2021年高中数学培优练习《平面向量-含参数取值问题》专项复习（含答案）

这是一份2021年高中数学培优练习《平面向量-含参数取值问题》专项复习（含答案），共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

已知|eq \(AB,\s\up6(→))|=5，|eq \(CD,\s\up6(→))|=7，则|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→))|的取值范围是( )
A.[2,12] B.(2,12) C.[2,7] D.(2,7)
已知向量a=(2,7)，b=(x，－3)，且a与b的夹角为钝角，则实数x的取值范围为( )
A．x 若m·n≤0，则m与n的夹角θ的取值范围是( )
A.[0，eq \f(π,2)) B.[eq \f(π,2)，π) C.[eq \f(π,2)，π] D.[0，eq \f(π,2)]
A,B,C是圆O上不同的三点,线段CO与线段AB交于点D(点O与点D不重合),若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的取值范围是( )
A.(0,1) B.(1,+∞) C.(1,] D.(-1,0)
如图所示，，，是圆上不同的三点，线段的延长线与线段交于圆外的一点，若（，），则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
已知向量，，（m＞0，n＞0），若m+n∈[1，2]，
则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且eq \(BC,\s\up10(→))=3eq \(CD,\s\up10(→))，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若eq \(AO,\s\up10(→))=xeq \(AB,\s\up10(→))＋(1－x)eq \(AC,\s\up10(→))，则x的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0)) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，0))
在△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=60°，点P是△ABC内一点(含边界)，若eq \(AP,\s\up6(→))=eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋λ·eq \(AC,\s\up6(→))，则|eq \(AP,\s\up6(→))|的取值范围为( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2，\f(2\r(10＋3\r(3)),3))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2，\f(8,3))) C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2\r(13),3))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2，\f(2\r(13),3)))
二、填空题
已知a=(λ,2λ),b=(3λ,2),如果a与b的夹角为锐角,则λ的取值范围是 .
已知直角坐标平面内的两个向量a=(1,3)，b=(m,2m－3)，使平面内的任意一个向量c都可以唯一的表示成c=λa＋μb，则m的取值范围是________．
平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2，点P在边CD上，则的取值范围是________.
已知向量eq \(AB,\s\up7(―→))=(m,1)，eq \(BC,\s\up7(―→))=(2－m，－4)，若eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(AC,\s\up7(―→))>11，则m的取值范围为________．
矩形ABCD中，AB=3，AD=2，P为矩形内部一点，且AP=1，若eq \(AP,\s\up6(→))=xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AD,\s\up6(→))，则3x＋2y的取值范围是 .
如图，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外一点D，若eq \(OC,\s\up6(→))=meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))，则m＋n的取值范围是________．
三、解答题
设两个向量a=(λ＋2，λ2－cs2α)和b=(m，＋sin α)，其中λ、m、α为实数，若a=2b，求的取值范围.
已知向量a与b的夹角为θ，|a|=2，|b|=eq \r(3).
(1)当a∥b时，求(a－b)·(a＋2b)的值；
(2)当θ=eq \f(5π,6)时，求|2a－b|＋(a＋b)·(a－b)的值；
(3)定义a※b=|a|2－eq \r(3)a·b，若ab≥7，求θ的取值范围．
已知a=(2＋sin x，1)，b=(2，－2)，c=(sin x－3，1)，d=(1，k)(x∈R，k∈R)．
(1)若x∈[－eq \f(π,2)，eq \f(π,2)]，且a∥(b＋c)，求x的值；
(2)若函数f(x)=a·b，求f(x)的最小值；
(3)是否存在实数k和x，使得(a＋d)⊥(b＋c)？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．
已知向量a=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sinx，\f(3,4)))，b=(csx，－1).
(1)当a∥b时，求cs2x－sin2x的值；
(2)设函数f(x)=2(a＋b)·b，已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.
若a=eq \r(3)，b=2，sinB=eq \f(\r(6),3)，求f(x)＋4cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2A＋\f(π,6)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))))的取值范围.
\s 0 参考答案
答案为：A；
解析：eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(CD,\s\up6(→))同向时，|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→))|=|eq \(CD,\s\up6(→))|－|eq \(AB,\s\up6(→))|=7－5=2，
当eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(CD,\s\up6(→))反向时，|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→))|=|eq \(AB,\s\up6(→))|＋|eq \(CD,\s\up6(→))|=7＋5=12，故选A.
