考点31 梯形—2021年《三步冲刺中考•数学》（全国通用）之第1步小题夯基础（原卷+解析）

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第一步 小题夯基础


考点31 梯形
真题回顾



1.（2019·绵阳）已知等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于O，∠ABD=30°，AC⊥BC，AB=8cm，则△COD的面积为（   ）

A.  cm2                                     B.  cm2                                     C.  cm2                                     D.  cm2
2.（2017·六盘水）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=（   ）

A. 120°                                    B. 135°                                    C. 145°                                    D. 155°
3.（2018·柳州）如图，阴影部分是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A=100°，∠B=115°，则梯形另外两个底角的度数分别是（　　）

A. 100°、115°                        B. 100°、65°                        C. 80°、115°                        D. 80°、65°
4.（2018·贺州）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，CA平分∠BCD，∠B=60°，若AD=3，则梯形ABCD的周长为（   ）
A. 12                                      B. 15                                      C. 12                                     D. 15


5.（2019·杨州）若梯形中位线的长是高的2倍，梯形的面积是18cm2 ， 则这个梯形的高等于（   ）
A. 6cm                                 B. 6 cm                                 C. 3cm                                 D. 3 cm
6.（2019·贵阳）把长为8cm的矩形按虚线对折，按图中的虚线剪出一个直角梯形，打开得到一个等腰梯形，剪掉部分的面积为6cm2 ， 则打开后梯形的周长是（   ）

A. （10+）cm                      B. （10+）cm                      C. 22cm                      D. 18cm
7.（2018·贵港）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AC⊥BD于点O，∠BAC=60°，若BC= ， 则此梯形的面积为

A. 2                                  B. 1+                                  C.                                   D. 
8.（2017·深圳）如图，已知四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB=CD，AD= ，E为CD中点，连接AE，且AE=2 ，∠DAE=30°，作AE⊥AF交BC于F，则BF=（   ）
A. 1                                 B. 3﹣                                  C.  ﹣1                                 D. 4﹣2

9.（2019·昆明）如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为边向外作正方形ACDE，BCFG．DE，FC，,的中点分别是M，N，P，Q．若MP+NQ=14，AC+BC=18，则AB的长为（　　）
A. 9                                       B.                                        C. 13                                       D. 16

10.（2019·大连）如图，等腰梯形ABCD，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A=120°．若梯形的周长为10，则AD的长为________ 

11.（2018·钦州）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AC⊥BC，∠B=60°，BC=8，则等腰梯形ABCD的周长为________．

12.（2018·防城港）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，∠A=120°，AD=2，BD平分∠ABC，则梯形ABCD的周长是________．

13.（2017·山西）一副三角板按如图方式摆放，得到△ABD和△BCD，其中∠ADB=∠BCD=90°，∠A=60°，∠CBD=45°，E为AB的中点，过点E作EF⊥CD于点F．若AD=4cm，则EF的长为________ cm．

14.（2018·内江）如图，以 为直径的 的圆心 到直线 的距离 ， 的半径 ,，直线 不垂直于直线 ，过点 、 分别作直线 的垂线，垂足分别为点 、 ，则四边形 的面积的最大值为________.

15.（2019·苏州）如图①，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=60°，动点P从A点出发，以1cm/s的速度沿着A→B→C→D的方向不停移动，直到点P到达点D后才停止．已知△PAD的面积S（单位：cm2）与点P移动的时间（单位：s）的函数如图②所示，则点P从开始移动到停止移动一共用了________秒（结果保留根号）．

模拟预测


1.（2020·上海模拟）在梯形 中， // ，那么下列条件中，不能判断它是等腰梯形的是（     ）
A.                 B.                 C.                 D. 
2.（2020·沈阳模拟）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，BC﹣AD=AB，过D作DE∥AB交BC于E，则△DEC是（　　）
 
A. 不等边三角形                   B. 等边三角形                   C. 直角三角形                   D. 等腰直角三角形
3.（2020·哈尔滨模拟）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=DC=CB，若∠ABD＝25°，则∠BAD的大小是 (       )  

