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2021年福建省泉州市中考数学二检试卷
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这是一份2021年福建省泉州市中考数学二检试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年福建省泉州市中考数学二检试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．（4分）﹣的绝对值是（ ）
A．5 B．﹣5 C．﹣ D．
2．（4分）截至2021年2月3日，“天问一号”火星探测器总飞行里程已超过4.5亿公里，距地球约170000000公里．将数字170000000用科学记数法表示为（ ）
A．1.7×108 B．17×107 C．0.17×109 D．170×106
3．（4分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a5 B．a2+a3＝a5 C．（a3）2＝a5 D．（3a）2＝6a2
5．（4分）如图，该几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
6．（4分）下列事件中，是随机事件的是（ ）
A．从背面朝上的5张红桃和5张梅花扑克牌中抽取一张牌，恰好是方块
B．抛掷一枚普通硬币9次是正面，抛掷第10次恰好是正面
C．从装有10个黑球的不透明箱子中随机摸出1个球，恰好是黑球
D．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，出现的点数不是奇数就是偶数
7．（4分）如图，数轴上两点M、N所对应的实数分别为m、n，则m+n的结果可能是（ ）
A．1 B． C．0 D．﹣1
8．（4分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，EO⊥AC于点O，交BC于点E，若△ABE的周长为5，AB＝2，则AD的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
9．（4分）如图，在6×6的网格图中，⊙O经过格点A、B、D，点C在格点上，连接AC交⊙O于点E，连接BD、DE，则sin∠BDE的值为（ ）
A． B． C． D．2
10．（4分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+3（a＞0），当0≤x≤m时，3﹣a≤y≤3，则m的取值范围为（ ）
A．0≤m≤1 B．0≤m≤2 C．1≤m≤2 D．m≥2
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的相应位置.
11．（4分）不等式2x﹣6＞0的解集是 ．
12．（4分）若n边形的每一个外角都为45°，则n的值为 ．
13．（4分）某校数学课外兴趣小组10个同学数学素养测试成绩如图所示，则该兴趣小组10个同学的数学素养测试成绩的众数是 分．
14．（4分）若x﹣2y2＝﹣4，则﹣3x+6y2的值为 ．
15．（4分）如图所示的图案是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》中“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形ABCD与四边形EFGH均为正方形，点H是DE的中点，阴影部分的面积为24，则AD的长为 ．
16．（4分）如图，点A、C为反比例函数y1＝﹣上的动点，点B、D为反比例函数y2＝上的动点，若四边形ABCD为菱形，则该菱形边长的最小值为 ．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.在答题卡的相应位置内作答.
17．（8分）解方程组：．
18．（8分）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中a＝1+．
19．（8分）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边CB、AD的延长线上，且BE＝DF，EF分别与AB、CD交于点G、H．求证：AG＝CH．
20．（8分）如图三角形纸片ABC中，∠A＝30°，AC＝，点P为AB边上的一点（点P不与点A、B重合），连接CP，将△ACP沿着CP折叠得到△A'CP．
（1）求作△A'CP；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）若∠BPA'＝30°，求点P到直线AC的距离．
21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，将△ABC绕点B按顺时针方向旋转得到△DBE，当点E恰好落在线段AB上时，连接AD，∠ABD的平分线BF交AD于点F，连接EF．
（1）求EF的长；
（2）求证：C、E、F三点共线．
22．（10分）某超市销售一款果冻，4月底以22元/千克购入200千克，5月10日再以22.5元/千克购入120千克．如表是这些果冻的销售记录，图象是其销售利润y（元）与销售量x（千克）之间的函数关系．
时间
销售记录
5月1日至7日
售价25元/千克，一共售出150千克
5月8日至9日
“五一”长假结束，这两天以成本价促销
5月10日至20日
售价25元/千克，全部售完，共获利780元
请根据上述信息，解答问题：
（1）5月1日至7日，该超市销售这款果冻共获利多少元？
（2）求5月10日至5月20日期间销售利润y（元）与销售量x（千克）之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围．
23．（10分）随着互联网的快速发展，人们的生活越来越离不开快递，某快递公司邮寄每件包裹的收费标准是：重量小于或等于1千克的收费10元；重量超过1千克的部分，每超过1千克（不足1千克按1千克计算）需再收费2元．下表是该公司某天9：00～10：00统计的收件情况：
重量G（千克）
0＜G≤1
1＜G≤2
2＜G≤3
3＜G≤4
4＜G≤5
G＞5
件数
135
140
110
65
50
0
试根据以上所提供的信息，解决下列问题：
（1）求包裹重量为1＜G≤2的概率；
（2）小东打算在该公司邮寄一批每件3千克的包裹到不同地方，现有两种付费方式供他选择：①按该公司收费标准付费；②按上表中的平均费用付费．问：他选择哪种方式付费合算？说明理由．
24．（13分）如图1，在⊙O中，点A是优弧BAC上的一点，点I为△ABC的内心，连接AI并延长交⊙O于点D，连接OD交BC于点E，连接BI．
（1）求证：OD⊥BC；
（2）连接DB，求证：DB＝DI；
（3）如图2，若BC＝24，tan∠OBC＝，当B、O、I三点共线时，过点D作DG∥BI，交⊙O于点G，求DG的长．
25．（13分）已知顶点为D的抛物线y＝a（x﹣3）2（a≠0）交y轴于点C（0，3），且与直线l交于不同的两点A、B（A、B不与点D重合）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若∠ADB＝90°，
①试说明：直线l必过定点；
②过点D作DF⊥l，垂足为点F，求点C到点F的最短距离．
2021年福建省泉州市中考数学二检试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．（4分）﹣的绝对值是（ ）
A．5 B．﹣5 C．﹣ D．
【分析】直接利用绝对值的定义得出答案．
【解答】解：﹣的绝对值是：．
故选：D．
2．（4分）截至2021年2月3日，“天问一号”火星探测器总飞行里程已超过4.5亿公里，距地球约170000000公里．将数字170000000用科学记数法表示为（ ）
A．1.7×108 B．17×107 C．0.17×109 D．170×106
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：170000000＝1.7×108．
故选：A．
3．（4分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称及中心对称概念，结合选项即可得出答案．