答案为：D；
解析：
由a·b=2x－21<0，得x故x的取值范围为x 答案为：C；
解析：∵m·n≤0，∴|m|·|n|cs θ≤0，∴cs θ≤0，∴eq \f(π,2)≤θ≤π.
答案为：B；
D∵，，∴，展开得，∴，当时，即，∴.当趋近于射线时，由平行四边形法则可知，此时且，∴，因此的取值范围是，故选D.
D解：根据题意，向量，，=（3m+n，m﹣3n），则==，令t=，则=t，
而m+n∈[1，2]，即1≤m+n≤2，在直角坐标系表示如图，t=表示区域中任意一点与原点（0，0）的距离，分析可得：≤t≤2，又由=t，故≤≤2；故选：D.
答案为：D.
解析：设eq \(BO,\s\up10(→))=λeq \(BC,\s\up10(→))，其中1＜λ＜eq \f(4,3)，则有eq \(AO,\s\up10(→))=eq \(AB,\s\up10(→))＋eq \(BO,\s\up10(→))=eq \(AB,\s\up10(→))＋λeq \(BC,\s\up10(→))=eq \(AB,\s\up10(→))＋λ(eq \(AC,\s\up10(→))－eq \(AB,\s\up10(→)))
=(1－λ)eq \(AB,\s\up10(→))＋λeq \(AC,\s\up10(→)).又eq \(AO,\s\up10(→))=xeq \(AB,\s\up10(→))＋(1－x)eq \(AC,\s\up10(→))，且eq \(AB,\s\up10(→))，eq \(AC,\s\up10(→))不共线，
于是有x=(1－λ)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，0))，即x的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，0)).
答案为：D；
解析：在AB上取一点D，使得eq \(AD,\s\up6(→))=eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))，过D作DH∥AC，交BC于H.
∵eq \(AP,\s\up6(→))=eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋λeq \(AC,\s\up6(→))，且点P是△ABC内一点(含边界)，∴点P在线段DH上.
当P在D点时，|eq \(AP,\s\up6(→))|取得最小值2；当P在H点时，|eq \(AP,\s\up6(→))|取得最大值，
此时B，P，C三点共线，
∵eq \(AP,\s\up6(→))=eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋λeq \(AC,\s\up6(→))，∴λ=eq \f(1,3)，∴eq \(AP,\s\up6(→))=eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))，
∴eq \(AP,\s\up6(→))2=eq \f(1,9)eq \(AC,\s\up6(→))2＋eq \f(4,9)eq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \f(4,9)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))=eq \f(52,9)，∴|eq \(AP,\s\up6(→))|=eq \f(2\r(13),3).
故|eq \(AP,\s\up6(→))|的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2，\f(2\r(13),3))).故选D.
答案为：(-∞,-)∪(0,)∪(,+∞);
解析:a与b的夹角为锐角,则a·b>0且a与b不共线,则3λ2+4λ>0,2λ-6λ2≠0,
解得λ<-或0<λ<或λ>,所以λ的取值范围是(-∞,-)∪(0,)∪(,+∞).
答案为：{m|m∈R，m≠－3}；
解析：∵c可唯一表示成c=λa＋μb，∴a与b不共线，即2m－3≠3m.∴m≠－3.
答案为：.
答案为：(7，＋∞)；
解析：由向量eq \(AB,\s\up7(―→))=(m,1)，eq \(BC,\s\up7(―→))=(2－m，－4)，得eq \(AC,\s\up7(―→))=eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(BC,\s\up7(―→))=(2，－3)．
又因为eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(AC,\s\up7(―→))>11，所以2m－3>11，解得m>7.
答案为：(1，eq \r(2)].
解析：设点P在AB上的射影为Q，∠PAQ=θ，
则eq \(AP,\s\up6(→))=eq \(AQ,\s\up6(→))＋eq \(QP,\s\up6(→))，且|eq \(AQ,\s\up6(→))|=csθ，|eq \(QP,\s\up6(→))|=sinθ.
又eq \(AQ,\s\up6(→))与eq \(AB,\s\up6(→))共线，eq \(QP,\s\up6(→))与eq \(AD,\s\up6(→))共线，故eq \(AQ,\s\up6(→))=eq \f(csθ,3)eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(QP,\s\up6(→))=eq \f(sinθ,2)eq \(AD,\s\up6(→))，
从而eq \(AP,\s\up6(→))=eq \f(csθ,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(sinθ,2)eq \(AD,\s\up6(→))，故x=eq \f(csθ,3)，y=eq \f(sinθ,2)，
因此3x＋2y=csθ＋sinθ=eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))，
又θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，故3x＋2y的取值范围是(1，eq \r(2)].
