还剩29页未读，
继续阅读
2021年江苏省常州市溧阳市部分学校中考数学一模试卷
展开
这是一份2021年江苏省常州市溧阳市部分学校中考数学一模试卷，共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年江苏省常州市溧阳市部分学校中考数学一模试卷
一、选择题（共8小题，每小题2分，满分16分）
1．（2分）﹣3的倒数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣3 D．3
2．（2分）下列运算正确的是（ ）
A．3a×2a＝6a B．a8÷a4＝a2
C．﹣3（a﹣1）＝3﹣3a D．（a3）2＝a9
3．（2分）去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了10棵，每棵产量的平均数（单位：千克）及方差S2（单位：千克2）如表所示：
甲
乙
丙
丁
24
24
23
20
S2
2.1
1.9
2
1.9
今年准备从四个品种中选出一种产量既高又稳定的葡萄树进行种植，应选的品种是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．（2分）均匀地向一个容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度h与时间t的函数关系如图所示，则该容器是下列四个中的（ ）
A． B． C． D．
5．（2分）如图，AB∥CD，AD＝CD，∠1＝50°，则∠2的度数是（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
6．（2分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为，AC＝2，则sinB的值是（ ）
A． B． C． D．
7．（2分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴上，对角线BD∥x轴，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过矩形对角线的交点E．若点A（2，0），D（0，4），则k的值为（ ）
A．16 B．20 C．32 D．40
8．（2分）如图，A（﹣1，1），B（﹣1，4），C（﹣5，4），点P是△ABC边上一动点，连接OP，以OP为斜边在OP的右上方作直角三角形，其中∠OQP＝90°，∠POQ＝30°，当点P在△ABC的三条边上运动一周时，点Q运动的路径长为（ ）
A．4 B．6 C．4 D．6
二、填空题（本大题共有10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填在题中横线上）
9．（2分）计算：＝ ．
10．（2分）若2x＝3，2y＝5，则2x+y＝ ．
11．（2分）分解因式：a2b﹣b＝ ．
12．（2分）中国“神威•太湖之光”计算机最高运行速度为1250 000 000亿次/秒，将数1250 000 000用科学记数法可表示为 ．
13．（2分）在平面直角坐标系中，点M（a，b）与点N（3，﹣1）关于x轴对称，则a+b的值是 ．
14．（2分）若2a﹣3b＝﹣1，则代数式4a2﹣6ab+3b的值为 ．
15．（2分）一个圆锥的侧面展开图是半径为9cm，圆心角为120°的扇形，则此圆锥底面圆的半径为 cm．
16．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如下表．则当﹣3＜x＜3时，y满足的范围是 ．
x
…
﹣3
﹣1
1
3
…
y
…
﹣4
2
4
2
…
17．（2分）如图，已知直线l：y＝x，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2；…按此作法继续下去，则点A2013的坐标为 ．
18．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝10，点D是AC上的一个动点，以CD为直径作圆O，连接BD交圆O于点E，则AE的最小值为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共84分，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（6分）计算：．
20．（8分）解方程组和不等式组求整数解．
（1）解方程组；
（2）解不等式组，并求此不等式组的整数解．
21．（8分）已知，在如图所示的“风筝”图案中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC．求证：∠E＝∠C．
22．（8分）为弘扬中华传统文化，某校开展“汉剧进课堂”的活动，该校随机抽取部分学生，按四个类别：A表示“很喜欢”，B表示“喜欢”，C表示“一般”，D表示“不喜欢”，调查他们对汉剧的喜爱情况，将结果绘制成两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题：
（1）这次共抽取 名学生进行统计调查，扇形统计图中，D类所对应的扇形圆心角的大小为 ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该校共有1500名学生，估计该校表示“喜欢”的B类的学生大约有多少人？
23．（8分）河西某滨江主题公园有A、B两个出口，进去游玩的甲、乙、丙三人各自随机选择一个出口离开，求他们三人选择同一个出口离开的概率．
24．（8分）卧龙大桥横跨汉江，某校数学兴趣小组对竖立的索塔在桥面以上的部分（上塔柱BC和塔冠BE）进行了研究．如图所示，最外端的拉索AB的底端A到塔柱底端C的距离为121m，拉索AB与桥面AC的夹角为37°，从点A出发沿AC方向前进23.5m到达点D处，在D处测得塔冠顶端E的仰角为45°，请你求出塔冠BE的高度（结果精确到0.1m）．
参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.4．
25．（8分）已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A，与x轴交于点B（5，0），若OB＝AB，且S△OAB＝．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）直接写出当x＞0时，kx+b＜的解集；
（3）若点P为x轴上一点，△ABP是以AB为底边的等腰三角形，求P的坐标．
26．（10分）我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中，AF、BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P．像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC＝a，AC＝b，AB＝c．
（1）如图1，当∠ABE＝45°，c＝2时，a＝ ，b＝ ．
（2）如图2，当∠ABE＝30°，c＝4时，求a和b的值；
（3）请你观察（1）和（2）中的计算结果，猜想三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式．
27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，经过点C的直线l与该抛物线交于另一点D，并且直线l∥x轴，点P（m，y1）为该抛物线上一个动点，点Q（m，y2）为直线l上一个动点．
（1）当m＜0，且y1＝y2时，连接AQ，BD，说明：四边形ABDQ是平行四边形；
（2）当m＞0，连接AQ，线段AQ与线段OC交于点E，OE＜EC，且OE•EC＝2，连接PQ，求线段PQ的长；
（3）连接AC，PC，试探究：是否存在点P，使得∠PCQ与∠BAC互为余角？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
28．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，点C从点B出发沿射线BO运动，点D在射线BA上，且BD＝OC，以CD为直径作⊙Q，设点C（0，m）．
（1）求线段AB的长；
（2）当点Q在x轴上方且⊙Q与x轴相切时，求m的值；
（3）若直径CD将⊙Q分成的两个半圆弧中有一个半圆弧落在∠ABO的内部时（含角的边上），直接写出m的取值范围．
