2021年高中数学培优练习《不等式-最值问题》专项复习（含答案）

这是一份2021年高中数学培优练习《不等式-最值问题》专项复习（含答案），共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

下列函数中，最小值为4的函数是( )
A. B. C.y=ex＋4e－x D.y=lg3x＋lgx81
设变量x,y满足约束条件则目标函数z=2x+5y的最小值为( )
A.-4 B.6 C.10 D.17
已知a>0，b>0，a，b的等比中项是1，且m=b＋eq \f(1,a)，n=a＋eq \f(1,b)，则m＋n的最小值是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
已知x，y满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x≥1，,x＋y≤4，,x＋by＋c≤0，))目标函数z=2x＋y的最大值为7，最小值为1，则b，c的值分别为( )
A．－1，4 B．－1，－3 C．－2，－1 D．－1，－2
下列函数：①y=x＋eq \f(1,x)(x≥2)；②y=tan x＋eq \f(1,tan x)；③y=x－3＋eq \f(1,x－3).
其中最小值为2的个数有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
已知变量x,y满足约束条件，若z=x-2y的最大值与最小值分别为a,b,且方程x2-kx+1=0在区间(b,a)上有两个不同实数解,则实数k的取值范围是( )
A.(-6,-2) B.(-3,2) C.(-，-2) D.(-，-3)
设a>0,若关于x的不等式≥5在(1,+∞)上恒成立,则a的最小值为( )
A.16 B.9 C.4 D.2
设点P(x，y)在不等式组表示的平面区域上，则的最小值为( )
A.1 B. C.2 D.
二、填空题
已知实数x，y满足2x﹣y=4，则4x+(0.5)y的最小值为
当x>eq \f(1,2)时，函数y=x＋eq \f(8,2x－1)的最小值为________．
已知直线ax－2by=2(a＞0，b＞0)过圆x2＋y2－4x＋2y＋1=0的圆心，则eq \f(4,a＋2)＋eq \f(1,b＋1)的最小值为 .
已知集合A={x|x2-2x-3>0},B={x|ax2+bx+c≤0},若A∩B={x|3 已知x<，则函数的最大值为 .
设x，y∈R，a＞1，b＞1，若ax=by=2，a＋eq \r(b)=4，则eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)的最大值为________．
三、解答题
某厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得的利润是50eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5x－\f(3,x)＋1))元.
(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于1 500元，求x的取值范围.
(2)要使生产480千克该产品获得的利润最大，问：该厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润.
某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,需要A,B,C三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示:
现有A种原料200吨,B种原料360吨,C种原料300吨,在此基础上生产甲、乙两种肥料.
已知生产1车皮甲种肥料,产生的利润为2万元;生产1车皮乙种肥料,产生的利润为3万元.
分别用x,y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数.
(1)用x,y列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;
(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮能够产生最大的利润?并求出最大利润.
已知x>0，y>0，且2x＋5y=20.
(1)求u=lg x＋lg y的最大值；
(2)求eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)的最小值．
已知二次函数f(x)满足f(x+1)﹣f(x)=2x且f(0)=1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈[﹣1，1]时，不等式：f(x)＞2x+m恒成立，求实数m的范围.
(3)设g(t)=f(2t+a)，t∈[﹣1，1]，求g(t)的最大值.
\s 0 参考答案
答案为：C；
解析：A、D不能保证是正数之和，sinx取不到2，只有C项满足两项均为正，当且仅当x=ln2时等号成立.
答案为：B；
解析：由线性约束条件画出可行域(如图中阴影部分).
当直线2x+5y-z=0过点A(3,0)时,zmin=2×3+5×0=6,故选B.