A. 40°　                                      B. 45°                                      C. 50°                                      D. 60°
4.（2020·长春模拟）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD， 对角线AC⊥BC，∠B＝60º，BC＝2cm，则梯形ABCD的面积为（ ）   

A.  cm                            B. 6 cm                            C. cm                            D. 12 cm
5.（2020·太仓模拟）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形ABCD的中位线，若△BEF的面积为4cm2 ， 则梯形ABCD的面积为（   ）
A. 8cm2                                B. 12cm2                                C. 16cm2                                D. 20cm2

6.（2018·丹江口模拟）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°且AB=AD，连接BD，过A点作BD的垂线，交BC于E．如果EC=3cm，CD=4cm，那么，梯形ABCD的面积是________ cm2 ．

7.（2017·游仙模拟）如图，四边形ABCD是等腰梯形，∠ABC=60°，若其四边满足长度的众数为5，平均数为 ，上、下底之比为1：2，则BD=________．

8.（2018·文昌模拟）如图，在等腰梯形ABCD中，AC⊥BD，AC=6cm，则等腰梯形ABCD的面积为________cm2 ．

9.（2017·茂县模拟）如图所示，在梯形ABCD中，AB∥DC，BD⊥AD，AD=DC=BC=2cm，那么梯形ABCD的面积是________．

10.（2019·宜春模拟）如图，∠AOB=45°，过射线OA上到点O的距离分别为1，3，5，7，9，11，…的点作OA的垂线与OB相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别 为S1 ， S2 ， S3 ， S4 ， …．观察图中的规律，第n（n为正整数）个黑色梯形的面积是Sn=________ ．
 

第一步 小题夯基础


考点31 梯形
真题回顾



1.（2019·绵阳）已知等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于O，∠ABD=30°，AC⊥BC，AB=8cm，则△COD的面积为（   ）

A.  cm2                                     B.  cm2                                     C.  cm2                                     D.  cm2
【答案】 A
【考点】等腰梯形的性质
【解析】【解答】解：∵梯形ABCD是等腰梯形，CD∥AB，
由SAS可证△DAB≌△CBA，
∴∠CAB=∠DCA=30°，
∵∠CAB=30°，又因为AC⊥BC，
∴∠DAB=∠CBA=60°，
∴∠DAC=∠DCA=30°，
∴CD=AD=BC=4cm，
∴AC2=AB2﹣BC2 ，
∴AC=4 cm，
∵梯形ABCD是等腰梯形，
∴AC=BD=4 cm，
∴S△ABC= ×4×4 =8 cm2 ，
设DO为x，则CO=x，则AO=BO=（4 ﹣x）cm，
在Rt△COB中，CO2+BC2=BO2 ，
即：x2+42=（4 ﹣x）2
∴D0= cm，
∴S△ADO= × ×4= ，
∴S△AOB=S△ABC﹣S△ADO=
∵AB∥CD，
∴△AOB∽△DOC，
∴（ ）2=
∴S△DOC= ，
故选：A．

【分析】由已知∠ABD=30°，可得∠CAB=30°，又因为AC⊥BC，根据直角三角形中30度所对的角是斜边的一半可求得BC，AC，的长；进而求出三角形ACB的面积，再求出三角形COB的面积，所以求出三角形AOB的面积，又因为AB∥CD所以△AOB∽△DOC，利用相似的性质：面积之比等于相似比的平方即可求出△COD的面积．
2.（2017·六盘水）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=（   ）

A. 120°                                    B. 135°                                    C. 145°                                    D. 155°
【答案】 B
【考点】梯形
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠A+∠D=180°，
∵∠A=45°，
∴∠D=180°﹣45°=135°，
故选：B．
【分析】由AB∥CD，得到∠A+∠D=180°，把∠A的度数代入即可求出答案．
3.（2018·柳州）如图，阴影部分是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A=100°，∠B=115°，则梯形另外两个底角的度数分别是（　　）

