2021年高中数学培优练习《空间几何体》专项复习（含答案）

2021年高中数学《空间几何体》专项复习

一、选择题

1.长方体ABCD-A1 B1 C1 D1 中,AB=AA1 =2,AD =1,E为 CC1的中点，则异面直线BC1 与AE所成角的余弦值为(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.       B.         C.       D.

2.如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB与平面MNQ不平行的是（     ）

3.如图,直线PA垂直于圆O所在的平面,△ABC内接于圆O,且AB为圆O的直径,点M为线段PB的中点.现有以下命题:

①BC⊥PC;②OM∥平面APC;③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长.其中真命题的个数为(　　)

A.0              B.1            C.2              D.3

4.如图，在正四棱锥S﹣ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论：①EP⊥AC；②EP∥BD；③EP∥面SBD；④EP⊥面SAC.其中恒成立的为（　　）

A.①③     B.③④      C.①②      D.②③④

5.如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是（　　）

A.[1，]   B.[，]   C.[，]   D.[，]

6.如图，正方形SG1G2G3中 ，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，现在沿SE，SF，EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3重合，重合后的点记为G.

给出下列关系：①SG⊥平面EFG；②SE⊥平面EFG；③GF⊥SE；④EF⊥平面SEG.

其中成立的有(　　).

A.①②      B.①③      C.②③      D.③④

7.如图，在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是(　　)

A.BC∥平面PDF           B.DF⊥平面PAE 

C.平面PDF⊥平面ABC     D.平面PAE⊥平面ABC

8.如图，在正方形ABCD中，E、F分别为边BC，CD的中点，H是EF的中点，现沿AE、AF，EF把这个正方形折成一个几何体，使B、C、D三点重合于点G，则下列结论中成立的是(　　)

A.AG⊥平面EFG    B.AH⊥平面EFG     C.GF⊥平面AEF    D.GH⊥平面AEF

9.将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使，则三棱锥D-ABC的体积为(    )

A.           B.              C.           D.

10.如图，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是(　　)

A.            B．          C.          D．[，]

二、填空题

11.在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，BC=2AD=4，AB=CD=，则BD与平面PAC的位置关系是________； 若二面角A­PC­D的大小为60°，则AP的值为________.

12.如图1所示的等边△ABC的边长为2a，CD是AB边上的高，E，F分别是AC，BC边的中点.现将△ABC沿CD折叠，使平面ADC⊥平面BDC，如图2所示，则直线AB与平面DEF的位置关系是________，四面体A­DBC的外接球体积与四棱锥D­ABFE的体积之比为________.

13.如图，四面体P­ABC中，PA=PB=，平面PAB⊥平面ABC，∠ABC=90°，AC=8，BC=6，则PC=________，PC与平面ABC所成角的余弦值为________.

14.如图，在棱长为1的正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中， M 和 N 分别是 A 1 B 1 和 BB 1 的中点，那么直线 AM 与 CN 所成角的余弦值为________．

15.如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为线段A1B上的动点，则下列结论正确的有_________

①三棱锥M﹣DCC1的体积为定值;   ②DC1⊥D1M

③∠AMD1的最大值为90°;        ④AM+MD1的最小值为2．

16.17.如图，PA⊥平面ABC，∠ACB=90°，EF∥PA，则图中直角三角形的个数是_______.

三、解答题

18.如图，在直三棱柱中，在棱上.

（1）若D为AA1的中点，求证：平面B1CD⊥平面B1C1D；

（2）若E为AB上的一动点，当三棱锥E-BB1C的体积为，求AE长度.

19.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面A1B1C1，D是AB中点.

(1)证明：AC1//平面B1CD；

(2)若∠ACB=90°，AA1=BC，证明：平面A1C1B⊥平面B1CD.

20.如图，在矩形ABCD中，AD=2，AB=4，E，F分别为边AB，AD的中点.现将△ADE沿DE折起，

得四棱锥ABCDE.