2021年江苏省常州市溧阳市部分学校中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题2分，满分16分）
1．（2分）﹣3的倒数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣3 D．3
【分析】根据倒数的定义，若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
【解答】解：∵﹣3×（﹣）＝1，
∴﹣3的倒数是﹣．
故选：A．
2．（2分）下列运算正确的是（ ）
A．3a×2a＝6a B．a8÷a4＝a2
C．﹣3（a﹣1）＝3﹣3a D．（a3）2＝a9
【分析】根据单项式乘法法则，同底数幂的除法的性质，去括号法则，积的乘方的性质，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、3a×2a＝6a2，故本选项错误；
B、a8÷a4＝a4，故本选项错误；
C、﹣3（a﹣1）＝3﹣3a，正确；
D、（a3）2＝a6，故本选项错误．
故选：C．
3．（2分）去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了10棵，每棵产量的平均数（单位：千克）及方差S2（单位：千克2）如表所示：
甲
乙
丙
丁
24
24
23
20
S2
2.1
1.9
2
1.9
今年准备从四个品种中选出一种产量既高又稳定的葡萄树进行种植，应选的品种是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】先比较平均数得到甲组和乙组产量较好，然后比较方差得到乙组的状态稳定．
【解答】解：因为甲组、乙组的平均数丙组比丁组大，
而乙组的方差比甲组的小，
所以乙组的产量比较稳定，
所以乙组的产量既高又稳定，
故选：B．
4．（2分）均匀地向一个容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度h与时间t的函数关系如图所示，则该容器是下列四个中的（ ）
A． B． C． D．
【分析】由函数图象可得容器形状不是均匀物体分析判断，由图象及容积可求解．
【解答】解：相比较而言，前一个阶段，用时较少，高度增加较快，那么下面的物体应较细．由图可得上面圆柱的底面半径应大于下面圆柱的底面半径．
故选：D．
5．（2分）如图，AB∥CD，AD＝CD，∠1＝50°，则∠2的度数是（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
【分析】直接利用等腰三角形的性质结合平行线的性质得出答案．
【解答】解：∵AD＝CD，∠1＝50°，
∴∠CAD＝∠ACD＝65°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠ACD＝65°．
故选：C．
6．（2分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为，AC＝2，则sinB的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】求角的三角函数值，可以转化为求直角三角形边的比，连接DC．根据同弧所对的圆周角相等，就可以转化为：求直角三角形的锐角的三角函数值的问题．
【解答】解：连接DC．
根据直径所对的圆周角是直角，得∠ACD＝90°．
根据同弧所对的圆周角相等，得∠B＝∠D．
∴sinB＝sinD＝＝．
故选：A．
7．（2分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴上，对角线BD∥x轴，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过矩形对角线的交点E．若点A（2，0），D（0，4），则k的值为（ ）
A．16 B．20 C．32 D．40
【分析】根据平行于x轴的直线上任意两点纵坐标相同，可设B（x，4）．利用矩形的性质得出E为BD中点，∠DAB＝90°．根据线段中点坐标公式得出E（x，4）．
由勾股定理得出AD2+AB2＝BD2，列出方程22+42+（x﹣2）2+42＝x2，求出x，得到E点坐标，代入y＝，利用待定系数法求出k．
【解答】解：∵BD∥x轴，D（0，4），
∴B、D两点纵坐标相同，都为4，
∴可设B（x，4）．
∵矩形ABCD的对角线的交点为E，
∴E为BD中点，∠DAB＝90°．
∴E（x，4）．
∵∠DAB＝90°，
∴AD2+AB2＝BD2，
∵A（2，0），D（0，4），B（x，4），
∴22+42+（x﹣2）2+42＝x2，
解得x＝10，
∴E（5，4）．
∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点E，
∴k＝5×4＝20．
故选：B．
8．（2分）如图，A（﹣1，1），B（﹣1，4），C（﹣5，4），点P是△ABC边上一动点，连接OP，以OP为斜边在OP的右上方作直角三角形，其中∠OQP＝90°，∠POQ＝30°，当点P在△ABC的三条边上运动一周时，点Q运动的路径长为（ ）
A．4 B．6 C．4 D．6
【分析】如图，由题意，点P在△ABC的三条边上运动一周时，点Q运动的轨迹是△MGH．利用相似三角形的性质求出MG，GH，MH即可解决问题．
【解答】解：如图，由题意，点P在△ABC的三条边上运动一周时，点Q运动的轨迹是△MGH．
∵A（﹣1，1），B（﹣1，4），C（﹣5，4），
∴AB＝3，BC＝4，AC＝5，
∵＝＝，∠AOB＝∠MOG，
∴△AOB∽△MOG，
∴＝＝，
∴MG＝，
同法可得，GH＝BC＝2，MH＝AC＝，
∴点Q运动的路径长＝+2+＝6，
故选：D．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填在题中横线上）
9．（2分）计算：＝ 4 ．
【分析】直接利用二次根式的性质以及二次根式的乘法运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝3+1
＝4．
故答案为：4．
10．（2分）若2x＝3，2y＝5，则2x+y＝ 15 ．
【分析】由2x＝3，2y＝5，根据同底数幂的乘法可得2x+y＝2x•2y，继而可求得答案．
【解答】解：∵2x＝3，2y＝5，
∴2x+y＝2x•2y＝3×5＝15．
故答案为：15．
11．（2分）分解因式：a2b﹣b＝ b（a+1）（a﹣1） ．
【分析】首先提取公因式b，进而利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：a2b﹣b
＝b（a2﹣1）
＝b（a+1）（a﹣1）．
故答案为：b（a+1）（a﹣1）．
12．（2分）中国“神威•太湖之光”计算机最高运行速度为1250 000 000亿次/秒，将数1250 000 000用科学记数法可表示为 1.25×109 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：将数1250 000 000用科学记数法可表示为1.25×109．
故答案为：1.25×109．
13．（2分）在平面直角坐标系中，点M（a，b）与点N（3，﹣1）关于x轴对称，则a+b的值是 4 ．
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案．
【解答】解：∵点M（a，b）与点N（3，﹣1）关于x轴对称，
∴a＝3，b＝1，
则a+b的值是：4．
故答案为：4．
14．（2分）若2a﹣3b＝﹣1，则代数式4a2﹣6ab+3b的值为 1 ．
【分析】由已知字母a、b的系数为2、﹣3，代数式中前二项的北系娄秋4、﹣6，提取此二项的公因式2a后，代入求值变形得﹣2a+3b，与已知条件互为相反数，可求出代数式的值为1．
【解答】解：∵2a﹣3b＝﹣1，
∴4a2﹣6ab+3b
＝2a（2a﹣3b）+3b
＝2a×（﹣1）+3b
＝﹣2a+3b
＝﹣（2a﹣3b）
＝﹣（﹣1）
＝1
故答案为1
15．（2分）一个圆锥的侧面展开图是半径为9cm，圆心角为120°的扇形，则此圆锥底面圆的半径为 3 cm．
【分析】设该圆锥底面圆的半径为rcm，则可根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2πr＝，然后解方程即可．
