安徽省舒城中学2020-2021学年高二下学期第三次月考数学（理）试卷+答案

舒城中学2020-2021学年度第二学期第三次统考

高二理数

总分：150分    时间：120分钟

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．

1.已知复数，则在复平面内对应的点位于       （　　）

A．第一象限    B．第二象限    C．第三象限   D．第四象限

2.某个命题与正整数有关，如果当时，该命题成立，那么可推得时命题也成立．现在已知当时，该命题不成立，那么可推得                    ( 　  )

A．当时该命题不成立           B．当时该命题成立

C．当时该命题不成立             D．当时该命题成立

3.函数的图象在点处的切线方程为     （　　）

A．   B．       C．  D．

4. 学校舞蹈社为了研究男女学生对舞蹈的喜爱程度，随机调查学校110名学生是否喜欢跳舞，由列联表和公式计算出，并由此作出结论：“有的可能性认为学生喜欢跳舞与性别有关”，则可以为                                                                                    （    ）

A.3.565    B.4.204    C.5.233    D.6.842

5．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列4个结论，其中不正确的是（    ）

A．从中任取3球，恰有一个白球的概率是

B．从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为

C．现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到

红球的概率为

D．从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为

6. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为 （　　）

A．    B．

C．  D．

7.曲线与直线，及轴所围成的图形的面积为    （　　）

A．    B．    C．    D．

8.的展开式中常数项是           （　　）

A．-252    B．-220    C．220    D．252

9. 五种不同商品在货架上排成一排，其中两种必须相邻，而两种不能相邻，则不同排法共有                                                                                                                                                                                                                                 （　　）

A．12              B．20             C．24              D．48

10.已知，，，设，，，，，，若随机变量满足：则       （　　）

A．        B．

C．         D．

11.已知函数，其中为函数的导数，求       （　　）

A.  B.  C.  D.

12.已知函数的导函数满足对恒成立，则下列不等式中一定成立的是                                                                                                                                   （    ）

A.      B.       C.       D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 甲、乙、丙、丁4位同学各自对A，B两变量进行回归分析，分别得到散点图与残差平方和

如下表：

则试验结果体现拟合A，B两变量关系的模型拟合精度高的同学是      

14. 某高校高三年级理科共有1500人，在第一次模拟考试中，据统计数学成绩ξ服从正态分布（100，100），则这次考试年级数学成绩超过120分的人数约为       (精确到个位)

参考数据：若ξ服从正态分布N（μ，σ2），有P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）＝0.9974

15.观察下列各式：

；    

；     

；  

；   ……

若按上述规律展开后，发现等式右边含有“”这个数，则的值为__________．

16. 已知函数，则的最大值为________

三、解答题：本大题共6小题，共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤

17．（本题满分10分）

在直角坐标系中，直线：，圆：，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（Ⅰ）求，的极坐标方程；

（Ⅱ）若直线的极坐标方程为,设与的交点为,,求的面积．

18. （本题满分12分）

已知等差数列中，公差，，且，，成等比数列．

（Ⅰ）求数列的通项公式；  

（Ⅱ）若为数列的前项和，且存在，使得成立，求实数的取值范围．

19. （本题满分12分）

如图，在四棱锥中，平面平面，，，.

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）若，求二面角的正弦值.

20. （本题满分12分）

在平面直角坐标平面中，的周长为，两个顶点为，

（Ⅰ）求顶点的轨迹的方程；

（Ⅱ）过点作两条互相垂直的直线，直线与点的轨迹相交弦分别为，求四边形的面积的最小值；

21．（本题满分12分）

2020年是不平凡的一年，“新冠病毒”影响全世界，中国在这场“斗争”中取得了全面的胜利．为防止病毒传播，武汉封城，并对部分地区的每个居民的血液进行检验．现有两种方案，

方案一：依次检查，个人需要次．

方案二：先把受检验者分组，假设每组个人，把这个人的血液混合在一起进行检验，如果检验结果为阴性，说明这个人血液全为阴性，因而这个人总共只要检验1次就够了，检验工作量减少了．但如果检验结果为阳性，为明确个人中是哪几个人为阳性，就要对这个人再一一进行检验，这时检验的总次数为次．

在接受检验的人群中，每个人的检验结果是阴性还是阳性是独立的，假设每个人都是阳性结果的概率为．采用方案二，设人均检验次数为．

（Ⅰ）求的分布列及期望值，并指出，满足什么条件时采用方案二好；

（Ⅱ）若某小区有10000人，采用方案二，若，．这10000人检验次数为，求．

22.（本题满分12分）

已知函数．

（Ⅰ）若，求的取值范围；

（Ⅱ）若有两个零点，，且，证明：．

理科数学（答案）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．

DCDDC  AAACB  AC

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 丁        14. 34人      15. 45      16.