（1）求证：EF平面ABC；

（2）若平面ADE⊥平面BCDE，求四面体FDCE的体积.

21.如图所示，四边形EFGH为空间四面体ABCD的一个截面，若截面为平行四边形．

(1)求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；

(2)若AB=4，CD=6，求四边形EFGH周长的取值范围．

22.如图所示，四棱锥P­ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA=.

(1)证明：平面PBE⊥平面PAB；

(2)求二面角A­BE­P的大小.

23.如图，在三棱锥P­ABC中，PC⊥底面ABC，AB⊥BC，D，E分别是AB，PB的中点.

(1)求证：DE∥平面PAC；

(2)求证：AB⊥PB；

(3)若PC=BC，求二面角P­AB­C的大小.

0.参考答案

1.B

2.A【解析】由B，AB∥MQ，则直线AB∥平面MNQ；由C，AB∥MQ，则直线AB∥平面MNQ；由D，AB∥NQ，则直线AB∥平面MNQ.故A不满足，选A.

3.D解析:易证BC⊥平面PAC,所以BC⊥PC;OM∥PA,易证OM∥平面APC;因为BC⊥平面PAC,所以点B到平面PAC的距离等于线段BC的长;故①②③都正确.

4.A解：如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN.

对于（1），由正四棱锥S﹣ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，∴SO⊥AC.

∵SO∩BD=O，∴AC⊥平面SBD，∵E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，∴EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN=N，

∴平面EMN∥平面SBD，∴AC⊥平面EMN，∴AC⊥EP.故正确.

对于（2），由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线，不可能EP∥BD，因此不正确；

对于（3），由（1）可知：平面EMN∥平面SBD，∴EP∥平面SBD，因此正确.

对于（4），由（1）同理可得：EM⊥平面SAC，若EP⊥平面SAC，则EP∥EM，与EP∩EM=E相矛盾，因此当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直.即不正确.故选：A.

5.B

6.答案:B;解析:由SG⊥GE，SG⊥GF，得SG⊥平面EFG，排除C、D；若SE⊥平面EFG，则SG∥SE，这与SG∩SE=.S矛盾，排除A，故选B.

7.【答案】C；

【解析】由题意知BC∥DF，且BC⊥PE，BC⊥AE.∵PE∩AE=E，∴BC⊥平面PAE，

∴BC∥平面PDF成立，DF⊥平面PAE成立，平面PAE⊥平面ABC也成立.

8.【答案】A;【解析】∵AG⊥GF，AG⊥GE，GF∩GE=G，∴AG⊥平面EFG.

9.答案：D

10.答案为：B.

解析：取B1C1的中点M，BB1的中点N，连接A1M，A1N，MN，可以证明平面AMN∥平面AEF，

所以点P位于线段MN上，因为A1M=A1N==，MN==，

所以当点P位于M，N处时，A1P的长度最长，当P位于MN的中点O时，A1P的长度最短，

此时A1O==，所以A1O≤A1P≤A1M，即≤A1P≤，

所以线段A1P长度的取值范围是，选B.

二 、填空题

11.答案为：垂直，；

12.答案为：平行，；

13.答案为：7，；

14.答案为：0.4;  

15.答案为：①②; 

16.17.答案为：6;

解析：由PA⊥平面ABC，得PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC.

又∵BC⊥AC，AC∩PA=A，∴BC⊥平面PAC,∴BC⊥PC.

∵EF∥PA，PA⊥平面ABC,∴EF⊥平面ABC,∴EF⊥BE,EF⊥EC,

∴△PAB，△PAC，△ABC，△PBC，△EFC，△BEF均为直角三角形.

18.解：（1）在面中，因为为中点，

设，可得，

又由，

所以，所以，

因为平面，且平面，

所以，

又由，且平面，

所以平面，

又因为平面，

所以平面平面

（2）如图所示，过作于点，则，

因为，所以

又因为，且，所以平面，

即平面，

所以，解得，

由，所以为的中点，所以.

