专题63 动态几何类问题（1）-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练

专题63  动态几何类问题（1）

【规律总结】

动态几何问题的解题技巧

解这类问题的基本策略是：

1.动中觅静：这里的“静”就是问题中的不变量、不变关系，动中觅静就是在运动变化中探索问题中的不变性•• • •

2.动静互化：“静”只是“动"的瞬间，是运动的一种特殊形式，动静互化就是抓住“静”的瞬间，使一般情形转化为特殊问题，从而找到“动”与“静"的关系. 

3.以动制动：以动制动就是建立图形中两个变量的函数关系，通过研究运动函数，用联系发展的观点來研究变动元素的关系• 总之，解决动态儿何问题的关键是要善于运用运动与变化的眼光去观察和研究图形, 把握图形运动与变化的全过程，抓住变化中的不变，以不变应万变。这类问题与函数相结合时，注意使用分类讨论的思想，运用方程的思想.数形结合思想.转化的思想等。

【典例分析】

例1．（2020·南通市跃龙中学九年级月考）如图，在中，，，．线段的两个端点都在上，且，从点出发，沿方向运动，当到达点时，停止运动，在整个运动过程中，空白部分面积的大小变化的情况是（    ）

A．一直减小 B．一直增大

C．先增大后减小 D．先减小后增大

【答案】C

【分析】

设PD=x，AB边上的高为h，求出h，并运用相似三角形的性质求出AD，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．

【详解】

在中，，，，

，

设，则，边上的高为，，

，

，

，

，

，

，

∵，

∴时，随x的增大而增大，时，随x的增大而减小，

故选：C．

【点睛】

本题考查相似三角形的判定和性质，动点问题的函数图象，三角形面积，勾股定理等知识，解题的关键是构建二次函数，学会利用二次函数的增减性解决问题．

例2．（2021·扬州市江都区育才中学九年级期末）如图，半径为4cm，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一运动的点P，从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H．设的内心为I，当点P在弧AB上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为_________．

【答案】

【分析】

如图，连OI，PI，AI，由△OPH的内心为I，可得到∠PIO=-∠IPO-∠IOP=-（∠HOP+∠OPH）=，并且易证△OPI≌△OAI，得到∠AIO=∠PIO=，所以点I在以OA为弦，并且所对的圆周角为的一段劣弧上；过A、I、O三点作⊙O′，如图，连O′A，O′O，在优弧AO上取点P，连PA，PO，可得∠APO=-=，得∠AO=，OA=×4=2，然后利用弧长公式计算弧OA的长．

【详解】

如图，连OI，PI，AI，

∵△OPH的内心为I，

∴∠IOP=∠IOA，∠IPO=∠IPH，

∴∠PIO=-∠IPO-∠IOP=-（∠HOP+∠OPH），

而PH⊥OA，即∠PHO=，

∴∠PIO=-（∠HOP+∠OPH）=-（-）=，

又∵OP=OA，OI公共，

而∠IOP=∠IOA，

∴△OPI≌△OAI，

∴∠AIO=∠PIO=，

所以点I在以OA为弦，并且所对的圆周角为的一段劣弧上；

过A、I、O三点作⊙O′，如图，连O′A，O′O，

在优弧AO上取点P，连PA，PO，

∵∠AIO=，
∴∠APO=-=，

∴∠AO=，而OA=4cm，

∴∠AO=，

∴O′O=OA=×4=2，

∴弧OA的长=（cm），

所以内心I所经过的路径长为cm．

故答案为：cm．

．

【点睛】

此题考查全等三角形的判定及性质，弧长的计算公式，三角形的内心的定义，圆周角定理，三点共圆，证明以点I在以OA为弦，并且所对的圆周角为的一段劣弧上是解题的关键．

例3．（2021·黑龙江大庆市·九年级期末）如图，在中，，、的长恰好为方程的两根，且．

（1）求的值．

（2）动点从点出发，沿的路线向点运动（不包括端点）；点从点出发，沿的路线向点C运动（不包括端点）．若点、同时出发，速度都为每秒个单位．当其中有一点到达终点时整个运动随之结束．设运动时间为秒，在整个运动过程中，设的面积为，试求与之间的函数关系式；并指出自变量的取值范围和的范围．

【答案】（1）a=48；（2）S=，当时，

【分析】

(1)由根与系数关系，得AC+BC=14，结合已知AC-BC=2，可求AC、BC的值，由AC·BC=a，求a的值；

(2)由勾股定理得AB=10，过点P作PH⊥BC，可得△BHP∽△BCA，再根据对应边成比例，求出

S与t之间的函数关系式．

【详解】

解：（1）、的长为方程的两根

，

又，

，，

（2）作，垂足为，

，

．

由得，，，

即，

解得

，

当时，

【点睛】

本题考查了根与系数关系、勾股定理、平行线分线段成比例定理的运用．解题关键是根据比例表示△PCQ的高，写出S与t之间的函数关系式．

【好题演练】

一、单选题

1．（2019·浙江台州市·八年级期末）如图，已知，在的平分线上有一点，将一个60°角的顶点与点重合，它的两条边分别与直线，相交于点，．下列结论：（1）；（2）；（3）；（4），，则；其中正确的有（    ）．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2．（2020·宜兴市树人中学九年级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=4，点D是BC上的一点，BD=1，点P是AC上的一个动点，连接DP，将线段DP绕点D顺时针旋转90°得到线段DQ，连接BQ，则线段BQ长的最小值是 （      ）  

A．1 B．2 C． D．

二、填空题

3．（2020·上海杨浦区·九年级一模）如图，已知在中，，，将绕点A旋转，点B、C分别落在点、处，如果，连接结交边于点D，那么的值为______．

4．（2020·河北邢台市·金华中学八年级期中）如图，，，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点B向点A运动，同时点Q在射线BD上以xcm/s的速度由点B沿射线BD的方向运动，它们运动的时间为t（s）

（1）如图①，若，，当，________；________．

（2）如图②，，当与全等，________；

三、解答题

5．（2021·湖北宜昌市·九年级期末）已知：是的外接圆，且为上一动点．

（1）如图1，若点是的中点，求的度数．

（2）过点作直线的垂线，垂足为点．

①如图2，若点在上．求证．

②若点在上，当它从点向点运动且满足时，求的最大值．

6．（2021·广东广州市·九年级期末）抛物线与轴交于点，与轴交于点．线段上有一动点(不与重合)，过点作轴的平行线交直线于点，交抛物线于点

（1）求直线的解析式；

（2）点为线段下方抛物线上一动点，点是线段上一动点；

①若四边形是平行四边形，证明：点横坐标之和为定值；

②在点运动过程中，平行四边形的周长是否存在最大值？若存在，求出此时点的坐标，若不存在，说明理由