2021年江苏省苏州市姑苏区部分学校中考数学一模试卷

这是一份2021年江苏省苏州市姑苏区部分学校中考数学一模试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年江苏省苏州市姑苏区部分学校中考数学一模试卷
一、选择题：（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，以下各题都有四个选项，其中只有一个是正确的，选出正确答案，并在答题卡上将该项涂黑。）
1．（3分）下列实数中，最大的数是（　　）
A．﹣1 B．0 C． D．
2．（3分）近年来，我国5G发展取得了明显的成效截止2021年2月底，全国建设开通5G基站18.3万个，数据18.3万用科学记数法可表示为（　　）
A．18.3×103 B．1.83×104 C．18.3×104 D．1.83×105
3．（3分）下列运算结果正确的是（　　）
A．（a2）3＝a5 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．a3+a3＝a6 D．a3÷a2＝a
4．（3分）某几何体的主视图和俯视图如图所示，则该几何体是（　　）

A．圆柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．三棱锥
5．（3分）有一组数据：2，1，2，5，6，8，下列结论错误的是（　　）
A．方差是5 B．平均数是4
C．中位数是3.5 D．众数是2
6．（3分）如图，等腰直角△ABC的两个顶点A，C分别落在直线a和直线b上，若直线a∥b，则∠1+∠2的度数为（　　）

A．30° B．45° C．60° D．90°
7．（3分）已知反比例函数y＝（k为常数）与正比例函数y＝x的图象有交点，k的取值范围是（　　）
A．k＞0 B．k＜0 C．k＞3 D．k＜3
8．（3分）如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，若∠ADC＝125°，则∠BAC的度数是（　　）

A．25° B．35° C．45° D．55°
9．（3分）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD恰好平分∠ACB．若AD＝2，BD＝3，则AC的长是（　　）

A． B．3 C．2 D．6
10．（3分）若关于x的二次函数y＝ax2+bx的图象经过定点（1，1），且当x＜﹣1时y随x的增大而减小，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分，把答案直接填在答题卡相对应的位置上）
11．（3分）计算﹣的结果是　 　．
12．（3分）在2020年年末我国完成了农村贫困人口全部脱贫．为了统计农村贫困人口的数量，国家统计局采取的调查方式是　 　（填“普查”或“抽样调查”）．
13．（3分）因式分解：a3﹣a＝　 　．
14．（3分）圆锥的底面圆半径为3cm，侧面积为15πcm2，则圆锥的母线长为　 　cm．
15．（3分）沧浪亭、狮子林、拙政园、留园是苏州四大名园，分别代表着宋、元、明、清四个朝代的艺术风格，小明想选择共中两个名园游玩，则选到拙政园和留园的概率是　 　．
16．（3分）如图，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tanA的值为　 　．

17．（3分）已知三个边长分别为2cm，3cm，5cm的正方形如图排列，则图中阴影部分的面积为　 　．

18．（3分）如图，在边长为1的等边△ABC中，AD是BC边上的高，P是AD上一动点，连接BP，则BP+AP的最小值是　 　．

三、解答题：（本大题共10小题，共76分.把解答过程写在答题卡相应的位置上解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）
19．（5分）计算：．
20．（5分）解不等式组：
21．（5分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝﹣1．
22．（8分）为积极响应教育部“停课不停学”的号召，某中学组织本校教师开展线上教学，为了解学生线上教学的学习效果，决定随机抽取九年级部分学生进行质量测评，以下是根据测试的数学成绩绘制的统计表和频数分布直方图：

成绩分
频数
频率
第1段
x＜60
2
0.04
第2段
60≤x＜70
6
0.12
第3段
70≤x＜80
9
b
第4段
80≤x＜90
a
0.36
第5段
90≤x≤100
15
0.30
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）a＝　 　，b＝　 　；
（2）此次抽样的样本容量是　 　，并补全频数分布直方图；
（3）某同学测试的数学成绩为76分，这次测试中，数学分数高于76分的至少有　 　人；
（4）已知该年级有800名学生参加测试，请估计该年级数学成绩为优秀（80分及以上）的人数．

