2019-2020学年江苏省南通市海安市八校联考八年级（下）月考数学试卷（4月份）

这是一份2019-2020学年江苏省南通市海安市八校联考八年级（下）月考数学试卷（4月份），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2019-2020学年江苏省南通市海安市八校联考八年级（下）月考数学试卷（4月份）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
2．下列化简正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．如图，在▱ABCD中，M是BC延长线上的一点，若∠A＝135°，则∠MCD的度数是（　　）

A．45° B．55° C．65° D．75°
4．四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（　　）
A．AB＝CD B．AD＝BC C．AB＝BC D．AC＝BD
5．如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（　　）

A．1 B．1.4 C． D．
6．如果△ABC的三边a、b、c满足ac2﹣bc2＝（a﹣b）（a2+b2），则△ABC的形状是（　　）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
7．均匀地向一个容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度h与时间t的函数关系如图所示，则该容器是下列四个中的（　　）

A． B． C． D．
8．如图，a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简﹣|a+c|+的结果是（　　）

A．2c﹣b B．﹣b C．b D．﹣2a﹣b
9．四边形ABCD中，AB＝1，CD＝4，M、N分别是AD、BC的中点，则线段MN的取值范围是（　　）
A．3＜MN＜5 B．3＜MN≤5 C．＜MN＜ D．＜MN≤
10．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F．若AB＝6，BC＝4，则FD的长为（　　）

A．2 B．4 C． D．2
二、填空题（本大题共8小题，11-13每小题3分，14-18每小题3分，共29分）
11．化简：＝　 　．
12．在函数y＝中，自变量x的取值范围是　 　
13．在▱ABCD中，已知周长为44cm，AB比BC短2cm，则CD＝　 　
14．某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要　 　元．

15．如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC＝14，则△ABC的面积为　 　

16．已知a，b，c为一个直角三角形的三边长，且，则该直角三角形的斜边长为　 　
17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内的一点，且PB＝1，PC＝2，PA＝3，∠BPC的度数是　 　．

18．如图，在平行四边形ABCD中，△ABD是等边三角形，BD＝20，且两个顶点B、D分别在x轴，y轴上滑动，连接OC，则OC的最小值是　 　．

三、解答题（本大题共10小题，满分91分）
19．计算题
（1）+﹣+；
（2）（2+）（2﹣）．
20．已知x＝+1，y＝﹣1，求x2+xy+y2的值．
21．一辆货车从A地去B地，一辆轿车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，轿车的速度大于货车的速度．两辆车之间的距离为y（km）与货车行驶的时间为x（h）之间的函数关系如图所示．
（1）两车行驶多长时间后相遇？
（2）轿车和货车的速度分别为　 　，　 　；
（3）谁先到达目的地，早到了多长时间？
（4）求两车相距160km时货车行驶的时间．

22．某馆集体门票收费标准是40人以内（含40人）每人15元，超过40人的这部分每人10元．
（1）写出应收门票费y（元）与参观人数x（人）之间的函数关系式；
（2）利用（1）中的关系式计算，某班58名学生去该馆参观，购门票共花多少元钱？
23．如图，每个小正方形的边长都为1．
（1）求四边形ABCD的周长及面积；
（2）连接BD，判断△BCD的形状．

24．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为边BC的中点，四边形ABDE是平行四边形，AC，DE相交于点C．
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）若∠AOE＝90°，AE＝2，求矩形ADCE对角线的长．

25．如图，在四边形ABCD中，E为AB上一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，试判断四边形PQMN为怎样的四边形，并证明你的结论．

26．如图，正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，过B点作BH⊥AE，垂足为点H，延长BH交CD于点F，连接AF．
（1）求证：AE＝BF．
（2）若正方形边长是5，BE＝2，求AF的长．

27．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4，若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动（回到点A停止运动），设运动时间为t秒．
（1）当点P在BC上时，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；
（2）当点P在AB上时，求t为何值时，△ACP为以AC为腰的等腰三角形．