A. 100°、115°                        B. 100°、65°                        C. 80°、115°                        D. 80°、65°
【答案】 D
【考点】梯形
【解析】【解答】解：由题意得：∠A+∠D=180°，∠B+∠C=180°，
∵∠A=100°，∠B=115°，
∴∠D=80°，∠C=65°．
故选D．
【分析】由梯形的性质可知：∠A+∠D=180°，∠B+∠C=180°，继而可求出答案．
4.（2018·贺州）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，CA平分∠BCD，∠B=60°，若AD=3，则梯形ABCD的周长为（   ）
A. 12                                      B. 15                                      C. 12                                     D. 15

【答案】 D
【考点】等腰梯形的性质
【解析】【解答】解：过点A作AE∥CD，交BC于点E，
∵梯形ABCD是等腰梯形，∠B=60°，
∴AD∥BC，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∴∠AEB=∠BCD=60°，
∵CA平分∠BCD，
∴∠ACE= ∠BCD=30°，
∵∠AEB是△ACE的外角，
∴∠AEB=∠ACE+∠EAC，即60°=30°+∠EAC，
∴∠EAC=30°，
∴AE=CE=3，
∴四边形ADEC是菱形，
∵△ABE中，∠B=∠AEB=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AB=BE=AE=3，
∴梯形ABCD的周长=AB+（BE+CE）+CD+AD=3+3+3+3+3=15．
故选：D．

【分析】过点A作AE∥CD，交BC于点E，可得出四边形ADCE是平行四边形，再根据等腰梯形的性质及平行线的性质得出∠AEB=∠BCD=60°，由三角形外角的定义求出∠EAC的度数，故可得出四边形ADEC是菱形，再由等边三角形的判定定理得出△ABE是等边三角形，由此可得出结论．
5.（2019·杨州）若梯形中位线的长是高的2倍，梯形的面积是18cm2 ， 则这个梯形的高等于（   ）
A. 6cm                                 B. 6 cm                                 C. 3cm                                 D. 3 cm
【答案】 D
【考点】梯形，梯形中位线定理
【解析】【分析】先设梯形的高是x，于是中位线是2x，那么易知S梯形=2x•x=18，进而可求x．
【解答】设梯形的高是x，那么中位线是2x，则
S梯形=2x•x=18，
即x2=9，
解得x=±3（负数舍去)
故选D．
【点评】本题考查了梯形中位线定理，梯形的面积计算。解题的关键是知道，梯形的面积等于中位线乘以高。
6.（2019·贵阳）把长为8cm的矩形按虚线对折，按图中的虚线剪出一个直角梯形，打开得到一个等腰梯形，剪掉部分的面积为6cm2 ， 则打开后梯形的周长是（   ）

A. （10+）cm                      B. （10+）cm                      C. 22cm                      D. 18cm
【答案】 A
【考点】等腰梯形的性质
【解析】
【分析】根据剪去的三角形的面积可得矩形的宽，利用勾股定理即可求得等腰梯形的腰长，根据折叠可得梯形其余边长，相加即为梯形的周长．
【解答】∵剪掉部分的面积为6cm2 ，
∴矩形的宽为2，
易得梯形的下底为矩形的长，上底为（8÷2-3)×2=2，腰长为 ，
∴打开后梯形的周长是（10+)cm．
故选：A．
【点评】此题主要考查了学生对等腰梯形的性质及翻折掌握情况，解决本题的关键是根据折叠的性质得到等腰梯形的各边长
7.（2018·贵港）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AC⊥BD于点O，∠BAC=60°，若BC= ， 则此梯形的面积为

A. 2                                  B. 1+                                  C.                                   D. 
【答案】 D
【考点】等腰梯形的性质，等腰梯形的判定
【解析】​

