2021年北京市中考数学模拟试卷

这是一份2021年北京市中考数学模拟试卷，共28页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年北京市中考数学模拟试卷
一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的请将正确选项填涂在答题卡相应的位置
1．（2分）纳米是非常小的长度单位，1纳米＝10﹣9米，目前发现一种新型病毒直径为25100纳米，用科学记数法表示该病毒直径是（　　）
A．2.51×10﹣5米 B．25.1×10﹣6米
C．0.251×10﹣4米 D．2.51×10﹣4米
2．（2分）北京教育资源丰富，高校林立，下面四个高校校徽主体图案是中心对称图形的是（　　）
A．北京林业大学 B． 北京体育大学
C． 北京大学 D．中国人民大学
3．（2分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（　　）

A．|a|＞b B．|b|＜a C．﹣a＜a D．﹣b＜a
4．（2分）如图是某个几何体的三视图，该几何体是（　　）

A．圆锥 B．四棱锥 C．圆柱 D．四棱柱
5．（2分）以方程组的解为坐标，点（x，y）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．（2分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形的边数为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．（2分）如果m2+2m﹣2＝0，那么代数式（m+）•的值是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．3
8．（2分）在平面直角坐标系xOy中，若函数图象上任意两点P（x1，y1），Q（x2，y2）均满足（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0．下列四个函数图象中．

所有正确的函数图象的序号是（　　）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
二、填空题（本题共16分，每小题2分
9．（2分）若代数式有意义，则实数a的取值范围是　 　．
10．（2分）分解因式：a2b+4ab+4b＝　 　．
11．（2分）已知18°的圆心角所对的弧长是cm，则此弧所在圆的半径是　 　cm．
12．（2分）小刚身高180cm，他站立在阳光下的影子长为90cm，他把手臂竖直举起，此时影子长为115cm，那么小刚的手臂超出头顶　 　cm．
13．（2分）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，如果∠BOC＝70°，那么∠BAD＝　 　．

14．（2分）请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向上：②与y轴的交点坐标为（0，2）．此二次函数的解析式可以是　 　．
15．（2分）一天上午林老师来到某中学参加该校的校园开放日活动，他打算随机听一节九年级的课程，下表是他拿到的当天上午九年级的课表，如果每一个班级的每一节课被听的可能性是一样的，那么听数学课的可能性是　 　．
班级
节次
1班
2班
3班
4班
第1节
语文
数学
外语
化学
第2节
数学
政治
物理
语文
第3节
物理
化学
体育
数学
第4节
外语
语文
政治
体育
16．（2分）某生产线在同一时间只能生产一笔订单，即在完成一笔订单后才能开始生产下一笔订单中的产品．一笔订单的“相对等待时间”定义为该笔订单的等待时间与生产线完成该订单所需时间之比．例如，该生产线完成第一笔订单用时5小时，之后完成第二笔订单用时2小时，则第一笔订单的“相对等待时间”为0，第二笔订单的“相对等待时间”为，现有甲、乙、丙三笔订单，管理员估测这三笔汀单的生产时间（单位：小时）依次为a，b，c，其中a＞b＞c，则使三笔订单“相对等待时间”之和最小的生产顺序是　 　．
三、解答题（本题共68分，第17-22题每小题5分，第23-26题每小题5分，第27、28题每小题5分）
17．（5分）计算：（）﹣1+2cos45°+|﹣1|﹣（3.14﹣π）0．
18．（5分）解不等式组：
19．（5分）已知，如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC于D，E是BC延长线上的一点，DB＝DE．求∠E的度数．

20．（5分）已知，关于x的一元二次方程x2+ax﹣a﹣1＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根是负数，求a的取值范围．
21．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．
求作：线段CD，使得点D在线段AB上，且CD＝AB．
作法：①分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧相交于点M，N两点；
②做直线MN，交AB于点D；
③连接CD．
所以线段CD即为所求的线段．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵AM＝BM，AN＝BN，
∴MN是AB的垂直平分线（　 　）．（填推理的依据）
∴点D是AB的中点．
∵∠C＝90°
∴CD＝AB（　 　）．（填推理的依据）