28．如图1，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，若∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．
（1）如图1，若点E是边BC的中点，M是边AB的中点，连接EM，求证：AE＝EF．
（2）如图2，若点E在射线BC上滑动（不与点B，C重合）．
①在点E滑动过程中，AE＝EF是否一定成立？请说明理由；
②在如图所示的直角坐标系中，当点E滑动到某处时，点F恰好落在直线y＝﹣2x+6上，求此时点F的坐标．



2019-2020学年江苏省南通市海安市八校联考八年级（下）月考数学试卷（4月份）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用最简二次根式的概念分析即可．
【解答】解：A、＝，故此选项不合题意；
B、＝＝，故此选项不合题意；
C、是最简二次根式，故此选项符合题意；
D、＝|b|，故此选项不合题意；
故选：C．
2．下列化简正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】利用二次根式的性质和二次根式的乘法法则进行计算即可．
【解答】解：A、＝＝6，故原题计算错误；
B、＝＝＝×＝18，故原题计算正确；
C、＝＝，故原题计算错误；
D、＝＝，故原题计算错误；
故选：B．
3．如图，在▱ABCD中，M是BC延长线上的一点，若∠A＝135°，则∠MCD的度数是（　　）

A．45° B．55° C．65° D．75°
【分析】根据平行四边形对角相等，求出∠BCD，再根据邻补角的定义求出∠MCD即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠BCD＝135°，
∴∠MCD＝180°﹣∠DCB＝180°﹣135°＝45°．
故选：A．
4．四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（　　）
A．AB＝CD B．AD＝BC C．AB＝BC D．AC＝BD
【分析】四边形ABCD的对角线互相平分，则说明四边形是平行四边形，由矩形的判定定理知，只需添加条件是对角线相等．
【解答】解：添加AC＝BD，
∵四边形ABCD的对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，
∴四边形ABCD是矩形，
故选：D．
5．如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（　　）

A．1 B．1.4 C． D．
【分析】根据勾股定理求出OB，进而得到OA的长，根据数轴的概念解答即可．
【解答】解：由勾股定理得，OB＝＝，
则OA＝OB＝，
∴点A表示的数是，
故选：C．

6．如果△ABC的三边a、b、c满足ac2﹣bc2＝（a﹣b）（a2+b2），则△ABC的形状是（　　）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
【分析】运用因式分解的方法对ac2﹣bc2＝（a﹣b）（a2+b2）进行变形，然后根据积为0，则必有一个因式为0进行分析．
【解答】解：∵ac2﹣bc2＝（a﹣b）（a2+b2），
∴（a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝0，
∴a＝b或a2+b2＝c2，
即该三角形是等腰三角形或直角三角形．
故选：D．
7．均匀地向一个容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度h与时间t的函数关系如图所示，则该容器是下列四个中的（　　）

A． B． C． D．
【分析】由函数图象可得容器形状不是均匀物体分析判断，由图象及容积可求解．
【解答】解：相比较而言，前一个阶段，用时较少，高度增加较快，那么下面的物体应较细．由图可得上面圆柱的底面半径应大于下面圆柱的底面半径．
故选：D．
8．如图，a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简﹣|a+c|+的结果是（　　）

A．2c﹣b B．﹣b C．b D．﹣2a﹣b
【分析】首先根据数轴可以得到a＜b＜0＜c，然后则根据绝对值的性质，以及算术平方根的性质即可化简．
【解答】解：根据数轴可以得到：a＜b＜0＜c，且|a|＞|c|，
则c﹣b＞0，
则原式＝﹣a+（a+c）+（c﹣b）＝﹣a+a+c+c﹣b＝2c﹣b．
故选：A．
9．四边形ABCD中，AB＝1，CD＝4，M、N分别是AD、BC的中点，则线段MN的取值范围是（　　）
A．3＜MN＜5 B．3＜MN≤5 C．＜MN＜ D．＜MN≤
【分析】连接AC，取AC的中点H，连接MH、NH，根据三角形中位线定理得到MH＝CD＝2，NH＝AB＝，根据三角形的三边关系解答即可．
【解答】解：连接AC，取AC的中点H，连接MH、NH，
∵M、H分别是AD、AC的中点，
∴MH＝CD＝2，
同理可得，NH＝AB＝，
在△MHN中，MH﹣NH＜MN＜MH+NH，即＜MN＜，
当点H在MN上时，MN＝MH+NH＝，
∴＜MN≤，
故选：D．