【分析】过O作EF⊥AD交AD于E，交BC于F
根据等腰梯形的性质得出∠ABC=∠DCB，
证△ABC≌△DCB，推出∠DBC=∠ACB，
求出∠DBC=∠ACB=45°，
根据直角三角形性质求出OF，
根据勾股定理求出OB、OA，OE、AD，
根据面积公式即可求出面积．
 【解答】过O作EF⊥AD交AD于E，交BC于F，
∵等腰梯形ABCD，AD∥BC，AB=CD，
∴∠ABC=∠DCB，
∵BC=BC，
∴△ABC≌△DCB，
∴∠DBC=∠ACB，
∵AC⊥BD，
∴∠BOC=90°，
∴∠DBC=∠ACB=45°，
∴OB=OC，
由勾股定理得：OB= ，
∵∠BAC=60°，
∴∠ABO=30°，
∴AB=2OA，
∴OA=1，AB=2，
同法可求OD=OA=1，AD= ， OE= ，
S 梯形ABCD =
故答案为：D
8.（2017·深圳）如图，已知四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB=CD，AD= ，E为CD中点，连接AE，且AE=2 ，∠DAE=30°，作AE⊥AF交BC于F，则BF=（   ）
A. 1                                 B. 3﹣                                  C.  ﹣1                                 D. 4﹣2

【答案】 D
【考点】等腰梯形的性质
【解析】【解答】解：如图，延长AE交BC的延长线于G，
∵E为CD中点，
∴CE=DE，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠G=30°，
在△ADE和△GCE中，
，
∴△ADE≌△GCE（AAS），
∴CG=AD= ，AE=EG=2 ，
∴AG=AE+EG=2 +2 =4 ，
∵AE⊥AF，
∴AF=AGtan30°=4 × =4，
GF=AG÷cos30°=4 ÷ =8，
过点A作AM⊥BC于M，过点D作DN⊥BC于N，
则MN=AD= ，
∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴BM=CN，
∵MG=AG•cos30°=4 × =6，
∴CN=MG﹣MN﹣CG=6﹣ ﹣ =6﹣2 ，
∵AF⊥AE，AM⊥BC，
∴∠FAM=∠G=30°，
∴FM=AF•sin30°=4× =2，
∴BF=BM﹣MF=6﹣2 ﹣2=4﹣2 ．
故选：D．

【分析】延长AE交BC的延长线于G，根据线段中点的定义可得CE=DE，根据两直线平行，内错角相等可得到∠DAE=∠G=30°，然后利用“角角边”证明△ADE和△GCE全等，根据全等三角形对应边相等可得CG=AD，AE=EG，然后解直角三角形求出AF、GF，过点A作AM⊥BC于M，过点D作DN⊥BC于N，根据等腰梯形的性质可得BM=CN，再解直角三角形求出MG，然后求出CN，MF，然后根据BF=BM﹣MF计算即可得解．
9.（2019·昆明）如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为边向外作正方形ACDE，BCFG．DE，FC，,的中点分别是M，N，P，Q．若MP+NQ=14，AC+BC=18，则AB的长为（　　）
A. 9                                       B.                                        C. 13                                       D. 16

【答案】 C
【考点】梯形中位线定理
【解析】【解答】连接OP，OQ，∵DE，FG，.的中点分别是M，N，P，Q，∴OP⊥AC，OQ⊥BC，∴H、I是AC、BD的中点，∴OH+OI=（AC+BC）=9，∵MH+NI=AC+BC=18，MP+NQ=14，∴PH+QI=18﹣14=4，∴AB=OP+OQ=OH+OI+PH+QI=9+4=13，故选C．

【分析】连接OP，OQ，根据DE，FC，,的中点分别是M，N，P，Q得到OP⊥AC，OQ⊥BC，从而得到H、I是AC、BD的中点，利用中位线定理得到OH+OI=（AC+BC）=9和PH+QI，从而利用AB=OP+OQ=OH+OI+PH+QI求解．
10.（2019·大连）如图，等腰梯形ABCD，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A=120°．若梯形的周长为10，则AD的长为________ 

