专题39 旋转相似问题-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练

专题39  旋转相似问题

【规律总结】

“旋转型”相似三角形，如图．若图中∠1=∠2，∠B=∠D(或∠C=∠E)，则△ADE∽△ABC，该图可看成把第一个图中的△ADE绕点A旋转某一角度而形成的

【典例分析】

例1．（2020·丹东第十中学九年级月考）如图，正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接．以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（ 　  ）

A．个 B．个 C．个 D．个

【答案】D

【分析】

①四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，∠EAB、∠GAD与∠BAG的和均为90°，即可证明∠EAB与∠GAD相等；②由题意易得AD=DC，AG=FG，进而可得，∠DAG=∠CAF，然后问题可证；③由四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，可求证△HAF∽△FAC，则有，然后根据等量关系可求解；④由②及题意知∠ADG=∠ACF=45°，则问题可求证．

【详解】

解：①∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形

∴∠EAG=∠BAD=90°

又∵∠EAB=90°-∠BAG，∠GAD=90°-∠BAG

∴∠EAB=∠GAD

∴①正确

②∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形

∴AD=DC，AG=FG

∴AC=AD，AF=AG

∴，

即

又∵∠DAG+∠GAC=∠FAC+∠GAC

∴∠DAG=∠CAF

∴

∴②正确

③∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，AF、AC为对角线

∴∠AFH=∠ACF=45°

又∵∠FAH=∠CAF

∴△HAF∽△FAC

∴

即

又∵AF=AE

∴

∴③正确

④由②知

又∵四边形ABCD为正方形， AC为对角线

∴∠ADG=∠ACF=45°

∴DG在正方形另外一条对角线上

∴DG⊥AC

∴④正确

故选：D．

【点睛】

本题主要考查相似三角形的判定与性质综合运用，同时利用到正方形相关性质，解题关键在于找到需要的相似三角形进而证明．

例2．（2019·浙江杭州市·八年级期末）已知正方形DEFG的顶点F在正方形ABCD的一边AD的延长线上，连结AG，CE交于点H，若，，则CH的长为________.

【答案】

【分析】

连接EG，与DF交于N，设CD和AH交于M，证明△ANG∽ADM，得到，从而求出DM的长，再通过勾股定理算出AM的长，通过证明△ADG≌△CDE得到∠DAG=∠DCE，从而说明△ADM∽△CHM，得到，最后算出CH的长.

【详解】

解：连接EG，与DF交于N，设CD和AH交于M，

∴∠GNA=90°，DN=FN=EN=GN，

∵∠MAD=∠GAN，∠MDA=∠GNA=90°，

∴△ANG∽ADM，

∴，

∵，

∴DF=EG=2,

∴DN=NG=1，

∵AD=AB=3，

∴，

解得：DM=，

∴MC=，AM=，

∵∠ADM+∠MDG=∠EDG+∠CDG，

∴∠ADG=∠EDC，

在△ADG和△CDE中，

，

∴△ADG≌△CDE（SAS），

∴∠DAG=∠DCE，

∵∠AMD=∠CMH，

∴∠ADM=∠CHM=90°，

∴△ADM∽△CHM，

∴，

即，

解得：CH=.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，综合性较强，解题的关键是找到合适的全等三角形和相似三角形，通过其性质计算出CH的长.

例3．（2020·浙江金华市·九年级期末）如图1，在中，，在斜边上取一点D，过点D作，交于点E．现将绕点A旋转一定角度到如图2所示的位置（点D在的内部），使得．

（1）①求证：；

②若，求的长；

（2）如图3，将原题中的条件“”去掉，其它条件不变，设，若，，求k的值；

（3）如图4，将原题中的条件“”去掉，其它条件不变，若，设，，试探究三者之间满足的等量关系．（直接写出结果，不必写出解答过程）

【答案】（1）①见解析；②；（2）；（3）4p2=9m2+4n2．

【分析】

（1）①先利用平行线分线段成比例定理得，进而得出结论；

②利用①得出的比例式求出CE，再判断出∠DCE=90°，利用勾股定理即可得出结论；
（2）同（1）的方法判断出△ABD∽△ACE，即可得出AE=4k，CE=3k，同（1）的方法得出∠DCE=90°，利用勾股定理得出DE的平方，用DE的平方建立方程求解即可；

