专题64 动态几何类问题（2）-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练

专题64  动态几何类问题（2）

【规律总结】

动态几何问题的解题技巧

解这类问题的基本策略是：

1.动中觅静：这里的“静”就是问题中的不变量、不变关系，动中觅静就是在运动变化中探索问题中的不变性•• • •

2.动静互化：“静”只是“动"的瞬间，是运动的一种特殊形式，动静互化就是抓住“静”的瞬间，使一般情形转化为特殊问题，从而找到“动”与“静"的关系. 

3.以动制动：以动制动就是建立图形中两个变量的函数关系，通过研究运动函数，用联系发展的观点來研究变动元素的关系• 总之，解决动态儿何问题的关键是要善于运用运动与变化的眼光去观察和研究图形, 把握图形运动与变化的全过程，抓住变化中的不变，以不变应万变。这类问题与函数相结合时，注意使用分类讨论的思想，运用方程的思想.数形结合思想.转化的思想等。

【典例分析】

例1．（2021·上海九年级专题练习）如图，点、以及直线在的正方形网格中，每个小正方形的边长为单位1．在网格中建立直角坐标系后，、两点的坐标分别、，在直线上找一点使得最小，则点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据题意建立直角坐标系，作B关于l的对称点C，连接AC，则AC与l的交点即为所求点P，接着写出直线AC与直线l的函数解析式，联立得到关于P点坐标x、y的二元一次方程组，解方程组即可得到P点坐标．　

【详解】

解：如图，由题意可建立直角坐标系，作B关于l的对称点C，连接AC，则AC与l的交点即为所求点P，

由图可写出l的函数解析式为y=-1，

设直线AC的函数为y=kx+b，则把A、C坐标代入可得：，

解之可得：k=-1，b=1，

∴直线AC的函数为y=-x+1，

∴有，解之得：x=2，y=-1，

∴P点坐标为（2，-1），

故选B ．

【点睛】

本题考查一次函数的应用，熟练求解一次函数的解析式并结合二元一次方程组求直线的交点是解题关键．

例2．（2020·杭州市建兰中学九年级月考）如图，中，，将绕点C顺时针旋转得到，P为线段上的动点，以点P为圆心，长为半径作，当与的边相切时，的半径为__________．

【答案】或

【分析】

分两种情形分别求解：当⊙P与直线AC相切于点Q时；当⊙P与AB相切于点T时．

【详解】

，

设，则，

在中，由勾股定理：，

即：，

，

，

．

①若与相切，如图，设切点为M，连接，

则，且，

，

，

由旋转性质可知，

，

，

设，则，

又，

即：，

解得，

．

②若与相切，如图，延长交于点N，

，

，即N为与切点，

又，

，

即，

．

故答案为：或．

【点睛】

本题考查切线的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．

例3．（2021·重庆北碚区·七年级期末）已知OC是∠AOB内部的一条射线，M，N分别为OA，OC上的点，线段OM，ON同时分别以20°/s，10°/s的速度绕点O逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒．

