2021年河南省郑州市中牟县九年级下学期第二次质量预测数学试题（word版 含答案）

这是一份2021年河南省郑州市中牟县九年级下学期第二次质量预测数学试题（word版 含答案），共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年河南省郑州市中牟县九年级下学期第二次质量预测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．的相反数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图是一个几何体的三视图，这个几何体是（ ）

A． B． C． D．
3．年月日时分，“北斗三号”最后一颗全球组网卫星发射成功，它的授时精度小于，则用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，∥，一块含有角的直角三角板的一个顶点落在直线上，若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
6．郑州市某区为了解参加年中考的名学生的体重情况，随机抽查了其中名学生的体重进行统计分析，下列叙述正确的是（ ）
A．名学生是总体
B．每名学生是总体的一个个体
C．名学生的体重情况是总体的一个样本
D．以上调查是普查
7．已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＜2 B．m≤2 C．m＜2且m≠1 D．m≤2且m≠1
8．如图，中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心、以大于为长的半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点，若，为上一动点，则的最小值为（ ）

A．无法确定 B． C．1 D．2
9．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．“其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每件椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，正方形ABCD的边长为4 cm，动点P，Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动，设运动时间为x（单位：s），四边形PBDQ的面积为y（单位： cm2），则y与x(0≤x≤8)之间的函数关系可以用图象表示为（ ）

A． B． C． D．

二、填空题
11．计算______．
12．不等式组的解集是______．
13．小明、小颖和小凡做“石头、剪刀、布”游戏．游戏规则是： 由小明和小颖做“石头、剪刀、布”游戏，如果两个人的手势相同，那么小凡获胜；如果两个人的手势不同，那么按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定小明和小颖中的获胜者．这个游戏中小凡获胜的概率是_______．

14．如图，在矩形中，，，将矩形绕点逆时针旋转至AB′C′D′的位置，此时边的对应边B′C′恰好经过点，连接，，_______．

15．如图，在正方形中，，点是线段上的动点，将沿直线翻折，得到，点是上一点，且，连接，，当的长为______时，是直角三角形．


三、解答题
16．先化简，再求值：，其中．
17．为落实校园生活垃圾分类工作，年月韩寺镇中学举办了“绿色校园 你我共建”活动；紫薇路中学进行了“美丽河南 我是行动者”环保专题讲座. 为了解学生掌握垃圾分类知识的情况，增强学生环保意识，我县某初中在月份进行了“垃圾分类 人人有责”的知识测试，李明从该校七、八年级中各随机抽取名学生的考试成绩（满分分）进行整理、分析，得到下面的条形统计图和表格．



根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述表中的 ， ， ；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握垃圾分类知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）．
（3）该校七、八年级共有名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩合格（分及分以上）的学生人数是多少？
18．如图，是的半径，且，是半圆上一点，连接，作，过点作半圆的切线，交的延长线于点，切点为，连接．

（1）当∥时，求证：；
（2）当 度时，为菱形．
19．年春，河南某高校为做好新型冠状病毒感染的防治工作，计划为教职工购买一批洗手液（每人瓶）．学校派王老师去商场购买，他在商场了解到，某个牌子的洗手液有两种优惠活动：
活动一：一律打折；
活动二：当购买量不超过瓶时，按原价销售；当购买量超过瓶时，超过的部分打折．
已知所需费用（元）与购买洗手液的数量（瓶）之间的函数图象如图所示．

（1）根据图象可知，洗手液的单价为 元/瓶，请直接写出与之间的函数关系式；
（2）请求出的值；
（3）如果该高校共有名教职工，请你帮王老师设计最省钱的购买方案．
20．如图①是某社区进行合村并点改造后的居民住宅，如图②是其中一部分的示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，郑州市某初中九（1）班数学活动小组，为测量房屋的高度，他们在地面上点测得屋顶的仰角是，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线；继续向房屋方向走到达点，又测得屋檐点的仰角是．已知房屋的顶层横梁，∥，交于点（点在同一水平直线上）．（参考数据：，，，）

（1）求屋顶到横梁的距离；
（2）求房屋的高度（结果精确到）．
21．如图，抛物线与轴交于点A（0，3），与轴交于B（-1，0），两点．

（1）求抛物线的解析式；
（2） 连接,点为抛物线上一点，且，求点的坐标；
（3），是抛物线上两点，当， 时，总有，请直接写出的取值范围．
22．如图①，在中，AB=AC=2，延长至点，过点作∥交的延长线于点，设，．