23．（7分）如图，平行四边形OABC的顶点A在x轴正半轴上，OA＝3，反比例函数y＝在第一象限的图象经过点C，交AB于点D，点B坐标为（5，n）．
（1）求n的值和点C的坐标；
（2）若D是AB的中点，求OD的长．

24．（8分）小明从甲地匀速步行前往乙地，同时小红从乙地沿同一路线匀速步行前往甲地，两人之间的距离y（m）与步行时间x（min）之间的函数关系如图中折线所示．
（1）小明与小红出发　 　min相遇；
（2）在步行过程中，若小明先到达乙地．
①求小明和小红的步行速度；
②求出点C的坐标，并解释点C的实际意义．

25．（8分）如图1是某中型挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成，图2是共侧面结构示意图（MN是基座，AB是主臂，BC是伸展臂），若主臂AB＝4m，主臂伸展角∠MAB的范围是30°≤∠MAB≤60°，伸展臂伸展角∠ABC的范围是45°≤∠ABC≤105°．
（1）当∠MAB＝45°时，伸展臂BC恰好垂直并接触地面，求伸展臂BC的长；
（2）题（1）中BC长度不变，点A水平正前方5m处有一土石，该挖掘机能否实施有效挖掘？请说明理由．

26．（10分）如图①，周长为12的矩形ABCD内接于⊙O，设AB的长为x．
（1）当x＝2时，⊙O的半径为　 　；
（2）如图②，D是弧AC的中点，设阴影部分的面积为S，求S的值；
（3）如图③，连接AC并延长，试问在AC的延长线上是否存在一点E，连接DE，使得DE与⊙O相切，且CE＝AC，若存在，求出此时x的值；若不存在，请说明理由．

27．（10分）定义：如果三角形的三个内角中有一个角是另一个角的两倍，那么这样的三角形称为“智慧三角形”．
（1）【理解】若△ABC是“智慧三角形”，∠A＝120°，则∠B的度数是　 　；
（2）【证明】如图1，在△ABC中，AB＝AC，若AB2＝BD•BC．求证：△ACD是“智慧三角形”；
（3）【运用】如图2，△ABC是“智慧三角形”，∠C＝2∠B，若BC＝11，AC＝5，求AB的长．

28．（10分）已知点A（t，1）为函数y＝ax2+bx+4（a，b为常数，且a≠0）与y＝x图象的交点．
（1）求t；
（2）若函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴只有一个交点，求a，b；
（3）若1≤a≤2，设当≤x≤2时，函数y＝ax2+bx+4的最大值为m，最小值为n，求m﹣n的最小值．

2021年江苏省苏州市姑苏区部分学校中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，以下各题都有四个选项，其中只有一个是正确的，选出正确答案，并在答题卡上将该项涂黑。）
1．（3分）下列实数中，最大的数是（　　）
A．﹣1 B．0 C． D．
【分析】根据实数比较大小的原则正数大于零，零大于负数进行比较即可．
【解答】解：∵≈1.732，≈0.333…，
∴﹣1＜0＜＜，
∴最大的数是．
故选：C．
2．（3分）近年来，我国5G发展取得了明显的成效截止2021年2月底，全国建设开通5G基站18.3万个，数据18.3万用科学记数法可表示为（　　）
A．18.3×103 B．1.83×104 C．18.3×104 D．1.83×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：18.3万＝183000＝1.83×105．
故选：D．
3．（3分）下列运算结果正确的是（　　）
A．（a2）3＝a5 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．a3+a3＝a6 D．a3÷a2＝a
【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：原式＝a6，不符合题意；
B、原式＝a2+b2+2ab，不符合题意；
C、原式＝2a3，不符合题意；
D、原式＝a，符合题意．
故选：D．
4．（3分）某几何体的主视图和俯视图如图所示，则该几何体是（　　）

