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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式课时练习
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式课时练习,共9页。
本试卷满分100分,考试时间45分钟,试题共16题.答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2020·浙江高二学业考试)已知实数,满足,则的最大值是( )
A.1B.C.D.
【答案】D
【解析】因为,所以,得 .
故选:D.
2.(2020·江门市第二中学高一期中)若实数满足,则的最小值是( )
A.18B.9C.6D.2
【答案】C
【解析】因为,,
所以,
当且仅当,即时取等号,
所以的最小值为6,
故选:C
3.(2020·上海高三其他)下列不等式恒成立的是( )
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】A.由基本不等式可知,故A不正确;
B.,即恒成立,故B正确;
C.当时,不等式不成立,故C不正确;
D.当时,不等式不成立,故D不正确.
故选:B
4.(2020·全国高一)当时,函数的最小值为( )
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】依题意,由于,所以,当且仅当时,等号成立.
故选B.
5.(2020·浙江高一单元测试)已知不等式对任意实数、恒成立,则实数的最小值为( )
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】.
若,则,从而无最小值,不合乎题意;
若,则,.
①当时,无最小值,不合乎题意;
②当时,,则不恒成立;
③当时,,
当且仅当时,等号成立.
所以,,解得,因此,实数的最小值为.
故选:C.
6.(2020·浙江鄞州宁波华茂外国语学校高三一模)已知实数,,,则的最小值是( )
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】∵,,
∴,当且仅当,即,时取等号.故选B
7.(多选)小王从甲地到乙地往返的速度分別为和,其全程的平均速度为,则( )
A.B.
C.D.
【答案】AD
【解析】设甲、乙两地之间的距离为,则全程所需的时间为,.
,由基本不等式可得,,
另一方面,,
,则.
故选:AD.
8.(多选)(2020·福建省泰宁第一中学)下列各不等式,其中不正确的是( )
A.;B.;
C.;D..
【答案】ACD
【解析】对A项,当时,,则A错误;
对B项,当时,,当且仅当时,等号成立
当时,,当且仅当时,等号成立,则B正确;
对C项,当时,,则C错误;
对D项,当时,,则D错误;
故选:ACD
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.不需写出解答过程,请把答案直接填写在横线上)
9.(2020·黑龙江工农�鹤岗一中高一期末(理))若,则不等式(1);(2);(3);(4)中,正确的不等式有__________个.
【答案】
【解析】,则,,.
,(1)中的不等式正确;
,则,(3)中的不等式错误;
,(2)中的不等式错误;
,则,由基本不等式可得,(4)中的不等式正确.
故答案为:.
10.(2020·江苏滨湖�辅仁高中高二期中)已知正实数满足,则的最大值是______.
【答案】
【解析】正实数,则,则,
,则,
当时等号成立.故答案为:.
11.(2020·黑龙江建华齐齐哈尔市实验中学高一期中)设且恒成立,则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】因为a>b>c,所以a-b>0,b-c>0,a-c>0.
又,
当且仅当,即2b=a+c时等号成立.所以m≤4.
12.(2018·浙江高三月考)已知,,则的最大值为________,的取值范围是________.
【答案】
【解析】因为,,所以.因为,所以,解得,当且仅当时取等号.又,所以,,解得,所以的取值范围是.
故答案为:;.
三、解答题(本大题共4小题,共40分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
13.(2017·甘肃省会宁县第二中学高二期中)(1)已知00,且x+y=1,求+的最小值.
【解析】(1)因为
已知 ,所以,
所以
所以,当且仅当,即 取等号,
所以y=2x-5x2的最大值为:
(2)因为+,
当且仅当 x+y=1,,即时,取等号,
所以 +的最小值.为.
14.(2017·福建高三(理))已知a,b为正实数,且.
(1)求a2+b2的最小值;
(2)若,求ab的值.
【解析】(1)因为a,b为正实数,且,
所以,即ab≥(当且仅当a=b时等号成立).
因为(当且仅当a=b时等号成立),
所以a2+b2的最小值为1.
(2)因为,所以,
因为,所以,即,
所以(ab)2-2ab+1≤0,(ab-1)2≤0,
因为a,b为正实数,所以ab=1.
15.(2020·上海高三专题练习)已知x,y,z是互不相等的正数,且x+y+z=1,求证:(1)(1)(1)>8.
【解析】∵x+y+z=1,x、y、z是互不相等的正实数,
∴(1)(1)(1)8.
∴(1)(1)(1)>8
16.(2020·江西南康中学高一月考)南康某服装厂拟在年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)万件与年促销费用万元满足.已知年生产该产品的固定投入为万元,每生产万件该产品需要再投入万元.厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用).
(1)将年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数;
(2)该服装厂年的促销费用投入多少万元时,利润最大?
【解析】(1)由题意知:每件产品的销售价格为,
;
(2)由,
当且仅当,即时取等号.
答:该服装厂年的促销费用投入万元时,利润最大.
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