22．（5分）如图，点F在▱ABCD的对角线AC上，过点F、B分别作AB、AC的平行线相交于点E，连接BF，∠ABF＝∠FBC+∠FCB．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若BE＝5，AD＝8，sin∠CBE＝，求AC的长．

23．（6分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（0，﹣1），B（1，0）．
（1）求k，b的值；
（2）当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝﹣2x+n的值小于一次函数y＝kx+b的值，直接写出n的取值范围．
24．（6分）截止到2020年11月，我国贫困县“摘帽”计划已经全部完成，脱贫攻坚取得了全面胜利！为了打赢“脱贫攻坚”战役，国家设立了“中央财政脱贫专项资金”以保证对各省贫困地区的持续投入．小凯同学通过登录国家乡村振兴局网站，查询到了2020年中央财政脱贫专项资金对我国28个省、直辖市、自治区的分配额度（亿元并对数据进行整理、描述和分析．下面是小凯给出的部分信息．
a．反映2020年中央财政脱贫专项资金分配额度的频数分布直方图如下（数据分成8组：0≤x＜20，20≤x＜40，40≤x＜60，60≤x＜80，80≤x＜100，100≤x＜120，120≤x＜140，140≤x≤160）
b.2020年中央财政脱贫专项资金在20≤x＜40这一组分配的额度是（亿元）：
25 28 28 30 37 37 38 39 39
（1）2020年中央财政脱贫专项资金对各省、直辖市、自治区分配额度的中位数为　 　（亿元）；
（2）2020年中央财政脱贫专项资金对某省的分配额度为95亿元，该额度在28个省、直辖市、自治区中由高到低排第　 　名；
（3）小凯在收集数据时得到了2016﹣2020年中央财政脱贫专项资金对自治区A和自治区B的分配额度变化图：
①比较2016年一2020年中央财政脱贫专项资金对自治区A，B的分配额度，方差S　 　S（填写“＞”或者“＜”）；
②请结合统计数据，针对中央财政脱贫专项资金对自治区A，B脱贫攻坚工作的支持情况，说一说你的看法．
25．（6分）如图，AB为⊙O直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，∠ABD＝2∠BAC，连接CD．过点C作CE⊥DB，垂足为E，直线AB与CE相交于F点．
（1）求证：CF为⊙O的切线；
（2）当BF＝5，sinF＝时，求BD的长．

26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2bx+b2﹣2（b＞0）经过点A（m，n）．
（1）用含b的代数式表示抛物线顶点的坐标；
（2）若抛物线经过点B（0，2），且满足0＜m＜3，求n的取值范围；
（3）若3≤m≤5时，n≤2，结合函数图象，直接写出b的取值范围．
27．（7分）如图1，等边△ABC中，点P是BC边上一点，作点C关于直线AP的对称点D，连接CD，BD，作AE⊥BD于点E；
（1）若∠PAC＝10°，依题意补全图1，并直接写出∠BCD的度数；
（2）如图2，若∠PAC＝α（0°＜α＜30°），
①求证：∠BCD＝∠BAE；
②用等式表示线段BD，CD，AE之间的数量关系并加以证明．

28．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的图形W1和图形W2，给出如下定义：在图形W1上存在两点A，B（点A与点B可以重合），在图形W2上存在两点M，N（点M与点N可以重合），使得AM＝2BN，则称图形W1和图形W2满足限距关系．
（1）如图1，点C（1，0），D（﹣1，0），E（0，），点P在线段DE上运动（点P可以与点D，E重合），连接OP，CP．
①线段OP的最小值为　 　，最大值为　 　，线段CP的取值范围是　 　；
②在点O，点C中，点　 　与线段DE满足限距关系；
（2）如图2，⊙O的半径为1，直线y＝x+b（b＞0）与x轴、y轴分别交于点F，G．若线段FG与⊙O满足限距关系，求b的取值范围；
（3）⊙O的半径为r（r＞0），点H，K是⊙O上的两点，分别以H，K为圆心，1为半径作圆得到⊙H和⊙K，若对于任意点H，K，⊙H和⊙K都满足限距关系，直接写出r的取值范围．