【解答】解：设该圆锥底面圆的半径为r，
根据题意得2πr＝，解得r＝3，
即该圆锥底面圆的半径为3．
故答案为：3．
16．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如下表．则当﹣3＜x＜3时，y满足的范围是 ﹣4＜y≤4 ．
x
…
﹣3
﹣1
1
3
…
y
…
﹣4
2
4
2
…
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可根据x＝﹣3及x＝3时y的值，结合二次函数图象的顶点坐标，即可找出﹣3＜x＜3时y的取值范围．
【解答】解：从表格看出，函数的对称轴为直线x＝1，顶点为（1，4），函数有最大值4，
∴抛物线开口向下，当x＝﹣3时，取最小值﹣4，
∴当﹣3＜x＜3时，﹣4＜y≤4，
故答案为，﹣4＜y≤4．
17．（2分）如图，已知直线l：y＝x，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2；…按此作法继续下去，则点A2013的坐标为 （0，42013）或（0，24026） ．
【分析】根据所给直线解析式可得l与x轴的夹角，进而根据所给条件依次得到点A1，A2的坐标，通过相应规律得到A2013坐标即可．
【解答】解：∵直线l的解析式为：y＝x，
∴l与x轴的夹角为30°，
∵AB∥x轴，
∴∠ABO＝30°，
∵OA＝1，
∴AB＝，
∵A1B⊥l，
∴∠ABA1＝60°，
∴AA1＝3，
∴A1（0，4），
同理可得A2（0，16），
…，
∴A2013纵坐标为：42013，
∴A2013（0，42013）．
故答案为：（0，42013）或（0，24026）
18．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝10，点D是AC上的一个动点，以CD为直径作圆O，连接BD交圆O于点E，则AE的最小值为 2﹣2 ．
【分析】连接CE，取BC的中点F，作直径为BC的⊙F，连接EF，AF，证明∠CEB＝90°，说明E点始终在⊙F上，再由在整个变化过程中，AE≤AF﹣EF，当A、E、F三点共线时，AE最最小值，求出此时的值便可．
【解答】解：连接CE，取BC的中点F，作直径为BC的⊙F，连接EF，AF，
∵BC＝4，
∴CF＝2，
∵∠ACB＝90°，AC＝10，
∴AF＝，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CED＝∠CEB＝90°，
∴E点在⊙F上，
∵在D的运动过程中，AE≥AF﹣EF，且A、E、F三点共线时等号成立，
∴当A、E、F三点共线时，AE取最小值为AF﹣EF＝2﹣2．
故答案为：2﹣2．
三、解答题（本大题共10小题，共84分，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（6分）计算：．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的性质、零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝﹣8+4﹣2×+1+4﹣
＝﹣8+4﹣1+1+4﹣
＝﹣．
20．（8分）解方程组和不等式组求整数解．
（1）解方程组；
（2）解不等式组，并求此不等式组的整数解．
【分析】（1）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．
【解答】解：（1）方程组整理得：，
①+②得：6y＝6，即y＝1，
将y＝1代入②得：x＝3，
则方程组的解为；
（2），
由①得：x＞；
由②得：x＜4，
∴不等式组的解集为＜x＜4，
则不等式组的整数解为1，2，3．
21．（8分）已知，在如图所示的“风筝”图案中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC．求证：∠E＝∠C．
【分析】由“SAS”可证△ABC≌△ADE，可得∠C＝∠E．
【解答】证明：∵∠BAE＝∠DAC
∴∠BAE+∠CAE＝∠DAC+∠CAE
∴∠CAB＝∠EAD，且AB＝AD，AC＝AE
∴△ABC≌△ADE（SAS）
∴∠C＝∠E
22．（8分）为弘扬中华传统文化，某校开展“汉剧进课堂”的活动，该校随机抽取部分学生，按四个类别：A表示“很喜欢”，B表示“喜欢”，C表示“一般”，D表示“不喜欢”，调查他们对汉剧的喜爱情况，将结果绘制成两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题：
（1）这次共抽取 50 名学生进行统计调查，扇形统计图中，D类所对应的扇形圆心角的大小为 72° ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该校共有1500名学生，估计该校表示“喜欢”的B类的学生大约有多少人？
【分析】（1）这次共抽取：12÷24%＝50（人），D类所对应的扇形圆心角的大小360°×＝72°；
（2）A类学生：50﹣23﹣12﹣10＝5（人），据此补充条形统计图；
（3）该校表示“喜欢”的B类的学生大约有1500×＝690（人）．
【解答】解：（1）这次共抽取：12÷24%＝50（人），
D类所对应的扇形圆心角的大小360°×＝72°，
故答案为50，72°；
（2）A类学生：50﹣23﹣12﹣10＝5（人），
条形统计图补充如下
（3）该校表示“喜欢”的B类的学生大约有1500×＝690（人），
答：该校表示“喜欢”的B类的学生大约有690人；
23．（8分）河西某滨江主题公园有A、B两个出口，进去游玩的甲、乙、丙三人各自随机选择一个出口离开，求他们三人选择同一个出口离开的概率．
【分析】画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．
【解答】解：根据题意画出树状图如下：
甲、乙、丙三人各自随机选择一个出口离开的所有可能出现的结果有：（AAA）、（AAB）、（ABA）、（ABB）、（BAA）、（BAB）、（BBA）、（BBB），共有8种，
它们出现的可能性相同，所有的结果中，满足“三人选择同一个出口离开”（记为事件A）的结果有2种，
所以P（A）＝＝．
24．（8分）卧龙大桥横跨汉江，某校数学兴趣小组对竖立的索塔在桥面以上的部分（上塔柱BC和塔冠BE）进行了研究．如图所示，最外端的拉索AB的底端A到塔柱底端C的距离为121m，拉索AB与桥面AC的夹角为37°，从点A出发沿AC方向前进23.5m到达点D处，在D处测得塔冠顶端E的仰角为45°，请你求出塔冠BE的高度（结果精确到0.1m）．
参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.4．
【分析】根据锐角三角函数列式计算即可．
【解答】解：在Rt△ACB中，AC＝121m，∠A＝37°，
∴BC＝AC•tan∠A≈121×0.75≈90.75（m），
由题意可知：AD＝23.5m，
∴CD＝AC﹣AD＝97.5（m），
在Rt△DCE中，∠EDC＝45°，
∴EC＝CD＝97.5（m），
∴BE＝EC﹣BC＝97.5﹣90.75＝6.75≈6.8（m），
答：塔冠BE的高度约为6.8m．
25．（8分）已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A，与x轴交于点B（5，0），若OB＝AB，且S△OAB＝．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）直接写出当x＞0时，kx+b＜的解集；
（3）若点P为x轴上一点，△ABP是以AB为底边的等腰三角形，求P的坐标．
【分析】（1）先利用△AOB的面积求出AM，再用勾股定理求出BM，进而得出OM，求出点A的坐标，最后用待定系数法，即可得出结论；
（2）直接由图象，即可得出结论；
（3）先判断出AP＝BP，设AP＝BP，进而表示出PM最后用勾股定理求出n，即可得出结论．
【解答】解：（1）如图1，过点A作AM⊥x轴于M，
∵B（5，0），
∴OB＝5，
∵S△OAB＝，
∴OB•AM＝，
∴AM＝3，
∵OB＝AB，
∴AB＝5，
在Rt△AMB中，根据勾股定理得，BM＝＝4，
∴OM＝OB+BM＝9，
∴A（9，3），
∵点A在反比例函数y＝的图象上，
∴m＝9×3＝27，
∴反比例函数的表达式为y＝；
∵点A（9，3），B（5，0）在一次函数y＝kx+b的图象上，
∴，
∴，