【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
4．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a5 B．a2+a3＝a5 C．（a3）2＝a5 D．（3a）2＝6a2
【分析】A、根据同底数幂的运算法则判断即可；B、根据同类项定义判断即可；C、根据幂的乘方运算法则判断即可；D、根据积的乘方运算法则计算即可．
【解答】解：A、a2•a3＝a5，正确；
B、a2+a3不是同类项，不能合并，故不正确；
C、（a3）2＝a6，故不正确；
D、（3a）2＝9a2，故不正确，
故选：A．
5．（4分）如图，该几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
【解答】解：从左面看，是一列两个矩形．
故选：B．
6．（4分）下列事件中，是随机事件的是（ ）
A．从背面朝上的5张红桃和5张梅花扑克牌中抽取一张牌，恰好是方块
B．抛掷一枚普通硬币9次是正面，抛掷第10次恰好是正面
C．从装有10个黑球的不透明箱子中随机摸出1个球，恰好是黑球
D．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，出现的点数不是奇数就是偶数
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：A、从背面朝上的5张红桃和5张梅花扑克牌中抽取一张牌，恰好是方块是不肯能事件，不符合题意；
B、抛掷一枚普通硬币9次是正面，抛掷第10次恰好是正面是随机事件，符合题意；
C、从装有10个黑球的不透明箱子中随机摸出1个球，恰好是黑球是必然事件，不符合题意；
D、抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，出现的点数不是奇数就是偶数是必然事件，不符合题意，
故选：B．
7．（4分）如图，数轴上两点M、N所对应的实数分别为m、n，则m+n的结果可能是（ ）
A．1 B． C．0 D．﹣1
【分析】根据m，n的范围求出m+n的范围即可．
【解答】解：由数轴知：﹣3＜m＜﹣2，1＜n＜2．
∴﹣2＜m+n＜0．
∴m+n的值可能为﹣1．
故选：D．
8．（4分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，EO⊥AC于点O，交BC于点E，若△ABE的周长为5，AB＝2，则AD的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
【分析】由矩形的性质可得AO＝CO，由线段垂直平分线的性质可得AE＝EC，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝CO，BC＝AD，
∵EO⊥AC，
∴AE＝EC，
∵△ABE的周长为5，
∴AB+AE+BE＝5，
∴2+BC＝5，
∴BC＝3＝AD，
故选：C．
9．（4分）如图，在6×6的网格图中，⊙O经过格点A、B、D，点C在格点上，连接AC交⊙O于点E，连接BD、DE，则sin∠BDE的值为（ ）
A． B． C． D．2
【分析】连接OD与AC相交与点F，在Rt△AOF中可求出AF的长，根据圆周角定理可知∠BDE＝∠A，即求∠A的正弦值，即可得出答案．
【解答】解：连接OD与AC相交与点F，
在Rt△AOF中，OF＝1，AO＝2，
∴AF＝，
∵∠BDE＝∠A，
∴sin∠BDE＝sin∠OAF＝．
故选：B．
10．（4分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+3（a＞0），当0≤x≤m时，3﹣a≤y≤3，则m的取值范围为（ ）
A．0≤m≤1 B．0≤m≤2 C．1≤m≤2 D．m≥2
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m的取值范围．
【解答】解：二次函数y＝ax2﹣2ax+3＝a（x﹣1）2﹣a+3（a＞0），
∴该函数图象开口向上，对称轴是直线x＝1，当x＝1时，该函数取得最小值﹣a+3，
∵当0≤x≤m时，3﹣a≤y≤3，当y＝3时，x＝2或x＝0，
∴1≤m≤2，
故选：C．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的相应位置.
11．（4分）不等式2x﹣6＞0的解集是 x＞3 ．
【分析】移项、系数化成1即可求解．
【解答】解：移项，得2x＞6，
系数化成1得x＞3．
故答案是：x＞3．
12．（4分）若n边形的每一个外角都为45°，则n的值为 8 ．
【分析】利用多边形的外角和360°除以45°即可得到n的值．
【解答】解：∵n边形的的外角和为360°，每一个外角都为45°，
∴n＝360°÷45°＝8，
故答案为：8．
13．（4分）某校数学课外兴趣小组10个同学数学素养测试成绩如图所示，则该兴趣小组10个同学的数学素养测试成绩的众数是 92 分．
【分析】根据众数的定义即可求解．
【解答】解；在这一组数据中92出现次数最多，故众数是92分．
故答案为：92．
14．（4分）若x﹣2y2＝﹣4，则﹣3x+6y2的值为 12 ．
【分析】将﹣3x+6y2变形为﹣3（x﹣2y2），再把x﹣2y2＝﹣4代入即可得解．
【解答】解：∵x﹣2y2＝﹣4，
∴﹣3x+6y2＝﹣3（x﹣2y2）＝﹣3×（﹣4）＝12，
故答案为：12．
15．（4分）如图所示的图案是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》中“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形ABCD与四边形EFGH均为正方形，点H是DE的中点，阴影部分的面积为24，则AD的长为 ．
【分析】由四边形ABCD与四边形EFGH均为正方形，点H是DE的中点，可知E、F、G分别为AF、BG、CH的中点，可推出阴影部分的四个直角三角形面积相等，每一个都为正方形EFGH面积的，从而阴影部分总面积为正方形EFGH面积的3倍，即可得正方形EFGH面积为8，继而得DH＝EH＝AE＝，由勾股定理可求得AD的长．
【解答】解：由四边形ABCD与四边形EFGH均为正方形，点H是DE的中点，可知E、F、G分别为AF、BG、CH的中点，
且AE＝EH＝DH＝HG＝CG＝FG＝BF＝EF＝BE，
∴S△AEH＝S△DHG＝S△CGF＝S△BFE＝，
∴S阴影＝3×S正方形EFGH＝24，
∴S正方形EFGH＝8，
∴EH＝DH＝，
∴DE＝2EH＝4，
又∠AED＝90°，
∴＝＝＝．
故答案为：2．
16．（4分）如图，点A、C为反比例函数y1＝﹣上的动点，点B、D为反比例函数y2＝上的动点，若四边形ABCD为菱形，则该菱形边长的最小值为 4 ．
【分析】连接AC、BD，过A点作AE⊥x轴于E，过D点作DF⊥x轴于F，如图，利用菱形的性质得到AC⊥BD，利用反比例函数k的几何意义得到S△AOE＝3，S△ODF＝1，再证明Rt△AOE∽Rt△ODF，利用相似三角形的性质得到OA：OD＝：1，所以AD＝2OD，利用点D为反比例函数y2＝的对称轴与反比例函数图象在一象限的交点时，OD最小得到OD的最小值为2，从而得到AD的最小值为4．
【解答】解：连接AC、BD，过A点作AE⊥x轴于E，过D点作DF⊥x轴于F，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
∵A为反比例函数y1＝﹣上的点，点D为反比例函数y2＝上的点，
∴S△AOE＝|﹣6|＝3，S△ODF＝×2＝1，
∵∠OAE+∠AOE＝90°，∠AOE+∠DOF＝90°，
∴∠OAE＝∠DOF，
∴Rt△AOE∽Rt△ODF，
∴S△AOE：S△ODF＝OA2：OD2＝3：1，
∴OA：OD＝：1，
∴AD＝＝2OD，
当OD最小时，AD最小，
∵点D为反比例函数y2＝的对称轴与反比例函数图象在一象限的交点时，OD最小，
∴OD的最小值为＝2，
∴AD的最小值为4，
即该菱形边长的最小值为4．
故答案为4．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.在答题卡的相应位置内作答.