数学思考：
（1）用含的代数式表示的长是 ；与相似的三角形是 ；与之间的函数关系式是 ；
数学探究：
王芳同学根据学习函数的经验，对与之间的函数关系的图象与性质进行了探究.下面是王芳的探究过程，请补充完整：
（2）下表列出了与的几组对应值，其中 ， ；

…
1

2

3

4
…

…
6
m
4

n

3
…
（3）在如图②所示的平面直角坐标系中描出上表中各组对应值对应的点，并画出该函数的图象；

（4）结合函数图象解决下列问题：
①写出该函数的一条性质 ；
②当该函数图象与直线只有一个交点时，图①中线段的长是 ．
23．如图①，在中，，，为边 上一动点（不与点重合），过点作于点，连接，取 的中点，连接，

（1）填空：与的数量关系为 ，的度数为 ；
（2）将绕点逆时针旋转，旋转角为，请判断（1）中的结论是否仍然成立．若成立，请结合图②给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）将绕点在平面内自由旋转，且，，请直接写出线段的最大值．


参考答案
1．D
【分析】
根据相反数的定义直接求解即可．
【详解】
解：互为相反数的两个数之和为0，的相反数为，
故选：D．
【点睛】
本题考查相反数的定义，熟悉基本定义是解题关键．
2．A
【分析】
结合三视图确定各图形的位置后进行逆向想象即可确定正确的选项．
【详解】
解：从主视图与左视图是长方形，该几何体是柱体，
从俯视图看到的图形是三角形，该几何体是三棱柱，
结合三个视图发现，这个几何体是直三棱柱．
故选：A．
【点睛】
本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是能够正确的确定各个图形的位置，难度不大．
3．D
【分析】
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是整数负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】
解：0.00000002=2×10-8．
故选：D．
【点睛】
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．C
【分析】
利用合并同类项、单项式除法、幂的乘方、单项式乘法的运算法则逐项判定即可．
【详解】
解：A. ，故A选项错误；
B. ，故B选项错误；
C. ，故C选项正确；
D. ，故D选项错误．
故答案为C．
【点睛】
本题考查了合并同类项、单项式除法、积的乘方、单项式乘法等知识点，灵活应用相关运算法则是解答此类题的关键．
5．B
【分析】
过直角顶点作直线c∥a，则a∥b∥c，根据平行线的性质得到∠1=∠3，∠2=∠4，结合∠3+∠4=90°，∠1=65°即可求出∠2．
【详解】
解：过直角顶点作直线c∥a，如图：

则∠3=∠1，
∵∠1=65°，
∴∠3=65°，
∵∠3+∠4=90°，
∴∠4=90°-∠3=25°，
∵a∥b，
∴b∥c，
∴∠2=∠4=25°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，作出辅助线，熟记平行线的性质是解题的关键．
6．C
【分析】
根据总体，个体、样本、普查、抽查的意义进行判断即可．
【详解】
解：“8900名学生的体重情况”是考查的总体，因此选项A不符合题意；
“每一名学生的体重情况”是总体的一个个体，因此选项B不符合题意；
“1500名学生的体重情况”是总体的一个样本，因此选项C符合题意；
以上调查是抽样调查，不是普查，因此选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了总体、个体、样本、以及普查和抽样调查，理解总体、个体、样本的意义是判断的前提．
7．D
【分析】
根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．
【详解】
解：因为关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有实数根，所以b2－4ac＝22－4(m－1)×1≥0，解得m≤2．又因为(m－1)x2＋2x＋1＝0是一元二次方程，所以m－1≠0．综合知，m的取值范围是m≤2且m≠1，因此本题选D．
【点睛】
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，找出关于m的一元一次不等式组是解题的关键．
8．C
【分析】
当GP⊥AB时，GP的值最小，根据尺规作图的方法可知，GB是∠ABC的角平分线，再根据角平分线的性质可知，当GP⊥AB时，GP=CG=1．
【详解】
解：由题意可知，当GP⊥AB时，GP的值最小，
根据尺规作图的方法可知，GB是∠ABC的角平分线，
∵∠C=90°，
∴当GP⊥AB时，GP=CG=1，
故答案为：C．
【点睛】
本题考查了角平分线的尺规作图以及角平分线的性质，难度不大，解题的关键是根据题意得到GB是∠ABC的角平分线，并熟悉角平分线的性质定理．
9．A
【分析】
根据“这批椽的价钱为6210文”、“每件椽的运费为3文，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”列出方程解答．
【详解】
解：由题意得：，
故选A.
【点睛】
本题考查了分式方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，准确的找到等量关系并用方程表示出来是解题的关键．
10．B
【分析】
根据题意结合图形，分情况讨论：
①0≤x≤4时，根据四边形PBDQ的面积=△ABD的面积-△APQ的面积，列出函数关系式，从而得到函数图象；
②4≤x≤8时，根据四边形PBDQ的面积=△BCD的面积-△CPQ的面积，列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解．
【详解】
解：①0≤x≤4时，

