专题07 图形变化类-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练

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专题07  图形变化类【规律总结】解决图形规律题的步骤：（1）标序数——按图号标序；（2）找规律——观察图形，随着序号增加，后一个图形与前一个图形相比，找出图形变化规律，注意变量与不变量，将每个图中所求量的个数表示成与序数有关的式子；（3）验证——代入序号验证所归纳的式子是否正确；【典例分析】例1．（2021·重庆渝北区·八年级期末）如图是一组有规律的图案，第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有7个三角形，第③个图案中有10个三角形……，依此规律，第⑧个图案中有（    ）个三角形．A．19 B．21 C．22 D．25【答案】D【分析】由题意可知：第①个图案有3＋1＝4个三角形，第②个图案有3×2＋1＝7个三角形，第③个图案有3×3＋1＝10个三角形，…依此规律，第n个图案有（3n＋1）个三角形，代入n＝8即可求得答案．【详解】∵第①个图案有3＋1＝4个三角形，第②个图案有3×2＋1＝7个三角形，第③个图案有3×3＋1＝10个三角形，…∴第n个图案有（3n＋1）个三角形．当n＝8时，3×8＋1＝25，故选：D．【点睛】此题考查图形的变化规律，解题的关键是找出图形之间的变化规律，利用规律解决问题．例2．（2021·北京东城区·八年级期末）如图，，点，…在射线上，点，…在射线上，且，…均为等边三角形，以此类推，若，则的边长为_______．【答案】．【分析】根据，，是等边三角形，得，进而得，，可得，以此类推即可求解．【详解】解：∵，，是等边三角形，∴∴∴∴同理：，，…均为等边三角形，，…则的边长为．故答案是：．【点睛】本题考查了规律型-图形的变化类，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律．例3．（2021·安徽芜湖市·七年级期末）如图，同一行的两个图形中小正方形的个数相等，但它们的排列方式不一样，根据不同的排列方式可以得到一列等式． （1）第个图形中对应的等量关系是______．（2）根据（1）的结论，求的值．【答案】（1）；（2）650【分析】（1）根据前三幅图可知右边的式子等于左边括号内最大的数与比它大1数的积；（2）先逆用乘法分配律变形，然后根据（1）中结论计算即可；【详解】解：（1）∵，，，…，∴，故答案为：；（2）．【点睛】本题考查了规律型—图形类规律与探究，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．也考查了有理数的混合运算．  【好题演练】一、单选题1．（2020·浙江台州市·七年级期末）如图，用大小相等的黑色三角形按一定规律拼成如图的图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形…，依照此规律，第⑩个图案中黑色三角形的个数为（    ）A．50 B．55 C．58 D．61【答案】B【分析】根据前3个图案中黑色三角形的个数找出规律，利用规律解题即可．【详解】第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，，第③个图案中有6个黑色三角形，，……第⑩个图案中黑色三角形的个数为，故选：B．【点睛】本题注意考查图形类规律探索，找到规律是解题的关键．2．（2021·北京房山区·八年级期末）如图甲，直角三角形的三边a，b，c，满足的关系．利用这个关系，探究下面的问题：如图乙，是腰长为1的等腰直角三角形，，延长至，使，以为底，在外侧作等腰直角三角形，再延长至，使，以为底，在外侧作等腰直角三角形，……，按此规律作等腰直角三角形（，n为正整数），则的长及的面积分别是（    ）A．2， B．4， C．， D．2，【答案】A【分析】根据题意结合等腰直角三角形的性质，即可判断出的长，再进一步推出一般规律，利用规律求解的面积即可．【详解】由题意可得：，，∵为等腰直角三角形，且“直角三角形的三边a，b，c，满足的关系”，∴根据题意可得：，∴，∴，，∴总结出，∵，，，∴归纳得出一般规律：，∴，故选：A．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，图形变化类的规律探究问题，立即题意并灵活运用等腰直角三角形的性质归纳一般规律是解题关键．  二、填空题3．（2021·山东青岛市·七年级期末）下列图形均是用长度相同的火柴棒按一定的规律搭成，搭第1个图形需要4根火柴棒，搭第2个图形需要10根火柴棒，…，依此规律，搭第10个图形需要________根火柴棒． 【答案】130【分析】由题意，分别求出前面几个的火柴棒数量，然后得到数量的规律，再求出第10个图形的数量即可．【详解】解：根据题意可知：第1个图案需4根火柴，，第2个图案需10根火柴，，第3个图案需21根火柴，，……，第n个图案需根火柴，则第10个图案需：（根）．故答案为：130．【点睛】此题考查了平面图形，图形变化规律，主要培养学生的观察能力和空间想象能力．4．（2021·全国七年级）如图，△ABC是边长为1的等边三角形，取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的周长记作C1；取BE中点E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的周长记作C2．