∴一次函数的表达式为y＝x﹣；
（2）由图象知，kx+b＜的解集为0＜x＜9；
（3）如图2，
过点A作AM⊥x轴于M，
∵△ABP是以AB为底边的等腰三角形，
∴BP＝AP，
设BP＝AP＝n，
由（1）知，BM＝4，
∴PM＝BM﹣BP＝4﹣n，
在Rt△AMP中，根据勾股定理得，AM2+PM2＝AP2，
∴32+（4﹣n）2＝n2，
∴n＝，
∴OP＝OB+BP＝5+＝，
∴P（，0）．
26．（10分）我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中，AF、BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P．像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC＝a，AC＝b，AB＝c．
（1）如图1，当∠ABE＝45°，c＝2时，a＝ 2 ，b＝ 2 ．
（2）如图2，当∠ABE＝30°，c＝4时，求a和b的值；
（3）请你观察（1）和（2）中的计算结果，猜想三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式．
【分析】（1）先判断△ABP是等腰直角三角形，再得到△EFP也是等腰直角三角形，最后计算即可；
（2）连接EF，则EF是△ABC的中位线．根据三角形中位线定理可得EF的值，根据含30°角的直角三角形的性质求出AP、BP、PE、PF，最后利用勾股定理即可求解；
（3）先设AP＝m，BP＝n，表示出线段PE，PF，最后利用勾股定理即可．
【解答】解：（1）如图1，连接EF，则EF是△ABC的中位线，
∴EF＝AB＝，
∵∠ABE＝45°，AE⊥EF
∴△ABP是等腰直角三角形，
∵EF∥AB，
∴△EFP也是等腰直角三角形，
∴AP＝BP＝2，EP＝FP＝1，
∴AE＝BF＝＝，
∴a＝BC＝2BF＝2，b＝AC＝2AE＝2，
故答案为：2，2；
（2）如图2，连接EF，则EF是△ABC的中位线．
∵∠ABE＝30°，AE⊥BF，AB＝4，
∴AP＝2，BP＝AP＝2，∠FEP＝30°，
∵EF∥AB，EF＝AB＝2，
∴PF＝EF＝1，PE＝PF＝，
∴AE＝＝＝，BF＝＝＝，
∴BC＝a＝2BF＝2，b＝AC＝2AE＝2；
（3）a2+b2＝5c2，
证明：如图3，连接EF，
设AP＝m，BP＝n，
则c2＝AB2＝m2+n2，
∵EF∥AB，EF＝AB，
∴PE＝BP＝n，PF＝AP＝m，
∴AE2＝AP2+PE2＝m2+n2，BF2＝PF2+BP2＝m2+n2，
∴b2＝AC2＝4AE2＝4m2+n2，a2＝BC2＝4BF2＝4n2+m2
∴a2+b2＝5（m2+n2）＝5c2．
27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，经过点C的直线l与该抛物线交于另一点D，并且直线l∥x轴，点P（m，y1）为该抛物线上一个动点，点Q（m，y2）为直线l上一个动点．
（1）当m＜0，且y1＝y2时，连接AQ，BD，说明：四边形ABDQ是平行四边形；
（2）当m＞0，连接AQ，线段AQ与线段OC交于点E，OE＜EC，且OE•EC＝2，连接PQ，求线段PQ的长；
（3）连接AC，PC，试探究：是否存在点P，使得∠PCQ与∠BAC互为余角？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）求出点D（3，﹣3），求出CQ＝2，DQ＝5，则AB＝DQ，由平行四边形的判定可得出答案；
（2）证明△AOE∽△QCE，得出，求出QC＝2，则可得出答案；
（3）分两种不同的情况：①当点P在直线l上方时，②当点P在直线l下方时，由直角三角形的性质得出tan∠PCQ＝tan∠ACO＝，列出方程求出答案即可．
【解答】解：（1）证明：当y＝0时，x﹣3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝4，
∴A（﹣1，0），B（4，0），
∴AB＝5．
当x＝0时，y＝﹣3，
∴C（0，﹣3）．
∵直线l∥x轴，
∴直线l的解析式为y＝﹣3．
∴x﹣3＝﹣3，
解得x3＝0，x4＝3，
∴D（3，﹣3），
∴CD＝3．
∵点Q（m，y2）在直线l上，
∴y2＝﹣3．
∵y1＝﹣，
∴y1＝，
∵m＜0，点P（m，y1）在该抛物线上，
∴，
解得m＝﹣2或m＝5（舍去）．
∵直线l∥x轴，
∴CQ＝2，
∴DQ＝5，
∴AB＝DQ，AB∥DQ，
∴四边形ABDQ是平行四边形．
（2）∵P，Q两点的横坐标都是m，
∴直线l∥x轴，
∴PQ＝|y1﹣y2|＝|m|，
设OE＝n，则EC＝3﹣n，
∴n（3﹣n）＝2，
解得n＝1或n＝2．
∵OE＜EC，
∴OE＝1，EC＝2．
∵直线l∥x轴，
∴∠OAE＝∠CQE，∠AOE＝∠QCE，
∴△AOE∽△QCE，
∴，
∴QC＝2，
∵m＞0，
∴m＝2，
∴PQ＝；
（3）假设存在点P，使得∠PCQ与∠BAC互为余角，即∠PCQ+∠BAC＝90°．
∵∠BAC+∠ACO＝90°，
∴∠PCQ＝∠ACO．
∵OA＝1，OC＝3，
∴tan∠PCQ＝tan∠ACO＝，
连接PQ．
∵直线l∥x轴，直线PQ∥y轴，
∴△PCQ是直角三角形，且∠CQP＝90°．
∴tan∠PCQ＝，
①当点P在直线l上方时，PQ＝y1﹣y2＝m，
（i）若点P在y轴左侧，则m＜0，
∴QC＝﹣m．
∴m＝×（﹣m），
解得m1＝0（舍去），m2＝（舍去）．
（ii）若点P在y轴右侧，则m＞0，
∴QC＝m．
∴m＝m，
解得m3＝0（舍去），m4＝．
∴y1﹣y2＝，
∴y1＝﹣，
∴；
②当点P在直线l下方时，m＞0，
∴QC＝m，PQ＝y2﹣y1＝﹣m，
∴﹣m＝m，
解得m5＝0（舍去），m6＝，
∴y2﹣y1＝，
∴y1＝﹣，
∴．
综上，存在点，，使得∠PCQ与∠BAC互为余角．
28．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，点C从点B出发沿射线BO运动，点D在射线BA上，且BD＝OC，以CD为直径作⊙Q，设点C（0，m）．
（1）求线段AB的长；
（2）当点Q在x轴上方且⊙Q与x轴相切时，求m的值；
（3）若直径CD将⊙Q分成的两个半圆弧中有一个半圆弧落在∠ABO的内部时（含角的边上），直接写出m的取值范围．
【分析】（1）对于y＝﹣x+3，令x＝0，则y＝3，令y＝0，则x＝4，即点A、B的坐标分别为：（4，0）、（0，3），即可求解；
（2）xD＝BDsin∠ABO，同理yD＝3﹣m，故点D（m，3﹣m），由中点公式得点Q的坐标为（m，）；当点Q在x轴上方且⊙Q与x轴相切时，yQ＝CD＝，即CD＝3，即可求解；
（3）由题意得：即只有CD下方的半圆可能在∠ABO的内部，则BE≤BD，BF≤BC；再分m≥0、m＜0两种情况分别求解即可．
【解答】解：（1）对于y＝﹣x+3，令x＝0，则y＝3，令y＝0，则x＝4，
即点A、B的坐标分别为：（4，0）、（0，3），
∴AB＝＝5；
（2）由点A、B的坐标知，OA＝4，OB＝3，
tan∠ABO＝＝，则sin∠ABO＝，cos∠ABO＝，
∵BD＝OC＝m，
∴xD＝BDsin∠ABO＝m×＝m，同理yD＝3﹣BDcos∠ABO＝3﹣m，
故点D（m，3﹣m）；
∵点Q是CD的中点，
∴由中点公式得，点Q的坐标为（m，），
∵当点Q在x轴上方且⊙Q与x轴相切时，yQ＝CD＝，
∴CD＝3，
故（m）2+（3﹣m﹣m）2＝9，
解得：m＝或0；
（3）∵AB与BC交圆Q在直径CD的上方，
∴CD上方的半圆与∠ABO必有第三个交点（设为E），即只有CD下方的半圆可能在∠ABO的内部，
∴∠OCD≥90°，∠ADC≥90°，
∴∠BCD≤90°，∠BDC≤90°，
连接CE、DF，
∵CD是直径，
∴DF⊥OB，CE⊥AB，
∴BE≤BD，BF≤BC，
在Rt△BCE中，BC＝3﹣m，BE＝BCcos∠OBC＝（3﹣m），
①当m≥0时，
BD＝m，BF＝BDcos∠OBC＝m，
∵BE≤BD，BF≤BC，
∴（3﹣m）≤m且m≤3﹣m，
解得：≤m≤；
②当m＜0时，
BD＝﹣m，BF＝﹣m，
∵BE≤BD，BF≤BC，
∴（3﹣m）≤﹣m且﹣m≤3﹣m，
解得：m≤﹣；
综上，≤m≤或m≤﹣．
2021年江苏省常州市溧阳市部分学校中考数学一模试卷
一、选择题（共8小题，每小题2分，满分16分）
1．（2分）﹣3的倒数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣3 D．3