10．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F．若AB＝6，BC＝4，则FD的长为（　　）

A．2 B．4 C． D．2
【分析】根据点E是AD的中点以及翻折的性质可以求出AE＝DE＝EG，然后利用“HL”证明△EDF和△EGF全等，根据全等三角形对应边相等可证得DF＝GF；设FD＝x，表示出FC、BF，然后在Rt△BCF中，利用勾股定理列式进行计算即可得解．
【解答】解：∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∵△ABE沿BE折叠后得到△GBE，
∴AE＝EG，AB＝BG，
∴ED＝EG，
∵在矩形ABCD中，
∴∠A＝∠D＝90°，
∴∠EGF＝90°，
∵在Rt△EDF和Rt△EGF中，
，
∴Rt△EDF≌Rt△EGF（HL），
∴DF＝FG，
设DF＝x，则BF＝6+x，CF＝6﹣x，
在Rt△BCF中，（4）2+（6﹣x）2＝（6+x）2，
解得x＝4．
故选：B．

二．填空题（共8小题）
11．化简：＝　　．
【分析】根据二次根式化简解答即可．
【解答】解：＝，
故答案为：．
12．在函数y＝中，自变量x的取值范围是　x≥﹣1且x≠2　
【分析】根据分式的分母不为零、二次根式的被开方数为非负数求解可得答案．
【解答】解：根据题意，得：x﹣2≠0且x+1≥0，
解得x≥﹣1且x≠2，
故答案为：x≥﹣1且x≠2．
13．在▱ABCD中，已知周长为44cm，AB比BC短2cm，则CD＝　10cm．　
【分析】根据题意可以列出方程组，求出AB和BC的值，进而可得CD的长．
【解答】解：由四边形ABCD是平行四边形，可知：
2（AB+BC）＝44cm，
且BC﹣AB＝2cm，
∴，
解得BC＝12，AB＝10，
∴CD＝AB＝10cm．
故答案为：10cm．
14．某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要　680　元．

【分析】地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即AB与BC的和，在直角△ABC中，根据勾股定理即可求得AB的长，地毯的长与宽的积就是面积，再乘地毯每平方米的单价即可求解．
【解答】解：由勾股定理得AB＝＝＝12（m），
则地毯总长为12+5＝17（m），
则地毯的总面积为17×2＝34（平方米），
所以铺完这个楼道至少需要34×20＝680（元）．
故答案为：680．
15．如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC＝14，则△ABC的面积为　84　

【分析】过点A作AD⊥BC，利用勾股定理求出AD的长，再利用三角形的面积公式求出△ABC的面积即可．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于D，

设BD＝x，则CD＝14﹣x，
在Rt△ABD中，AD2+x2＝132，
在Rt△ADC中，AD2＝152﹣（14﹣x）2，
∴132﹣x2＝152﹣（14﹣x）2，
132﹣x2＝152﹣196+28x﹣x2，
解得x＝5，
在Rt△ACD中，AD＝＝12，
∴△ABC的面积＝BC•AD＝×14×12＝84，
故答案为：84．
16．已知a，b，c为一个直角三角形的三边长，且，则该直角三角形的斜边长为　3或　
【分析】根据非负数的性质求得a、b的值，然后利用勾股定理即可求得该直角三角形的斜边长．
【解答】解：∵，
∴a﹣3＝0，b﹣2＝0，
解得：a＝3，b＝2，
①以a为斜边时，斜边长为3；
②以a，b为直角边的直角三角形的斜边长为＝，
综上所述，即直角三角形的斜边长为3或．
故答案是：3或．
17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内的一点，且PB＝1，PC＝2，PA＝3，∠BPC的度数是　135°　．