17．（8分）解方程组：．
【分析】两个方程中，x或y的系数既不相等也不互为相反数，需要先求出x或y的系数的最小公倍数，即将方程中某个未知数的系数变成其最小公倍数之后，再进行加减．
【解答】解：，
②×2﹣①得：
5y＝15，
y＝3，
把y＝3代入②得：
x＝5，
∴方程组的解为．
18．（8分）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中a＝1+．
【分析】根据分式的运算法则进行化简，然后将a的值代入原式即可求出答案．
【解答】解：原式＝÷
＝÷
＝•
＝，
当a＝1+时，
原式＝＝．
19．（8分）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边CB、AD的延长线上，且BE＝DF，EF分别与AB、CD交于点G、H．求证：AG＝CH．
【分析】利用平行四边形的性质得出AF＝EC，再利用全等三角形的判定与性质得出答案．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，∠A＝∠C，AD∥BC，
∴∠E＝∠F，
∵BE＝DF，
∴AF＝EC，
在△AGF和△CHE中
，
∴△AGF≌△CHE（ASA），
∴AG＝CH．
20．（8分）如图三角形纸片ABC中，∠A＝30°，AC＝，点P为AB边上的一点（点P不与点A、B重合），连接CP，将△ACP沿着CP折叠得到△A'CP．
（1）求作△A'CP；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）若∠BPA'＝30°，求点P到直线AC的距离．
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）如图，过点P作PH⊥AC于H．求出PH即可．
【解答】解：（1）如图，△A'CP即为所求作．
（2）如图，过点P作PH⊥AC于H．
∵∠BPA′＝30°，∠A＝30°，
∴∠APC＝∠CPA′＝（180°﹣30°）＝75°，
∴∠ACP＝75°，
∴AC＝AP＝，
∴PH＝PA＝，
∴点P到直线AC的距离为．
21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，将△ABC绕点B按顺时针方向旋转得到△DBE，当点E恰好落在线段AB上时，连接AD，∠ABD的平分线BF交AD于点F，连接EF．
（1）求EF的长；
（2）求证：C、E、F三点共线．
【分析】（1）将△ABC绕点B按顺时针方向旋转得到△DBE，可得DE＝AC＝8，BE＝BC＝6，从而可求AD，由AB＝BD，BF平分∠ABD，可得F是AD中点，EF＝AD即可得答案；
（2）连接CE，先证∠ABC＝2∠1＝2∠3，再用∠ABC+∠BCE+∠BEC＝180°得2∠3+2∠BEC＝180°，从而证明∠3+∠BEC+∠BED＝180°即可．
【解答】解：（1）∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝10，
∵将△ABC绕点B按顺时针方向旋转得到△DBE，
∴AB＝BD＝10，DE＝AC＝8，BE＝BC＝6，∠DEB＝∠C＝90°，
∴∠AED＝90°，AE＝AB﹣BE＝4，
∴AD＝＝4，
∵BF平分∠ABD，且AB＝BD，
∴AF＝DF，
Rt△ADE中，EF＝AD＝2；
（2）连接CE，如图：
由（1）知：BF平分∠ABD，且AB＝BD，
∴EF＝AD＝DF，∠BFD＝∠BEG＝90°，
∴∠2＝∠3，
∵∠DGF＝∠BGE，
∴△DFG∽△BEG，
∴∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∵BF平分∠ABD，
∴∠ABD＝∠ABC＝2∠1，
∴∠ABC＝2∠3，
∵BC＝BE，
∴∠BEC＝∠BCE，
∵∠ABC+∠BCE+∠BEC＝180°，
∴2∠3+2∠BEC＝180°，
∴∠3+∠BEC＝90°，
∴∠3+∠BEC+∠BED＝180°，
∴C、E、F三点共线．
22．（10分）某超市销售一款果冻，4月底以22元/千克购入200千克，5月10日再以22.5元/千克购入120千克．如表是这些果冻的销售记录，图象是其销售利润y（元）与销售量x（千克）之间的函数关系．
时间
销售记录
5月1日至7日
售价25元/千克，一共售出150千克
5月8日至9日
“五一”长假结束，这两天以成本价促销
5月10日至20日
售价25元/千克，全部售完，共获利780元
请根据上述信息，解答问题：
（1）5月1日至7日，该超市销售这款果冻共获利多少元？
（2）求5月10日至5月20日期间销售利润y（元）与销售量x（千克）之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围．
【分析】（1）由函数的图象可知，由此可得5月1日至7日，该超市销售这款果冻150千克，根据售价和购入即可求解；
（2）根据销售利润求出点B的横坐标，可得B（190，450），设5月10日至5月20日期间销售利润y（元）与销售量x（千克）之间的函数关系式为y＝kx+b，由点A、B的坐标即可求解．
【解答】解：（1）150×（25﹣22）＝450（元），
答：5月1日至7日，该超市销售这款果冻共获利450元；
（2）5月10日至5月20日期间销售4月底购入果冻获得的利润：（780﹣450）﹣120×（25﹣22.5）＝30（元），
5月10日至5月20日期间销售4月底购入果冻的数量：30÷（25﹣22）＝10（千克），
∴点B的横坐标：200﹣10＝190，
设5月10日至5月20日期间销售利润y（元）与销售量x（千克）之间的函数关系式为y＝kx+b，
把（190，450）和（320，780）代入y＝kx+b得，
，
解得：，
∴y＝x﹣（190≤x≤320）．
答：5月10日至5月20日期间销售利润y（元）与销售量x（千克）之间的函数关系式为y＝x﹣（190≤x≤320）．
23．（10分）随着互联网的快速发展，人们的生活越来越离不开快递，某快递公司邮寄每件包裹的收费标准是：重量小于或等于1千克的收费10元；重量超过1千克的部分，每超过1千克（不足1千克按1千克计算）需再收费2元．下表是该公司某天9：00～10：00统计的收件情况：
重量G（千克）
0＜G≤1
1＜G≤2
2＜G≤3
3＜G≤4
4＜G≤5
G＞5
件数
135
140
110
65
50
0
试根据以上所提供的信息，解决下列问题：
（1）求包裹重量为1＜G≤2的概率；
（2）小东打算在该公司邮寄一批每件3千克的包裹到不同地方，现有两种付费方式供他选择：①按该公司收费标准付费；②按上表中的平均费用付费．问：他选择哪种方式付费合算？说明理由．
【分析】（1）包裹重量为1＜G≤2的概率，等于1＜G≤2的件数除以总件数；
（2）将两种付费方式的费用计算出来进行比较即可．
【解答】解：（1）1＜G≤2的概率记为P，
则P＝，
∴包裹重量为1＜G≤2的概率为28%；