A．圆柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．三棱锥
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．依题意，该几何体的主视图为三角形，俯视图为圆及圆心，易判断该几何体是一个圆锥．
【解答】解：该几何体的主视图为三角形，俯视图为圆及圆心，因此这个几何体是圆锥．
故选：B．
5．（3分）有一组数据：2，1，2，5，6，8，下列结论错误的是（　　）
A．方差是5 B．平均数是4
C．中位数是3.5 D．众数是2
【分析】根据方差、平均数、中位数、众数的概念求解．
【解答】解：这组数据的平均数是：（2+1+2+5+6+8）＝4，
方差是：×[2×（2﹣4）2+（1﹣4）2+（5﹣4）2+（6﹣4）2+（8﹣4）2]＝；
把这些数从小到大排列为：1，2，2，5，6，8，中位数是＝3.5；
2出现了2次，出现的次数最多，则众数是2．
结论错误的是A．
故选：A．
6．（3分）如图，等腰直角△ABC的两个顶点A，C分别落在直线a和直线b上，若直线a∥b，则∠1+∠2的度数为（　　）

A．30° B．45° C．60° D．90°
【分析】根据a∥b，得到∠1+∠3+∠4+∠2＝180°，将∠3＝45°，∠4＝90°代入即可求出结论．
【解答】解：如图，∵a∥b，
∴∠1+∠3+∠4+∠2＝180°，
∵∠3＝45°，∠4＝90°，
∴∠1+∠2＝45°，
故选：B．

7．（3分）已知反比例函数y＝（k为常数）与正比例函数y＝x的图象有交点，k的取值范围是（　　）
A．k＞0 B．k＜0 C．k＞3 D．k＜3
【分析】先根据正比例函数y＝x的解析式判断出函数图象所经过的象限，再根据反比例函数的性质判断出k的取值范围．
【解答】解：由正比例函数y＝x可知直线过一、三象限，
∵反比例函数y＝（k为常数）与正比例函数y＝x的图象有交点，
∴反比例函数y＝（k为常数）位于一、三象限，
∴k﹣3＞0，
∴k＞3，
故选：C．
8．（3分）如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，若∠ADC＝125°，则∠BAC的度数是（　　）

A．25° B．35° C．45° D．55°
【分析】根据同弧所对圆周角和圆心角的关系即可求出∠AOC的度数，再根据△AOC为等腰三角形即可求出∠BAC的度数．
【解答】解：连接OC，如下图所示：

∵∠ADC＝125°对应优弧，
∴∠AOC＝360°﹣2×125°＝110°，
而△AOC为等腰三角形，
∴∠BAC+∠OCA＝180°﹣110°＝70°，
∴∠BAC＝35°，
故A、C、D错误，
故选：B．
9．（3分）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD恰好平分∠ACB．若AD＝2，BD＝3，则AC的长是（　　）

A． B．3 C．2 D．6
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到CD＝BD＝3，证明△ACD∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算，得到答案．
【解答】解：∵BC的垂直平分线MN交AB于点D，
∴CD＝BD＝3，
∴∠B＝∠DCB，AB＝AD+BD＝5，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠DCB＝∠B，
∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴＝，即＝，
解得，AC＝，
故选：A．
10．（3分）若关于x的二次函数y＝ax2+bx的图象经过定点（1，1），且当x＜﹣1时y随x的增大而减小，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据题意开口向上，且对称轴﹣≥﹣1，a+b＝1，即可得到﹣≥﹣1，从而得到a≥．
【解答】解：由二次函数y＝ax2+bx可知抛物线过原点，
∵抛物线定点（1，1），且当x＜﹣1时y随x的增大而减小，
∴开口向上，且对称轴﹣≥﹣1，a+b＝1，
∴a＞0，b＝1﹣a，
∴﹣≥﹣1，
∴a≥，
故选：D．

