专题52 四边形面积有关的最值问题-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练

专题52  四边形面积有关的最值问题

【规律总结】

特殊四边形用公式，普通四边形转化成三角形球面积（铅垂法）；结合二次函数；

【典例分析】

例1．（2020·湖北武汉市·九年级期中）如图，四边形的两条对角线所成的锐角为，则四边形的面积最大值为_______________________．

【答案】

【分析】

根据四边形面积公式，S＝AC×BD×sin60°，根据sin60°＝得出S＝x（10−x）×，再利用二次函数最值求出即可．

【详解】

解：∵AC与BD所成的锐角为60°，

∴根据四边形面积公式，得四边形ABCD的面积S＝AC×BD×sin60°，

设AC＝x，则BD＝10−x，

所以S＝x（10−x）×＝（x−5）2＋，

所以当x＝5，S有最大值．

故答案为：．

【点睛】

此题主要考查了四边形面积公式以及二次函数最值，利用二次函数最值求出四边形的面积最大值是解决问题的关键．

例2．（2018·山东济南市·九年级一模）（探索发现）如图①，是一张直角三角形纸片，，小明想从中剪出一个以为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线剪下时，矩形的面积最大，经证明发现：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为__________．

（拓展应用）

如图②，在中，，边上的高，矩形的顶点分别在边上，顶点在边上，则矩形面积的最大值为__________．（用含的代数式表示）

（灵活应用）

如图③，有一块“缺角矩形”，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积．

（实际应用）

如图④，现有一块四边形的木板余料，经测量，且，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点在边上且面积最大的矩形，求该矩形的面积．

【答案】【探索发现】；【拓展应用】；【灵活应用】720；【实际应用】

【分析】

探索发现：由中位线知，，由可得；

拓展应用：由知，得，设，表示出矩形PQMN的面积，求出最值即可；

灵活应用：延长BA、DE交于点F，延长BC、ED交于点G，延长AE、CD交于点H，取BF的中点I，FG的中点K，证明和，得AF=DH=16，CG=HE=20，再利用【探索发现】的结论即可求出结果；

实际应用：延长BA、CD交于点E，过点E作于点H，根据，求出BH和EH的长，再证明中位线PQ的两端点在线段AB、CD上，即可用【拓展应用】的结论算出结果．

【详解】

探索发现：

∵EF、ED是的中位线，

∴，，，，

∵，

∴四边形FEDB是矩形，

∴，

故答案是：；

拓展应用：

∵，

∴，

∴，即，

∴，

设，

∴，

∴当时，有最大值，最大值是，

故答案是：；

灵活应用：

如图，延长BA、DE交于点F，延长BC、ED交于点G，延长AE、CD交于点H，取BF的中点I，FG的中点K，

由题意知四边形ABCH是矩形，

∵，，，，

∴，，

∴，，

在和中，

，

∴，

∴，

同理，

∴，

∴，

∵，

∴中位线IK的两端点在线段AB和DE上，过点K作于点L，

由【探索发现】知矩形的最大面积为；

实际应用：

如图，延长BA、CD交于点E，过点E作于点H，

∵，

∴，

∴，

∵，且，

∴，

∵，

∴，

在中，，

∵，

∴，

∴BE的中点Q在线段AB上，

∵，

∴，

∴CE的中点P在线段CD上，

∴中位线PQ的两端点在线段AB、CD上，由【拓展应用】知，矩形PQMN的最大面积为．

【点睛】

本题考查四边形的综合问题，解题的关键是熟练掌握中位线定理，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质．

【好题演练】

一、填空题

1．（2019·陕西九年级一模）如图，以为直径的的圆心到直线的距离，的半径,，直线不垂直于直线，过点、分别作直线的垂线，垂足分别为点、，则四边形的面积的最大值为___________.

2．（2020·贵州遵义市·九年级三模）如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，已知D是⊙O上一动点，连接AD、CD，若圆的半径r＝2，则以A、B、C、D为顶点的四边形的最大面积为_____．

3．（2020·江苏宿迁市·九年级其他模拟）如图，的半径为1，点为外一点，过点作的两条切线，切点分别为点和点，则四边形面积的最小值是___________．

二、解答题

4．（2019·陕西西安市·交大附中分校九年级期中）[问题提出]

（1）如图①，在中，为上一点，则面积的最大值是  

（2）如图②，已知矩形的周长为，求矩形面积的最大值

[实际应用]

（3）如图③，现有一块四边形的木板余料，经测量且木匠师傅从这块余料中裁出了顶点在边上且面积最大的矩形求该矩形的面积

5．（2020·内蒙古赤峰市·中考真题）如图，矩形ABCD中，点P为对角线AC所在直线上的一个动点，连接 PD，过点P作PE⊥PD，交直线AB于点E，过点P作MN⊥AB，交直线CD于点M，交直线AB于点N.，AD =4.

（1）如图1，①当点P在线段AC上时，∠PDM和∠EPN的数关系为:∠PDM___ ∠EPN；

②的值是            ；

（2）如图2，当点P在CA延长线上时，（1）中的结论②是否成立?若成立，请证明；若不成立，说明理由；

（3）如图3，以线段PD ，PE为邻边作矩形PEFD.设PM的长为x，矩形PEFD的面积为y.请直接写出y与x之间的函数关系式及y的最小值.

6．（2020·甘肃陇南市·九年级一模）如图1，抛物线交轴于点和点，交轴于点．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）求一次函数（直线）的表达式和的面积；

（3）如图2，设点是线段上的一动点，作轴，交抛物线于点，求四边形最大面积时点的坐标和最大面积．

7．（2020·广东深圳市·蛇口育才二中九年级一模）如图，点A、B分别在x轴和y轴的正半轴上，以线段AB为边在第一象限作等边△ABC，，且CA∥y轴．

（1）若点C在反比例函数的图象上，求该反比例函数的解析式；

（2）在（1）中的反比例函数图象上是否存在点N，使四边形ABCN是菱形，若存在请求出点N坐标，若不存在，请说明理由．

（3）点P在第一象限的反比例函数图象上，当四边形OAPB的面积最小时，求出P点坐标．