（2）①按公司收费标准付费，则费用S1＝10+2×（3﹣1）＝10+4＝14（元）；
②按平均费用付费，则费用S2＝＝；
∵13.02＜14，
∴选择平均费用付费合算．
24．（13分）如图1，在⊙O中，点A是优弧BAC上的一点，点I为△ABC的内心，连接AI并延长交⊙O于点D，连接OD交BC于点E，连接BI．
（1）求证：OD⊥BC；
（2）连接DB，求证：DB＝DI；
（3）如图2，若BC＝24，tan∠OBC＝，当B、O、I三点共线时，过点D作DG∥BI，交⊙O于点G，求DG的长．
【分析】（1）证明＝，再利用垂径定理可得结论．
（2）想办法证明∠DBI＝∠DIB，即可解决问题．
（3）如图2中，连接OG，过点O作OH⊥CG于H，解直角三角形求出OE，再利用全等三角形的性质求出DH，可得结论．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵I是△ABC的内心，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴＝，
∴OD⊥BC．
（2）证明：如图1中，连接BD．
∵I是△ABC的内心，
∴∠BAI＝∠CAI，∠ABI＝∠CBI，
∵∠DIB＝∠BAI+∠ABI，∠DBI＝∠CBI+∠CBD，∠CBD＝∠CAI，
∴∠DBI＝∠DIB，
∴DB＝DI.
（3）解：如图2中，连接OG，过点O作OH⊥DG于H．
∵OD⊥BC，
∴BE＝EC＝12，
∵tan∠OBE＝＝，
∴OE＝5，
∵DG∥OB，
∴∠BOE＝∠ODH，
∵∠BEO＝∠OHD＝90°，OB＝OD，
∴△OBE≌△ODH（AAS），
∴OE＝DH＝5，
∵OH⊥DG，
∴DH＝HG＝5，
∴DG＝10．
25．（13分）已知顶点为D的抛物线y＝a（x﹣3）2（a≠0）交y轴于点C（0，3），且与直线l交于不同的两点A、B（A、B不与点D重合）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若∠ADB＝90°，
①试说明：直线l必过定点；
②过点D作DF⊥l，垂足为点F，求点C到点F的最短距离．
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）①依题意可设A（x1，y1），B（x2，y2），y1y2≠0，过点A、B向x轴作垂线，垂足分别为P、Q，顶点坐标为（3，0），判定△APD∽△DQB，可得比例式，用x1，x2表示出y1y2；设直线l的解析式为y＝kx+b（k≠0），将其与抛物线解析式联立，解方程组，用k和b表示出x1+x2和y1y2，从而可得关于k和b的方程，解得k与b的关系，则可得结论；②由题意可得点F在以DE为直径的圆上，由勾股定理求得CG的值，在△CFG中，由三角形的三边关系可得答案．
【解答】解：（1）把点C（0，3）代入y＝a（x﹣3）2，得：9a＝3，
∴a＝，
∴抛物线的解析式为y＝（x﹣3）2；
（2）①证明：依题意可设A（x1，y1），B（x2，y2），y1y2≠0，过点A、B向x轴作垂线，垂足分别为P、Q，顶点坐标为（3，0），
∴∠APD＝∠DQB＝90°，
∵∠ADB＝90°，
∴∠ADP+∠QDB＝90°．
又∵∠ADP+∠PAD＝90°，
∴∠PAD＝∠QDB，
∴△APD∽△DQB，
∴＝，即，
∴y1y2＝3（x1+x2）﹣x1x2﹣9．
设直线l的解析式为y＝kx+b（k≠0），
联立，得x2﹣（3k+6）x+（9﹣3b）＝0，
∴△＝（3k+6）2﹣4（9﹣3b）＝9k2+36k+12b＞0，
∴x＝，
∴x1+x2＝3k+6，x1x2＝9﹣3b，
∴y1y2＝3（3k+6）﹣（9﹣3b）﹣9
＝9k+3b
＝3（3k+b）．
∵y1y2＝（kx1+b）（kx2+b）
＝k2x1x2+kb（x1+x2）+b2
＝k2（9﹣3b）+kb（3k+6）+b2
＝9k2+6kb+b2
＝（3k+b）2，
∴（3k+b）2＝3（3k+b），
∴（3k+b）（3k+b﹣3）＝0，
∴3k+b＝0（不合题意，舍去），或3k+b﹣3＝0，
当3k+b﹣3＝0，即b＝3﹣3k时，y＝kx+3﹣3k＝k（x﹣3）+3，
令x﹣3＝0，则y＝3，
∴直线l必过定点E（3，3）；
②∵点D（3，0），点E（3，3），点C（0，3），
∴DE＝3，
∵DF⊥l，
∴点F在以DE为直径的圆上，设圆心为G，则点G（3，），
∴CG＝＝．
如图，连接CG、FG，则CF≥|CG﹣FG|＝﹣＝．
当且仅当点F在线段CG上时，上式取“＝“，
∴CF的最小值为．
2021年福建省泉州市中考数学二检试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．（4分）﹣的绝对值是（ ）
A．5 B．﹣5 C．﹣ D．
2．（4分）截至2021年2月3日，“天问一号”火星探测器总飞行里程已超过4.5亿公里，距地球约170000000公里．将数字170000000用科学记数法表示为（ ）
A．1.7×108 B．17×107 C．0.17×109 D．170×106
3．（4分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a5 B．a2+a3＝a5 C．（a3）2＝a5 D．（3a）2＝6a2
5．（4分）如图，该几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
6．（4分）下列事件中，是随机事件的是（ ）
A．从背面朝上的5张红桃和5张梅花扑克牌中抽取一张牌，恰好是方块
B．抛掷一枚普通硬币9次是正面，抛掷第10次恰好是正面
C．从装有10个黑球的不透明箱子中随机摸出1个球，恰好是黑球
D．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，出现的点数不是奇数就是偶数
7．（4分）如图，数轴上两点M、N所对应的实数分别为m、n，则m+n的结果可能是（ ）
A．1 B． C．0 D．﹣1
8．（4分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，EO⊥AC于点O，交BC于点E，若△ABE的周长为5，AB＝2，则AD的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
9．（4分）如图，在6×6的网格图中，⊙O经过格点A、B、D，点C在格点上，连接AC交⊙O于点E，连接BD、DE，则sin∠BDE的值为（ ）
A． B． C． D．2
10．（4分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+3（a＞0），当0≤x≤m时，3﹣a≤y≤3，则m的取值范围为（ ）
A．0≤m≤1 B．0≤m≤2 C．1≤m≤2 D．m≥2
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的相应位置.
