2021年高中数学培优练习《圆方程-最值问题》专项复习（含答案）

这是一份2021年高中数学培优练习《圆方程-最值问题》专项复习（含答案），共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

圆x2+y2=1上的点到点M(3,4)的距离的最小值是( )
A.1 B.4 C.5 D.6
点P在圆C1：x2+y2-8x-4y+11=0上，点Q在圆C2：x2+y2+4x+2y+1=0上，则|PQ|的最小值是( )
A.5 B.1 C. D.
圆x2＋y2-4x＋6y-12=0过点(-1,0)的最大弦长为m，最小弦长为n，则m-n=( )
A.10-2 B.5- C.10-3 D.5-
圆x2＋y2=1上的点到直线3x＋4y-25=0的距离的最小值为( )
A．4 B．3 C．5 D．6
在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4=0相切，则圆C面积的最小值为( )
A. B. C. D.
已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为( )
A.5-4 B.-1 C.6-2 D.
已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,0),B(m,0)(m>0).若圆C上存在点P,使得∠APB=90°,则m的最大值为( )
A.7 B.6 C.5 D.4
在平面直角坐标系中，记d为点P(csθ，sinθ)到直线x-my-2=0的距离．当θ，m变化时，d的最大值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
曲线x2＋(y－1)2=1(x≤0)上的点到直线x－y－1=0的距离的最大值为a，最小值为b，则a－b的值是( )
A.eq \r(2) B．2 C.eq \f(\r(2),2)＋1 D．eq \r(2)－1
已知直线ax＋by＋1=0与圆x2＋y2=1相切，则a＋b＋ab的最大值为( )
A．1 B．－1 C.eq \r(2)＋eq \f(1,2) D．1＋eq \r(2)
二、填空题
已知点M是直线3x+4y-2=0上的动点,点N为圆(x+1)2+(y+1)2=1上的动点,则|MN|的最小值是 .
过点P(－1，1)作圆C：(x－t)2＋(y－t＋2)2=1(t∈R)的切线，切点分别为A，B，则eq \(PA,\s\up10(→))·eq \(PB,\s\up10(→))的最小值为________．
若实数x,y满足x2+y2=1，则的最小值为 。
点P（x,y）在圆x2+y2=4 上，则的最大值是
设P(x，y)是曲线x2＋(y＋4)2=4上任意一点，则的最大值为________.
过点(eq \r(2)，0)作直线l与曲线y=eq \r(1－x2)相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于________．
三、解答题
已知动直线l：(m＋3) x-(m＋2)y＋m=0与圆C：(x-3)2＋(y-4)2=9．
(1)求证：无论m为何值，直线l与圆C总相交．
(2)m为何值时，直线l被圆C所截得的弦长最小？请求出该最小值．
已知圆C：(x-1)2＋(y-2)2=25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y-7m-4=0(m∈R)．
(1)证明：不论m为何值时，直线l恒过定点；
(2)求直线l被圆C截得的弦长最小时的方程．
已知圆C：x2+y2﹣4x﹣14y+45=0及点Q(﹣2，3).
(1)若M为圆C上任一点，求|MQ|的最大值和最小值；
(2)若实数m，n满足m2+n2﹣4m﹣14n+45=0，求k=的最大值和最小值.
如图，在平面直角坐标系内，已知点A(1,0)，B(-1,0)，圆C的方程为x2+y2-6x-8y+21=0，点P为圆上的动点．
(1)求过点A的圆C的切线方程．
(2)求∣AP∣2+∣BP∣2的最大值及此时对应的点P的坐标．
\s 0 参考答案
B；
C;
A；
答案为：A；
解析：易知圆x2＋y2=1的圆心坐标为(0,0)，半径为1，圆心到直线3x＋4y-25=0的距离
d=eq \f(|－25|,5)=5，所以圆x2＋y2=1上的点到直线3x＋4y-25=0的距离的最小值为5-1=4.
答案为：A；
答案为：A；圆C1,C2如图所示.
则|PM|的最小值为|PC1|-1,同理,|PN|的最小值为|PC2|-3,则|PM|+|PN|的最小值为|PC1|+|PC2|-4.作C1关于x轴的对称点C'1(2,-3),连接C'1C2,与x轴交于点P,连接PC1,根据三角形两边之和大于第三边可知|PC1|+|PC2|的最小值为|C'1C2|,则|PM|+|PN|的最小值为5-4.选A.
答案为：B；若∠APB=90°,则点P的轨迹是以AB为直径的圆,其方程为x2+y2=m2.
由题意知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1与圆O:x2+y2=m2有公共点,所以|m-1|≤|OC|≤m+1,易知|OC|=5,所以4≤m≤6,故m的最大值为6.选B.
答案为：C；
解析：
∵cs2θ＋sin2θ=1，∴P点的轨迹是以原点为圆心的单位圆，
又x-my-2=0表示过点(2,0)且斜率不为0的直线，
如图，可得点(-1,0)到直线x=2的距离即为d的最大值．故选C．
答案为：C.
解析：因为圆心(0，1)到直线x－y－1=0的距离为eq \f(2,\r(2))=eq \r(2)＞1，
所以半圆x2＋(y－1)2=1(x≤0)到直线x－y－1=0的距离的最大值为eq \r(2)＋1，
最小值为点(0，0)到直线x－y－1=0的距离为eq \f(1,\r(2))，
所以a－b=eq \r(2)＋1－eq \f(1,\r(2))=eq \f(\r(2),2)＋1，故选C.
答案为：C.
解析：因为直线ax＋by＋1=0与圆x2＋y2=1相切，所以eq \f(1,\r(a2＋b2))=1，即a2＋b2=1，
令a=cs θ，b=sin θ(θ是参数)，即a＋b＋ab=cs θ＋sin θ＋cs θsin θ，
令cs θ＋sin θ=t(－eq \r(2)≤t≤eq \r(2))，
则cs θsin θ=eq \f(t2－1,2)，即a＋b＋ab=eq \f(t2＋2t－1,2)，由二次函数的性质可知，
当t=eq \r(2)时，a＋b＋ab的最大值为eq \r(2)＋eq \f(1,2).
答案为：0.8；解析：圆心(-1,-1)到点M的距离的最小值为点(-1,-1)到直线3x+4y-2=0的距离为1.8,故点N到点M的距离的最小值为1.8-1=0.8.
答案为：eq \f(21,4)；
解析：圆C：(x－t)2＋(y－t＋2)2=1的圆心坐标为(t，t－2)，半径为1，
所以PC=eq \r(（t＋1）2＋（t－3）2)=eq \r(2（t－1）2＋8)≥eq \r(8)，PA=PB=eq \r(PC2－1)，
cs∠APC=eq \f(AP,PC)，所以cs∠APB=2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(AP,PC)))eq \s\up12(2)－1=1－eq \f(2,PC2)，
所以eq \(PA,\s\up10(→))·eq \(PB,\s\up10(→))=(PC2－1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,PC2)))=－3＋PC2＋eq \f(2,PC2)≥－3＋8＋eq \f(1,4)=eq \f(21,4)，
所以eq \(PA,\s\up10(→))·eq \(PB,\s\up10(→))的最小值为eq \f(21,4).