（1）如图①，若∠AOB=120°，当OM、ON逆时针旋转到OM'、ON'处．

①若OM，ON旋转时间t=3时，则∠BON'+∠COM'=______；

②若OM'平分∠AOC，ON'平分∠BOC，求∠M'ON'的值；

（2）如图②，若∠AOB=3∠BOC，OM，ON分别在∠AOC，∠BOC内部旋转时，请猜想∠COM与∠BON的数量关系，并说明理由．

（3）若∠AOC=70°，OM，ON在旋转的过程中，当∠MON=20°，求t的值．

【答案】（1）①30°；②60°；（2）∠COM=3∠BON，理由见解析；（3）5或9或27或31秒．

【分析】

（1）①由题意可以得到∠AOM'和∠CON'的度数，然后根据角度的加减计算可以得到解答；
②根据角平分线的定义可以得解；

（2）设∠BOC=x，且旋转时间为ts，由题意可以把∠COM与∠BON用x和t表示出来，然后通过比较可以得到∠COM与∠BON的关系；

（3）针对OM与ON的位置关系及旋转的具体情形分4种情况讨论．

【详解】

解：（1）①∵线段OM、ON分别以20°/s、10°/s的速度绕点O逆时针旋转3s，

∴∠AOM'=3×20°=60°，∠CON'=3×10°=30°，
 

∴∠BON'=∠BOC-30°，∠COM'=∠AOC-60°，
 

∴∠BON'+∠COM'=∠BOC-30°+∠AOC-60°=∠AOB-90°．

∵∠AOB=120°，

∴∠BON'+∠COM'=120°-90°=30°．

故答案为：30°；

②∵OM'平分∠AOC，ON'平分∠BOC，

∴∠AOM'=∠COM'=0.5∠AOC，∠BON'=∠CON'=0.5∠BOC，∴∠COM'+∠CON'=0.5∠AOC+0.5∠BOC=0.5∠AOB=0.5×120°=60°，

即∠M'ON'=60°；

（2）∠COM=2∠BON，

理由如下：

设∠BOC=x，则∠AOB=3x，∠AOC=2x．

∵旋转t秒后，∠AOM=20t，∠CON=10t，

∴∠COM=2x-20t=2（x-10t），∠NOB=x-10t，∴∠COM=2∠BON；

（3）设旋转t秒后，

当OM与ON重合之前时，

可得：70°-20t+10t=20°，

解得：t=5秒，

当OM与ON重合之后，且OM没有到达OA时，

可得：20t-10t-70°=20°，

解得：t=9秒，

当OM旋转一周后，ON没有经过OA时，

10t+70°+20°=360°，

解得：t=27秒，

当OM旋转一周后，ON经过OA后时，

10t+70°-20°=360°

解得：t=31秒．

故答案为：5或9或27或31秒．

【点睛】

本题考查旋转的综合应用，熟练掌握旋转的定义和性质、角度的加减计算及分类讨论思想的运用是解题关键．

【好题演练】

一、单选题

1．（2020·河北沧州市·九年级其他模拟）如图，在四边形中，，，，是的中点．点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿向点运动；点同时以每秒3个单位长度的速度从点出发，沿向点运动．点停止运动时，点也随之停止运动．若以点为顶点的四边形是平行四边形，则点运动的时间为（  ）

A．1 B． C．2或 D．1或

【答案】D

【分析】

要使得以P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形，已知，即要使PD=EQ即可，设点P的运动时间为t (0≤t≤6) 秒，分别表示出PD，EQ的长度，根据PD=EQ列方程求解即可．

【详解】

设点P的运动时间为t (0≤t≤6) 秒，则AP=t，CQ=3t，

由E是BC的中点可得：BE=EC=8，

要使得以P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形，已知，即要使PD=EQ即可．

（1）如图：点Q位于点E右侧时，

PD=6－t，CQ=3t，EQ=8－3t，

6－t =8－3t，

t=1（秒）；

（2）如图：点Q位于点E左侧时，

PD=6－t，CQ=3t，EQ=3t－8，

6－t =3t－8，

t=（秒）．

综上所述：P的运动时间为1或秒．

故选：D．

【点睛】

本题主要考查平行四边形的判定方法以及一元一次方程的应用，熟记平行四边形的判定方法，根据对应边相等列方程是解题关键．

2．（2020·广西玉林市·八年级期末）如图，在菱形中，，，点、同时由、两点出发，分别沿、方向向点匀速移动（到点为止），点的速度为，点的速度为，经过秒为等边三角形，则的值为（  ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

连接BD，证出△ADE≌△BDF，得到AE=BF，再利用AE=t，CF=2t，则BF=BCCF=52t求出时间t的值．

【详解】

解：连接BD，

∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=120°，

∴AB=AD，∠ADB=∠ADC=60°，

∴△ABD是等边三角形，

∴AD=BD，

又∵△DEF是等边三角形，

∴∠EDF=∠DEF=60°，

又∵∠ADB=60°，

∴∠ADE=∠BDF，

在△ADE和△BDF中，

∴△ADE≌△BDF(ASA)，

∴AE=BF，

∵AE=t，CF=2t，

∴BF=BC−CF=5−2t，

∴t=5−2t

∴t=，

故选：D.

【点睛】

本题考查全等三角形，等边三角形，菱形等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的性质为解题关键．

二、填空题

3．（2020·陕西西安市·高新一中八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点是轴上的动点，线段绕着点逆时针旋转90°至线段，连接，则的最小值是______．

【答案】

【分析】

作BD⊥x轴，垂直为D，证明△AOC≌△CBD，设点C坐标为（0，m），得到点B坐标为（m，m+1），进而确定点B在直线y=x+1上，从而得到△MON为等腰直角三角形，根据垂线段最短即可求出OB的最小值．

【详解】

解：如图，作BD⊥x轴，垂直为D，

∴∠BDC=∠COA=90°，

∴∠BCD+∠CBD=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠BCD+∠ACO=90°，

∴∠CBD=∠ACO，

由旋转的性质得AC=CB

∴△AOC≌△CBD，

∴AO=CD=1，OC=DB，

设点C坐标为（0，m），

则点B坐标为（m，m+1），

∴点B在直线y=x+1上，

如图，设直线与y轴交点为M，与x轴交点为N，

则点M坐标为（0,1），点N坐标为（-1,0），

∴OM=ON，

∴△MON为等腰直角三角形，

∴MN=，

∴当OB⊥MN时，OB最短，

OB=MN=．

故答案为：

【点睛】

本题考查了平面直角坐标系中全等三角形的判定与性质，根据点的特点确定点所在直线解析式，垂线段最短等知识，综合性较强，理解点B的运动轨迹是一条直线是解题关键．

4．（2020·重庆市荣昌区宝城初级中学九年级其他模拟）正方形ABCD中，AB＝2，点M是BC中点，点P是正方形内一点，连接PC，PM，当点P移动时，始终保持∠MPC＝45°，连接BP，点E，F分别是AB，BP中点，求3BP＋2EF的最小值为______________．