2．（2分）下列运算正确的是（ ）
A．3a×2a＝6a B．a8÷a4＝a2
C．﹣3（a﹣1）＝3﹣3a D．（a3）2＝a9
3．（2分）去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了10棵，每棵产量的平均数（单位：千克）及方差S2（单位：千克2）如表所示：
甲
乙
丙
丁
24
24
23
20
S2
2.1
1.9
2
1.9
今年准备从四个品种中选出一种产量既高又稳定的葡萄树进行种植，应选的品种是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．（2分）均匀地向一个容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度h与时间t的函数关系如图所示，则该容器是下列四个中的（ ）
A． B． C． D．
5．（2分）如图，AB∥CD，AD＝CD，∠1＝50°，则∠2的度数是（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
6．（2分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为，AC＝2，则sinB的值是（ ）
A． B． C． D．
7．（2分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴上，对角线BD∥x轴，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过矩形对角线的交点E．若点A（2，0），D（0，4），则k的值为（ ）
A．16 B．20 C．32 D．40
8．（2分）如图，A（﹣1，1），B（﹣1，4），C（﹣5，4），点P是△ABC边上一动点，连接OP，以OP为斜边在OP的右上方作直角三角形，其中∠OQP＝90°，∠POQ＝30°，当点P在△ABC的三条边上运动一周时，点Q运动的路径长为（ ）
A．4 B．6 C．4 D．6
二、填空题（本大题共有10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填在题中横线上）
9．（2分）计算：＝ ．
10．（2分）若2x＝3，2y＝5，则2x+y＝ ．
11．（2分）分解因式：a2b﹣b＝ ．
12．（2分）中国“神威•太湖之光”计算机最高运行速度为1250 000 000亿次/秒，将数1250 000 000用科学记数法可表示为 ．
13．（2分）在平面直角坐标系中，点M（a，b）与点N（3，﹣1）关于x轴对称，则a+b的值是 ．
14．（2分）若2a﹣3b＝﹣1，则代数式4a2﹣6ab+3b的值为 ．
15．（2分）一个圆锥的侧面展开图是半径为9cm，圆心角为120°的扇形，则此圆锥底面圆的半径为 cm．
16．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如下表．则当﹣3＜x＜3时，y满足的范围是 ．
x
…
﹣3
﹣1
1
3
…
y
…
﹣4
2
4
2
…
17．（2分）如图，已知直线l：y＝x，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2；…按此作法继续下去，则点A2013的坐标为 ．
18．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝10，点D是AC上的一个动点，以CD为直径作圆O，连接BD交圆O于点E，则AE的最小值为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共84分，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（6分）计算：．
20．（8分）解方程组和不等式组求整数解．
（1）解方程组；
（2）解不等式组，并求此不等式组的整数解．
21．（8分）已知，在如图所示的“风筝”图案中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC．求证：∠E＝∠C．
22．（8分）为弘扬中华传统文化，某校开展“汉剧进课堂”的活动，该校随机抽取部分学生，按四个类别：A表示“很喜欢”，B表示“喜欢”，C表示“一般”，D表示“不喜欢”，调查他们对汉剧的喜爱情况，将结果绘制成两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题：
（1）这次共抽取 名学生进行统计调查，扇形统计图中，D类所对应的扇形圆心角的大小为 ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该校共有1500名学生，估计该校表示“喜欢”的B类的学生大约有多少人？
23．（8分）河西某滨江主题公园有A、B两个出口，进去游玩的甲、乙、丙三人各自随机选择一个出口离开，求他们三人选择同一个出口离开的概率．
24．（8分）卧龙大桥横跨汉江，某校数学兴趣小组对竖立的索塔在桥面以上的部分（上塔柱BC和塔冠BE）进行了研究．如图所示，最外端的拉索AB的底端A到塔柱底端C的距离为121m，拉索AB与桥面AC的夹角为37°，从点A出发沿AC方向前进23.5m到达点D处，在D处测得塔冠顶端E的仰角为45°，请你求出塔冠BE的高度（结果精确到0.1m）．
参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.4．
25．（8分）已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A，与x轴交于点B（5，0），若OB＝AB，且S△OAB＝．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）直接写出当x＞0时，kx+b＜的解集；
（3）若点P为x轴上一点，△ABP是以AB为底边的等腰三角形，求P的坐标．
26．（10分）我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中，AF、BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P．像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC＝a，AC＝b，AB＝c．
（1）如图1，当∠ABE＝45°，c＝2时，a＝ ，b＝ ．
（2）如图2，当∠ABE＝30°，c＝4时，求a和b的值；
（3）请你观察（1）和（2）中的计算结果，猜想三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式．
27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，经过点C的直线l与该抛物线交于另一点D，并且直线l∥x轴，点P（m，y1）为该抛物线上一个动点，点Q（m，y2）为直线l上一个动点．
（1）当m＜0，且y1＝y2时，连接AQ，BD，说明：四边形ABDQ是平行四边形；
（2）当m＞0，连接AQ，线段AQ与线段OC交于点E，OE＜EC，且OE•EC＝2，连接PQ，求线段PQ的长；
（3）连接AC，PC，试探究：是否存在点P，使得∠PCQ与∠BAC互为余角？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
28．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，点C从点B出发沿射线BO运动，点D在射线BA上，且BD＝OC，以CD为直径作⊙Q，设点C（0，m）．
（1）求线段AB的长；
（2）当点Q在x轴上方且⊙Q与x轴相切时，求m的值；
（3）若直径CD将⊙Q分成的两个半圆弧中有一个半圆弧落在∠ABO的内部时（含角的边上），直接写出m的取值范围．
2021年江苏省常州市溧阳市部分学校中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题2分，满分16分）
1．（2分）﹣3的倒数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣3 D．3
【分析】根据倒数的定义，若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