∵正方形的边长为4cm，
∴y=S△ABD-S△APQ，
=×4×4-•x•x，
=-x2+8，
②4≤x≤8时，

y=S△BCD-S△CPQ，
=×4×4-•(8-x)•(8-x)，
=-(8-x)2+8，
所以，y与x之间的函数关系可以用两段开口向下的二次函数图象表示，纵观各选项，只有B选项图象符合．
故选：B．
【点睛】
本题考查了动点问题的函数图象，根据题意，分别求出两个时间段的函数关系式是解题的关键．
11．2
【分析】
根据算术平方根和零指数幂的运算法则计算即可．
【详解】
解：
=3-1
=2．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了实数的算术平方根，零指数幂，熟记算术平方根和零指数幂的计算方法是解题的关键．
12．
【分析】
首先分别解出两个不等式，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集．
【详解】
解：，
由①得：，
由②得：，
不等式组的解集为：，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了一元一次不等式组的解法，关键是掌握确定解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
13．
【分析】
列表得出所有等可能的情况数，找出小明、小颖两人手势相同的情况，再由概率公式求出小凡获胜的概率即可．
【详解】
解：列表如下：

石头
剪刀
布
石头
（石头，石头）
（剪刀，石头）
（布，石头）
剪刀
（石头，剪刀）
（剪刀，剪刀）
（布，剪刀）
布
（石头，布）
（剪刀，布）
（布，布）
所有等可能的情况有9种，其中小明、小颖两人的手势相同的情况有3种，
则P（小凡获胜）=，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14．
【分析】
首先证明△ADB′是等腰直角三角形，求出∠B′AD=∠B′DA=45°，进而求得∠ACA′=∠B′AB=45°，AC=，利用扇形面积公式求解即可．
【详解】
解：根据旋转的性质知：∠B′=∠B=90°，
在Rt△ADB′中，∠B′=90°，AD=CB=，AB′=AB=CD=1，
∴，
∴B′D=AB′=1，
∴∠B′AD=∠B′DA=45°，
∴∠CAC′=∠BAB′=45°，，
∴S扇形CAC′=，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了旋转的性质、矩形的性质、扇形的面积计算等知识点，求得AC和旋转角度是解此题的关键．
15．或
【分析】
分两种情况讨论，利用直角三角形全等的判定和性质以及勾股定理求解即可．
【详解】
①当E在AH的上方时，且∠AEH=90，

根据折叠的性质，∠AEP=∠D=90，AD=AE，DP=PE，
∴∠AEP=∠AEH=90，AD=AE=AB，
∴点P、E、H在同一直线上，
在Rt△ABH和Rt△AEH中，
，
∴Rt△ABHRt△AEH(HL)，
∴EH=BH=3，
设DP=x，则PC=8－x，HC=8-3=5， PH=PE+HE=x+3，
在Rt△CPH中，，即，
解得，即DP=；
②当E在AH的下方时，且∠AEH=90，如图：

此时，点E与点B重合，则点P与点C重合，
∴DP=；
综上，当DP的长为或时，是直角三角形．
故答案为：或．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，翻折变换，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
16．1+2
【分析】
先对题目中的式子进行化简，再将x的值代入计算即可．
【详解】

=
=
=
=
把代入原式＝＝1+2．
【点睛】
考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式．
17．（1）7，7.5，45%；（2）八年级掌握垃圾分类知识比较好，理由见解析；（3）估计参加此次测试活动成绩合格（6分及6分以上）的学生有1350人．
【分析】
（1）根据条形统计图中的数据，可以计算出a、b、c的值；
（2）先判断哪个年级掌握的好，然后根据判断说明理由即可；
（3）根据条形统计图中的数据，可以计算出参加此次测试活动成绩合格（6分及6分以上）的学生人数是多少．
【详解】
解：（1）由条形统计图可得，
七年级学生的考试成绩7分人数最多，
∴a=7，
八年级学生的考试成绩排第11、12位的分数分别为7和8，
∴b=(7+8)÷2=7.5，
七年级学生的考试成绩8分以上所占百分比为c=×100%=45%，
故答案为：7，7.5，45%；
（2）八年级掌握垃圾分类知识比较好，
理由：八年级的中位数高于七年级的中位数，说明八年级学生掌握的较好；
（3）1500×=1350（人），
答：估计参加此次测试活动成绩合格（6分及6分以上）的学生有1350人．
【点睛】
本题考查了条形统计图、众数、中位数、用样本估计及总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
18．（1）见解析；（2）60
【分析】
（1）证明△CBE≌△OEP（AAS），即可求解；
（2）▱ABCD为菱形，则DA=AB=AO=OE，即△BAO为等边三角形，即可求解．
【详解】
（1）证明：延长CB交AP于点F，连接OB、OE，

