∠BPD＝90°，
∴∠PBD＝∠PDB＝45°.
在Rt△PBD中，＝cs∠PBD＝cs45°＝.
∴＝，∠ABC＝∠PBD.
∴∠ABC－∠ABD＝∠PBD－∠ABD.
即∠PBA＝∠DBC.
∴△PBA∽△DBC.
∴＝＝，∠PAB＝∠DCB.
∵∠AMN＝∠CMB，∴∠ANC＝∠ABC＝45°.
即＝，直线CD与AP所成的较小角的度数为45°.
(3)延长CA，BD相交于点K，如图.
∵∠APB＝90°，E为AB的中点，∴EP＝EA＝EB.
∴∠EAP＝∠EPA，∠EBP＝∠EPB.
∵点E，F为AB，AC的中点，
∴PFBC.
∴∠AFP＝∠ACB＝∠PBD＝45°.
∵∠BGP＝∠FGK，
∴∠BPE＝∠K.
∴∠K＝∠EBP＝∠CBD.
∴CB＝CK.
∴∠BCD＝∠KCD.
由(2)知∠ADC＝∠PDB＝45°，△PBA∽△DBC，
∴∠PAB＝∠DCB.
∴∠BDC＝180°－45°－45°＝90°＝∠BAC.
∵∠BHD＝∠CHA，
∴∠DBA＝∠DCA.
∴∠DBA＝∠PAB.
∴AD＝BD.
由(2)知DC＝AP，
∴AP＝.
在Rt△PBD中，PB＝PD＝x，由勾股定理可得BD＝=x＝AD.
∴AD＋PD＝x＋x＝AP＝1＋.
∴x＝1.
∴BD＝．
【点睛】
此题主要考查四边形综合，解题的关键熟知旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及解直角三角形的方法．
25．（1）B（2，3），y＝－x2＋2x＋3，M（1，4）；（2）点P的坐标为（1，2）；（3）当抛物线与线段BM有公共点时，抛物线顶点的横坐标a的取值范围为≤a≤1或2≤a≤4．
【分析】
（1）由矩形的性质，即可得到点B的坐标；然后由待定系数法即可求出解析式，再求出顶点坐标即可；
（2）由轴对称的性质，当点P，B，D在一条直线上时△PAD的周长最小，然后求出点D的坐标，即可得到答案；
（3）根据题意，找出顶点平移的临界点，然后进行分类讨论，分别求出a的取值范围即可．
【详解】
解：（1）∵点A，C的坐标分别为（0，3），(2，0），且四边形OABC是矩形，
∴B(2，3)；
把点A、B代入抛物线的解析式，则
，解得；
∴y＝－x2＋2x＋3，
∴；
∴点M为(1，4)；
（2）在对称轴上取一点P，连接PA，PB，PD，由抛物线及矩形的轴对称性可知点A，B关于抛物线的对称轴对称，
所以PA＝PB，因此当点P，B，D在一条直线上时△PAD的周长最小．
当－x2＋2x＋3＝0时，
解得，x1＝－1，x3＝3
∴点D(－1，0).
设直线BD的解析式为yBD＝kx＋q，于是有y＝x＋1．
当x＝1时，y＝2，
∴点P的坐标为(1，2) ．
（3）由题意可得
yAM＝x＋3，yBM＝－x＋5．
∵抛物线y＝－x2＋bx＋c的顶点在直线yAM＝x＋3上
∴可设平移中的抛物线的解析式为y＝－(x－a)2＋a＋3．
当a＝1时，抛物线y＝－(x－a)2＋a＋3即y＝－x2＋2x＋3，此时抛物线y＝－(x－a)2＋a＋3与线段AB有两个交点
当a＞1时，
①当抛物线y＝－(x－a)2＋a＋3经过点时，有
－(1－a)2＋a＋3＝4，
解得：a1＝1(舍去)，a2＝2．
②当抛物线y＝－(x－a)2＋a＋3经过点B(2，3)时，有
－(2－a)2＋a＋3＝3，
解得a1＝1(舍去)，a2＝4．
综上得 2≤a≤4；
当a＜1且抛物线y＝－(x－a)2＋a＋3与直线yBA＝－x＋5有公共点时，
则方程－(x－a)2＋a＋3＝－x＋5即x2－(2a＋1)＋a2－a＋2＝0有实数根，
∴(2a＋1) 2－4(a2－a＋2)≥0，即a≥．
∴≤a＜1．
综上可得≤a≤1或2≤a≤4时，平移后的抛物线与线段BA有公共点．
【点睛】
本题考查了二次函数的图像和性质，轴对称的性质，待定系数法求抛物线的解析式，一元一次不等式，一元二次方程等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，利用分类讨论的思想进行分析．年级
平均数
众数
中位数
七年级
7.5
7
7
八年级
7.5
8
7.5