【答案】 2
【考点】等腰梯形的性质
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，∠ADB=∠CBD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AD=AB，
∵∠A=120°，
∴∠ABD=∠CBD=30°，
∵梯形ABCD是等腰梯形，
∴∠C=∠ABC=60°，AB=CD，
∴∠BDC=180°﹣∠CBD﹣∠C=90°，AB=CD=AD，
∴BC=2CD=2AD，
∵梯形的周长为10，
∴AB+BC+CD+AD=10，
即5AD=10，
∴AD=2．
故答案为：2．
【分析】由等腰梯形ABCD，AD∥BC，BD平分∠ABC，易求得△ACD是等腰三角形，继而可得AB=AD=CD，又由∠A=120°，△BCDD的是直角三角形，即可得BC=2CD，继而求得答案．
11.（2018·钦州）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AC⊥BC，∠B=60°，BC=8，则等腰梯形ABCD的周长为________．

【答案】 40
【考点】等腰梯形的性质
【解析】【解答】解：∵∠B=60°，DC∥AB，AC⊥BC，
∴∠CAB=30°=∠ACD，∠DAC=30°，
∴AD=DC=BC=8，
在RT△ABC中，AB= =16，
故可得等腰梯形ABCD的周长=AD+DC+BC+AB=40．
故答案为：40．
【分析】根据等腰梯形的性质判断出AD=DC，在RT△ABC中解出AB，继而可求出等腰梯形ABCD的周长．
12.（2018·防城港）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，∠A=120°，AD=2，BD平分∠ABC，则梯形ABCD的周长是________．

【答案】 7+
【考点】直角梯形
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥BD于点E，

∵AD∥BC，∠A=120°，
∴∠ABC=60°，∠ADB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=30°，
∴∠ABE=∠ADE=30°，
∴AB=AD，
∴AE= AD=1，
∴DE= ，则BD=2 ，
∵∠C=90°，∠DBC=30°，
∴DC= BD= ，
∴BC= = =3，
∴梯形ABCD的周长是：AB+AD+CD+BC=2+2+ +3=7+ ．
故答案为：7+ ．
【分析】根据题意得出AB=AD，进而得出BD的长，再利用在直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半，进而求出CD以及利用勾股定理求出BC的长，即可得出梯形ABCD的周长．
13.（2017·山西）一副三角板按如图方式摆放，得到△ABD和△BCD，其中∠ADB=∠BCD=90°，∠A=60°，∠CBD=45°，E为AB的中点，过点E作EF⊥CD于点F．若AD=4cm，则EF的长为________ cm．

【答案】 （ + ）
【考点】梯形中位线定理
【解析】【解答】解：过点A作AG⊥DC与G．

∵∠DCB=∠CBD=45°，∠ADB=90°，
∴解ADG=45°．
∴AG= =2 ．
∵∠ABD=30°，
∴BD= AD=4 ．
∵∠CBD=45°，
∴CB= =2 ．
∵AG⊥CG，EF⊥CG，CB⊥CG，
∴AG∥EF∥BC．
又∵E是AB的中点，
∴F为CG的中点，
∴EF= （AG+BC）= （2 +2 ）= + ．
故答案为：（ + ）．
【分析】过A作AG⊥Dc于G，得到∠ADC=45°，进而得到AG的值，在30°的直角三角形ABD和45°直角三角形BCD中，计算出BD，CB的值．再由AG∥EF∥BC，E是AB的中点，得到F为CG的中点，最后由梯形中位线定理得到EF的长．
14.（2018·内江）如图，以 为直径的 的圆心 到直线 的距离 ， 的半径 ,，直线 不垂直于直线 ，过点 、 分别作直线 的垂线，垂足分别为点 、 ，则四边形 的面积的最大值为________.