11．（4分）不等式2x﹣6＞0的解集是 ．
12．（4分）若n边形的每一个外角都为45°，则n的值为 ．
13．（4分）某校数学课外兴趣小组10个同学数学素养测试成绩如图所示，则该兴趣小组10个同学的数学素养测试成绩的众数是 分．
14．（4分）若x﹣2y2＝﹣4，则﹣3x+6y2的值为 ．
15．（4分）如图所示的图案是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》中“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形ABCD与四边形EFGH均为正方形，点H是DE的中点，阴影部分的面积为24，则AD的长为 ．
16．（4分）如图，点A、C为反比例函数y1＝﹣上的动点，点B、D为反比例函数y2＝上的动点，若四边形ABCD为菱形，则该菱形边长的最小值为 ．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.在答题卡的相应位置内作答.
17．（8分）解方程组：．
18．（8分）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中a＝1+．
19．（8分）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边CB、AD的延长线上，且BE＝DF，EF分别与AB、CD交于点G、H．求证：AG＝CH．
20．（8分）如图三角形纸片ABC中，∠A＝30°，AC＝，点P为AB边上的一点（点P不与点A、B重合），连接CP，将△ACP沿着CP折叠得到△A'CP．
（1）求作△A'CP；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）若∠BPA'＝30°，求点P到直线AC的距离．
21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，将△ABC绕点B按顺时针方向旋转得到△DBE，当点E恰好落在线段AB上时，连接AD，∠ABD的平分线BF交AD于点F，连接EF．
（1）求EF的长；
（2）求证：C、E、F三点共线．
22．（10分）某超市销售一款果冻，4月底以22元/千克购入200千克，5月10日再以22.5元/千克购入120千克．如表是这些果冻的销售记录，图象是其销售利润y（元）与销售量x（千克）之间的函数关系．
时间
销售记录
5月1日至7日
售价25元/千克，一共售出150千克
5月8日至9日
“五一”长假结束，这两天以成本价促销
5月10日至20日
售价25元/千克，全部售完，共获利780元
请根据上述信息，解答问题：
（1）5月1日至7日，该超市销售这款果冻共获利多少元？
（2）求5月10日至5月20日期间销售利润y（元）与销售量x（千克）之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围．
23．（10分）随着互联网的快速发展，人们的生活越来越离不开快递，某快递公司邮寄每件包裹的收费标准是：重量小于或等于1千克的收费10元；重量超过1千克的部分，每超过1千克（不足1千克按1千克计算）需再收费2元．下表是该公司某天9：00～10：00统计的收件情况：
重量G（千克）
0＜G≤1
1＜G≤2
2＜G≤3
3＜G≤4
4＜G≤5
G＞5
件数
135
140
110
65
50
0
试根据以上所提供的信息，解决下列问题：
（1）求包裹重量为1＜G≤2的概率；
（2）小东打算在该公司邮寄一批每件3千克的包裹到不同地方，现有两种付费方式供他选择：①按该公司收费标准付费；②按上表中的平均费用付费．问：他选择哪种方式付费合算？说明理由．
24．（13分）如图1，在⊙O中，点A是优弧BAC上的一点，点I为△ABC的内心，连接AI并延长交⊙O于点D，连接OD交BC于点E，连接BI．
（1）求证：OD⊥BC；
（2）连接DB，求证：DB＝DI；
（3）如图2，若BC＝24，tan∠OBC＝，当B、O、I三点共线时，过点D作DG∥BI，交⊙O于点G，求DG的长．
25．（13分）已知顶点为D的抛物线y＝a（x﹣3）2（a≠0）交y轴于点C（0，3），且与直线l交于不同的两点A、B（A、B不与点D重合）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若∠ADB＝90°，
①试说明：直线l必过定点；
②过点D作DF⊥l，垂足为点F，求点C到点F的最短距离．
2021年福建省泉州市中考数学二检试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．（4分）﹣的绝对值是（ ）
A．5 B．﹣5 C．﹣ D．
【分析】直接利用绝对值的定义得出答案．
【解答】解：﹣的绝对值是：．
故选：D．
2．（4分）截至2021年2月3日，“天问一号”火星探测器总飞行里程已超过4.5亿公里，距地球约170000000公里．将数字170000000用科学记数法表示为（ ）
A．1.7×108 B．17×107 C．0.17×109 D．170×106
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：170000000＝1.7×108．
故选：A．
3．（4分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称及中心对称概念，结合选项即可得出答案．
【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
4．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a5 B．a2+a3＝a5 C．（a3）2＝a5 D．（3a）2＝6a2
【分析】A、根据同底数幂的运算法则判断即可；B、根据同类项定义判断即可；C、根据幂的乘方运算法则判断即可；D、根据积的乘方运算法则计算即可．
【解答】解：A、a2•a3＝a5，正确；
B、a2+a3不是同类项，不能合并，故不正确；
C、（a3）2＝a6，故不正确；
D、（3a）2＝9a2，故不正确，
故选：A．
5．（4分）如图，该几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
【解答】解：从左面看，是一列两个矩形．
故选：B．
6．（4分）下列事件中，是随机事件的是（ ）
A．从背面朝上的5张红桃和5张梅花扑克牌中抽取一张牌，恰好是方块
B．抛掷一枚普通硬币9次是正面，抛掷第10次恰好是正面
C．从装有10个黑球的不透明箱子中随机摸出1个球，恰好是黑球
D．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，出现的点数不是奇数就是偶数