∵AD⊥AO，AD∥BC，
∴CF⊥AP，
∵BE∥AP，CF⊥AP，
∴CB⊥BE，即∠CBE=90°，
∵CE是⊙O的切线，则∠OEP=90°=∠CBE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=AO=OE，
∵BE∥AP，
∴∠P=∠CEB，
在△CBE和△OEP中，
，
∴△CBE≌△OEP（AAS），
∴CE=OP；
（2）解：∵▱ABCD为菱形，
∴DA=AB=AO=OB，
∴△BAO为等边三角形，
∴∠BAP等于60度时，▱ABCD为菱形，
故答案为：60．
【点睛】
本题考查了平行四边形和菱形的性质，全等三角形的判定与性质，切线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
19．（1）4，，．（2）元；（3）当时选活动一：一律打折合算；当时选活动一：活动二均可，当时选活动二合算．
【分析】
（1）利用购买100瓶费用400元，洗手液的单价为400÷100=4元/瓶，根据单价×件数=费用均可列出函数均可；
（2）利用两函数值相等联立方程组，解方程组均可；
（3）该高校共有名教职工，教职工购买一批洗手液（每人瓶）．一共买瓶分类三种情况两函数作差比较均可．
【详解】
解：（1）400元购买100瓶，洗手液的单价为400÷100=4元/瓶，
，
，
，
故答案为4，，．
（2）联立，
解得，
∴元；
（3）该高校共有名教职工，教职工购买一批洗手液（每人瓶）．一共买瓶，
当时，即时选活动一：一律打折合算；
∵；；
当时选活动一：活动二均可，
；
当时选活动二合算，
．

【点睛】
本题考查列一次函数关系，利用一次函数值相等联立方程组，解方程组，根据函数自变量的取值范围进项方案设计，掌握列一次函数关系的方法，利用函数值相等联立方程组，解方程组，根据函数自变量的取值范围进项方案设计．
20．（1）屋顶到横梁的距离PF约为1.2米；（2）房屋的高PC约为8.3米．
【分析】
（1）根据题意得到PC⊥DE，EF=DE=2.4，∠PEF=∠EAH=28°，解直角三角形即可得到结论；
（2）过E作EH⊥AB于H，设EH=FC=x，解直角三角形即可得到结论．
【详解】
解：（1）∵房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高PC所在的直线，DE∥AC，

∴PC⊥DE，EF=DE=2.4，∠PEF=∠EAH=28°，
在Rt△PEF中，∠PFE=90°，∠PEF=28°，
∵tan∠PEF=tan28°=，EF=2.4，
∴PF≈2.4×0.5=1.2（米）；
答：屋顶到横梁的距离PF约为1.2米；
（2）过E作EH⊥AB于H，
设EH=FC=x，
在Rt△EBH中，∠EHB=90°，∠EBH=60°，
∵tan∠EBH=，
∴BH=，
在Rt△EAH中，∠EHA=90°，∠EAH=28°，
∵tan∠EAH=，
∴AH=，
∵AH-BH=AB=10，
∴，
解得：x≈7.1，
∴PC=PF+FC=8.3（米），
答：房屋的高PC约为8.3米．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，轴对称图形，解题的关键是借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
21．（1）y=-x2+2x+3；（2）点P坐标为（，）；（3）m的取值范围为．
【分析】
（1）将点A（0，3）、B（-1，0）代入抛物线y=-x2+bx+c中即可求得b、c的值，进而得到解析式；
（2）过点A作AM⊥BP于点M，过点M作MN⊥y轴于点N，构造等腰直角三角形，利用“一线三垂直模型”证明△ABO≌△MAN．继而得到点M坐标，求出直线BM解析式，联立BM解析式与抛物线解析式即可得交点P的坐标；
（3）结合抛物线图象，可直观看到当x2≥2时，y2≤3．要使y1≥y2恒成立，则y1≥3，得0≤x1≤2，从而0≤m−≤x1≤m+≤2，解不等式组即可．
【详解】
解：（1）将点A（0，3）、B（-1，0）代入抛物线y=-x2+bx+c中，得：
，解得：，
∴该抛物线解析式为：y=-x2+2x+3；
（2）过点A作AM⊥AB交BP于点M，过点M作MN⊥y轴于点N．

