2021年高中数学培优练习《解三角形-最值问题》专项复习（含答案）

2021年高中数学《解三角形-最值问题》专项复习

一、选择题

1.已知三角形的三边长分别是a，b，，则此三角形中最大的角是(　　)

A．30°        B．60°          C．120°         D．150°

2.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，若，

且a=2，则△ABC的面积的最大值是（     ）

A.        B.          C.      D.4

3.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，若，

则b+c最大值为（    ）

A.       B.2        C.      D.4

4.在钝角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B为钝角，若acos A=bsin A，

则sin A＋sin C的最大值为(　　)

A.         B.            C．1          D.

5.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB－bcosA=c，

则tan(A－B)的最大值为(　 　)

A.       B.        C.          D.

6.在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且2sinCcosB=2sinA+sinB，c=3ab，

则ab最小值是(  )

A.           B.                        C.                          D.

7.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2ccos B=2a＋b，若△ABC的面积为c，则ab的最小值为(　　)

A.              B．            C.              D．3

二、填空题

8.在△ABC中，已知a－b=4，a＋c=2b，且最大角为120°，则该三角形的周长为________．

9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c，且△ABC面积为，

则面积S的最大值为_____.

10.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c，a=c,且满，

若点O是△ABC外一点，OA=2OB=4，则四边形OACB的面积的最大值为_______________.

11.在△ABC中，若sinC=2cosA·cosB，则cos2A+cos2B的最大值为______.

12.在△ABC中，∠BAC=60°，点D在线段BC上，且BC=3BD，AD=2，则△ABC面积最大值为_____.

13.在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，

且，△ABC面积的最大值为    .

14.如图，设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，acos C＋ccos A=bsin B，

且∠CAB=.若点D是△ABC外一点，DC=2，DA=3，则当四边形ABCD面积取最大值时，

sin D=________.

三、解答题

15.在△ABC中，a2+c2=b2+ac．

（1）求∠B 的大小；

（2）求cosA+cosC的最大值．

16.设△ABC中的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知a=2,

（1）若b=2，求c边的长；

（2）求△ABC面积的最大值，并指明此时三角形的形状.

17.已知△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m，

  n，且m∥n.

（1）求锐角B的大小；

（2）在（1）的条件下，如果b=2，求的最大值.

18.已知函数f(x)=m·n，其中向量m=(sin ωx＋cos ωx，cos ωx)，n=(cos ωx－sin ωx，2sin ωx)，ω＞0，若f(x)的图象上相邻两个对称中心的距离大于等于π.

(1)求ω的取值范围；

(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a=，当ω最大时，f(A)=1，求△ABC的面积的最大值．

0.参考答案

1.答案为：C；

解析：因为＞a，＞b，所以最大边是，

设其所对的角为θ，则cos θ==－，θ=120°.

2.答案为：B；

4.答案为：B；

解析：∵acos A=bsin A，由正弦定理可得，sin Acos A=sin Bsin A，

∵sin A≠0，∴cos A=sin B，又B为钝角，

∴B=A＋，sin A＋sin C=sin A＋sin(A＋B)=sin A＋cos 2A

=sin A＋1－2sin2A=－22＋，∴sin A＋sin C的最大值为.

5.答案为：A；

解析：由acosB－bcosA=c及正弦定理可得，

sinA·cosB－sinBcosA=sinC=sin(A＋B)=sinAcosB＋cosAsinB，

即sinAcosB=sinBcosA，得tanA=5tanB，从而可得tanA＞0，tanB＞0，

∴tan(A－B)===≤=，

当且仅当=5tanB，即tanB=时取得等号，

∴tan(A－B)的最大值为，故选A.

6.B.

7.答案为：B.

解析：由正弦定理及2ccos B=2a＋b，得2sin Ccos B=2sin A＋sin B．

因为A＋B＋C=π，所以sin A=sin(B＋C)，则2sin C·cos B=2sin(B＋C)＋sin B，

即2sin B·cos C＋sin B=0，又0＜B＜π，所以sin B＞0，则cos C=－.

因为0＜C＜π，所以C=，所以sin C=，

则△ABC的面积为absin C=ab=c，即c=3ab，

结合c2=a2＋b2－2ab·cos C，可得a2＋b2＋ab=9a2b2.∵a2＋b2≥2ab，

当且仅当a=b时取等号，∴2ab＋ab≤9a2b2，即ab≥，

故ab的最小值是，故选B.

8.答案为：30；

解析：因为a－b=4，所以a＞b，

又因为a＋c=2b，所以b＋4＋c=2b，所以b=4＋c，所以a＞b＞c.

所以最大角为A，所以A=120°，所以cos A==－，

所以b2＋c2－a2=－bc，所以b2＋(b－4)2－(b＋4)2=－b(b－4)，

即b2＋b2＋16－8b－b2－16－8b=－b2＋4b，所以b=10，所以a=14，c=6.

故周长为30.

9.答案为：；

10.答案为：；

11.答案为：；

12.答案为：；

14.答案为：；

解析：因为acos C＋ccos A=bsin B，

所以由正弦定理可得sin Acos C＋cos Asin C=sin(A＋C)=sin B=sin2B，

sin B=1，B=.又因为∠CAB=，所以BC=AC，AB=AC，

由余弦定理可得cos D=，可得AC2=13－12cos D，

四边形面积S=S△ACD＋S△ABC=×2×3×sin D＋×AC×AC=3sin D＋(13－12cos D)=＋3sin D－cos D= sin(D＋φ)＋，tan φ=－，

所以，当φ＋D=时四边形面积最大，此时tan D=tan==－，

可得sin D=.

15.

16.

18.解：

(1)由题意知f(x)=m·n=cos2 ωx－sin2 ωx＋sin 2ωx

=cos 2ωx＋sin 2ωx=2sin.

∵=·=≥π，ω＞0，∴0＜ω≤.

(2)由(1)知ωmax=，f(A)=2sin=1，即sin=.

又0＜A＜π，∴＜A＋＜，∴A＋=，得A=.

又由余弦定理得a2=3=b2＋c2－2bc×≥3bc，即bc≤1.

∴S△ABC=bcsin A≤×1×=.

∴△ABC的面积的最大值为.