2021年北京市中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的请将正确选项填涂在答题卡相应的位置
1．（2分）纳米是非常小的长度单位，1纳米＝10﹣9米，目前发现一种新型病毒直径为25100纳米，用科学记数法表示该病毒直径是（　　）
A．2.51×10﹣5米 B．25.1×10﹣6米
C．0.251×10﹣4米 D．2.51×10﹣4米
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：25100纳米＝25100×10﹣9米＝2.51×10﹣5米．
故选：A．
2．（2分）北京教育资源丰富，高校林立，下面四个高校校徽主体图案是中心对称图形的是（　　）
A．北京林业大学 B． 北京体育大学
C． 北京大学 D．中国人民大学
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、是中心对称图形，故本选项正确；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：B．
3．（2分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（　　）

A．|a|＞b B．|b|＜a C．﹣a＜a D．﹣b＜a
【分析】根据数轴上点的位置，利用相反数，绝对值的性质判断即可．
【解答】解：根据数轴上点的位置得：a＝﹣2，1＜b＜2，
则|a|＝2＞b，|b|＞a，﹣a＞a，﹣b＞a，
故选：A．
4．（2分）如图是某个几何体的三视图，该几何体是（　　）

A．圆锥 B．四棱锥 C．圆柱 D．四棱柱
【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．
【解答】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是长方形可判断出这个几何体应该是四棱柱．
故选：B．
5．（2分）以方程组的解为坐标，点（x，y）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】此题可解出的x、y的值，然后根据x、y的值可以判断出该点在何象限内．
【解答】解：，
①+②得，2y＝1，
解得，y＝．
把y＝代入①得，＝﹣x+2，
解得x＝．
∵＞0，＞0，根据各象限内点的坐标特点可知，
点（x，y）在平面直角坐标系中的第一象限．
故选：A．
6．（2分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形的边数为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】多边形的外角和是360°，则内角和是2×360＝720°．设这个多边形是n边形，内角和是（n﹣2）•180°，这样就得到一个关于n的方程，从而求出边数n的值．
【解答】解：设这个多边形是n边形，根据题意，得
（n﹣2）×180°＝2×360，
解得：n＝6．
即这个多边形为六边形．
故选：B．
7．（2分）如果m2+2m﹣2＝0，那么代数式（m+）•的值是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．3
【分析】先把括号内通分，再把分子分解后约分得到原式＝m2+2m，然后利用m2+2m﹣2＝0进行整体代入计算．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝m（m+2）
＝m2+2m，
∵m2+2m﹣2＝0，
∴m2+2m＝2，
∴原式＝2．
8．（2分）在平面直角坐标系xOy中，若函数图象上任意两点P（x1，y1），Q（x2，y2）均满足（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0．下列四个函数图象中．

所有正确的函数图象的序号是（　　）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
【分析】根据题意，利用分类讨论的数学思想可以解答本题．
【解答】解：∵（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0，
∴（x1﹣x2）与（y1﹣y2）同号，
当x1﹣x2＞0时，y1﹣y2＞0；
当x1﹣x2＜0时，y1﹣y2＜0．
∴y随x的增大而增大，
故正确的函数图象的序号是②④．
故选：D．
二、填空题（本题共16分，每小题2分
9．（2分）若代数式有意义，则实数a的取值范围是　a≠2　．
【分析】根据分式有意义的条件即可求答案．
【解答】解：由题意可知：a﹣2≠0，
∴a≠2，
故答案为：a≠2．
10．（2分）分解因式：a2b+4ab+4b＝　b（a+2）2　．
【分析】原式提取b，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝b（a2+4a+4）＝b（a+2）2，
故答案为：b（a+2）2
11．（2分）已知18°的圆心角所对的弧长是cm，则此弧所在圆的半径是　2　cm．
【分析】设此弧所在圆的半径为Rcm，根据弧长公式列式计算即可．
【解答】解：设此弧所在圆的半径为Rcm，
则＝，
解得，R＝2（cm），
故答案为：2．
12．（2分）小刚身高180cm，他站立在阳光下的影子长为90cm，他把手臂竖直举起，此时影子长为115cm，那么小刚的手臂超出头顶　50　cm．
【分析】根据在同一时物体的高度和影长成正比，设出手臂竖直举起时总高度x，即可列方程解出x的值，再减去身高即可得出小刚举起的手臂超出头顶的高度．
【解答】解：设手臂竖直举起时总高度xm，则＝，解得x＝50cm．
故答案为：50．
13．（2分）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，如果∠BOC＝70°，那么∠BAD＝　35°　．