【分析】根据旋转的性质得到CP＝CD＝2，∠DCP＝90°，DB＝PA＝3，则△CPD为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得PD＝PC＝2，∠CPD＝45°，由PB＝1，PD＝2，DB＝3，易得PB2+PD2＝BD2，根据勾股定理的逆定理得到△PBD为直角三角形，即可得到∠BPC的度数．
【解答】解：如图，把△ACP绕点C逆时针旋转90°得到△BCD，连接DP，

∵△ACP绕点C逆时针旋转90°得到△BCD，
∴△ACP≌△BCD，
∴CP＝CD＝2，∠DCP＝90°，DB＝PA＝3，
∴△CPD为等腰直角三角形，
∴PD＝PC＝2，∠CPD＝45°，
在△PDB中，PB＝1，PD＝2，DB＝3，
而12+（2）2＝32，
∴PB2+PD2＝BD2，
∴△PBD为直角三角形，
∴∠DPB＝90°，
∴∠BPC＝45°+90°＝135°，
故答案为：135°．
18．如图，在平行四边形ABCD中，△ABD是等边三角形，BD＝20，且两个顶点B、D分别在x轴，y轴上滑动，连接OC，则OC的最小值是　﹣10　．

【分析】由条件可先证得四边形ABCD为菱形，连接AC交BD于点E，连接OE，可求得OE和AE的长，在△COE中利用三角形三边关系可求得OC的最小值．
【解答】解：∵△ABD是等边三角形，
∴AB＝AD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD为菱形，
如图，连接AC、BD交于点E，连接OE，则AC⊥BD，E为BD的中点，

∵BD＝20，
∴CD＝20，DE＝10，
∴CE＝，OE＝BD＝10，
∴CO≥CE﹣OE＝﹣10，
∴当C、O、E三点在一条线上时，CO有最小值，最小值为﹣10，
故答案为：﹣10．
三．解答题
19．计算题
（1）+﹣+；
（2）（2+）（2﹣）．
【分析】（1）直接化简二次根式进而计算得出答案；
（2）直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1）原式＝3+2﹣2+3
＝+5；

（2）原式＝（2）2﹣（）2
＝8﹣5
＝3．
20．已知x＝+1，y＝﹣1，求x2+xy+y2的值．
【分析】根据二次根式的加减法法则、平方差公式求出x+y、xy，利用完全平方公式把所求的代数式变形，代入计算即可．
【解答】解：∵x＝+1，y＝﹣1，
∴x+y＝（+1）+（﹣1）＝2，xy＝（+1）（﹣1）＝2，
∴x2+xy+y2＝x2+2xy+y2﹣xy＝（x+y）2﹣xy＝10．
21．一辆货车从A地去B地，一辆轿车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，轿车的速度大于货车的速度．两辆车之间的距离为y（km）与货车行驶的时间为x（h）之间的函数关系如图所示．
（1）两车行驶多长时间后相遇？
（2）轿车和货车的速度分别为　100km/h　，　80km/h　；
（3）谁先到达目的地，早到了多长时间？
（4）求两车相距160km时货车行驶的时间．