二、填空题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分，把答案直接填在答题卡相对应的位置上）
11．（3分）计算﹣的结果是　　．
【分析】先通分，再相减即可求解．
【解答】解：＝﹣＝．
故答案为：．
12．（3分）在2020年年末我国完成了农村贫困人口全部脱贫．为了统计农村贫困人口的数量，国家统计局采取的调查方式是　普查　（填“普查”或“抽样调查”）．
【分析】根据全面调查和抽样调查的概念判断即可．
【解答】解：为了得到较为全面、可靠的信息，
所以国家统计局采取的调查方式是普查，
故答案为：普查．
13．（3分）因式分解：a3﹣a＝　a（a+1）（a﹣1）　．
【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝a（a2﹣1）＝a（a+1）（a﹣1），
故答案为：a（a+1）（a﹣1）
14．（3分）圆锥的底面圆半径为3cm，侧面积为15πcm2，则圆锥的母线长为　5　cm．
【分析】设圆锥的母线长为lcm，根据圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式得到•2π•3•l＝15π，然后解方程即可．
【解答】解：设圆锥的母线长为lcm，
根据题意得•2π•3•l＝15π，解得l＝5，
所以圆锥的母线长为5cm．
故答案为5．
15．（3分）沧浪亭、狮子林、拙政园、留园是苏州四大名园，分别代表着宋、元、明、清四个朝代的艺术风格，小明想选择共中两个名园游玩，则选到拙政园和留园的概率是　　．
【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：根据题意画图如下：

共有12种等可能的情况数，其中选到拙政园和留园的有2种，
则选到拙政园和留园的概率是＝．
故答案为：．
16．（3分）如图，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tanA的值为　2　．

【分析】利用勾股定理根据格点先计算AB、AC，利用三角形的面积计算CD的值，最后计算∠A的正切值．
【解答】解：由格点知：AB＝＝3，
AC＝＝．
∵S△ABC＝•BC•AE
＝×4×3
＝6，
S△ABC＝•AB•CD
＝×3×CD
＝，
∴＝6，
∴CD＝2．
∴AD＝
＝．
∴tanA＝＝2．

17．（3分）已知三个边长分别为2cm，3cm，5cm的正方形如图排列，则图中阴影部分的面积为　3.75cm2　．

【分析】根据相似三角形的性质，利用相似比求出梯形的上底和下底，用面积公式计算即可．
【解答】解：对角线所分得的三个三角形相似，
根据相似的性质可知＝，
解得x＝2.5，
即阴影梯形的上底就是3﹣2.5＝0.5（cm）．
再根据相似的性质可知＝，
解得：y＝1，
所以梯形的下底就是3﹣1＝2（cm），
所以阴影梯形的面积是（2+0.5）×3÷2＝3.75（cm2）．
故答案为：3.75cm2．

18．（3分）如图，在边长为1的等边△ABC中，AD是BC边上的高，P是AD上一动点，连接BP，则BP+AP的最小值是　　．

【分析】过B作BH⊥AC于H，交AD于P'，过P作PQ⊥AC于Q，首先证明PQ＝AP，BP+AP最小即是BP+PQ最小，此时B、P、Q共线，即P与P'重合，Q与H重合，BP+AP的最小值即是BH的长度，再求出BH即可．
【解答】解：过B作BH⊥AC于H，交AD于P'，过P作PQ⊥AC于Q，如图：

∵等边△ABC，AD是BC边上的高，
∴∠DAC＝30°，
Rt△APQ中，PQ＝AP•sin∠DAC＝AP•sin30°＝AP，
BP+AP最小即是BP+PQ最小，此时B、P、Q共线，即P与P'重合，Q与H重合，BP+AP的最小值即是BH的长度，
∵边长为1的等边△ABC，BH⊥AC，
∴∠BHC＝90°，∠C＝60°，BC＝1，
∴BH＝BC•sinC＝1×sin60°＝，
∴BP+AP的最小值是，
故答案为：．
三、解答题：（本大题共10小题，共76分.把解答过程写在答题卡相应的位置上解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）
19．（5分）计算：．
【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质、二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝1﹣1+2
＝2．
20．（5分）解不等式组：
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，公共部分就是不等式组的解集．
【解答】解：
解不等式①得：x≥﹣2
解不等式②得：x＜1
所以不等式组的解集为：﹣2≤x＜1
21．（5分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝﹣1．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝•
＝，
当x＝﹣1时，原式＝＝．
22．（8分）为积极响应教育部“停课不停学”的号召，某中学组织本校教师开展线上教学，为了解学生线上教学的学习效果，决定随机抽取九年级部分学生进行质量测评，以下是根据测试的数学成绩绘制的统计表和频数分布直方图：