【分析】先根据垂径定理得到，然后根据圆周角定理得∠BAD＝∠BOC＝35°．
【解答】解：∵弦CD⊥直径AB，
∴，
∴∠BAD＝∠BOC＝×70°＝35°．
故答案为：35°．
14．（2分）请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向上：②与y轴的交点坐标为（0，2）．此二次函数的解析式可以是　y＝x2﹣3x+2　．
【分析】抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），a＞0，开口向上；a＜0，开口向下；与y轴的交点（0，c），因此只要写出一个a＞0，c＝2的一个二次函数即可．
【解答】解：y＝x2﹣3x+2，答案不唯一．
故答案为：y＝x2﹣3x+2，答案不唯一．
15．（2分）一天上午林老师来到某中学参加该校的校园开放日活动，他打算随机听一节九年级的课程，下表是他拿到的当天上午九年级的课表，如果每一个班级的每一节课被听的可能性是一样的，那么听数学课的可能性是　　．
班级
节次
1班
2班
3班
4班
第1节
语文
数学
外语
化学
第2节
数学
政治
物理
语文
第3节
物理
化学
体育
数学
第4节
外语
语文
政治
体育
【分析】根据概率公式可得答案．
【解答】解：由表可知，当天上午九年级的课表中听一节课有16种等可能结果，其中听数学课的有3种可能，
∴听数学课的可能性是，
故答案为：．
16．（2分）某生产线在同一时间只能生产一笔订单，即在完成一笔订单后才能开始生产下一笔订单中的产品．一笔订单的“相对等待时间”定义为该笔订单的等待时间与生产线完成该订单所需时间之比．例如，该生产线完成第一笔订单用时5小时，之后完成第二笔订单用时2小时，则第一笔订单的“相对等待时间”为0，第二笔订单的“相对等待时间”为，现有甲、乙、丙三笔订单，管理员估测这三笔汀单的生产时间（单位：小时）依次为a，b，c，其中a＞b＞c，则使三笔订单“相对等待时间”之和最小的生产顺序是　c，b，a　．
【分析】由相对等待时间的定义可知，上一笔订单完成的时间越短，则此订单的“相对等待时间”越小．
【解答】解：由题意知：
上一笔订单完成的时间越短，
则此订单的“相对等待时间”越小，
因此，“相对等待时间”之和最小的生产顺序是c，b，a，
故答案为c，b，a．
三、解答题（本题共68分，第17-22题每小题5分，第23-26题每小题5分，第27、28题每小题5分）
17．（5分）计算：（）﹣1+2cos45°+|﹣1|﹣（3.14﹣π）0．
【分析】首先计算乘方和乘法，然后从左向右依次计算，求出算式（）﹣1+2cos45°+|﹣1|﹣（3.14﹣π）0的值是多少即可．
【解答】解：（）﹣1+2cos45°+|﹣1|﹣（3.14﹣π）0
＝2+2×+﹣1﹣1
＝2++﹣2
＝2
18．（5分）解不等式组：
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：
解不等式①得，x＞5；
解不等式②得，x＞1；
∴不等式组的解集为x＞5．
19．（5分）已知，如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC于D，E是BC延长线上的一点，DB＝DE．求∠E的度数．