【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以直接写出两车行驶多长时间后相遇；
（2）根据函数图象中的数据，可以计算出轿车和货车的速度；
（3）根据函数图象和题意，可以得到谁先到达目的地，早到了多长时间；
（4）根据函数图象中的数据和（2）中的结果，可以计算出两车相距160km时货车行驶的时间．
【解答】解：（1）由图象可得，
两车行驶1小时后相遇；
（2）由图象可得，
轿车的速度为：180÷1.8＝100（km/h），
货车的速度为：180÷1﹣100＝80（km/h），
故答案为：100km/h，80km/h；
（3）由题意可得，
轿车先到达目的地，
180÷80﹣1.8＝2.25﹣1.8＝0.45（小时），
即轿车先到达目的地，早到了0.45小时；
（4）设两车相距160km时货车行驶的时间为a小时，
相遇前：180﹣160＝（100+80）a，
解得a＝，
相遇后，80a＝160，
解得a＝2，
由上可得，两车相距160km时货车行驶的时间是小时或2小时．
22．某馆集体门票收费标准是40人以内（含40人）每人15元，超过40人的这部分每人10元．
（1）写出应收门票费y（元）与参观人数x（人）之间的函数关系式；
（2）利用（1）中的关系式计算，某班58名学生去该馆参观，购门票共花多少元钱？
【分析】（1）根据题意，可以写出应收门票费y（元）与参观人数x（人）之间的函数关系式；
（2）根据题意和（1）中的结果，可以计算出某班58名学生去该馆参观，购门票共花多少元钱．
【解答】解：（1）由题意可得，
当0＜x≤40时，y＝15x，
当x＞40时，y＝40×15+（x﹣40）×10＝10x+200，
由上可得，应收门票费y（元）与参观人数x（人）之间的函数关系式是y＝；
（2）当x＝58时，
y＝10×58+200＝580+200＝780，
即某班58名学生去该馆参观，购门票共花780元．
23．如图，每个小正方形的边长都为1．
（1）求四边形ABCD的周长及面积；
（2）连接BD，判断△BCD的形状．

【分析】（1）利用勾股定理求出AB、BC、CD和DA的长，即可求出四边形ABCD的周长；利用分割法即可求出四边形的面积；
（2）连接BD，求出BD的长，利用勾股定理的逆定理即可证明出结论．
【解答】解：（1）根据勾股定理得AB＝＝，AD＝＝，CD＝＝，BC＝＝2，
故四边形ABCD的周长为+3+；
面积为5×5﹣×1×5﹣×1×4﹣1﹣×1×2﹣×2×4＝14.5；
（2）连接BD，
∵BC＝2，CD＝，BD＝5，
∴BC2+CD2＝BD2，
∴∠BCD＝90°，
∴△BCD是直角三角形．

24．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为边BC的中点，四边形ABDE是平行四边形，AC，DE相交于点C．
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）若∠AOE＝90°，AE＝2，求矩形ADCE对角线的长．

【分析】（1）先判定四边形ADCE是平行四边形，再结合AB＝AC，推出∠ADC＝90°，即可得出结论；
（2）证出矩形ADCE是正方形，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABDE是平行四边形，
∴BD＝AE，BD∥AE，
∵D为BC的中点，
∴CD＝BD，
∴CD＝AE．
∴四边形ADCE是平行四边形．
又∵AB＝AC，D为边BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCE是矩形．
（2）解：∵四边形ADCE是矩形，∠AOE＝90°，
∴矩形ADCE是正方形，
∴CE＝AE＝2，∠AEC＝90°，
∴AC＝AE＝2，
即矩形ADCE对角线的长为2．
25．如图，在四边形ABCD中，E为AB上一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，试判断四边形PQMN为怎样的四边形，并证明你的结论．

【分析】先利用中位线定理得出PQ∥AC，PQ＝AC，即MNPQ得到四边形PQMN为平行四边形，再求得△AEC≌△DEB，得到PQ＝AC＝BD＝PN，所以四边形PQMN为菱形．
【解答】解：四边形PQMN为菱形．
证明：如图，连接AC、BD．
∵AB、BC的中点分别为P、Q，
∴PQ为△ABC的中位线，
∴PQ∥AC，PQ＝AC，
同理MN∥AC，MN＝AC．
∴MNPQ，
∴四边形PQMN为平行四边形．
在△AEC和△DEB中，
AE＝DE，EC＝EB，∠AED＝60°＝∠CEB，
即∠AEC＝∠DEB．
∴△AEC≌△DEB．
∴AC＝DB．
∴PQ＝AC＝BD＝PN
∴四边形PQMN为菱形．

26．如图，正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，过B点作BH⊥AE，垂足为点H，延长BH交CD于点F，连接AF．
（1）求证：AE＝BF．
（2）若正方形边长是5，BE＝2，求AF的长．