三、解答题：本大题共6小题，共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤

17．（本题满分10分）

在直角坐标系中，直线：，圆：，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（Ⅰ）求，的极坐标方程；

（Ⅱ）若直线的极坐标方程为,设与的交点为,,求的面积．

解：（Ⅰ）因为，

∴的极坐标方程为，的极坐标方程为．

（Ⅱ）将代入，得，

解得=，=，|MN|=－=，

因为的半径为1，则的面积=．

18. （本题满分12分）

已知等差数列中，公差，，且，，成等比数列．

（Ⅰ）求数列的通项公式；  

（Ⅱ）若为数列的前项和，且存在，使得成立，求实数的取值范围．

解：（Ⅰ）由题意可得即

又因为，所以所以.

（Ⅱ）因为，所以

.

因为存在，使得成立，所以存在，使得成立，即存在，使得成立.

又（当且仅当时取等号）.

所以，即实数的取值范围是.

19.（本题满分12分）

如图，在四棱锥中，平面平面，，，.

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）若，求二面角的正弦值.

（Ⅰ）证明：作的中点E，的中点F，连接，，，

因为点E是中点，点F是中点，所以，且.

又因为，且，所以，且，

所以四边形为平行四边形，所以.

因为平面平面，平面平面，，平面，

所以平面，又平面，所以.

因为，点F为的中点，所以.

因为，所以，.

又，平面，所以平面.

又因为平面，所以平面平面.

（Ⅱ）解：作，的中点分别为O，G，连结，，则，

因为平面，平面，所以，，所以，.

因为，，所以为正三角形，

所以，，.

所以，，，即，，两两垂直，

以点O为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系（如图所示）.

则，，，，

所以，，.

设平面的法向量，则即

解得取，则；

设平面的法向量，则所以

解得取，则.

所以，所以.

所以二面角的正弦值为.

20.（本题满分12分）

在平面直角坐标平面中，的周长为，两个顶点为，

（Ⅰ）求顶点的轨迹的方程；

（Ⅱ）过点作两条互相垂直的直线，直线与点的轨迹相交弦分别为，设弦的中点分别为．求四边形的面积的最小值；

解：（Ⅰ）；

（Ⅱ）解：恰为的右焦点，

直线的斜率存且不为0时，设直线的方程为，

由，

设则，

又，

所以，同理，

则，

当，即时取等号．

21．（本题满分12分）

2020年是不平凡的一年，“新冠病毒”影响全世界，中国在这场“斗争”中取得了全面的胜利．为防止病毒传播，武汉封城，并对部分地区的每个居民的血液进行检验．现有两种方案，

方案一：依次检查，个人需要次．

方案二：先把受检验者分组，假设每组个人，把这个人的血液混合在一起进行检验，如果检验结果为阴性，说明这个人血液全为阴性，因而这个人总共只要检验1次就够了，检验工作量减少了．但如果检验结果为阳性，为明确个人中是哪几个人为阳性，就要对这个人再一一进行检验，这时检验的总次数为次．

在接受检验的人群中，每个人的检验结果是阴性还是阳性是独立的，假设每个人都是阳性结果的概率为．采用方案二，设人均检验次数为．

（Ⅰ）求的分布列及期望值，并指出，满足什么条件时采用方案二好；

（Ⅱ）若某小区有10000人，采用方案二，若，．这10000人检验次数为，求．

解：（Ⅰ）采用方案二，每组人，人均检验次数的分布列为

．

当，即，时，方案二好．

（Ⅱ），时，，

∵，所以．

22．（本题满分12分）

已知函数．

（Ⅰ）若，求的取值范围；

（Ⅱ）若有两个零点，，且，证明：．

解：（Ⅰ）的定义域为，．

时，；时，，

所以在上单调递增，在单调递减．

即时，取得最大值，依题意，，故．

（Ⅱ）由（1）知，，，

由题得，

所以，所以．

所以；

．

令，则，

由（1）知，，等号当且仅当时成立，

所以，等号当且仅当时成立，于是可得，即单调递增，

因此，当时，；当时，，

所以，，故．