【分析】根据等边三角形的性质得出AB＝BC，∠ABC＝60°，根据“三线合一”得出∠DBC＝∠ABD＝30°，根据等腰三角形的性质得出即可．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°，
∵BD⊥AC，
∴∠DBC＝∠ABD＝＝30°，
∵DB＝DE，
∴∠E＝∠DBC＝30°．
20．（5分）已知，关于x的一元二次方程x2+ax﹣a﹣1＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根是负数，求a的取值范围．
【分析】（1）求出方程的判别式△的值，利用配方法得出△≥0，根据判别式的意义即可证明；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得出﹣a﹣1＜0，解不等式求得a的取值范围即可．
【解答】（1）证明：∵△＝a2﹣4×（﹣a﹣1）＝（a+2）2≥0，
∴无论a为何值，方程总有两个实数根；

（2）∵方程有一个根是负数，
∴﹣a﹣1＜0，
解得，a＞﹣1．
∴a的取值范围为a＞﹣1．
21．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．
求作：线段CD，使得点D在线段AB上，且CD＝AB．
作法：①分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧相交于点M，N两点；
②做直线MN，交AB于点D；
③连接CD．
所以线段CD即为所求的线段．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵AM＝BM，AN＝BN，
∴MN是AB的垂直平分线（　与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上　）．（填推理的依据）
∴点D是AB的中点．
∵∠C＝90°
∴CD＝AB（　直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半　）．（填推理的依据）

【分析】（1）根据作法作图可得线段CD；
（2）先根据线段垂直平分线的逆定理可得MN是AB的垂直平分线，又根据直角三角形斜边中线的性质可得结论．
【解答】解：（1）如图1，线段CD即为所求的线段．

（2）证明：连接AM，BM，AN，BN，
∵AM＝BM，AN＝BN，

∴MN是AB的垂直平分线（与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上），
∴点D是AB的中点，
∵∠C＝90°，
∴CD＝AB（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）．
故答案为：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
22．（5分）如图，点F在▱ABCD的对角线AC上，过点F、B分别作AB、AC的平行线相交于点E，连接BF，∠ABF＝∠FBC+∠FCB．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若BE＝5，AD＝8，sin∠CBE＝，求AC的长．

【分析】（1）由外角的性质可得∠AFB＝∠FBC+∠FCB，又因为∠ABF＝∠FBC+∠FCB，易得AB＝AF，由菱形的判定定理可得结论；
（2）作DH⊥AC于点H，由特殊角的三角函数可得∠CBE＝30°，由平行线的性质可得∠2＝∠CBE＝30°，利用锐角三角函数可得AH，DH，由菱形的性质和勾股定理得CH，得AC．
【解答】（1）证明：∵EF∥AB，BE∥AF，
∴四边形ABEF是平行四边形．
∵∠ABF＝∠FBC+∠FCB，∠AFB＝∠FBC+∠FCB，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AB＝AF，
∴▱ABEF是菱形；

（2）解：作DH⊥AC于点H，
∵，
∴∠CBE＝30°，
∵BE∥AC，
∴∠1＝∠CBE，
∵AD∥BC，
∴∠2＝∠1，
∴∠2＝∠CBE＝30°，
Rt△ADH中，，
DH＝AD•sin∠2＝4，
∵四边形ABEF是菱形，
∴CD＝AB＝BE＝5，
Rt△CDH中，，
∴．