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：A、从背面朝上的5张红桃和5张梅花扑克牌中抽取一张牌，恰好是方块是不肯能事件，不符合题意；
B、抛掷一枚普通硬币9次是正面，抛掷第10次恰好是正面是随机事件，符合题意；
C、从装有10个黑球的不透明箱子中随机摸出1个球，恰好是黑球是必然事件，不符合题意；
D、抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，出现的点数不是奇数就是偶数是必然事件，不符合题意，
故选：B．
7．（4分）如图，数轴上两点M、N所对应的实数分别为m、n，则m+n的结果可能是（ ）
A．1 B． C．0 D．﹣1
【分析】根据m，n的范围求出m+n的范围即可．
【解答】解：由数轴知：﹣3＜m＜﹣2，1＜n＜2．
∴﹣2＜m+n＜0．
∴m+n的值可能为﹣1．
故选：D．
8．（4分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，EO⊥AC于点O，交BC于点E，若△ABE的周长为5，AB＝2，则AD的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
【分析】由矩形的性质可得AO＝CO，由线段垂直平分线的性质可得AE＝EC，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝CO，BC＝AD，
∵EO⊥AC，
∴AE＝EC，
∵△ABE的周长为5，
∴AB+AE+BE＝5，
∴2+BC＝5，
∴BC＝3＝AD，
故选：C．
9．（4分）如图，在6×6的网格图中，⊙O经过格点A、B、D，点C在格点上，连接AC交⊙O于点E，连接BD、DE，则sin∠BDE的值为（ ）
A． B． C． D．2
【分析】连接OD与AC相交与点F，在Rt△AOF中可求出AF的长，根据圆周角定理可知∠BDE＝∠A，即求∠A的正弦值，即可得出答案．
【解答】解：连接OD与AC相交与点F，
在Rt△AOF中，OF＝1，AO＝2，
∴AF＝，
∵∠BDE＝∠A，
∴sin∠BDE＝sin∠OAF＝．
故选：B．
10．（4分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+3（a＞0），当0≤x≤m时，3﹣a≤y≤3，则m的取值范围为（ ）
A．0≤m≤1 B．0≤m≤2 C．1≤m≤2 D．m≥2
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m的取值范围．
【解答】解：二次函数y＝ax2﹣2ax+3＝a（x﹣1）2﹣a+3（a＞0），
∴该函数图象开口向上，对称轴是直线x＝1，当x＝1时，该函数取得最小值﹣a+3，
∵当0≤x≤m时，3﹣a≤y≤3，当y＝3时，x＝2或x＝0，
∴1≤m≤2，
故选：C．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的相应位置.
11．（4分）不等式2x﹣6＞0的解集是 x＞3 ．
【分析】移项、系数化成1即可求解．
【解答】解：移项，得2x＞6，
系数化成1得x＞3．
故答案是：x＞3．
12．（4分）若n边形的每一个外角都为45°，则n的值为 8 ．
【分析】利用多边形的外角和360°除以45°即可得到n的值．
【解答】解：∵n边形的的外角和为360°，每一个外角都为45°，
∴n＝360°÷45°＝8，
故答案为：8．
13．（4分）某校数学课外兴趣小组10个同学数学素养测试成绩如图所示，则该兴趣小组10个同学的数学素养测试成绩的众数是 92 分．
【分析】根据众数的定义即可求解．
【解答】解；在这一组数据中92出现次数最多，故众数是92分．
故答案为：92．
14．（4分）若x﹣2y2＝﹣4，则﹣3x+6y2的值为 12 ．
【分析】将﹣3x+6y2变形为﹣3（x﹣2y2），再把x﹣2y2＝﹣4代入即可得解．
【解答】解：∵x﹣2y2＝﹣4，
∴﹣3x+6y2＝﹣3（x﹣2y2）＝﹣3×（﹣4）＝12，
故答案为：12．
15．（4分）如图所示的图案是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》中“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形ABCD与四边形EFGH均为正方形，点H是DE的中点，阴影部分的面积为24，则AD的长为 ．
【分析】由四边形ABCD与四边形EFGH均为正方形，点H是DE的中点，可知E、F、G分别为AF、BG、CH的中点，可推出阴影部分的四个直角三角形面积相等，每一个都为正方形EFGH面积的，从而阴影部分总面积为正方形EFGH面积的3倍，即可得正方形EFGH面积为8，继而得DH＝EH＝AE＝，由勾股定理可求得AD的长．
【解答】解：由四边形ABCD与四边形EFGH均为正方形，点H是DE的中点，可知E、F、G分别为AF、BG、CH的中点，
且AE＝EH＝DH＝HG＝CG＝FG＝BF＝EF＝BE，
∴S△AEH＝S△DHG＝S△CGF＝S△BFE＝，
∴S阴影＝3×S正方形EFGH＝24，
∴S正方形EFGH＝8，
∴EH＝DH＝，
∴DE＝2EH＝4，
又∠AED＝90°，
∴＝＝＝．
故答案为：2．
16．（4分）如图，点A、C为反比例函数y1＝﹣上的动点，点B、D为反比例函数y2＝上的动点，若四边形ABCD为菱形，则该菱形边长的最小值为 4 ．
【分析】连接AC、BD，过A点作AE⊥x轴于E，过D点作DF⊥x轴于F，如图，利用菱形的性质得到AC⊥BD，利用反比例函数k的几何意义得到S△AOE＝3，S△ODF＝1，再证明Rt△AOE∽Rt△ODF，利用相似三角形的性质得到OA：OD＝：1，所以AD＝2OD，利用点D为反比例函数y2＝的对称轴与反比例函数图象在一象限的交点时，OD最小得到OD的最小值为2，从而得到AD的最小值为4．
【解答】解：连接AC、BD，过A点作AE⊥x轴于E，过D点作DF⊥x轴于F，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
∵A为反比例函数y1＝﹣上的点，点D为反比例函数y2＝上的点，
∴S△AOE＝|﹣6|＝3，S△ODF＝×2＝1，
∵∠OAE+∠AOE＝90°，∠AOE+∠DOF＝90°，
∴∠OAE＝∠DOF，
∴Rt△AOE∽Rt△ODF，
∴S△AOE：S△ODF＝OA2：OD2＝3：1，
∴OA：OD＝：1，
∴AD＝＝2OD，
当OD最小时，AD最小，
∵点D为反比例函数y2＝的对称轴与反比例函数图象在一象限的交点时，OD最小，
∴OD的最小值为＝2，
∴AD的最小值为4，
即该菱形边长的最小值为4．
故答案为4．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.在答题卡的相应位置内作答.