成绩分
频数
频率
第1段
x＜60
2
0.04
第2段
60≤x＜70
6
0.12
第3段
70≤x＜80
9
b
第4段
80≤x＜90
a
0.36
第5段
90≤x≤100
15
0.30
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）a＝　18　，b＝　0.18　；
（2）此次抽样的样本容量是　50　，并补全频数分布直方图；
（3）某同学测试的数学成绩为76分，这次测试中，数学分数高于76分的至少有　33　人；
（4）已知该年级有800名学生参加测试，请估计该年级数学成绩为优秀（80分及以上）的人数．

【分析】（1）根据频数分布表中的数据，可以计算出本次调查的人数，然后即可计算出a、b的值；
（2）根据频数分布表中的数据，可以得到样本容量，再根据频数分布直方图中的数据，可以计算出80≤x＜90这一段的频数，然后即可将频数分布直方图补充完整；
（3）根据频数分布直方图中的数据，可以得到数学分数高于76分的至少为多少人；
（4）根据直方图中的数据，可以计算出该年级数学成绩为优秀（80分及以上）的人数．
【解答】解：（1）本次调查的人数为：2÷0.04＝50，
a＝50×0.36＝18，b＝9÷50＝0.18，
故答案为：18，0.18；
（2）此次抽样的样本容量是2÷0.04＝50，
故答案为：50，
由（1）知，a＝18，
补全的频数分布直方图如图所示：
；
（3）这次测试中，数学分数高于76分的至少有：18+15＝33（人），
故答案为：33；
（4）800×（0.36+0.30）＝528（人），
即估计该年级数学成绩为优秀（80分及以上）的有528人．
23．（7分）如图，平行四边形OABC的顶点A在x轴正半轴上，OA＝3，反比例函数y＝在第一象限的图象经过点C，交AB于点D，点B坐标为（5，n）．
（1）求n的值和点C的坐标；
（2）若D是AB的中点，求OD的长．

【分析】（1）根据平行四边形的性质BC＝OA＝3，即可得到C（2，n），代入y＝即可求得n的值，从而求得C的坐标；
（2）根据A、B的坐标求得D的坐标，然后根据勾股定理求解求得．
【解答】解：（1）∵四边形OABC是平行四边形，
∴BC＝OA＝3，
∵点B坐标为（5，n），
∴C（2，n），
∵反比例函数y＝在第一象限的图象经过点C，
∴n＝＝2，
∴C（2，2）；
（2）∵n＝2，
∴B（5，2），
∵OA＝3，
∴A（3，0），
∵D是AB的中点，
∴D（4，1），
∴OD＝＝．
24．（8分）小明从甲地匀速步行前往乙地，同时小红从乙地沿同一路线匀速步行前往甲地，两人之间的距离y（m）与步行时间x（min）之间的函数关系如图中折线所示．
（1）小明与小红出发　30　min相遇；
（2）在步行过程中，若小明先到达乙地．
①求小明和小红的步行速度；
②求出点C的坐标，并解释点C的实际意义．