【解答】解：∵﹣3×（﹣）＝1，
∴﹣3的倒数是﹣．
故选：A．
2．（2分）下列运算正确的是（ ）
A．3a×2a＝6a B．a8÷a4＝a2
C．﹣3（a﹣1）＝3﹣3a D．（a3）2＝a9
【分析】根据单项式乘法法则，同底数幂的除法的性质，去括号法则，积的乘方的性质，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、3a×2a＝6a2，故本选项错误；
B、a8÷a4＝a4，故本选项错误；
C、﹣3（a﹣1）＝3﹣3a，正确；
D、（a3）2＝a6，故本选项错误．
故选：C．
3．（2分）去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了10棵，每棵产量的平均数（单位：千克）及方差S2（单位：千克2）如表所示：
甲
乙
丙
丁
24
24
23
20
S2
2.1
1.9
2
1.9
今年准备从四个品种中选出一种产量既高又稳定的葡萄树进行种植，应选的品种是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】先比较平均数得到甲组和乙组产量较好，然后比较方差得到乙组的状态稳定．
【解答】解：因为甲组、乙组的平均数丙组比丁组大，
而乙组的方差比甲组的小，
所以乙组的产量比较稳定，
所以乙组的产量既高又稳定，
故选：B．
4．（2分）均匀地向一个容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度h与时间t的函数关系如图所示，则该容器是下列四个中的（ ）
A． B． C． D．
【分析】由函数图象可得容器形状不是均匀物体分析判断，由图象及容积可求解．
【解答】解：相比较而言，前一个阶段，用时较少，高度增加较快，那么下面的物体应较细．由图可得上面圆柱的底面半径应大于下面圆柱的底面半径．
故选：D．
5．（2分）如图，AB∥CD，AD＝CD，∠1＝50°，则∠2的度数是（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
【分析】直接利用等腰三角形的性质结合平行线的性质得出答案．
【解答】解：∵AD＝CD，∠1＝50°，
∴∠CAD＝∠ACD＝65°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠ACD＝65°．
故选：C．
6．（2分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为，AC＝2，则sinB的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】求角的三角函数值，可以转化为求直角三角形边的比，连接DC．根据同弧所对的圆周角相等，就可以转化为：求直角三角形的锐角的三角函数值的问题．
【解答】解：连接DC．
根据直径所对的圆周角是直角，得∠ACD＝90°．
根据同弧所对的圆周角相等，得∠B＝∠D．
∴sinB＝sinD＝＝．
故选：A．
7．（2分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴上，对角线BD∥x轴，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过矩形对角线的交点E．若点A（2，0），D（0，4），则k的值为（ ）
A．16 B．20 C．32 D．40
【分析】根据平行于x轴的直线上任意两点纵坐标相同，可设B（x，4）．利用矩形的性质得出E为BD中点，∠DAB＝90°．根据线段中点坐标公式得出E（x，4）．
由勾股定理得出AD2+AB2＝BD2，列出方程22+42+（x﹣2）2+42＝x2，求出x，得到E点坐标，代入y＝，利用待定系数法求出k．
【解答】解：∵BD∥x轴，D（0，4），
∴B、D两点纵坐标相同，都为4，
∴可设B（x，4）．
∵矩形ABCD的对角线的交点为E，
∴E为BD中点，∠DAB＝90°．
∴E（x，4）．
∵∠DAB＝90°，
∴AD2+AB2＝BD2，
∵A（2，0），D（0，4），B（x，4），
∴22+42+（x﹣2）2+42＝x2，
解得x＝10，
∴E（5，4）．
∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点E，
∴k＝5×4＝20．
故选：B．
8．（2分）如图，A（﹣1，1），B（﹣1，4），C（﹣5，4），点P是△ABC边上一动点，连接OP，以OP为斜边在OP的右上方作直角三角形，其中∠OQP＝90°，∠POQ＝30°，当点P在△ABC的三条边上运动一周时，点Q运动的路径长为（ ）
A．4 B．6 C．4 D．6
【分析】如图，由题意，点P在△ABC的三条边上运动一周时，点Q运动的轨迹是△MGH．利用相似三角形的性质求出MG，GH，MH即可解决问题．
【解答】解：如图，由题意，点P在△ABC的三条边上运动一周时，点Q运动的轨迹是△MGH．
∵A（﹣1，1），B（﹣1，4），C（﹣5，4），
∴AB＝3，BC＝4，AC＝5，
∵＝＝，∠AOB＝∠MOG，
∴△AOB∽△MOG，
∴＝＝，
∴MG＝，
同法可得，GH＝BC＝2，MH＝AC＝，
∴点Q运动的路径长＝+2+＝6，
故选：D．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填在题中横线上）
9．（2分）计算：＝ 4 ．
【分析】直接利用二次根式的性质以及二次根式的乘法运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝3+1
＝4．
故答案为：4．
10．（2分）若2x＝3，2y＝5，则2x+y＝ 15 ．
【分析】由2x＝3，2y＝5，根据同底数幂的乘法可得2x+y＝2x•2y，继而可求得答案．
【解答】解：∵2x＝3，2y＝5，
∴2x+y＝2x•2y＝3×5＝15．
故答案为：15．
11．（2分）分解因式：a2b﹣b＝ b（a+1）（a﹣1） ．
【分析】首先提取公因式b，进而利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：a2b﹣b
＝b（a2﹣1）
＝b（a+1）（a﹣1）．
故答案为：b（a+1）（a﹣1）．
12．（2分）中国“神威•太湖之光”计算机最高运行速度为1250 000 000亿次/秒，将数1250 000 000用科学记数法可表示为 1.25×109 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：将数1250 000 000用科学记数法可表示为1.25×109．
故答案为：1.25×109．
13．（2分）在平面直角坐标系中，点M（a，b）与点N（3，﹣1）关于x轴对称，则a+b的值是 4 ．
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案．
【解答】解：∵点M（a，b）与点N（3，﹣1）关于x轴对称，
∴a＝3，b＝1，
则a+b的值是：4．
故答案为：4．
14．（2分）若2a﹣3b＝﹣1，则代数式4a2﹣6ab+3b的值为 1 ．
【分析】由已知字母a、b的系数为2、﹣3，代数式中前二项的北系娄秋4、﹣6，提取此二项的公因式2a后，代入求值变形得﹣2a+3b，与已知条件互为相反数，可求出代数式的值为1．
【解答】解：∵2a﹣3b＝﹣1，
∴4a2﹣6ab+3b
＝2a（2a﹣3b）+3b
＝2a×（﹣1）+3b
＝﹣2a+3b
＝﹣（2a﹣3b）
＝﹣（﹣1）
＝1
故答案为1
15．（2分）一个圆锥的侧面展开图是半径为9cm，圆心角为120°的扇形，则此圆锥底面圆的半径为 3 cm．
【分析】设该圆锥底面圆的半径为rcm，则可根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2πr＝，然后解方程即可．
【解答】解：设该圆锥底面圆的半径为r，
根据题意得2πr＝，解得r＝3，
即该圆锥底面圆的半径为3．
故答案为：3．
16．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如下表．则当﹣3＜x＜3时，y满足的范围是 ﹣4＜y≤4 ．
x
…
﹣3
﹣1
1
3
…
y
…
﹣4
2
4
2
…
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可根据x＝﹣3及x＝3时y的值，结合二次函数图象的顶点坐标，即可找出﹣3＜x＜3时y的取值范围．