23．（6分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（0，﹣1），B（1，0）．
（1）求k，b的值；
（2）当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝﹣2x+n的值小于一次函数y＝kx+b的值，直接写出n的取值范围．
【分析】（1）通过待定系数法将A（0，﹣1），B（1，0）代入解析式求解．
（2）解含参不等式﹣2x+n≤kx+b．
【解答】解：（1）将A（0，﹣1），B（1，0）代入解y＝kx+b得，
，解得，
（2）由（1）得y＝x﹣1，
解不等式﹣2x+n≤x﹣1得x≥，
由题意得≤1，即n≤2．
故答案为：n≤2．
24．（6分）截止到2020年11月，我国贫困县“摘帽”计划已经全部完成，脱贫攻坚取得了全面胜利！为了打赢“脱贫攻坚”战役，国家设立了“中央财政脱贫专项资金”以保证对各省贫困地区的持续投入．小凯同学通过登录国家乡村振兴局网站，查询到了2020年中央财政脱贫专项资金对我国28个省、直辖市、自治区的分配额度（亿元并对数据进行整理、描述和分析．下面是小凯给出的部分信息．
a．反映2020年中央财政脱贫专项资金分配额度的频数分布直方图如下（数据分成8组：0≤x＜20，20≤x＜40，40≤x＜60，60≤x＜80，80≤x＜100，100≤x＜120，120≤x＜140，140≤x≤160）
b.2020年中央财政脱贫专项资金在20≤x＜40这一组分配的额度是（亿元）：
25 28 28 30 37 37 38 39 39
（1）2020年中央财政脱贫专项资金对各省、直辖市、自治区分配额度的中位数为　37.5　（亿元）；
（2）2020年中央财政脱贫专项资金对某省的分配额度为95亿元，该额度在28个省、直辖市、自治区中由高到低排第　六　名；
（3）小凯在收集数据时得到了2016﹣2020年中央财政脱贫专项资金对自治区A和自治区B的分配额度变化图：
①比较2016年一2020年中央财政脱贫专项资金对自治区A，B的分配额度，方差S　＞　S（填写“＞”或者“＜”）；
②请结合统计数据，针对中央财政脱贫专项资金对自治区A，B脱贫攻坚工作的支持情况，说一说你的看法．
【分析】（1）求出频数分布直方图中的频数之和即为样本容量，再从小到大排列找出处在中间位置的一个数或两个数的平均数即可求出中位数；
（2）从频数分布直方图可知，比95亿元多的省份有5个，因此处在第六名；
（3）①从折线统计图中自治区A，自治区B近几年中央财政拨款的变化情况和离散程度进行判断即可；
②从近几年中央财政拨款的变化情况进行判断即可．
【解答】解：（1）样本容量为：8+9+1+4+1+2+2+1＝28，
将这28个省份的金额从小到大排列处在中间位置的两个数的平均数为＝37.5（亿元），因此中位数是37.5，
故答案为：37.5；
（2）从频数分布直方图可得，比95亿元多的省份有1+2+2＝5个，因此处在第六位，
故答案为：六；
（3）①从折线统计图中可直观看出自治区A的中央财政拨款金额的离散程度比自治区B的要大，
即自治区A的方差比自治区B的方差大，
故答案为：＞；
②从近几年的中央财政拨款金额的变化来看，自治区A拨款金额连年增加，说明中央加强对自治区A扶贫力度，脱贫任务比较艰巨，
而自治区B的拨款金额变化先增后降，说明自治区B脱贫效果明显，已逐渐脱贫．
25．（6分）如图，AB为⊙O直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，∠ABD＝2∠BAC，连接CD．过点C作CE⊥DB，垂足为E，直线AB与CE相交于F点．
（1）求证：CF为⊙O的切线；
（2）当BF＝5，sinF＝时，求BD的长．

【分析】（1）连接OC．先根据等边对等角及三角形外角的性质得出∠3＝2∠1，由已知∠4＝2∠1，得到∠4＝∠3，则OC∥DB，再由CE⊥DB，得到OC⊥CF，根据切线的判定即可证明CF为⊙O的切线；
（2）连接AD．先解Rt△BEF，得出BE＝BF•sinF＝3，由OC∥BE，得出△FBE∽△FOC，则，设⊙O的半径为r，由此列出方程，解方程求出r的值，由AB为⊙O直径，得出AB＝15，∠ADB＝90°，再根据三角形内角和定理证明∠F＝∠BAD，则由sin∠BAD＝＝，求出BD的长．
【解答】（1）证明：连接OC．
∵OA＝OC，
∴∠1＝∠2．
又∵∠3＝∠1+∠2，
∴∠3＝2∠1．
又∵∠4＝2∠1，
∴∠4＝∠3，
∴OC∥DB．
∵CE⊥DB，
∴OC⊥CF．
又∵OC为⊙O的半径，
∴CF为⊙O的切线；