（3）同（2）的方法得出，即可得出结论；

【详解】

解：（1）①∵DE∥BC，

∴，

由旋转知，∠EAC=∠DAB，
∴△ABD∽△ACE，
②在Rt△ABC中，AC=BC，

∴，

由①知，△ABD∽△ACE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ACD+∠ABD=90°，
∴∠ACE+∠ACD=90°，
∴∠DCE=90°，
∵△ABD∽△ACE，

，

∴，

∵

∴

在Rt△CDE中，

根据勾股定理得，DE=2，
在Rt△ADE中，AE=DE，

∴

（2）由旋转知，∠EAC=∠DAB，

，

∴△ABD∽△ACE，

∵AD=4，BD=3，
∴AE=kAD=4k，CE=kBD=3k，
∵△ABD∽△ACE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ACD+∠ABD=90°，
∴∠ACE+∠ACD=90°，
∴∠DCE=90°，
在Rt△CDE中，DE2=CD2+CE2=1+9k2，
在Rt△ADE中，DE2=AD2-AE2=16-16k2，
∴1+9k2=16-16k2，

∴或（舍），

（3）由旋转知，∠EAC=∠DAB，

∴△ABD∽△ACE，

∵AD=p，BD=n，

∴，

∵△ABD∽△ACE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ACD+∠ABD=90°，
∴∠ACE+∠ACD=90°，
∴∠DCE=90°，
在Rt△CDE中，，

∵，

，

∴4p2=9m2+4n2．

【点睛】

此题是相似三角形综合题，主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的判定，解本题的关键是得出∠DCE=90°和利用两边对应成比例夹角相等来判断两三角形相似的方法应用．

【好题演练】

一、单选题

1．（2020·广西贵港市·九年级其他模拟）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿AD对折，使点C落在C′的位置，C′D交AB于点Q，则的值为（　　）

A． B． C． D．

2．（2019·全国九年级课时练习）如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，连接DF，给出下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④S△ABF：S四边形CDEF＝2：5，其中正确的结论有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题

3．（2018·山西九年级专题练习）如图，已知四边形ABCD与四边形CFGE都是矩形，点E在CD上，点H为AG的中点，，，，，则DH的长为______ ．

4．（2019·甘肃白银市·九年级期末）如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，连接DF，分析下列五个结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④S四边形CDEF＝S△ABF，其中正确的结论有_____个．

三、解答题

5．（2020·河南南阳市·九年级期中）将绕点逆时针方向旋转，并使各边长变为原来的倍，得到，我们将这种变换记为．

（1）问题发现

如图①，对作变换得，则______；直线与直线所夹的锐角度数为______．

（2）拓展探究

如图②，中，且，连结，．对作变换得，求的值及直线与直线相交所成的较小角的度数，并就图②的情形说明理由．

（3）问题解决

如图③，中，，，对作变换得，使点、、在同一直线上，且四边形为矩形，请直接写出的值．

6．（2019·辽宁葫芦岛市·九年级一模）如图，在中，∠AC8=90°，∠BAC=a，点D在边AC上（不与点A、C重合）连接BD，点K为线段BD的中点，过点D作于点E，连结CK，EK，CE，将△ADE绕点A顺时针旋转一定的角度（旋转角小于90度)

(1)如图1．若a=45，则的形状为__________________；

(2)在（1)的条件下，若将图1中的三角形ADE绕点A旋转，使得D，E，B三点共线，点K为线段BD的中点，如图2所示，求证：；

(3)若三角形ADE绕点A旋转至图3位置时，使得D，E，B三点共线，点K仍为线段BD的中点，请你直接写出BE，AE，CK三者之间的数量关系（用含a的三角函数表示）