照此规律作下去，则C2020＝__．【答案】【分析】先计算出C1、C2的长，进而得到规律，最后求出C2020的长即可．【详解】解：∵E是BC的中点，ED∥AB，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝AB＝，AD＝AC＝，∵EF∥AC，∴四边形EDAF是菱形，∴C1＝4×，同理C2＝4××=4×，…Cn＝4×，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了中位线的性质，菱形的判定与性质，根据题意得到规律是解题关键． 三、解答题5．（2021·山东青岛市·七年级期末）（问题提出）以长方形ABCD的4个顶点和它内部的n个点，共个点作为顶点，可把原长方形分割成多少个互不重叠的小三角形？（问题探究）为了解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，先从简单的情形入手：（探究一）以长方形ABCD的4个顶点和它内部的1个点P（如图①），共5个点为顶点显然，此时可把长方形ABCD分割成________个互不重叠的小三角形．（探究二）以长方形ABCD的4个顶点和它内部的2个点P、Q，共6个点为顶点，可把长方形ABCD分割成多少个互不重叠的小三角形？在探究一的基础上，我们可看作在图①长方形ABCD的内部，再添加1个点Q，那么点Q的位置会有两种情况：一种情况是，点Q在图①分割成的小三角形的某条公共边上不妨设点Q在PB上（如图②）；另一种情况是，点Q在图①分割成的某个小三角形内部．不妨设点Q在的内部（如图③）．显然，不管哪种情况，都可把长方形ABCD分割成________个互不重叠的小三角形．（探究三）长方形ABCD的4个顶点和它内部的3个点P、Q、R，共7个点为顶点，可把长方形ABCD分割成________个互不重叠的小三角形请在图④中画出一种分割示意图.（问题解决）以长方形ABCD的4个顶点和它内部的n个点，共个点作为顶点，可把原长方形分割成________个互不重叠的小三角形．（实际应用）以梯形的4个顶点和它内部的2021个点作为顶点，可把梯形分割成________个互不重叠的小三角形．（拓展延伸）以五边形的5个顶点和它内部的m个点，共个点作为顶点，可把原五边形分割成________个互不重叠的小三角形．【答案】【探究一】4；【探究二】6；【探究二】8；【问题解决】或写成；【实际应用】4044；【拓展延伸】【分析】探究一：根据图形可回答；探究二：根据图形可回答；探究三：根据图形可回答；问题解决：由探究活动可得规律为，进而解决问题；实际应用：把2021代入所得规律，求值即可；拓展延伸：由四边形的规律可得五边形的规律．【详解】解：探究一：以长方形ABCD的4个顶点和它内部的1个点P，共5个点为顶点显然，此时可把长方形ABCD分割成4个互不重叠的小三角形．故答案为：4；探究二：如图，不管哪种情况，都可把长方形ABCD分割成6个互不重叠的小三角形．故答案为；6；探究三：长方形ABCD的4个顶点和它内部的3个点P、Q、R，共7个点为顶点，可把长方形ABCD分割成8个互不重叠的小三角形问题解决：以长方形ABCD的4个顶点和它内部的1个点，共5个点作为顶点，可把原长方形分割成互不重叠的小三角形个数为：4=2（1+1）．以长方形ABCD的4个顶点和它内部的2个点，共6个点作为顶点，可把原长方形分割成互不重叠的小三角形个数为：6=2（2+1）．以长方形ABCD的4个顶点和它内部的3个点，共7个点作为顶点，可把原长方形分割成互不重叠的小三角形个数为：8=2（3+1）．所以，以长方形ABCD的4个顶点和它内部的n个点，共个点作为顶点，可把原长方形分割成互不重叠的小三角形个数为：2（n+1）．实际应用：当n=2021时，以梯形的4个顶点和它内部的2021个点作为顶点，可把梯形分割成互不重叠的小三角形2（2021+1）=4044个．拓展延伸：根据前面的解决问题可知：以五边形的5个顶点和它内部的m个点，共个点作为顶点，可把原五边形分割成互不重叠的小三角形个数为（2m+3）个．故答案为：（2m+3）【点睛】本题考查了应用与设计作图，图形的变化规律的问题，读懂题目信息，根据前四个探究得到每多一个点，则三角形的个数增加2是解题的关键．6．（2021·青岛实验学校九年级期末）在平面直角坐标系中，点A从原点O出发，沿x轴正方向按半圆形弧线不断向前运动，其移动路线如图所示，其中半圆的半径为1个单位长度，这时点的坐标分别为，按照这个规律解决下列问题：
 写出点的坐标；点的位置在_____________填“x轴上方”“x轴下方”或“x轴上”；试写出点的坐标是正整数．【答案】，，，；轴上方； A（n-1,0）或或或【分析】可根据点在图形中的位置及前4点坐标直接求解；根据图形可知点的位置每4个数一个循环，，进而判断与的纵坐标相同在x轴上方，即可求解；根据点的坐标规律可分4种情况分别写出坐标即可求解．【详解】解：（1）由数轴可得：，，，； （2）根据图形可知点的位置每4个数一个循环，，与的纵坐标相同，在x轴上方，故答案为：x轴上方；（3）根据图形可知点的位置每4个数一个循环，每个点的横坐标为序数减1，纵坐标为0、1、0、-1循环，∴点的坐标是正整数为A（n-1,0）或或或．【点睛】本题主要考查找点的坐标规律，点的坐标的确定，方法，根据已知点的坐标及图形总结点坐标的变化规律，并运用规律解决问题是解题的关键．