【答案】12
【考点】梯形中位线定理
【解析】【解答】解：∵AD⊥DC，OE⊥DC，BC⊥DC，
∴AD∥OE∥BC
∵O是AB的中点
∴OE是梯形ABCD的中位线
∴
∴
∵圆的半径为2
∴AB=4
过点A作AH⊥BC于点H
∴四边形ADCH是矩形
AH=CD
在Rt△ABH中，AB＞AH
要使四边形ABCD的面积最大，则CD最大，
∴CD=4
∴四边形ABCD的面积=3×4=12
【分析】先证明OE是梯形ABCD的中位线，得出四边形ABCD是梯形，它的面积=3CD，要使四边形ABCD的面积最大，则CD最大，即可得出CD=4，即可求解。
15.（2019·苏州）如图①，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=60°，动点P从A点出发，以1cm/s的速度沿着A→B→C→D的方向不停移动，直到点P到达点D后才停止．已知△PAD的面积S（单位：cm2）与点P移动的时间（单位：s）的函数如图②所示，则点P从开始移动到停止移动一共用了________秒（结果保留根号）．

【答案】 （4+2 ）
【考点】梯形
【解析】【解答】解：由图②可知，t在2到4秒时，△PAD的面积不发生变化，
∴在AB上运动的时间是2秒，在BC上运动的时间是4﹣2=2秒，
∵动点P的运动速度是1cm/s，
∴AB=2cm，BC=2cm，
过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F，
则四边形BCFE是矩形，
∴BE=CF，BC=EF=2cm，
∵∠A=60°，
∴BE=ABsin60°=2× = ，
AE=ABcos60°=2× =1，
∴ ×AD×BE=3 ，
即 ×AD× =3 ，
解得AD=6cm，
∴DF=AD﹣AE﹣EF=6﹣1﹣2=3，
在Rt△CDF中，CD= = =2 ，
所以，动点P运动的总路程为AB+BC+CD=2+2+2 =4+2 ，
∵动点P的运动速度是1cm/s，
∴点P从开始移动到停止移动一共用了（4+2 ）÷1=4+2 （秒）．
故答案为：（4+2 ）．

【分析】根据图②判断出AB、BC的长度，过点B作BE⊥AD于点E，然后求出梯形ABCD的高BE，再根据t=2时△PAD的面积求出AD的长度，过点C作CF⊥AD于点F，然后求出DF的长度，利用勾股定理列式求出CD的长度，然后求出AB、BC、CD的和，再根据时间=路程÷速度计算即可得解．


模拟预测


1.（2020·上海模拟）在梯形 中， // ，那么下列条件中，不能判断它是等腰梯形的是（     ）
A.                 B.                 C.                 D. 
【答案】 B
【考点】等腰梯形的判定
【解析】【解答】解：A、∵四边形ABCD为梯形，且 // ， ，∴四边形ABCD是等腰梯形，故本选项不符合题意；
B、∠DAB=∠ABC，不能推出四边形ABCD是等腰梯形，故本选项符合题意；
C、∵四边形ABCD为梯形，且 // ，∠ABC=∠DCB，∴四边形ABCD是等腰梯形，故本选项不符合题意；
D、∵四边形ABCD为梯形，且 // ， ，∴四边形ABCD是等腰梯形，故本选项不符合题意．
故答案为：B．

【分析】等腰梯形的判定定理有：①有两腰相等的梯形是等腰梯形；②对角线相等的梯形是等腰梯形；③在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形，根据以上内容判断即可．
2.（2020·沈阳模拟）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，BC﹣AD=AB，过D作DE∥AB交BC于E，则△DEC是（　　）
 
A. 不等边三角形                   B. 等边三角形                   C. 直角三角形                   D. 等腰直角三角形
【答案】 B
【考点】梯形
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，DE∥AB，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴DE=AB=DC，BE=AD，
∵BC﹣AD=AB，BC﹣BE=CE，
∴AB=CE，
∴DE=DC=CE，
即△DEC是等边三角形；
故选：B．
【分析】先证明四边形ABED是平行四边形，得出DE=AB=DC，BE=AD，由已知条件得出AB=CE，得出DE=DC=CE，即可得出结论．
3.（2020·哈尔滨模拟）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=DC=CB，若∠ABD＝25°，则∠BAD的大小是 (       )  