【解答】解：从表格看出，函数的对称轴为直线x＝1，顶点为（1，4），函数有最大值4，
∴抛物线开口向下，当x＝﹣3时，取最小值﹣4，
∴当﹣3＜x＜3时，﹣4＜y≤4，
故答案为，﹣4＜y≤4．
17．（2分）如图，已知直线l：y＝x，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2；…按此作法继续下去，则点A2013的坐标为 （0，42013）或（0，24026） ．
【分析】根据所给直线解析式可得l与x轴的夹角，进而根据所给条件依次得到点A1，A2的坐标，通过相应规律得到A2013坐标即可．
【解答】解：∵直线l的解析式为：y＝x，
∴l与x轴的夹角为30°，
∵AB∥x轴，
∴∠ABO＝30°，
∵OA＝1，
∴AB＝，
∵A1B⊥l，
∴∠ABA1＝60°，
∴AA1＝3，
∴A1（0，4），
同理可得A2（0，16），
…，
∴A2013纵坐标为：42013，
∴A2013（0，42013）．
故答案为：（0，42013）或（0，24026）
18．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝10，点D是AC上的一个动点，以CD为直径作圆O，连接BD交圆O于点E，则AE的最小值为 2﹣2 ．
【分析】连接CE，取BC的中点F，作直径为BC的⊙F，连接EF，AF，证明∠CEB＝90°，说明E点始终在⊙F上，再由在整个变化过程中，AE≤AF﹣EF，当A、E、F三点共线时，AE最最小值，求出此时的值便可．
【解答】解：连接CE，取BC的中点F，作直径为BC的⊙F，连接EF，AF，
∵BC＝4，
∴CF＝2，
∵∠ACB＝90°，AC＝10，
∴AF＝，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CED＝∠CEB＝90°，
∴E点在⊙F上，
∵在D的运动过程中，AE≥AF﹣EF，且A、E、F三点共线时等号成立，
∴当A、E、F三点共线时，AE取最小值为AF﹣EF＝2﹣2．
故答案为：2﹣2．
三、解答题（本大题共10小题，共84分，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（6分）计算：．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的性质、零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝﹣8+4﹣2×+1+4﹣
＝﹣8+4﹣1+1+4﹣
＝﹣．
20．（8分）解方程组和不等式组求整数解．
（1）解方程组；
（2）解不等式组，并求此不等式组的整数解．
【分析】（1）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．
【解答】解：（1）方程组整理得：，
①+②得：6y＝6，即y＝1，
将y＝1代入②得：x＝3，
则方程组的解为；
（2），
由①得：x＞；
由②得：x＜4，
∴不等式组的解集为＜x＜4，
则不等式组的整数解为1，2，3．
21．（8分）已知，在如图所示的“风筝”图案中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC．求证：∠E＝∠C．
【分析】由“SAS”可证△ABC≌△ADE，可得∠C＝∠E．
【解答】证明：∵∠BAE＝∠DAC
∴∠BAE+∠CAE＝∠DAC+∠CAE
∴∠CAB＝∠EAD，且AB＝AD，AC＝AE
∴△ABC≌△ADE（SAS）
∴∠C＝∠E
22．（8分）为弘扬中华传统文化，某校开展“汉剧进课堂”的活动，该校随机抽取部分学生，按四个类别：A表示“很喜欢”，B表示“喜欢”，C表示“一般”，D表示“不喜欢”，调查他们对汉剧的喜爱情况，将结果绘制成两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题：
（1）这次共抽取 50 名学生进行统计调查，扇形统计图中，D类所对应的扇形圆心角的大小为 72° ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该校共有1500名学生，估计该校表示“喜欢”的B类的学生大约有多少人？
【分析】（1）这次共抽取：12÷24%＝50（人），D类所对应的扇形圆心角的大小360°×＝72°；
（2）A类学生：50﹣23﹣12﹣10＝5（人），据此补充条形统计图；
（3）该校表示“喜欢”的B类的学生大约有1500×＝690（人）．
【解答】解：（1）这次共抽取：12÷24%＝50（人），
D类所对应的扇形圆心角的大小360°×＝72°，
故答案为50，72°；
（2）A类学生：50﹣23﹣12﹣10＝5（人），
条形统计图补充如下
（3）该校表示“喜欢”的B类的学生大约有1500×＝690（人），
答：该校表示“喜欢”的B类的学生大约有690人；
23．（8分）河西某滨江主题公园有A、B两个出口，进去游玩的甲、乙、丙三人各自随机选择一个出口离开，求他们三人选择同一个出口离开的概率．
【分析】画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．
【解答】解：根据题意画出树状图如下：
甲、乙、丙三人各自随机选择一个出口离开的所有可能出现的结果有：（AAA）、（AAB）、（ABA）、（ABB）、（BAA）、（BAB）、（BBA）、（BBB），共有8种，
它们出现的可能性相同，所有的结果中，满足“三人选择同一个出口离开”（记为事件A）的结果有2种，
所以P（A）＝＝．
24．（8分）卧龙大桥横跨汉江，某校数学兴趣小组对竖立的索塔在桥面以上的部分（上塔柱BC和塔冠BE）进行了研究．如图所示，最外端的拉索AB的底端A到塔柱底端C的距离为121m，拉索AB与桥面AC的夹角为37°，从点A出发沿AC方向前进23.5m到达点D处，在D处测得塔冠顶端E的仰角为45°，请你求出塔冠BE的高度（结果精确到0.1m）．
参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.4．
【分析】根据锐角三角函数列式计算即可．
【解答】解：在Rt△ACB中，AC＝121m，∠A＝37°，
∴BC＝AC•tan∠A≈121×0.75≈90.75（m），
由题意可知：AD＝23.5m，
∴CD＝AC﹣AD＝97.5（m），
在Rt△DCE中，∠EDC＝45°，
∴EC＝CD＝97.5（m），
∴BE＝EC﹣BC＝97.5﹣90.75＝6.75≈6.8（m），
答：塔冠BE的高度约为6.8m．
25．（8分）已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A，与x轴交于点B（5，0），若OB＝AB，且S△OAB＝．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）直接写出当x＞0时，kx+b＜的解集；
（3）若点P为x轴上一点，△ABP是以AB为底边的等腰三角形，求P的坐标．
【分析】（1）先利用△AOB的面积求出AM，再用勾股定理求出BM，进而得出OM，求出点A的坐标，最后用待定系数法，即可得出结论；
（2）直接由图象，即可得出结论；
（3）先判断出AP＝BP，设AP＝BP，进而表示出PM最后用勾股定理求出n，即可得出结论．
【解答】解：（1）如图1，过点A作AM⊥x轴于M，
∵B（5，0），
∴OB＝5，
∵S△OAB＝，
∴OB•AM＝，
∴AM＝3，
∵OB＝AB，
∴AB＝5，
在Rt△AMB中，根据勾股定理得，BM＝＝4，
∴OM＝OB+BM＝9，
∴A（9，3），
∵点A在反比例函数y＝的图象上，
∴m＝9×3＝27，
∴反比例函数的表达式为y＝；
∵点A（9，3），B（5，0）在一次函数y＝kx+b的图象上，
∴，
∴，
∴一次函数的表达式为y＝x﹣；
（2）由图象知，kx+b＜的解集为0＜x＜9；
（3）如图2，
过点A作AM⊥x轴于M，
∵△ABP是以AB为底边的等腰三角形，
∴BP＝AP，
设BP＝AP＝n，
由（1）知，BM＝4，
∴PM＝BM﹣BP＝4﹣n，
在Rt△AMP中，根据勾股定理得，AM2+PM2＝AP2，
∴32+（4﹣n）2＝n2，
∴n＝，
∴OP＝OB+BP＝5+＝，
∴P（，0）．