17．（8分）解方程组：．
【分析】两个方程中，x或y的系数既不相等也不互为相反数，需要先求出x或y的系数的最小公倍数，即将方程中某个未知数的系数变成其最小公倍数之后，再进行加减．
【解答】解：，
②×2﹣①得：
5y＝15，
y＝3，
把y＝3代入②得：
x＝5，
∴方程组的解为．
18．（8分）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中a＝1+．
【分析】根据分式的运算法则进行化简，然后将a的值代入原式即可求出答案．
【解答】解：原式＝÷
＝÷
＝•
＝，
当a＝1+时，
原式＝＝．
19．（8分）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边CB、AD的延长线上，且BE＝DF，EF分别与AB、CD交于点G、H．求证：AG＝CH．
【分析】利用平行四边形的性质得出AF＝EC，再利用全等三角形的判定与性质得出答案．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，∠A＝∠C，AD∥BC，
∴∠E＝∠F，
∵BE＝DF，
∴AF＝EC，
在△AGF和△CHE中
，
∴△AGF≌△CHE（ASA），
∴AG＝CH．
20．（8分）如图三角形纸片ABC中，∠A＝30°，AC＝，点P为AB边上的一点（点P不与点A、B重合），连接CP，将△ACP沿着CP折叠得到△A'CP．
（1）求作△A'CP；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）若∠BPA'＝30°，求点P到直线AC的距离．
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）如图，过点P作PH⊥AC于H．求出PH即可．
【解答】解：（1）如图，△A'CP即为所求作．
（2）如图，过点P作PH⊥AC于H．
∵∠BPA′＝30°，∠A＝30°，
∴∠APC＝∠CPA′＝（180°﹣30°）＝75°，
∴∠ACP＝75°，
∴AC＝AP＝，
∴PH＝PA＝，
∴点P到直线AC的距离为．
21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，将△ABC绕点B按顺时针方向旋转得到△DBE，当点E恰好落在线段AB上时，连接AD，∠ABD的平分线BF交AD于点F，连接EF．
（1）求EF的长；
（2）求证：C、E、F三点共线．
【分析】（1）将△ABC绕点B按顺时针方向旋转得到△DBE，可得DE＝AC＝8，BE＝BC＝6，从而可求AD，由AB＝BD，BF平分∠ABD，可得F是AD中点，EF＝AD即可得答案；
（2）连接CE，先证∠ABC＝2∠1＝2∠3，再用∠ABC+∠BCE+∠BEC＝180°得2∠3+2∠BEC＝180°，从而证明∠3+∠BEC+∠BED＝180°即可．
【解答】解：（1）∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝10，
∵将△ABC绕点B按顺时针方向旋转得到△DBE，
∴AB＝BD＝10，DE＝AC＝8，BE＝BC＝6，∠DEB＝∠C＝90°，
∴∠AED＝90°，AE＝AB﹣BE＝4，
∴AD＝＝4，
∵BF平分∠ABD，且AB＝BD，
∴AF＝DF，
Rt△ADE中，EF＝AD＝2；
（2）连接CE，如图：
由（1）知：BF平分∠ABD，且AB＝BD，
∴EF＝AD＝DF，∠BFD＝∠BEG＝90°，
∴∠2＝∠3，
∵∠DGF＝∠BGE，
∴△DFG∽△BEG，
∴∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∵BF平分∠ABD，
∴∠ABD＝∠ABC＝2∠1，
∴∠ABC＝2∠3，
∵BC＝BE，
∴∠BEC＝∠BCE，
∵∠ABC+∠BCE+∠BEC＝180°，
∴2∠3+2∠BEC＝180°，
∴∠3+∠BEC＝90°，
∴∠3+∠BEC+∠BED＝180°，
∴C、E、F三点共线．
22．（10分）某超市销售一款果冻，4月底以22元/千克购入200千克，5月10日再以22.5元/千克购入120千克．如表是这些果冻的销售记录，图象是其销售利润y（元）与销售量x（千克）之间的函数关系．
时间
销售记录
5月1日至7日
售价25元/千克，一共售出150千克
5月8日至9日
“五一”长假结束，这两天以成本价促销
5月10日至20日
售价25元/千克，全部售完，共获利780元
请根据上述信息，解答问题：
（1）5月1日至7日，该超市销售这款果冻共获利多少元？
（2）求5月10日至5月20日期间销售利润y（元）与销售量x（千克）之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围．
【分析】（1）由函数的图象可知，由此可得5月1日至7日，该超市销售这款果冻150千克，根据售价和购入即可求解；
（2）根据销售利润求出点B的横坐标，可得B（190，450），设5月10日至5月20日期间销售利润y（元）与销售量x（千克）之间的函数关系式为y＝kx+b，由点A、B的坐标即可求解．
【解答】解：（1）150×（25﹣22）＝450（元），
答：5月1日至7日，该超市销售这款果冻共获利450元；
（2）5月10日至5月20日期间销售4月底购入果冻获得的利润：（780﹣450）﹣120×（25﹣22.5）＝30（元），
5月10日至5月20日期间销售4月底购入果冻的数量：30÷（25﹣22）＝10（千克），
∴点B的横坐标：200﹣10＝190，
设5月10日至5月20日期间销售利润y（元）与销售量x（千克）之间的函数关系式为y＝kx+b，
把（190，450）和（320，780）代入y＝kx+b得，
，
解得：，
∴y＝x﹣（190≤x≤320）．
