专题62 猜想证明类问题（2）-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练

专题62  猜想证明类问题（2）

【规律总结】

此类试题能比较系统地考查学生的逻辑推理能力、合情推理能力、发现规律和关系的能力，以及运用所学知识和方法分析、解决数学问题的能力，对于猜想证明类试题，由于题目新颖、综合性强、结构独特，具有较好的区分度，因此。该类试题已逐步成为中考的一大热点题型。猜想证明类试题的考查范围有猜想命题的规律或结论（不要求证明）与猜想命题的结论（要求证明）两种。单纯猜想规律或结论的问题经常以填空、选择题的形式作为压轴题，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找存在于个例中的共性，也就是规律。相对而言，猜想命题的结论（要求证明）的试题难度较大，解答具体题目时往往是直观猜想与科学论证、具体应用相结合。

【典例分析】

例1．（2019·安徽九年级二模）如图，在正方形中，分别是边上的点，且满足，连接，过点B作，垂足为点G，连接DG，则下列说法不正确的是（  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据正方形的性质、等角的余角相等即可判断A正确；根据B选项，判断出E为BC中点，与原题条件不一致，判断B错误；证明，判断C选项正确；根据，得出，判断D正确．

【详解】

解：四边形是正方形，

，即，

，

，

，

∴选项正确，不合题意；

∵BG⊥CF，

∴∠BGC=90°，

∴∠GBC+∠BCG=90°, ∠BGE+∠CGE=90°，

当GE=BE时，∠BGE=∠GBE，

∴∠EGC=∠ECG，

∴GE=CE，

∴BE=CE，

即E为BC中点，

原题没有此条件，∴B选项不正确，符合题意；

，，

∴∠FBG+∠CBG=90°, ∠FBG+∠BFG=90°,

∴∠CBG=∠BFG，

，

，

，，

，又，

，

，

∴选项正确，不合题意；

，

，

，

，即，

∴选项正确，不合题意；

故选：．

【点睛】

本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．

例2．（2019·湖北随州市·九年级学业考试）如图，矩形中，点在边上(不与重合)，将矩形沿折叠，使点分别落在点处有下列结论：

①与互余；

②若平分则

③若直线经过点则

④若直线交边分别于当为等腰三角形时，五边形的周长为．其中正确结论的序号是_____________________．

【答案】①③④

【分析】

①根据折叠的性质知,转化相关角度进行判断；

②根据折叠的性质知,再根据平分从而得出，从而求算正切值；

③直线经过点，此时，，从而求算,再根据相似求算EF，可得结论；

④当△DMN时等腰三角形时，可得均为等腰直角三角形，从而计算相应长度，可得结论．

【详解】

解：①根据折叠的知

设

∴

∴， ①正确；

②根据折叠的性质知,再根据平分

∴ 即

∴ 即，②错误；

③直线经过点D：

∵

∴

∵

∴

∴ 解得：

∴

∴

∴，③正确；

④当△DMN时等腰三角形时，可得均为等腰直角三角形，如图：

∵

∴

∴五边形的周长=

④正确

故答案为：①③④

【点睛】

本题考查矩形折叠问题，同时与相似三角形、特殊角三角函数值、等腰三角形等相结合，转化相关的线段与角度之间的关系式解题关键．

例3．（2020·成都市锦江区四川师大附属第一实验中学八年级月考）如图1，平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴正半轴于点B，直线AC交y轴负半轴于点C，且．

（1）求的面积．

（2）P为线段AB（不含A，B两点）上一动点．

①如图2，过点P作y轴的平行线交线段AC于点Q，记四边形APOQ的面积为S，点P的横坐标为t，当时，求t的值．

②M为线段BA延长线上一点，且，在直线AC上是否存在点N，使得是以PM为直角边的等腰直角三角形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）10；（2）①；②存在；，．

【分析】

（1）把代入求出一次函数解析式为，得到，根据，求出，求得；

（2）①设，利用待定系数法直线AC的解析式为，由，根据代入数值求出t的值；

②如图所示，当N点在轴下方时，得到，设，过P点作直线x轴，作，，证明，得到，，再证明，得到，，求得，作，则，根据，得到，列得求出a得到；当N点在x轴上方时，点与关于对称，得到，即．

【详解】

（1）把代入得：，

一次函数解析式为，

令，得，

∴，

在中，，

∴，

∵，

∴，

∴．

（2）①设，

∴P在线段AB上，

∴，

设直线AC的解析式为，代入，得

，

∴，

∴，

又∵轴，则，

∴，

，

又∵，

∴得．

②如图所示，当N点在轴下方时，

∵，

∴，

∴，

∵是以PM为直角边的等腰直角三角形，

当时，，，

设，

过P点作直线x轴，作，，

∴，

∴，

在与中，

∴，

∴，，

∵，，

∴，

在与中，，

∴，

∴，，

∴，作，则，

∵，

∴，

∴M在直线AB上，

∴

，

∴，

∴．

当N点在x轴上方时，点与关于对称，

则，即，

综上：存在一点或使是以MN为直角边的等腰直角三角形．

．

【点睛】

此题考查一次函数的综合题，待定系数法求函数解析式，直线所成三角形的面积，等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定及性质，中心对称的点的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．

【好题演练】

一、单选题

1．（2020·合肥市第四十六中学九年级月考）如图，在中，，，是边上的动点（不与点重合），将沿所在直线翻折，得到，连接， 则下面结论错误的是（   ）

A．当时，

B．当时，∠

C．当 时，

D．长度的最小值是1

2．（2019·浙江杭州市·八年级期末）如图，已知：在等腰中，，BE平分，交AC于F，且于点E，BC边上的中线AD交BE于G，连接DE，则下列结论正确的是（    ）

①；②；③；④；⑤

A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．②③④⑤

二、填空题

3．（2020·长沙市中雅培粹学校九年级月考）已知点是反比例函数图象上的动点，轴，轴，分别交反比例函数的图象于点、，交坐标轴于、，且，连接.现有以下四个结论：①；②在点运动过程中，的面积始终不变；③连接，则；④不存在点，使得.其中正确的结论的序号是__________．

4．（2019·武汉二中广雅中学八年级期中）如图1，矩形ABCD，AB＝4，BC＝．

（1）直接写出：∠ABD＝______度；

（2）将矩形ABCD沿BD剪开得到两个三角形，按图2摆放：点A与点C重合，CD落在AD′上，直接写出BD与B′D′的关系：_____；

（3）在图2的基础上将△AB′D′向左平移，点B′与B重合停止，设AC＝x，两个三角形重合部分的封闭图形的周长为y，请用x表示y：____．

三、解答题

5．（2020·温岭市实验学校九年级月考）如图1，在正方形ABCD中，AB= 8，点E在AC上，且AE= ，过E点作EF⊥AC于点E，交AB于点F，连接CF，DE．

[问题发现]

（1）线段DE与CF的数量关系是 ，直线DE与CF所夹锐角的度数是      ；

[拓展探究]

（2）当△AEF绕点A顺时针旋转时，上述结论是否成立?若成立，请写出结论并结合图2给出证明；若不成立，请说明理由；

 [解决问题]

（3）在（2）的条件下，当点E到直线AD的距离为2时，请直接写出CF的长．

6．（2021·全国八年级）如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，且经过定点，直线与交于点．

（1）求、和的值；

（2）求的面积；

（3）在轴上是否存在一点，使的周长最短？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；

（4）若动点在线段上从点开始以每秒1个单位的速度向点运动，设点的运动时间为秒．是否存在的值，使为等腰三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，清说明理由．