【分析】（1）根据ASA证明△ABE≌△BCF，可得结论；
（2）根据（1）得：△ABE≌△BCF，则CF＝BE＝2，最后利用勾股定理可得AF的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∵BH⊥AE，
∴∠BHE＝90°，
∴∠AEB+∠EBH＝90°，
∴∠BAE＝∠EBH，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴AE＝BF；
（2）解：∵AB＝BC＝5，
由（1）得：△ABE≌△BCF，
∴CF＝BE＝2，
∴DF＝5﹣2＝3，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝5，∠ADF＝90°，
由勾股定理得：AF＝＝＝＝．
27．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4，若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动（回到点A停止运动），设运动时间为t秒．
（1）当点P在BC上时，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；
（2）当点P在AB上时，求t为何值时，△ACP为以AC为腰的等腰三角形．

【分析】（1）设存在点P，使得PA＝PB，根据勾股定理可得AC，可得PC＝t﹣3，PA＝PB＝7﹣t，根据勾股定理列方程即可得到t的值；
（2）分两种情况：当AC＝AP时；当AC＝CP时；进行讨论易得t的值．
【解答】解：（1）∵△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4，
∴由勾股定理得AC＝＝3，
如图，连接AP，
当PA＝PB时，PC＝t﹣3，PA＝PB＝7﹣t，
在Rt△PCA中，PC2+AC2＝AP2，
即（t﹣3）2+32＝（7﹣t）2，
解得：t＝．
故当t＝秒时，PA＝PB；
（2）①如图2，当AC＝AP＝3时，△ACP为等腰三角形，
∴AC+CB+BP＝3+4+5﹣3＝9，
∴t＝9÷1＝9（秒）；
②如图3，当AC＝CP时，作CD⊥AB于D，根据面积法求得CD＝2.4，
在Rt△ACD中，由勾股定理得AD＝1.8，
∴AP＝2AD＝3.6，
∴CA+CB+BP＝3+4+5﹣3.6＝8.4，
此时t＝8.4÷1＝8.4（秒）．
综上所述，t为9或8.4秒时，△ACP为以AC为腰的等腰三角形．


28．如图1，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，若∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．
（1）如图1，若点E是边BC的中点，M是边AB的中点，连接EM，求证：AE＝EF．
（2）如图2，若点E在射线BC上滑动（不与点B，C重合）．
①在点E滑动过程中，AE＝EF是否一定成立？请说明理由；
②在如图所示的直角坐标系中，当点E滑动到某处时，点F恰好落在直线y＝﹣2x+6上，求此时点F的坐标．

【分析】（1）由条件可证明△AME≌△ECF，可证得结论；
（2）①在AB上截取AM＝EC，连接ME，由条件可证明△AME≌△ECF，可证明AE＝EF；②设F（a，﹣2a+6），过F作FH⊥x轴于H，作FG⊥CD于G，则可用a表示出CH、FH，由角平分线的性质可得到关于a的方程，可求得a的值，可求得F的坐标．
【解答】（1）证明：
∵∠BAE+∠AEB＝90°，∠CEF+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
又∵M、E为中点，
∴AM＝EC＝BE＝BM，且CF平分∠DCB，
∴∠AME＝∠ECF＝135°，
在△AME和△ECF中

∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF；
（2）解：①若点E在线段BC上滑动时AE＝EF一定成立．
证明：图2中，在AB上截取AM＝EC，连接ME，

∵AB＝BC，
∴BM＝BE，
∴△MBE是等腰直角三角形，
∴∠AME＝180°﹣45°＝135°，
又∵CF平分是角平分线，
∴∠ECF＝90°+45°＝135°，
∴∠AME＝∠ECF，
∵∠BAE+∠AEB＝90°，∠CEF+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
在△AME和△ECF中

∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF；
②设F（a，﹣2a+6），过F作FH⊥x轴于H，作FG⊥CD于G，如图3，

则CH＝a﹣1，FH＝﹣2a+6
∵CF为角平分线，
∴FH＝CH，
∴a﹣1＝﹣2a+6，解得，
当时，﹣2a+6＝﹣2×+6＝，
∴F点坐标为（，）．