又∠ABP=45°，
则△ABM为等腰直角三角形，AM=AB，
∵∠BAO+∠PAO=∠BAM=90°，∠MAO+∠AMN=90°，
∴∠BAO=∠AMN，
在△ABO和△MAN中，
，
∴△ABO≌△MAN（AAS），
∴AN=BO=1，ON=OA-AN=3-1=2，MN=AO=3，
∴点M坐标为（3，2）．
设直线BM解析式为y=kx+n，
代入点B（-1，0）、M（3，2）得：
，解得：．
故直线BM解析式为y=x+．
解方程x+-x2+2x+3得：，
当时，y=+=，
故点P坐标为（，）；
（3）由图可知，当x=2时，y=-x2+2x+3=-4+4+3=3，

当x2≥2时，y2≤3．
要使y1≥y2恒成立，则y1≥3，即-x2+2x+3≥3，
解得：0≤x≤2，即0≤x1≤2，
∴0≤m−≤x1≤m+≤2，
解不等式0≤m−得：，
解不等式m+≤2得：，
∴m的取值范围为．
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式、全等三角形判定与性质、解不等式组等知识，根据题意作出合理辅助线以及数形结合思考问题是解题的关键．
22．（1），△DCE，；（2），；（3）见解析；（4）①当时，y随x增大而减小；②4
【分析】
（1）由AB∥CE，可证明△DAB△DCE，从而得到答案；
（2）分别求得当和时，的值，即可求解；
（3）根据（2）中表格里的数据描点、连线，即可画出y与x之间的函数关系图；
（4）①②由图象可得出结论．
【详解】
解：（1）∵AB=AC=2，，
∴，
∵AB∥CE，
∴△DAB△DCE，
∴，即，
∴，
故答案为：，△DCE，；
（2）当时，，即，
当时，，即，
故答案为：，；
（3）根据（2）中表格里的数据描点、连线，画出y与x之间的函数关系图如图：

（4）①当时，y随x增大而减小；
②如图，当该函数图象与直线只有一个交点时，
此交点为(2，4)，
∴图①中线段CE的长是4．
故答案为：①当时，y随x增大而减小；②4．
．
【点睛】
本题是反比例函数综合题，以几何动点问题为背景，考查了相似三角形的判定和性质，函数思想和数形结合思想．将线段的数量转化为函数问题，涉及到了转化的数学思想．
23．（1）AE=DE，60°；（2）结论成立．理由见解析；（3）AE的最大值为5．
【分析】
（1）利用直角三角形斜边中线的性质解决问题即可．
（2）结论成立．取BC的中点R，连接AR，ER，AD．利用全等三角形的性质，证明△ADE是等边三角形即可．
（3）求出ER，AR，根据AE≤AR-ER，可得结论．
【详解】
解：（1）如图①中，

∵PD⊥BC，
∴∠PDC=∠CAP=90°，
∵PE=EC，
∴AE=PC，DE=PC，
∴AE=DE，
∵EA=EC=ED，
∴∠EAC=∠ECA，∠EDC=∠ECD，
∴∠AED=∠AEP+∠PED=∠EAC+∠ECA+∠EDC+∠ECD=2（∠ECA+∠ECD）=60°，
故答案为：AE=DE，60°；
（2）解：结论成立．
理由：如图②中，取BC的中点R，连接AR，ER，AD．

∵BR=CR，PE=EC，
∴ER∥PB，ER=PB，
∵∠BAC=90°，BR=RC，
∴AR=BR，
∵∠ACB=30°，
∴∠ABR=60°，
∴△ABR是等边三角形，
∴AB=AR，∠ARB=∠BAR=60°，
∵∠PDB=90°，∠PBD=60°，
∴∠BPD=30°，
∴BD=PB，
∴BD=RE，
∵∠PBD=∠ABR=60°，
∴∠ABD+∠PBR=120°，
∵RE∥PB，
∴∠PBR=∠CRE，
∵∠ARE+∠CRE=120°，
∴∠ABD=∠ARE，
∴△ABD≌△ARE（SAS），
∴AD=AE，∠BAD=∠RAE，
∴∠DAE=∠BAR=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴EA=ED，∠AED=60°；
（3）解：如图②中，由（2）可知，ER=PB=1，AB=AR=6，
∴AE≤AR-ER，
∴AE≤5，
∴AE的最大值为5．
【点睛】
本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，直角三角形30度角的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．