答案为：B；
解析：由题意知ab=1，∴m=b＋eq \f(1,a)=2b，n=a＋eq \f(1,b)=2a，∴m＋n=2(a＋b)≥4eq \r(ab)=4，
当且仅当a=b=1时取等号．
答案为：D；
解析：由题意知，直线x＋bx＋c=0经过直线2x＋y=7与直线x＋y=4的交点，
且经过直线2x＋y=1和直线x=1的交点，即经过点(3，1)和点(1，－1)，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3＋b＋c＝0，,1－b＋c＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝－1，,c＝－2.))
答案为：A；
解析：①y=x＋eq \f(1,x)≥2eq \r(x·\f(1,x))≥2，当且仅当x=eq \f(1,x)，即x=1时等号成立，由于x≥2，
因此①的最小值不是2；②中tan x可能小于零，最小值不是2；
③中x－3可能小于零，最小值不是2.
答案为：C；
答案为：C；
答案为：D.
答案为：8．
答案为：eq \f(9,2)；
解析：设t=2x-1，∵x>eq \f(1,2)，∴2x-1>0，即t>0，∴y=eq \f(t＋1,2)＋eq \f(8,t)=eq \f(t,2)＋eq \f(8,t)＋eq \f(1,2)≥2eq \r(\f(t,2)·\f(8,t))＋eq \f(1,2)=eq \f(9,2).
当且仅当eq \f(t,2)=eq \f(8,t)，即t=4， x=eq \f(5,2)时，取等号．
答案为：2.25；
解析：圆x2＋y2－4x＋2y＋1=0的圆心坐标为(2，－1).
由于直线ax－2by=2(a＞0，b＞0)过圆x2＋y2－4x＋2y＋1=0的圆心，故有a＋b=1.
∴eq \f(4,a＋2)＋eq \f(1,b＋1)=eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,a＋2)＋\f(1,b＋1)))(a＋2＋b＋1)=eq \f(1,4)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(5＋\f(4b＋1,a＋2)＋\f(a＋2,b＋1)))
≥eq \f(5,4)＋eq \f(1,4)×2 eq \r(\f(4b＋1,a＋2)·\f(a＋2,b＋1))=eq \f(9,4)，
当且仅当a=2b=eq \f(2,3)时，取等号，故eq \f(4,a＋2)＋eq \f(1,b＋1)的最小值为eq \f(9,4).
答案为：1.5；
答案为：1；
答案为：4；
解析：由x=lga2，y=lgb2，得eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)=eq \f(2,lga2)＋eq \f(1,lgb2)=lg2a2＋lg2b=lg2(a2b)．
又4=a＋eq \r(b)≥2eq \r(a\r(b))，所以a2b≤16，故eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)=lg2(a2b)≤4.
解：(1)根据题意，有100eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5x－\f(3,x)＋1))≥1 500，
即5x2－14x－3≥0，得x≥3或x≤－eq \f(1,5)，
又1≤x≤10，所以3≤x≤10.
(2)设生产480千克该产品获得的利润为u元，
则u=24 000eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5＋\f(1,x)－\f(3,x2)))，1≤x≤10，
记f(x)=－eq \f(3,x2)＋eq \f(1,x)＋5(1≤x≤10)，则f(x)=－3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)－\f(1,6)))2＋eq \f(1,12)＋5(1≤x≤10)，
当x=6时，f(x)取得最大值eq \f(61,12)，此时u=24 000×eq \f(61,12)=122 000，
故该厂以6千克/时的速度生产480千克该产品可获得最大利润122 000元.
解：(1)由已知,x,y满足的数学关系式为，
解析：该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分:
(2)设利润为z万元,则目标函数为z=2x+3y.考虑z=2x+3y,将它变形为y=-x+,这是斜率为-,随z变化的一族平行直线.为直线在y轴上的截距,当取最大值时,z的值最大.又因为x,y满足约束条件,所以由图2可知,当直线z=2x+3y经过可行域上的点M时,截距最大,即z最大.
解方程组得点M的坐标为(20,24).所以zmax=2×20+3×24=112.
答:生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大,且最大利润为112万元.
解：
(1)∵x>0，y>0，
∴由基本不等式，得2x＋5y≥2eq \r(10xy).
∵2x＋5y=20，∴2eq \r(10xy)≤20，即xy≤10，
当且仅当2x=5y时等号成立．
因此有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋5y＝20，,2x＝5y，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝5，,y＝2，))此时xy有最大值10.
∴u=lg x＋lg y=lg(xy)≤lg 10=1.
∴当x=5，y=2时，u=lg x＋lg y有最大值1.
(2)∵x>0，y>0，
∴eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(1,y)))·eq \f(2x＋5y,20)=eq \f(1,20)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(7＋\f(5y,x)＋\f(2x,y)))≥eq \f(1,20)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(7＋2 \r(\f(5y,x)·\f(2x,y))))=eq \f(7＋2\r(10),20)，
当且仅当eq \f(5y,x)=eq \f(2x,y)时等号成立．
∴eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)的最小值为eq \f(7＋2\r(10),20).
解：

原料
肥料
A
B
C
甲
4
8
3
乙
5
5
10