A. 40°　                                      B. 45°                                      C. 50°                                      D. 60°
【答案】 C
【考点】等腰梯形的性质
【解析】
【分析】由已知AB∥DC，AD=DC=CB，∠ABD=25°，可得出∠CDB=∠DBC=25°，所以能得出∠ABC=50°，由AD=CB得等腰梯形，从而求出∠BAD的大小．
【解答】∵AB∥DC，AD=DC=CB，∠ABD=25°，
∴∠CBD=∠CDB=∠ABD=25°，
∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=50°，
又梯形ABCD中，AD=DC=CB，
∴为等腰梯形，
∴∠BAD=∠ABC=50°，
故选：C．
【点评】此题考查的知识点是等腰梯形的性质，解题的关键是由已知先求出∠ABC和等腰梯形，再由等腰梯形的性质求出∠BAD的大小
4.（2020·长春模拟）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD， 对角线AC⊥BC，∠B＝60º，BC＝2cm，则梯形ABCD的面积为（ ）   

A.  cm                            B. 6 cm                            C. cm                            D. 12 cm
【答案】 A
【考点】等腰梯形的性质
【解析】
【分析】作CE垂直AB于点E．作CF平行AD交AB于F．此时等腰梯形被分为一个平行四边形和一个等边三角形，由已知可得到AD=DC=BC，从而吉求得CE的长，再根据梯形的面积公式计算即可．
【解答】如图，作CE垂直AB于点E．作CF平行AD交AB于F．
已知对角线AC平分∠BAD，∠B=∠DAB=60°⇒∠DAC=∠CAB=30°⇒DA=DC=BC=2
又因为AD∥CF⇒∠CFB=∠B=60°⇒△BCF为等边三角形
根据勾股定理可求出CE=
AB=AF+BF=4
故等腰梯形的面积为 ．
故选A
【点评】本题需要辅助线的帮助，主要考查的是等腰梯形的性质以及梯形的面积公式

5.（2020·太仓模拟）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形ABCD的中位线，若△BEF的面积为4cm2 ， 则梯形ABCD的面积为（   ）

A. 8cm2                                B. 12cm2                                C. 16cm2                                D. 20cm2
【答案】 C
【考点】梯形，梯形中位线定理
【解析】【解答】解：如图，过A作AN⊥BC于N，交EF于M，

∵EF是梯形ABCD的中位线，
∴AD+BC＝2EF，EF∥AD∥BC，
∴AM⊥EF，AM＝MN，
∵△BEF的面积为4cm2 ，
∴ EF×AM＝4，
∴EF×AM＝8，
∴梯形ABCD的面积为 (AD+BC)×AN＝ ×2EF×2AM＝2EF×AM＝16cm2 ，
故答案为：C.
【分析】如图，过A作AN⊥BC于N，交EF于M，根据梯形的中位线性质得出AD+BC＝2EF，AM＝MN，再根据已知三角形的面积得出EF×AM＝8，由此进一步根据梯形面积公式变形求解即可.
6.（2018·丹江口模拟）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°且AB=AD，连接BD，过A点作BD的垂线，交BC于E．如果EC=3cm，CD=4cm，那么，梯形ABCD的面积是________ cm2 ．

【答案】 26
【考点】梯形
【解析】【解答】解：连接DE．

在直角三角形CDE中，根据勾股定理，得：DE=5．
∵AB=AD，AE⊥BD，∴AE垂直平分BD，∠BAE=∠DAE，∴DE=BE=5．
∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE=5，∴BC=BE+EC=8，
∴AD=5，∴该梯形的面积是（5+8）×4÷2=26．
【分析】连接DE，因为AB=AD，AE⊥BD，AD∥BC，可证四边形ABED为菱形，从而得到AD=DE=BE=，再根据梯形面积公式求出面积。
7.（2017·游仙模拟）如图，四边形ABCD是等腰梯形，∠ABC=60°，若其四边满足长度的众数为5，平均数为 ，上、下底之比为1：2，则BD=________．