（2）解：连接AD．
在Rt△BEF中，∵∠BEF＝90°，BF＝5，sinF＝，
∴BE＝BF•sinF＝3．
∵OC∥BE，
∴△FBE∽△FOC，
∴．
设⊙O的半径为r，
∴，
∴．
∵AB为⊙O直径，
∴AB＝15，∠ADB＝90°，
∵∠4＝∠EBF，
∴∠F＝∠BAD，
∴，
∴，
∴BD＝9．

26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2bx+b2﹣2（b＞0）经过点A（m，n）．
（1）用含b的代数式表示抛物线顶点的坐标；
（2）若抛物线经过点B（0，2），且满足0＜m＜3，求n的取值范围；
（3）若3≤m≤5时，n≤2，结合函数图象，直接写出b的取值范围．
【分析】（1）把抛物线的解析式化成顶点式即可；
（2）把点B坐标代入抛物线的解析式，求出抛物线的解析式，结合图形，再求当0＜m＜3时，n的取值范围；
（3）分别讨论m和b的大小关系，根据n≤2，求出b的取值范围．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2bx+b2﹣2＝（x﹣b）2﹣2，
∴顶点坐标为（b，﹣2）；
（2）把（0，2）代入y＝x2﹣2bx+b2﹣2（b＞0），
得b＝2，或b＝﹣2（舍去），
∴b＝2，
∴解析式为：y＝x2﹣4x+2，对称轴为x＝2；
顶点坐标为（2，﹣2），

结合函数图象可得，在顶点处n取得最小值﹣2；
当x＝0时，y＝2，
∴当0＜m＜3时，﹣2≤n＜2．
（3）如图，①若3≤m≤5≤b时，
ymax＝（3﹣b）2﹣2≤2，
∴1≤b≤5，矛盾，不成立；
②若3≤b≤5时，
则当x＝3时，y＝（3﹣b）2﹣2≤2，得1≤b≤5，
且当x＝5时，y＝（5﹣b）2﹣2≤2，得3≤b≤7，
∴3≤b≤5；
③当b≤3≤m≤5时，
ymax＝（5﹣b）2﹣2≤2，得3≤b≤7，矛盾；
综上，b的取值范围为3≤b≤5．

27．（7分）如图1，等边△ABC中，点P是BC边上一点，作点C关于直线AP的对称点D，连接CD，BD，作AE⊥BD于点E；
（1）若∠PAC＝10°，依题意补全图1，并直接写出∠BCD的度数；
（2）如图2，若∠PAC＝α（0°＜α＜30°），
①求证：∠BCD＝∠BAE；
②用等式表示线段BD，CD，AE之间的数量关系并加以证明．

【分析】（1）由题意画出图形；根据三角形内角和定理求出∠ABD，由∠BCD＝∠ACD﹣∠ACB即可得到结论；
（2）①由轴对称的性质可得AP垂直平分BD，可得AB＝AD＝AC，∠BAP＝∠PAD＝α，由等腰三角形的性质可求解；
②在AE上截取AF＝CD，根据全等三角形判定的SAS定理证得△BAF≌△BCD，由全等三角形的性质得到∠ABF＝∠CBD，BF＝BD，可得∠FBE＝∠ABC＝60°，由三角函数的定义求得EF＝BD，进而得到AE＝CD+BD．
【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵C关于直线AP的对称是D，
∴AP⊥CD，AC＝AD，
∴∠ACD＝90﹣∠PAC＝90°﹣10°＝80°，
∴∠BCD＝∠ACD﹣∠ACB＝20°；
（2）①证明：如图，连接AD，
根据题意得，AO⊥CD
∵∠PAC＝α，
∴∠ACD＝90°﹣α，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∴∠BCD＝∠ACD﹣∠ACB＝90°﹣α﹣60°＝30°﹣α，
∵C关于直线AP的对称是D，
∴AP⊥CD，AC＝AD，
∴∠PAD＝∠PAC＝α，
∵AB＝AC＝AD，AE⊥BD，
∴∠BAE＝∠DAE＝∠BAD＝（∠BAC﹣∠CAD）＝（60°﹣2α）＝30°﹣α，
∴∠BCD＝∠BAE；
②解：用等式表示线段BD，CD，AE之间的数量关系是AE＝CD+BD．
证明：在AE上截取AF＝CD，连接BF，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，
∵∠BCD＝∠BAE，
∴△BAF≌△BCD（SAS），
∴∠ABF＝∠CBD，BF＝BD，
∴∠FBE＝∠ABC＝60°，
∴EF＝BF•sin60°＝BF＝BD，
∴AE＝AE+EF＝CD+BD．

