专题47 正方形与45°角的基本图问题-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练

专题47  正方形与45°角的基本图问题

【规律总结】

【典例分析】

例1．（2020·深圳亚迪学校九年级期中）已知在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC与CD上的点，且，AE与AF分别交对角线BD于点M、N．则下列结论：①；②；③；④正确的有（    ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

【答案】B

【分析】

（1）如图，根据旋转的性质得到B=DF，A=AF，∠BA=∠DAF，得到∠EA=∠EAF=45°，根据全等三角形的性质得到E=EF，∠AEB=∠AEF，于是得到BE+B=BE+DF=EF，故①正确；证明△得结合∠可证明△，故可判断②正确；把△AND按顺时针绕点A旋转90°，可证明是直角三角形，再证明△得，再根据勾股定理可证明 ，从而可判断③正确；证明△得，故可得，从而可判断④错误

【详解】

解：①如图，把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△AB，

由旋转的性质得，B=DF，A=AF，∠BA=∠DAF，
∵∠EAF=45°，
∴∠EA=∠BA+∠BAE=∠DAF+∠BAE=90°-∠EAF=45°，
∴∠EA=∠EAF=45°，
在△AEF和△AE中

，
∴△AEF≌△AE（SAS），
∴E=EF，
∴∠AEB=∠AEF，
∴BE+B=BE+DF=EF，
故①正确；

②∵，

∴△

∴

又∵∠

∴△

故②正确

③把△AND按顺时针绕点A旋转90°，

∴，

∵∠ABD=45°

∴∠

∴是直角三角形，

同理可证：△，

∴

∴

故③正确；

④连接AC，

∵∠

∴∠

∵∠

∴△

∴

∴．

故④错误，

所以，正确的结论有3个，

故选：B．

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟记各性质并利用旋转变换作辅助线构造成全等三角形是解题的关键．

例2．（2019·武汉七一华源中学八年级月考）如图，已知E、F是边长为1的正方形ABCD内部两点，且满足∠EAF＝∠ECF＝45°，若△AEF的面积为，则△BEC与△DFC的面积之和为________．

【答案】

【分析】

将△绕点C逆时针旋转90°至CD与CB重合，得△，且△，将△绕点A顺时针旋转90°至AD与AB重合，得△，且△，再证明△△△，根据求解即可．

【详解】

解：将△绕点C逆时针旋转90°至CD与CB重合，得△，且△，将△绕点A顺时针旋转90°至AD与AB重合，得△，且△，

∴

连接

∵∠

∴∠

∴∠

即：∠

∵

∴△

∴

同理可得：△

∴

∴

∵

∴△

∴

故答案是：

【点睛】

本题考查了运用旋转的性质求解，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握相关性质是解答本题的关键．

例3．（2019·四川北师大锦江区海威教育培训中心九年级期中）已知：四边形为正方形，是等腰，．

（1）如图：当绕点旋转时，若边、分别与、相交于点、，连接，试证明：．

（2）如图，当绕点旋转时，若边、分别与、的延长线相交于点、，连接．

①试写出此时三线段、、的数量关系并加以证明．

②若，，求：正方形的边长以及中边上的高．

【答案】（1）证明见解析；（2）①，证明见解析；②

【分析】

（1）延长CB到G，使BG=DF，连接AG，根据正方形性质得出AD=AB，∠D=∠ABG，根据全等三角形的判定推出即可；
（2）①EF=BE-DF，理由是：在BC上取BG=DF，连接AG，证△ABG≌△ADF，△FAE≌△EAG即可；
②过F作FH⊥AE于H，设正方形ABCD的边长是x，则BC=CD=x，EF=GE=BC-BG+CE=x+4，在Rt△FCE中，由勾股定理得出方程（x+4）2=（x+2）2+62，求出x后再求出FH即可．

【详解】

（1）证明：如图1，延长CB到G，使BG=DF，连接AG，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=∠ABC=∠DAB=∠ABG=90°，AD=AB，
在△ADF和△ABG中，