【分析】（1）直接从图象获取信息即可；
（2）①设小红步行的速度为V1（m/min），小明步行的速度为V2（m/min），且V2＞V1，根据图象和题意列出方程组，求解即可；
②设点C的坐标为（x，y），根据题意列出方程解出x，再根据图象求出y即可，再结合两人的运动过程解释点C的意义即可．
【解答】解：（1）由图象可得小明与小红出发30min相遇，
故答案为：30；
（2）①设小红步行的速度为V1（m/min），小明步行的速度为V2（m/min），且V2＞V1，
则，
解得，
故小红步行的速度为80m/min，小明步行的速度为100m/min；
②设点C的坐标为（x，y），
则可得方程（100+80）（x﹣30）+80（67.5﹣x）＝5400，
解得x＝54，
y＝（100+80）（54﹣30）＝4320m，
故点C表示：两人出发54min时，小明先到达乙地，此时两人相距4320m．
25．（8分）如图1是某中型挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成，图2是共侧面结构示意图（MN是基座，AB是主臂，BC是伸展臂），若主臂AB＝4m，主臂伸展角∠MAB的范围是30°≤∠MAB≤60°，伸展臂伸展角∠ABC的范围是45°≤∠ABC≤105°．
（1）当∠MAB＝45°时，伸展臂BC恰好垂直并接触地面，求伸展臂BC的长；
（2）题（1）中BC长度不变，点A水平正前方5m处有一土石，该挖掘机能否实施有效挖掘？请说明理由．

【分析】（1）根据题意画出图形，可得△ABC是等腰直角三角形，即可得出BC的长；
（2）根据主臂伸展角∠MAB和伸展臂伸展角∠ABC的范围求出伸展到最远时AC的长度即可得出结果．
【解答】解：（1）如图：

由题意得：∠MAB＝45°，∠C＝90°，AB＝4m，
∴BC＝AB•sin45°＝4×＝2（m），
答：伸展臂BC的长为2m；
（2）该挖掘机能实施有效挖掘，理由如下：
如图：

由题意得，∠MAB＝30°，∠ABC＝105°时，伸展臂伸展的最远，过点B作BD⊥MN交NM的延长线于D，
在Rt△ABD中，∠MAB＝30°，AB＝4m，
∴AD＝AB•cos30°＝4×＝2（m），
∵∠MAB＝30°，BD⊥MN，
∴∠ABD＝60°，
∵∠ABC＝105°，
∴∠CBD＝45°，
在Rt△CBD中，∠CBD＝30°，BC＝2m，
∴CD＝BC•cos45°＝2×＝2（m），
∴AC＝CD+AD＝2+2＞5，
∴该挖掘机能实施有效挖掘．
26．（10分）如图①，周长为12的矩形ABCD内接于⊙O，设AB的长为x．
（1）当x＝2时，⊙O的半径为　　；
（2）如图②，D是弧AC的中点，设阴影部分的面积为S，求S的值；
（3）如图③，连接AC并延长，试问在AC的延长线上是否存在一点E，连接DE，使得DE与⊙O相切，且CE＝AC，若存在，求出此时x的值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）如图①，连接BD，根据四边形ABCD是矩形，可得BD是⊙O的直径，利用勾股定理即可求得答案；
（2）如图②，连接AC，由D是弧AC的中点，可得AD＝CD，可证得四边形ABCD是正方形，根据S阴影＝S⊙O﹣S△ACD，求出答案即可；
（3）如图③，连接OD，由DE与⊙O相切，CE＝AC，可得出△OCD是等边三角形，利用三角函数定义建立方程求解即可．
【解答】解：（1）如图①，连接BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∴BD是⊙O的直径，
当x＝2时，AB＝2，AD＝4，
∴BD＝＝＝2，
∴⊙O半径OB＝BD＝，
故答案为：；
（2）如图②，连接AC，
∵D是弧AC的中点，
∴＝，
∴AD＝CD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD是正方形，
∵正方形ABCD周长为12，
∴正方形ABCD边长为3，即AD＝CD＝3，
∴AC＝＝＝3，
∴OA＝AC＝，
∴S阴影＝S⊙O﹣S△ACD＝×π×（）2﹣×32＝π﹣；
（3）存在，x＝3﹣3..理由如下：
如图③，连接OD，
∵DE与⊙O相切，
∴∠ODE＝90°，
∵CE＝AC，OC＝AC，
∴CE＝OC，
∴CD＝OC＝OD，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠ACD＝60°，
在Rt△ACD中，＝tan∠ACD＝tan60°＝，
∴AD＝CD，即6﹣x＝x，
解得：x＝3﹣3．