28．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的图形W1和图形W2，给出如下定义：在图形W1上存在两点A，B（点A与点B可以重合），在图形W2上存在两点M，N（点M与点N可以重合），使得AM＝2BN，则称图形W1和图形W2满足限距关系．
（1）如图1，点C（1，0），D（﹣1，0），E（0，），点P在线段DE上运动（点P可以与点D，E重合），连接OP，CP．
①线段OP的最小值为　　，最大值为　　，线段CP的取值范围是　≤CP≤2　；
②在点O，点C中，点　O　与线段DE满足限距关系；
（2）如图2，⊙O的半径为1，直线y＝x+b（b＞0）与x轴、y轴分别交于点F，G．若线段FG与⊙O满足限距关系，求b的取值范围；
（3）⊙O的半径为r（r＞0），点H，K是⊙O上的两点，分别以H，K为圆心，1为半径作圆得到⊙H和⊙K，若对于任意点H，K，⊙H和⊙K都满足限距关系，直接写出r的取值范围．

【分析】（1）①根据垂线段最短以及已知条件，确定OP，CP的最大值，最小值即可解决问题．
②根据限距关系的定义判断即可．
（2）直线y＝x+b与x轴、y轴分别交于点F，G（0，b），分三种情形：①线段FG在⊙O内部，②线段FG与⊙O有交点，③线段FG 与⊙O没有交点，分别构建不等式求解即可．
（2）如图3中，不妨设⊙K，⊙H的圆心在x轴上位于y轴的两侧，根据⊙H和⊙K都满足限距关系，构建不等式求解即可．
【解答】解：（1）①如图1中，

∵D（﹣1，0），E（0，），
∴OD＝1，OE＝，
∴tan∠EDO＝＝，
∴∠EDO＝60°，
当OP⊥DE时，OP＝OD•sin60°＝，此时OP的值最小，
当点P与E重合时，OP的值最大，最大值为，
当CP⊥DE时，CP的值最小，最小值＝CD•sin60°＝，
当点P与D或E重合时，PC的值最大，最大值为2，
故答案为：，，≤CP≤2．

②根据限距关系的定义可知，线段DE上存在两点M，N，满足OM＝2ON，
故点O与线段DE满足限距关系．
故答案为O．

（2）直线y＝x+b与x轴、y轴分别交于点F，G（0，b），
当0＜b＜1时，线段FG在⊙O内部，与⊙O无公共点，
此时⊙O上的点到线段FG的最小距离为1﹣b，最大距离为1+b，
∵线段FG与⊙O满足限距关系，
∴1+b≥2（1﹣b），
解得b≥，
∴b的取值范围为≤b＜1．
当1≤b≤2时，线段FG与⊙O有公共点，线段FG与⊙O满足限距关系，
当b＞2时，线段FG在⊙O的外部，与⊙O没有公共点，
此时⊙O上的点到线段FG的最小距离为b﹣1，最大距离为b+1，
∵线段FG与⊙O满足限距关系，
∴b+1≥2（b﹣1），
而b+1≥2（b﹣1）总成立，
∴b＞2时，线段FG 与⊙O满足限距关系，
综上所述，b的取值范围为b≥．

（3）如图3中，不妨设⊙K，⊙H的圆心在x轴上位于y轴的两侧，

两圆的距离的最小值为2r﹣2，最大值为2r+2，
∵⊙H和⊙K都满足限距关系，
∴2r+2≥2（2r﹣2），
解得r≤3，
故r的取值范围为0＜r≤3．