，
∴△ADF≌△ABG（SAS），
∴AG=AF，∠DAF=∠BAG，
∵∠EAF=45°，
∴∠EAG=∠EAB+∠BAG=∠EAB+∠DAF=45°，
∴∠EAF=∠EAG，

∵AE=AE，

∴△EAF≌△EAG，

∴EF=EG=EB+BG=EB+DF．

（2）①三线段、、的数量关系是：，理由如下:

如图2，在上取一点，使

连接，同(1)可证，

∴AG=AF，∠DAF=∠BAG，

∵是等腰直角三角形，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

在和中，

∴，

∴，

∵，

∴．

②如图2，过F作FH⊥AE于H，

设正方形ABCD的边长是x，则BC=CD=x，

∵CE=6，DF=BG=2，
∴EF=GE=CG+CE=BC-BG+CE=x-2+6=x+4，
在Rt△FCE中，由勾股定理得：EF2=FC2+CE2，
∴（x+4）2=（x+2）2+62，
解得：x=6，
∴AG=AF=，
∵∠FAM=45°，∴FH=AF==，，
即△AEF中AE边上的高为．

【点睛】

本题考查旋转综合题、正方形的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．

【好题演练】

一、单选题

1．（2020·四川宜宾市·八年级期末）如图，正方形和正方形的顶点在同一直线上，且，给出下列结论：，，的面积，其中正确的个数为（    ）

A．个 B．个 C．个 D．个

2．（2020·广东深圳市·九年级一模）如图，正方形ABCD中，E是BC延长线上一点，在AB上取一点F，使点B关于直线EF的对称点G落在AD上，连接EG交CD于点H，连接BH交EF于点M，连接CM．则下列结论，其中正确的是（　　）

①∠1＝∠2；

②∠3＝∠4；

③GD＝CM；

④若AG＝1，GD＝2，则BM＝．

A．①②③④ B．①② C．③④ D．①②④

二、填空题

3．（2020·河北石家庄市·九年级其他模拟）如图，已知在中，，在内作第一个内接正方形，则第1个内接正方形的边长__________；然后取的中点，连接、，在内作第二个内接正方形；再取线段的中点，在内作第三个内接正方形…依次进行下去，则第2020个内接正方形的边长为__________．

4．（2020·长沙市长郡双语实验中学九年级一模）如图，边长一定的正方形ABCD，Q为CD上一个动点，AQ交BD于点M，过M作MN⊥AQ交BC于点N，作NP⊥BD于点P，连接NQ，下列结论：①AM＝MN；②MP＝BD；③BN＋DQ＝NQ；④为定值．一定成立的是_____．

三、解答题

5．（2020·四川成都市·八年级期末）分层探究

（1）问题提出：如图1，点E、F别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，连接EF．求证：EF＝BE+DF，解题思路：把△ABE绕点A逆时针旋转　   　度至△ADG，可使AB与AD重合．由∠FDG＝ADG+∠ADC＝180°，则知F、D、G三点共线，从而可证△AFG≌　   　（　   　），从而得EF＝BE+DF，阅读以上内容并填空．

（2）类比引申：如图2，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°．探究：若∠B、∠D都不是直角，当∠B、∠D满足什么数量关系时，仍有EF＝BE+DF？

（3）联想拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E均在边BC上，并且∠DAE＝45°．猜想BD、CE、DE的数量关系，并给出理由．

6．（2020·全国九年级专题练习）（1）如图，在正方形 ABCD 中，∠FAG=45°，请直接写出 DG，BF 与FG 的数量关系，不需要证明．

（2）如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，E，F 分别是 BC 上两点，∠EAF=45°，

①写出 BE，CF，EF 之间的数量关系，并证明．

②若将（2）中的△AEF 绕点 A 旋转至如图所示的位置，上述结论是否仍然成立？ 若不成立，直接写出新的结论 ，无需证明．

（3）如图，△AEF 中∠EAF=45°，AG⊥EF 于 G，且GF=2，GE=3，则 =     ．