19.解：(1)如图，设BC1与B1C相较于点E，连接DE，

由题意可得，D、E分别为AB、BC1的中点，
所以DE是△ABC1的中位线，
所以DE//AC1，
因为，，
所以AC1//平面B1CD；
(2)因为AA1⊥底面A1B1C1，CC1//AA1，
所以CC1⊥底面A1B1C1，
所以CC1⊥A1C1，
因为∠ACB=90°，即∠A1C1B1=90°，所以A1C1⊥B1C1，
又，所以，
所以A1C1⊥B1C，
因为AA1=BC，AA1=CC1，
所以CC1=BC，
在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥B1C1，
所以四边形BCC1B1是正方形，
所以BC1⊥B1C，
因为，
所以，
因为，
所以平面A1C1B⊥平面B1CD.

20.（1）证明：如图，取线段AC的中点M，连结MF，MB.

因为F，M为AD，AC的中点，

所以MFCD，且2MF=CD.

在折叠前，四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，所以BE∥CD，且BE=0.5CD.

所以MFBE，且MF=BE.

所以四边形BEFM为平行四边形，故EFBM.

又EF平面ABC，BM平面ABC，

所以EF平面ABC.

（2）在折叠前，四边形ABCD为矩形，AD2，AB=4，E为AB的中点，

所以ADE，CBE都是等腰直角三角形，且AD=AE=EB=BC=2.

所以∠DEA=∠CEB=45°，且DE=EC=2.

又∠DEA＋∠DEC＋∠CEB=180°，所以∠DEC=90°，即DE⊥CE.

又平面ADE⊥平面BCDE，平面ADE∩平面BCDE=DE，CE平面BCDE，

所以CE⊥平面ADE，即CE为三棱锥CEFD的高.

因为F为AD的中点，

所以

所以四面体FDCE的体积

21.解：(1)证明：因为四边形EFGH为平行四边形，

所以EF∥HG.

因为HG⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，

所以EF∥平面ABD.

因为EF⊂平面ABC，平面ABD∩平面ABC=AB，

所以EF∥AB，

所以AB∥平面EFGH.

同理，可证CD∥平面EFGH.

(2)设EF=x(0＜x＜4)，

由(1)知，=.

则===1－.

从而FG=6－x，

所以四边形EFGH的周长l=2=12－x.

又0＜x＜4，则有8＜l＜12.

即四边形EFGH的周长的取值范围是(8,12)．

22.证明：(1)如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD=60°，知△BCD是等边三角形.

因为E是CD的中点，

所以BE⊥CD.

又AB∥CD，

所以BE⊥AB.

又因为PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，

所以PA⊥BE.而PA∩AB=A，

因此BE⊥平面PAB.

又BE⊂平面PBE，

所以平面PBE⊥平面PAB.

(2)由(1)知，BE⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，

所以PB⊥BE.又AB⊥BE，

所以∠PBA是二面角A­BE­P的平面角.

在Rt△PAB中，tan∠PBA==，

则∠PBA=60°.

故二面角A­BE­P的大小是60°.

23.证明：(1)因为D，E分别是AB，PB的中点，

所以DE∥PA.

又因为PA⊂平面PAC，DE⊄平面PAC，

所以DE∥平面PAC.

(2)因为PC⊥底面ABC，AB⊂底面ABC，

所以PC⊥AB.

又因为AB⊥BC，PC∩BC=C，

所以AB⊥平面PBC，

又因为PB⊂平面PBC，

所以AB⊥PB.

(3)解：由(2)知，AB⊥PB，AB⊥BC，

所以∠PBC即为二面角P­AB­C的平面角，

因为PC=BC，∠PCB=90°，

所以∠PBC=45°，

所以二面角P­AB­C的大小为45°.