江苏省无锡市六校2020—2021学年高一下学期联合调研考试数学试卷2021.5

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．复数（ ）
A． B． C． D．
答案：C
2.若，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
3.在中，，则这个三角形的面积是（ ）
A. B. C. D.1
答案：D
4.已知向量a=(x,2),b=(2,y),c=(2,-4),且a//c,b⊥c,则|a-b|=( )
A. 3B. 10C. 11D. 23
答案：B
5.已知α，是平面，m，n是直线，下列命题中不正确的是( )
A. 若m//α，，则m//nB. 若m//n，m⊥α，则n⊥α
C. 若m⊥α，，则α//βD. 若m⊥α，m⊂β，则α⊥β
答案：A
6.某全日制大学共有学生5 600人，其中专科生有1 300人，本科生有3 000人，研究生有1 300人，现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况，抽取的样本为280人，则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中分别抽取( )
A. 65人，150人，65人B. 30人，150人，100人
C. 93人，94人，93人D. 80人，120人，80人
答案：A
7.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的等腰三角形，其中OA=OB=1，则原平面图形的面积为( )
A. 1 B. 2 C. 32 D. 2
第7题图 第8题图
答案：A
8.（非常好）某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为的看台的某一列的正前方，在这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为米(如图所示)，旗杆底部与第一排在同一水平面上.则旗杆的高度为（ ）
A.15米 B.米 C.米 D.米
答案：A
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9．（基本题）已知复数，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C．z的共轭复数为 D．z的虚部为
答案：AD
10.（好题）下列等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：ABD
11．（好题）如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，则下列四个结论正确的是（ ）
A．直线A1C1与AD1为异面直线
B．A1C1∥平面ACD1
C．正方体的外接球的表面积为12
D．三棱锥D1—ADC的体积为
答案：ABC
12．（非常好）在中，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
★★C．若，则为钝角三角形
★★D．存在满足
答案：ABC
点评：C选项对角A进行讨论，因为角B为锐角.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.（好题）已知，是方程的两根，且､，则等于__________.
答案：
14.（好题）将一钢球放入底面半径为3 cm的圆柱形玻璃容器中，水面升高了4 cm，则钢球的半径是________cm．
【答案】3
15.（非常好）若，且，则的最小值为___________
答案：4
16.（非常好）赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，赵爽在为《周髀算经》作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称为“赵爽弦图”.可类似地构造如图所示的图形，由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大的等边三角形，设，若，则的长为__________.
答案：4
点评：建模.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（非常好）(本小题满分10分)
若定义一种运算：.已知z为复数，且
（1）求复数z；
（2）设t为实数，若，且为纯虚数，求t的值.
答案：（1） ……5分 （2）……10分
18.（好题）(本小题满分12分)
已知向量a=(1,2)，b=(3,x)，c=(2,y)，且a//b，a⊥c．
(1)求b与c; (2)若m=2a-b，n=a+c，求向量m，n的夹角的大小．
【答案】解：(1)由a//b，得x-2×3=0，解得x=6．……2分
由a⊥c，得1×2+2y=0，解得y=-1．……4分
所以b=(3,6)，c=(2,-1)．……6分
(2)因为m=2a-b=(-1,-2)，n=a+c=(3,1)，
所以m⋅n=-1×3-2×1=-5，……8分|m|=(-1)2+(-2)2=5，|n|=32+12=10．……10分
所以cs=m⋅n|m|⋅|n|=-55×10=-22，又因为夹角的范围为，
所以向量m，n的夹角为3π4．……12分（没有写范围扣2分）
点评：注意书写的规范性和完整性
19．（好题）(本小题满分12分)
已知csα，sin（α﹣β），且α、β∈（0，）．求：
（Ⅰ）cs（2α﹣β）的值； （Ⅱ）β的值．
【详解】（Ⅰ）∵，∴α﹣β∈（，），∵，，
∴sinα，cs（α﹣β），……3分
∴cs（2α﹣β）＝cs[（α﹣β）+α]＝cs（α﹣β）csα﹣sin（α﹣β）sinα
，……6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，csβ＝cs[α﹣（α﹣β）]＝csα cs（α﹣β）+ sinα sin（α﹣β）
，……9分又∵，∴β．……12分
20.（好题）(本小题满分12分)
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ACC1A1⊥平面BCC1B1，侧面BCC1B1是矩形，点E，F分别为BC，A1B1的中点．
求证：(1)BC⊥AC1；
(2)EF//平面ACC1A1．
【答案】解：(1)因为侧面BCC1B1是矩形，所以BC⊥CC1，
因为平面ACC1A1⊥平面BCC1B1，
平面ACC1A1∩平面BCC1B1=C1C，BC⊂平面BCC1B1，
所以BC⊥平面ACC1A1，因为AC1⊂平面ACC1A1，所以BC ⊥AC1．……6分（少条件要扣分）
(2)取A1C1的中点G，连接FG，CG，
在△A1B1C1中，F，G分别是A1B1，A1C1的中点，所以FG//B1C1，且FG=12B1C1，
在矩形BCC1B1中，E是BC的中点，所以EC//B1C1，且EC=12B1C1，
所以EC//FG，且EC=FG，所以四边形EFGC为平行四边形，
所以EF//GC，又因为EF⊄平面ACC1A1，GC⊂平面ACC1A1，
所以EF //平面ACC1A1．……12分
21.（好题）(本小题满分12分)
已知在锐角中，角的对边分别为的面积为，若.
（1）求A；
（2）若__________，求的面积S的大小.
(在①，②，这两个条件中任选一个，补充在横线上)
答案：（1）因为，所以，
由余弦定理得，，所以，
所以，又是锐角三角形，故，因为，所以.……5分（没有写范围扣2分）
（2）若选①，因为，所以，所以
因为，所以.……7分
由正弦定理，得，所以.……9分
所以.……12分
若选②，因为，由余弦定理得，
解得,……9分.……12分
22.（好题）(本小题满分12分)
已知O为坐标原点，OA=(2sin2x,1),OB=(1,-23sinxcsx+1)，f(x)=-12OA⋅OB+1．
(1)求y=f(x)的最小正周期；
(2)将f(x)图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的两倍，再将所得图象向左平移π6个单位后，所得图象对应的函数为g(x)，且α∈[π6,2π3],β∈(-5π6,-π3),g(α)=35,g(β)=-45，求cs2(α-β)-1的值．
【答案】解：(1)由题意得f(x)=-12OA⋅OB+1=-sin2x+3sinxcsx+12=sin(2x+π6)．……4分
所以函数y=f(x)的最小正周期为π．……5分
(2)由题意得，……7分
又g(α)=35,g(β)=-45，即sin(α+π3)=35,sin(β+π3)=-45，
因为α∈[π6,23π],β∈(-5π6,-π3),所以α+π3∈[π2,π],β+π3∈(-π2,0),
所以cs(α+π3)=-45,cs(β+π3)=35，……9分
所以sin(α-β)=sin[(α+π3)-(β+π3)]=-725，……11分
所以cs[2(α-β)]-1=-2sin2(α-β)=-98625．……12分