答案为：(－1,0)；
解析：由点D是圆O外一点，可设eq \(BD,\s\up6(→))=λeq \(BA,\s\up6(→))(λ＞1)，则eq \(OD,\s\up6(→))=eq \(OB,\s\up6(→))＋λeq \(BA,\s\up6(→))=λeq \(OA,\s\up6(→))＋(1－λ)eq \(OB,\s\up6(→)).
又C，O，D三点共线，令eq \(OD,\s\up6(→))=－μeq \(OC,\s\up6(→))(μ＞1)，则eq \(OC,\s\up6(→))=－eq \f(λ,μ)·eq \(OA,\s\up6(→))－eq \f(1－λ,μ)eq \(OB,\s\up6(→))(λ＞1，μ＞1)，
所以m=－eq \f(λ,μ)，n=－eq \f(1－λ,μ)，且m＋n=－eq \f(λ,μ)－eq \f(1－λ,μ)=－eq \f(1,μ)∈(－1,0)．
解:
解：(1)∵a∥b，∴cs θ=±1.
∴(a－b)·(a＋2b)=|a|2＋a·b－2|b|2
=－2＋2eq \r(3)cs θ=－2±2eq \r(3).
(2)∵|2a－b|2=4|a|2－4a·b＋|b|2=16－4×2×eq \r(3)×cs eq \f(5π,6)＋3=31，
∴|2a－b|=eq \r(31)，
又(a＋b)·(a－b)=|a|2－|b|2=1，
∴|2a－b|＋(a＋b)·(a－b)=eq \r(31)＋1.
(3)∵a※b=|a|2－eq \r(3)a·b=4－eq \r(3)×2×eq \r(3)cs θ≥7，
∴cs θ≤－eq \f(1,2)，
又θ∈[0，π]，∴θ∈[eq \f(2π,3)，π]．
解：(1)∵b＋c=(sin x－1，－1)，又a∥(b＋c)，
∴－(2＋sin x)=sin x－1，即sin x=－eq \f(1,2).
又x∈[－eq \f(π,2)，eq \f(π,2)]，∴x=－eq \f(π,6).
(2)∵a=(2＋sin x，1)，b=(2，－2)，
∴f(x)=a·b=2(2＋sin x)－2=2sin x＋2.
又x∈R，
∴当sin x=－1时，f(x)有最小值，且最小值为0.
(3)a＋d=(3＋sin x，1＋k)，b＋c=(sin x－1，－1)，
若(a＋d)⊥(b＋c)，则(a＋d)·(b＋c)=0，
即(3＋sin x)(sin x－1)－(1＋k)=0，
∴k=sin2x＋2sin x－4=(sin x＋1)2－5.
由sin x∈[－1，1]，得sin x＋1∈[0，2]，
∴(sin x＋1)2∈[0，4]，故k∈[－5，－1]．
∴存在k∈[－5，－1]，使得(a＋d)⊥(b＋c)．
解：(1)因为a∥b，所以eq \f(3,4)csx＋sinx=0，所以tanx=－eq \f(3,4).
cs2x－sin2x=eq \f(cs2x－2sinxcsx,sin2x＋cs2x)=eq \f(1－2tanx,1＋tan2x)=eq \f(8,5).
(2)f(x)=2(a＋b)·b=2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sinx＋csx，－\f(1,4)))·(csx，－1)
=sin2x＋cs2x＋eq \f(3,2)=eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))＋eq \f(3,2).
由正弦定理eq \f(a,sinA)=eq \f(b,sinB)，得sinA=eq \f(asinB,b)=eq \f(\r(3)×\f(\r(6),3),2)=eq \f(\r(2),2)，所以A=eq \f(π,4)或A=eq \f(3π,4).
因为b＞a，所以A=eq \f(π,4).所以f(x)＋4cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2A＋\f(π,6)))=eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))－eq \f(1,2)，
因为x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))，所以2x＋eq \f(π,4)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(11π,12)))，
所以eq \f(\r(3),2)－1≤f(x)＋4cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2A＋\f(π,6)))≤ eq \r(2)－eq \f(1,2).所以
f(x)＋4cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2A＋\f(π,6)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))))的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)－1，\r(2)－\f(1,2))).