27．（10分）定义：如果三角形的三个内角中有一个角是另一个角的两倍，那么这样的三角形称为“智慧三角形”．
（1）【理解】若△ABC是“智慧三角形”，∠A＝120°，则∠B的度数是　40°或20°　；
（2）【证明】如图1，在△ABC中，AB＝AC，若AB2＝BD•BC．求证：△ACD是“智慧三角形”；
（3）【运用】如图2，△ABC是“智慧三角形”，∠C＝2∠B，若BC＝11，AC＝5，求AB的长．

【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠B+∠C＝60°，分∠B＝2∠C、∠C＝2∠B两种情况计算；
（2）根据两边对应成比例、夹角相等的三角形相似得到△ABD∽△CBA，根据相似三角形的性质得到∠BAD＝∠C，根据“智慧三角形”的定义证明结论；
（3）作AB的垂直平分线交BC于D，连接DA，作AE⊥BC于E，根据等腰三角形的性质求出DE，根据勾股定理求出AE，再根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】（1）解：在△ABC中，∠A＝120°，
∴∠B+∠C＝60°，
∵△ABC是“智慧三角形”，
∴∠B＝2∠C或∠C＝2∠B，
当∠B＝2∠C时，∠B＝40°，
当∠C＝2∠B时，∠B＝20°，
∴∠B的度数是40°或20°，
故答案为：40°或20°；
（2）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵AB2＝BD•BC，
∴＝，
又∵∠B＝∠B，
∴△ABD∽△CBA，
∴∠BAD＝∠C，
∴∠BAD＝∠B，
∴∠ADC＝2∠B＝2∠C，
∴△ACD是“智慧三角形”；
（3）解：作AB的垂直平分线交BC于D，连接DA，作AE⊥BC于E，
则DA＝DB，
∴∠DAB＝∠B，
∴∠ADC＝∠DAB+∠B＝2∠B，
∵∠C＝2∠B，
∴∠ADC＝∠C，
∴AD＝AC＝5，
∴BD＝5，
∵BC＝11，
∴DC＝11﹣5＝6，
∵AE⊥BC，
∴DE＝EC＝DC＝3，
∴BE＝BD+DE＝8，
在Rt△ADE中，AE＝＝4，
∴AB＝＝＝4．

28．（10分）已知点A（t，1）为函数y＝ax2+bx+4（a，b为常数，且a≠0）与y＝x图象的交点．
（1）求t；
（2）若函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴只有一个交点，求a，b；
（3）若1≤a≤2，设当≤x≤2时，函数y＝ax2+bx+4的最大值为m，最小值为n，求m﹣n的最小值．
【分析】（1）把A（t，1）代入y＝x即可得到结论；
（2）根据题意得方程组，解方程组即可得到结论；
（3）把A（1，1）代入y＝ax2+bx+4得，b＝﹣3﹣a，得到y＝ax2﹣（a+3）x+4的对称轴为直线x＝，根据1≤a≤2，得到对称轴的取值范围≤x≤2，当x＝时，得到m＝﹣+，当x＝时，得到n＝﹣﹣+，即可得到结论．
【解答】解：（1）把A（t，1）代入y＝x得t＝1；
（2）∵y＝ax2+bx+4的图象与x轴只有一个交点，
∴，
∴或；
（3）把A（1，1）代入y＝ax2+bx+4得，b＝﹣3﹣a，
∴y＝ax2﹣（a+3）x+4＝a（x﹣）2﹣﹣+，
∴对称轴为直线x＝，
∵1≤a≤2，
∴≤x＝≤2，
∵≤x≤2，
∴当x＝时，y＝ax2+bx+4的最大值为m＝﹣+，
当x＝时，n＝﹣﹣+，
∴m﹣n＝，
∵1≤a≤2，
∴当a＝2时，m﹣n的值最小，
即m﹣n的最小值．