答案为：＋2；
答案为：- eq \f(\r(3),3)；
解析：令P(eq \r(2)，0)，如图，易知|OA|=|OB|=1，
所以S△AOB=eq \f(1,2)|OA|·|OB|·sin∠AOB=eq \f(1,2)sin∠AOB≤eq \f(1,2)，
当∠AOB=90°时，△AOB的面积取得最大值，此时过点O作OH⊥AB于点H，则|OH|=eq \f(\r(2),2)，
于是sin∠OPH=eq \f(|OH|,|OP|)=eq \f(\f(\r(2),2),\r(2))=eq \f(1,2)，易知∠OPH为锐角，所以∠OPH=30°，则直线AB的倾斜角为150°，
故直线AB的斜率为tan 150°=- eq \f(\r(3),3).
解：(1)证明 直线l变形为m(x-y＋1)＋(3x-2y)=0．令解得
如图所示，故动直线l恒过定点A(2,3)．而|AC|≤3(半径)．
∴点A在圆内，故无论m取何值，直线l与圆C总相交．
(2)解 由平面几何知识知，弦心距越大，弦长越小，即当AC垂直直线l时，弦长最小，
此时kl·kAC=-1，即·=-1，∴m=-．最小值为2=2．
故m为-时，直线l被圆C所截得的弦长最小，最小值为2．
解：(1)由(2m＋1)x＋(m＋1)y-7m-4=0，得(2x＋y-7)m＋x＋y-4=0.
则解得∴直线l恒过定点A(3,1)．
(2)当直线l被圆C截得的弦长最小时，有l⊥AC，由，
得l的方程为y-1=2(x-3)，即2x-y-5=0.
解：
解：