【答案】2

【分析】

根据题意连接AP可得EF为中位线，将所求3BP＋2EF转化为3（PB+PA），始终保持∠MPC为45°，可知P轨迹是圆弧，并找到圆心为O，连接OA，在OA上取N使得ON=OP，构造出△OPN∽△OAP，由此可将3（PB+PA）转化为3（PB+PN），利用两点之间线段最短，计算出3BN的值即可．

【详解】

根据条件始终保持∠MPC＝45°，所以点P的轨迹为圆弧，设圆心为O，如图1：

∵正方形ABCD中AB=，M为中点

∴CM=BM=，

∵∠MPC＝45°

∴半径为1

作辅助线：连接OA，在OA上取N使得ON=OP，连接AP，OP，PN，如图2：

根据题意正方形对角线AC=4，所以OA=3=3OP，

∴，∠NOP=∠AOP

∴△OPN∽△OAP

∴即PN=PA

∴3BP＋2EF=3BP+AP=3（BP+AP）=3（BP+PN）

连接BN，交圆弧于P点，此时B、P、N三点共线，即BP+PN取得最小值，过G作NG⊥BC交BC于G，如图所示：

∵CN=OC+CN=1+=，

∴NG=CG=，

∴BG=，

根据勾股定理可得，BN=,

∴3BP＋2EF=3（BP+PN）=3BN=．

故答案为：．

【点睛】

本题属于圆的综合题，结合了相似三角形，动点轨迹，最短距离以及圆的相关知识，属于压轴题，学生必须熟练掌握构造相似三角形的方法，并找到动点轨迹为圆弧，再结合最短距离求解本题．

三、解答题

5．（2021·山东青岛市·九年级期末）已知：如图，在中，，垂足；点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；以为底边作等腰三角形，使，并且与分别在的两侧，连接，设运动时间为 ．

解答下列问题：

当时，是否存在某一时刻，使？若存在，求出此时的值：若不存在，请说明理由；

设四边形的面积为，求当时，与之间的函数关系式；

是否存在某一时刻，使与以为顶点的三角形相似﹖若存在，请直接给出此时的值；若不存在，请说明理由．

【答案】存在，；；存在，4或5．

【分析】

(1)根据，得到，，最后求的值；

(2)利用三角形相似, ， 得到即，求出与之间的函数关系式；

(3) 因为此时，过作，最后进行求解．

【详解】

，

，

又，

，

，

，

由题意知，

．

如图，过点作，

，

，

，

即，，

，

．

①此时，

如图，过作，，

，

，

，即，

②，

，

，

．

综上或时，与以为顶点的三角形相似．

【点睛】

本题考查了三角形的动点问题，读懂题意，正确作出辅助线，是解题的关键．

6．（2021·江苏泰州市·七年级期末）两个完全相同的长方形、，如图所示放置在数轴上．

（1）长方形的面积是______．

（2）若点在线段上，且，求点在数轴上表示的数．

（3）若长方形、分别以每秒1个单位长度、3个单位长度沿数轴正方向移动．设两个长方形重叠部分的面积为，移动时间为．

①整个运动过程中，的最大值是______，持续时间是______．

②当是长方形面积一半时，求的值．

【答案】（1）48；（2）点在数轴上表示的数是；（3）①，1秒；②或8

【分析】

（1）根据图象求出长方形的长和宽，即可得到面积；

（2）设点在数轴上表示的数是，根据，列出方程求解；

（3）①当长方形EFGH的边EH和GF在长方形ABCD内部的时候，重叠部分的面积S是最大的，此时重叠的部分是一个正方形，边长就是长方形的宽，即可求出S的最大值，持续的时间是从EH和AD重合开始到FG和BC重合结束，用走过的路程除以两个长方形的相对速度即可；

②用t表示出点E、F、A、B运动后表示的数，分情况讨论，当点在、之间时，或当点在、之间时，列式求出t的值即可．

【详解】

解：（1）长方形的长是：，

长方形的宽是：，

长方形的面积是：，

故答案是：48；

（2）设点在数轴上表示的数是，

则，

，

∵，

∴，

解得，

答：点在数轴上表示的数是；

（3）①当长方形EFGH的边EH和GF在长方形ABCD内部的时候，重叠部分的面积S是最大的，此时重叠的部分是一个正方形，边长就是长方形的宽，

∴S的最大值是，

持续的时间是从EH和AD重合开始到FG和BC重合结束，

走过的长度是，两个长方形的相对速度是，

∴持续时间是（秒），

综上，整个运动过程中，的最大值是，持续时间是1秒；

②由题意知移动秒后，

点、、、在数轴上分别表示的数是、、、，

情况一：当点在、之间时，

，

由题意知，

所以，

解得；

情况二：当点在、之间时，

，

由题意知，

所以，

解得，

综上所述，当是长方形面积一半时，或8．

【点睛】

本题考查动点问题，解题的关键是掌握数轴上动点的表示方法和两点之间距离的表示方法，通过列方程进行求解．