答：5月10日至5月20日期间销售利润y（元）与销售量x（千克）之间的函数关系式为y＝x﹣（190≤x≤320）．
23．（10分）随着互联网的快速发展，人们的生活越来越离不开快递，某快递公司邮寄每件包裹的收费标准是：重量小于或等于1千克的收费10元；重量超过1千克的部分，每超过1千克（不足1千克按1千克计算）需再收费2元．下表是该公司某天9：00～10：00统计的收件情况：
重量G（千克）
0＜G≤1
1＜G≤2
2＜G≤3
3＜G≤4
4＜G≤5
G＞5
件数
135
140
110
65
50
0
试根据以上所提供的信息，解决下列问题：
（1）求包裹重量为1＜G≤2的概率；
（2）小东打算在该公司邮寄一批每件3千克的包裹到不同地方，现有两种付费方式供他选择：①按该公司收费标准付费；②按上表中的平均费用付费．问：他选择哪种方式付费合算？说明理由．
【分析】（1）包裹重量为1＜G≤2的概率，等于1＜G≤2的件数除以总件数；
（2）将两种付费方式的费用计算出来进行比较即可．
【解答】解：（1）1＜G≤2的概率记为P，
则P＝，
∴包裹重量为1＜G≤2的概率为28%；
（2）①按公司收费标准付费，则费用S1＝10+2×（3﹣1）＝10+4＝14（元）；
②按平均费用付费，则费用S2＝＝；
∵13.02＜14，
∴选择平均费用付费合算．
24．（13分）如图1，在⊙O中，点A是优弧BAC上的一点，点I为△ABC的内心，连接AI并延长交⊙O于点D，连接OD交BC于点E，连接BI．
（1）求证：OD⊥BC；
（2）连接DB，求证：DB＝DI；
（3）如图2，若BC＝24，tan∠OBC＝，当B、O、I三点共线时，过点D作DG∥BI，交⊙O于点G，求DG的长．
【分析】（1）证明＝，再利用垂径定理可得结论．
（2）想办法证明∠DBI＝∠DIB，即可解决问题．
（3）如图2中，连接OG，过点O作OH⊥CG于H，解直角三角形求出OE，再利用全等三角形的性质求出DH，可得结论．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵I是△ABC的内心，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴＝，
∴OD⊥BC．
（2）证明：如图1中，连接BD．
∵I是△ABC的内心，
∴∠BAI＝∠CAI，∠ABI＝∠CBI，
∵∠DIB＝∠BAI+∠ABI，∠DBI＝∠CBI+∠CBD，∠CBD＝∠CAI，
∴∠DBI＝∠DIB，
∴DB＝DI.
（3）解：如图2中，连接OG，过点O作OH⊥DG于H．
∵OD⊥BC，
∴BE＝EC＝12，
∵tan∠OBE＝＝，
∴OE＝5，
∵DG∥OB，
∴∠BOE＝∠ODH，
∵∠BEO＝∠OHD＝90°，OB＝OD，
∴△OBE≌△ODH（AAS），
∴OE＝DH＝5，
∵OH⊥DG，
∴DH＝HG＝5，
∴DG＝10．
25．（13分）已知顶点为D的抛物线y＝a（x﹣3）2（a≠0）交y轴于点C（0，3），且与直线l交于不同的两点A、B（A、B不与点D重合）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若∠ADB＝90°，
①试说明：直线l必过定点；
②过点D作DF⊥l，垂足为点F，求点C到点F的最短距离．
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）①依题意可设A（x1，y1），B（x2，y2），y1y2≠0，过点A、B向x轴作垂线，垂足分别为P、Q，顶点坐标为（3，0），判定△APD∽△DQB，可得比例式，用x1，x2表示出y1y2；设直线l的解析式为y＝kx+b（k≠0），将其与抛物线解析式联立，解方程组，用k和b表示出x1+x2和y1y2，从而可得关于k和b的方程，解得k与b的关系，则可得结论；②由题意可得点F在以DE为直径的圆上，由勾股定理求得CG的值，在△CFG中，由三角形的三边关系可得答案．
【解答】解：（1）把点C（0，3）代入y＝a（x﹣3）2，得：9a＝3，
∴a＝，
∴抛物线的解析式为y＝（x﹣3）2；
（2）①证明：依题意可设A（x1，y1），B（x2，y2），y1y2≠0，过点A、B向x轴作垂线，垂足分别为P、Q，顶点坐标为（3，0），
∴∠APD＝∠DQB＝90°，
∵∠ADB＝90°，
∴∠ADP+∠QDB＝90°．
又∵∠ADP+∠PAD＝90°，
∴∠PAD＝∠QDB，
∴△APD∽△DQB，
∴＝，即，
∴y1y2＝3（x1+x2）﹣x1x2﹣9．
设直线l的解析式为y＝kx+b（k≠0），
联立，得x2﹣（3k+6）x+（9﹣3b）＝0，
∴△＝（3k+6）2﹣4（9﹣3b）＝9k2+36k+12b＞0，
∴x＝，
∴x1+x2＝3k+6，x1x2＝9﹣3b，
∴y1y2＝3（3k+6）﹣（9﹣3b）﹣9
＝9k+3b
＝3（3k+b）．
∵y1y2＝（kx1+b）（kx2+b）
＝k2x1x2+kb（x1+x2）+b2
＝k2（9﹣3b）+kb（3k+6）+b2
＝9k2+6kb+b2
＝（3k+b）2，
∴（3k+b）2＝3（3k+b），
∴（3k+b）（3k+b﹣3）＝0，
∴3k+b＝0（不合题意，舍去），或3k+b﹣3＝0，
当3k+b﹣3＝0，即b＝3﹣3k时，y＝kx+3﹣3k＝k（x﹣3）+3，
令x﹣3＝0，则y＝3，
∴直线l必过定点E（3，3）；
②∵点D（3，0），点E（3，3），点C（0，3），
∴DE＝3，
∵DF⊥l，
∴点F在以DE为直径的圆上，设圆心为G，则点G（3，），
∴CG＝＝．
如图，连接CG、FG，则CF≥|CG﹣FG|＝﹣＝．
当且仅当点F在线段CG上时，上式取“＝“，
∴CF的最小值为．
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