【答案】5
【考点】等腰梯形的性质
【解析】【解答】解：设梯形的四边长为5，5，x，2x，
则 = ，
x=5，
则AB=CD=5，AD=5，BC=10，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵AD//BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵∠ABC=60°，
∴∠DBC=30°，
∵等腰梯形ABCD，AB=DC，
∴∠C=∠ABC=60°，
∴∠BDC=90°，
∴在Rt△BDC中，由勾股定理得：BD= =5 ，
故答案为：5 ．
【分析】设梯形的四边长为5，5，x，2x，根据平均数求出四边长，求出△BDC是直角三角形，根据勾股定理求出即可．
8.（2018·文昌模拟）如图，在等腰梯形ABCD中，AC⊥BD，AC=6cm，则等腰梯形ABCD的面积为________cm2 ．

【答案】18
【考点】等腰梯形的性质
【解析】【解答】解：方法一：
过点B作BE∥AC，交DC的延长线于点E，又AB∥CE，
∴四边形ACEB是平行四边形，又等腰梯形ABCD
∴BE=AC=DB=6cm，AB=CE，
∵AC⊥BD，
∴BE⊥BD，
∴△DBE是等腰直角三角形，
∴S等腰梯形ABCD= = = =S△DBE=
=6×6÷2
=18（cm2）．
方法二：
∵BD是△ADB和△CDB的公共底边，又AC⊥BD，
∴AC=△ADB的高﹢△CDB的高，
∴梯形ABCD的面积=△ADB面积+△CDB面积= BD×AC=6× =18（cm2）．
故答案为：18．

【分析】通过作辅助线，把等腰梯形ABCD的面积转化成直角三角形的面积来完成．
9.（2017·茂县模拟）如图所示，在梯形ABCD中，AB∥DC，BD⊥AD，AD=DC=BC=2cm，那么梯形ABCD的面积是________．

【答案】3 cm2
【考点】等腰梯形的性质
【解析】【解答】解：作DE⊥AB，垂足为E，

∵AB∥DC，AD=DC=BC=2cm，
∴梯形ABCD为等腰梯形，△BCD为等腰三角形，
∴∠DAB=∠CBA，∠CDB=∠CBD，
又∵AB∥DC，
∴∠CDB=∠DBA，
∴∠CBD=∠DBA，
∴∠DBA= ∠CBA= ∠DAB，
设∠DBA=x，
∵DB⊥AD，
∴x+2x=90°，
解得x=30°，即∠DBA=30°，∠DAB=60°，
∴AB=4cm，
在Rt△ADE中，AE= AD= ×2=1cm，
DE= cm，
∴S梯形ABCD= =3 cm2 ．
故答案为：3 cm2 ．
【分析】根据已知可判定梯形为等腰梯形，并可求出其底角为特殊角，进而求出AB．
10.（2019·宜春模拟）如图，∠AOB=45°，过射线OA上到点O的距离分别为1，3，5，7，9，11，…的点作OA的垂线与OB相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别 为S1 ， S2 ， S3 ， S4 ， …．观察图中的规律，第n（n为正整数）个黑色梯形的面积是Sn=________ ．
 
【答案】 8n﹣4
【考点】直角梯形
【解析】【解答】解：∵∠AOB=45°，
∴图形中三角形都是等腰直角三角形，
从图中可以看出，黑色梯形的高都是2，
第一个黑色梯形的上底为：1，下底为：3，
第2个黑色梯形的上底为：5=1+4，下底为：7=1+4+2，
第3个黑色梯形的上底为：9=1+2×4，下底为：11=1+2×4+2，
则第n个黑色梯形的上底为：1+（n﹣1）×4，下底为：1+（n﹣1）×4+2，
故第n个黑色梯形的面积为：×2×[1+（n﹣1）×4+1+（n﹣1）×4+2]=8n﹣4．
故答案为：8n﹣4．
【分析】由∠AOB=45°及题意可得出图中的三角形都为等腰直角三角形，且黑色梯形的高都是2；根据等腰直角三角形的性质，分别表示出黑色梯形的上下底，找出第n个黑色梯形的上下底，利用梯形的面积公式即可表示出第n个黑色梯形的面积．