26．（10分）我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中，AF、BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P．像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC＝a，AC＝b，AB＝c．
（1）如图1，当∠ABE＝45°，c＝2时，a＝ 2 ，b＝ 2 ．
（2）如图2，当∠ABE＝30°，c＝4时，求a和b的值；
（3）请你观察（1）和（2）中的计算结果，猜想三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式．
【分析】（1）先判断△ABP是等腰直角三角形，再得到△EFP也是等腰直角三角形，最后计算即可；
（2）连接EF，则EF是△ABC的中位线．根据三角形中位线定理可得EF的值，根据含30°角的直角三角形的性质求出AP、BP、PE、PF，最后利用勾股定理即可求解；
（3）先设AP＝m，BP＝n，表示出线段PE，PF，最后利用勾股定理即可．
【解答】解：（1）如图1，连接EF，则EF是△ABC的中位线，
∴EF＝AB＝，
∵∠ABE＝45°，AE⊥EF
∴△ABP是等腰直角三角形，
∵EF∥AB，
∴△EFP也是等腰直角三角形，
∴AP＝BP＝2，EP＝FP＝1，
∴AE＝BF＝＝，
∴a＝BC＝2BF＝2，b＝AC＝2AE＝2，
故答案为：2，2；
（2）如图2，连接EF，则EF是△ABC的中位线．
∵∠ABE＝30°，AE⊥BF，AB＝4，
∴AP＝2，BP＝AP＝2，∠FEP＝30°，
∵EF∥AB，EF＝AB＝2，
∴PF＝EF＝1，PE＝PF＝，
∴AE＝＝＝，BF＝＝＝，
∴BC＝a＝2BF＝2，b＝AC＝2AE＝2；
（3）a2+b2＝5c2，
证明：如图3，连接EF，
设AP＝m，BP＝n，
则c2＝AB2＝m2+n2，
∵EF∥AB，EF＝AB，
∴PE＝BP＝n，PF＝AP＝m，
∴AE2＝AP2+PE2＝m2+n2，BF2＝PF2+BP2＝m2+n2，
∴b2＝AC2＝4AE2＝4m2+n2，a2＝BC2＝4BF2＝4n2+m2
∴a2+b2＝5（m2+n2）＝5c2．
27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，经过点C的直线l与该抛物线交于另一点D，并且直线l∥x轴，点P（m，y1）为该抛物线上一个动点，点Q（m，y2）为直线l上一个动点．
（1）当m＜0，且y1＝y2时，连接AQ，BD，说明：四边形ABDQ是平行四边形；
（2）当m＞0，连接AQ，线段AQ与线段OC交于点E，OE＜EC，且OE•EC＝2，连接PQ，求线段PQ的长；
（3）连接AC，PC，试探究：是否存在点P，使得∠PCQ与∠BAC互为余角？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）求出点D（3，﹣3），求出CQ＝2，DQ＝5，则AB＝DQ，由平行四边形的判定可得出答案；
（2）证明△AOE∽△QCE，得出，求出QC＝2，则可得出答案；
（3）分两种不同的情况：①当点P在直线l上方时，②当点P在直线l下方时，由直角三角形的性质得出tan∠PCQ＝tan∠ACO＝，列出方程求出答案即可．
【解答】解：（1）证明：当y＝0时，x﹣3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝4，
∴A（﹣1，0），B（4，0），
∴AB＝5．
当x＝0时，y＝﹣3，
∴C（0，﹣3）．
∵直线l∥x轴，
∴直线l的解析式为y＝﹣3．
∴x﹣3＝﹣3，
解得x3＝0，x4＝3，
∴D（3，﹣3），
∴CD＝3．
∵点Q（m，y2）在直线l上，
∴y2＝﹣3．
∵y1＝﹣，
∴y1＝，
∵m＜0，点P（m，y1）在该抛物线上，
∴，
解得m＝﹣2或m＝5（舍去）．
∵直线l∥x轴，
∴CQ＝2，
∴DQ＝5，
∴AB＝DQ，AB∥DQ，
∴四边形ABDQ是平行四边形．
（2）∵P，Q两点的横坐标都是m，
∴直线l∥x轴，
∴PQ＝|y1﹣y2|＝|m|，
设OE＝n，则EC＝3﹣n，
∴n（3﹣n）＝2，
解得n＝1或n＝2．
∵OE＜EC，
∴OE＝1，EC＝2．
∵直线l∥x轴，
∴∠OAE＝∠CQE，∠AOE＝∠QCE，
∴△AOE∽△QCE，
∴，
∴QC＝2，
∵m＞0，
∴m＝2，
∴PQ＝；
（3）假设存在点P，使得∠PCQ与∠BAC互为余角，即∠PCQ+∠BAC＝90°．
∵∠BAC+∠ACO＝90°，
∴∠PCQ＝∠ACO．
∵OA＝1，OC＝3，
∴tan∠PCQ＝tan∠ACO＝，
连接PQ．
∵直线l∥x轴，直线PQ∥y轴，
∴△PCQ是直角三角形，且∠CQP＝90°．
∴tan∠PCQ＝，
①当点P在直线l上方时，PQ＝y1﹣y2＝m，
（i）若点P在y轴左侧，则m＜0，
∴QC＝﹣m．
∴m＝×（﹣m），
解得m1＝0（舍去），m2＝（舍去）．
（ii）若点P在y轴右侧，则m＞0，
∴QC＝m．
∴m＝m，
解得m3＝0（舍去），m4＝．
∴y1﹣y2＝，
∴y1＝﹣，
∴；
②当点P在直线l下方时，m＞0，
∴QC＝m，PQ＝y2﹣y1＝﹣m，
∴﹣m＝m，
解得m5＝0（舍去），m6＝，
∴y2﹣y1＝，
∴y1＝﹣，
∴．
综上，存在点，，使得∠PCQ与∠BAC互为余角．
28．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，点C从点B出发沿射线BO运动，点D在射线BA上，且BD＝OC，以CD为直径作⊙Q，设点C（0，m）．
（1）求线段AB的长；
（2）当点Q在x轴上方且⊙Q与x轴相切时，求m的值；
（3）若直径CD将⊙Q分成的两个半圆弧中有一个半圆弧落在∠ABO的内部时（含角的边上），直接写出m的取值范围．
【分析】（1）对于y＝﹣x+3，令x＝0，则y＝3，令y＝0，则x＝4，即点A、B的坐标分别为：（4，0）、（0，3），即可求解；
（2）xD＝BDsin∠ABO，同理yD＝3﹣m，故点D（m，3﹣m），由中点公式得点Q的坐标为（m，）；当点Q在x轴上方且⊙Q与x轴相切时，yQ＝CD＝，即CD＝3，即可求解；
（3）由题意得：即只有CD下方的半圆可能在∠ABO的内部，则BE≤BD，BF≤BC；再分m≥0、m＜0两种情况分别求解即可．
【解答】解：（1）对于y＝﹣x+3，令x＝0，则y＝3，令y＝0，则x＝4，
即点A、B的坐标分别为：（4，0）、（0，3），
∴AB＝＝5；
（2）由点A、B的坐标知，OA＝4，OB＝3，
tan∠ABO＝＝，则sin∠ABO＝，cos∠ABO＝，
∵BD＝OC＝m，
∴xD＝BDsin∠ABO＝m×＝m，同理yD＝3﹣BDcos∠ABO＝3﹣m，
故点D（m，3﹣m）；
∵点Q是CD的中点，
∴由中点公式得，点Q的坐标为（m，），
∵当点Q在x轴上方且⊙Q与x轴相切时，yQ＝CD＝，
∴CD＝3，
故（m）2+（3﹣m﹣m）2＝9，
解得：m＝或0；
（3）∵AB与BC交圆Q在直径CD的上方，
∴CD上方的半圆与∠ABO必有第三个交点（设为E），即只有CD下方的半圆可能在∠ABO的内部，
∴∠OCD≥90°，∠ADC≥90°，
∴∠BCD≤90°，∠BDC≤90°，
连接CE、DF，
∵CD是直径，
∴DF⊥OB，CE⊥AB，
∴BE≤BD，BF≤BC，
在Rt△BCE中，BC＝3﹣m，BE＝BCcos∠OBC＝（3﹣m），
①当m≥0时，
BD＝m，BF＝BDcos∠OBC＝m，
∵BE≤BD，BF≤BC，
∴（3﹣m）≤m且m≤3﹣m，
解得：≤m≤；
②当m＜0时，
BD＝﹣m，BF＝﹣m，
∵BE≤BD，BF≤BC，
∴（3﹣m）≤﹣m且﹣m≤3﹣m，
解得：m≤﹣；
综上，≤m≤或m≤﹣．
相关试卷
2024年江苏省盐城市部分学校中考数学一模试卷： 这是一份2024年江苏省盐城市部分学校中考数学一模试卷，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年江苏省常州市溧阳市中考数学一模试卷（含解析）： 这是一份2023年江苏省常州市溧阳市中考数学一模试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年江苏省常州市武进区前黄实验学校中考数学一模试卷(含答案解析)： 这是一份2023年江苏省常州市武进区前黄实验学校中考数学一模试卷(含答案解析)，共28页。试卷主要包含了 −21的绝对值为，5×106B等内容，欢迎下载使用。
